книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей
..pdfОтметим, что характеристики группового времени рас
пространения в пределах диапазона также мало откло няются от идеальной характеристики /З.п=1. Зависи мость (2-39) позволяет выбирать порядок системы п по
ДОПУСТИМЫМ Величинам Д^.и И Дфмакс
2-5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ, ИМЕЮЩИХ
АМПЛИТУД НО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАДАННОГО
ВИДА
Некоторое представление о переходном процессе можно составить по расположению полюсов и нулей, не рассчитывая ПХ. При этом в отдельных случаях удает ся получить наглядный геометрический образ размеще ния полюсов. Так, известно [16], что при аппроксима ции по Тейлору полюсы изображения располагаются на окружности единичного радиуса с центром в начале ко
ординат, а при аппроксимации |
по Чебышеву |
вида |
Ma(Q) = ‘(1 + k T 2n (Q) )~1 на эллипсе, |
большая ось |
кото |
рого расположена вдоль мнимой оси системы коорди нат.
Изучим расположение полюсов в ситеме с оптималь ной монотонной АЧХ. Для этого необходимо решить уравнение R n (—р2) = —1. Легко определяются полюсы
системы третьего порядка, так как на основании (2-7) имеем уравнение
газ[ (—р2—а )3+ а3]= —1,
откуда
(р Ч -а )* = ^ -+ а * . |
(2-40) |
Если рассматривать уравнение (2-40) относительно р2, то нетрудно установить, что его корни р2т^ расположены
на окружности радиуса |
центр которой лежит |
на вещественной оси и смещен на величину а влево от
мнимой оси. Заметим, что при аппроксимации по Тей лору квадраты полюсов также лежат на окружности
единичного радиуса, как и сами полюсы pTj. На рис.
2-9 показано расположение корней уравнения (2-40)
и Р „ ,= ± }/Г Р \
91
Чтобы получйтЬ полюсЫ, бобтЁётствуЮщиё хараКтёрИ* стическому уравнению вида 1+^i/? + ^2P2+ p 3= 0, необ
ходимо найденные координаты умножить на нормирую щий множитель j/'T^zr: 1,26.
На рис. 2-10 приведено для сравнения расположение полюсов систем с оптимальной монотонной АЧХ (отме чены точками) и плоской АЧХ (отмечены крестиками).
Полюсы системы с опти мальной монотонной харак теристикой расположены ближе к мнимой оси, чем си стемы того же порядка с плоской характеристикой. Поэтому у первой из них следует ожидать меньшую длительность фронта. Кроме того, абсциссы вещественно го полюса и пары комплекс ных полюсов в этой систе ме отличаются мало, поэто му переходный процесс дол жен быть близок к моно тонному.
Во всех системах нечет ного порядка получается та кое же расположение квадратов полюсов на окружно
сти, когда корни производной монотонного полинома сливаются в один корень четной кратности. Однако при рассмотрении АЧХ уже отмечалось, что такая монотон ная характеристика не является оптимальной. Анало гичное положение имеет место и во временной области. Например, для системы пятого порядка с монотонной АЧХ вида
М (х) = V\ + (х1— - .
где а=0,5, получаем Тф=2,243, £i=13,7% , в то время как система с оптимальной монотонной АЧХ, т. е. с двумя двукратными корнями производной
1 |
. V з |
|
V T |
Х \ ,2 ----- С1------ о - |
J |
*3,4 = Ъ ' = ^ - |
|
|
|
|
6 |
имеет лучшие параметры Тф=2,183, 5i=4,7% . При не совпадении кратных корней, а также для всех систем
92
4ётВе|)тбго поряДка, у которых производная АЧХ имёёт некратный корень х= 0, не удается получить наглядный геометрический образ расположения полюсов. В табл. 2-9 приведены характеристические полиномы систем п-го порядка с оптимальной монотонной характеристи кой и координаты полюсов. Там же даны величины пер вого выброса в переходной характеристике и длитель-
Рис. 2-10.
ность фронта для систем с оптимальной монотонной и плоской характеристикой. Сопоставление этих данных позволяет сделать вывод, что во всех случаях в системе с оптимальной монотонной АЧХ как выброс, так и дли тельность фронта получаются меньше, чем в системе с плоской АЧХ. Наличие нулей несколько изменяет по ложение полюсов и величии В\ и т$. Но общие законо
мерности улучшения переходного процесса сохраняются. Исследуем расположение полюсов, когда АЧХ аппро ксимируется с помощью полинома Сп(х) (2-12). Заме
ним в выражении
М‘ = - у '
1“Ь Сп(х)
хна —р2 и определим корни знаменателя
1 | М — ар* + Ь) + с __р
93
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2-£) |
||
ЛР2 |
Оптимальная монотонная АЧХ |
|
Плоская АЧХ |
|||
Характеристичес |
|
|
|
|
|
|
п. п. |
Полюсы |
ви % |
‘Ч |
Ви % |
*#Ф |
|
|
кий полином |
|||||
3 |
1+2,1635/7+ |
—0,5924 |
0.9 |
2,134 |
8,2 |
2,290 |
|
+1,3950/72+^3 |
—0,4019+1,2370; |
|
|
|
|
4 |
1+2,4585/7+ |
—0,5886+0.445/ |
6,2 |
2,132 |
10,8 |
2,432 |
|
+3,0222/72+ |
—0,2724+1,3275/ |
|
|
|
|
|
+1,7220/7®—J—/?* |
|
|
|
|
|
5 |
1+3,2208/7+ |
—0,4698 |
4,7 |
2,183 |
12,8 |
2,562 |
|
+3,9660/72+ |
—0,4500+0,8838/ |
|
|
|
|
+4 ,0 9 0 9 /3 + —0,1922+1,4588/
+1,7534/Т4+-/75
6 |
1+3,5049/7+ |
—0,4856+0,3317/ |
8,8 |
2,206 |
14,3 |
2,670 |
|
+6,1410/72+ |
—0,3674+1,0707/ |
|
|
|
|
|
+6,0083/73+ |
—0,1410+1,4955/ |
|
|
|
|
|
+5,0784/?*+ |
|
|
|
|
|
|
+ 1,9880/75+/7° |
|
|
|
|
|
Тогда получим:
Тп(-а р * + Ь ) = - ( c + d ) = - Л
или, иначе,
cos [п arccos (—ар2+ b) ]= —А .
Так как |Л|>1, то аргумент косинуса — комплекс
ная величина. Обозначим |
|
arccos(—ap2+ b ) —a i + ja 2t |
(2-41) |
тогда
cos [п (cti-f-/аг) ] = cos non ch /гаг— —/ sin nai sh /гаг=—A .
Отсюда
cosnai ch паг——A; sin nai sh /гаг=0.
Из второго уравнения имеем sinm xi=0, поэтому nai^nm . Так как всегда chmx2>0, то первое уравнение имеет решение только при cosnai>0. Значит, a i= jim/n,
94
где m — нечетное число. Тогда сЬпа2=Л и аг=агсЪА/п.
Теперь из (2-41) определяем
. , |
. |
v |
I |
ti |
1 „ пт |
, arch А . b |
p * = 4 i - cos (otj -f- уа2) -|- Ь] — — — cos — |
ch —- J- — |
|||||
. |
. |
1 |
. |
ъ т |
, arch A |
(2-42) |
+ |
/ — |
sin — |
sh ------- |
|||
1 |
1 |
a |
|
n |
n |
|
Если обозначить вещественную часть квадрата по люса (2-42) через а коэффициент мнимой части через v, то можно показать, что эти координаты удовлетворя ют уравнению эллипса
|
а |
+ |
1 |
arch А = 1. |
(2-43) |
|
1 |
arch.4 |
|||||
|
— sh —~— |
|
||||
~ |
с Ь — ' |
|
а |
п |
|
В отличие от эллипса, на котором располагаются полюсы при аппроксимации вида (1+ £27’2п(х))-1, боль шая ось эллипса (2-43) расположена вдоль веществен ной оси, центр его сдвинут на величину b/а в сторону
от мнимой оси и на нем располагаются не полюсы, а их квадраты. Для нахождения полюсов воспользуем ся известной алгебраической формулой
v x + K - ~ ( / r " Y 4- 1 +
+ h i g n v j / ' £ » ■ + « - > у |
(2-«| |
Тогда получаем координаты полюсов, соответствую щих полиному Сп(х). Его старший коэффициент равен
2n- iand~i—cnni поэтому найденные координаты надо
2п
умножить на нормирующий множитель N =)/спл .
В табл. 2-10 приведены координаты полюсов, вычи сленных по формуле (2-44) с учетом множителя N для
АЧХ с неравномерностью ДМ =±0,05, ±0,1, ±0,2, а так же характеристические полиномы и величины В\ и Тф
для систем 3—б-го порядков,
95
<о
<л
пдм
3 |
0,05 |
|
0.1 |
|
0.2 |
4 |
0,05 |
|
0.1 |
|
0,2 |
5 |
0,05 |
Полюсы
—0,6996; —0,3259+1,1503;
—0,6260; —0,2774+1.2330/
—0,5322; —0.2163+1,3535/
—0.4981+0,4996/; —0,1862+1,2683/
—0.4269+0,5158/; —0,1641+1,3440/
—0,3448+0,5266/; —0,1260+1,4407/
—0,3744+0,8879/; —0,1409+1.4577/
—0,5022;
|
0,1 |
—0,3069+0,9363/; |
—0,1154+1.5379/ |
|
|
—0,4331 |
|
6 |
0,05 |
—0,4081+0,3867/; |
—0.2846+1,1173/; |
|
|
—0,1041+1.5391/ |
0.1—0,3410+0,3941/; —0,2301+1,1680/;
'—0,0835+1,6095/;
II 0,2 |
—0.2668+0,3943/; —0,1715+1,2268/; |
| |
"“—0,0621+1.6943; |
|
Т а б л и ц а |
2-10 |
Характеристический полином |
Ви % |
|
1+1,8854/7+1,3313/г+рз |
10,4 |
1,858 |
1+1,9446/7+1.1808/2+/* |
8.4 |
1,814 |
1+2,1091/7+0.9649/72+/?з |
3,0 |
1,803 |
1 + 2 ,0 8 5 1 /+ 2 .6720/2+ 1,4868/*+ /4 |
21,1 |
1,817 |
1+ 1,9789/7+2.6847/2+1,2860/7*+р* |
22,1 |
1,753 |
1+ 1,8381/7+2,7662/2+1,0528/73+/7* |
22,5 |
1,695 |
1+2.9291/7+3,5168/2+3,8017/ з + |
15,1 |
1,941 |
+ 1 ,5 3 2 8 /* + /Б |
|
|
1+3,0394/7+3,1960/72+3,8569/7*+ |
13,3 |
1,899 |
+ 1 ,2 7 7 8 /4 + /Б |
|
|
1 +3,0980/7+5.7051 /2 + 5 ,0 0 1 2 /з + |
18,7 |
1,973 |
+ 4 ,7 7 8 3 /4 + 1 ,5936/S+/6 |
|
|
1 + 2,8998/ + 5 ,7 9 9 6 /2 + 4 ,3933/3+ |
20.0 |
1,906 |
+ 4 ,7 9 1 1 /4 + 1 .3094/5+ /6 |
|
|
1 + 2 , 6 2 0 7 /+ 6 ,0483/2+ 3,6586/3+ |
20,9 |
1,860 |
+ 4 .9 2 7 6 /4 + 1 ,0012/S+/6 |
|
|
2-6. СИНТЕЗ ПАРАМ ЕТРОВ КОРРЕКЦИИ
Зависимости между коэффициентами числителя и знаменателя изображения ПХ, приведенные б табл. 2-5—'2-7, позволяют опреде лить параметры коррекции конкретной схемы путем решения системы
из п—1 |
нелинейного |
уравнения. Однако, как 'это уже |
отмечалось |
|||
в гл. 1, |
часто |
удается |
умень |
|
||
шить число уравнений, что зна |
|
|||||
чительно |
упрощает и ускоряет |
|
||||
расчет. Кроме того, в некоторых |
|
|||||
схемах не всегда удается полу |
|
|||||
чить АЧХ заданной формы. Это |
|
|||||
оказывается |
возможным |
лишь |
|
|||
в некоторой |
области |
парамет |
|
|||
ров, заданных в исходных дан |
|
|||||
ных (таких, как, например, глу |
|
|||||
бина обратной связи, отношение |
|
|||||
постоянных |
времени |
цепей и |
|
|||
т. д.). Проиллюстрируем эти си |
|
|||||
туации на конкретных примерах. |
охваченный |
|||||
Рассмотрим |
двухкаскадный усилитель (рис. 2-11), |
последовательной по напряжению обратной связью. Изображение его ПХ имеет вид:
|
|
h (s) |
|
|
1 |
|
(l\S |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -f- biS -f* &2s2 + &3S3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициенты изображения определяются формулами [36] |
||||||||||||
|
= |
z; |
bi = |
п - f х + /14в? + |
{Ао — 1) q |
|
||||||
|
|
|
|
|
Ао |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
*2 = |
TlX -f- Ye^C/ZZ |
YgHZ |
|
Уапгх |
|
(2-45) |
|||||
|
Ьг = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ао |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
RcuCi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R9C 9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 — |
|
|
<7 = |
с»^с» |
|
|
|||
|
|
|
T 9 K B 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Т Э К » 1 |
|
|
|
|||
— нормированная |
постоянная |
времени цепи |
обратной связи, х -= |
|||||||||
’ ТЭКВа/ТЭКВ1* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные времени |
первого и |
|
второго каскадов |
равны соответ |
||||||||
ственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЭКВ1 = |
YK I O |
-f* (RB 4" ГЭ1 4" ^Hl) ^К 1 (1 “Ь Р1о)1 * |
|||||||||
|
Тэквг = |
YK2O[тр^ -f~ (1?н2 “Ь Г»а) С*кг (1 -f- Р20)] |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 + PSOYK20Y6M |
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г*К2 |
|
||
|
YKIO = I* |
Г * К 1 |
|
|
^ К2° |
|
|
|||||
|
Г*К1 |
4" Rill 4“ RB ’ |
Гкг 4* Гэг 4* RH2 |
|||||||||
Ч л ________ГЭ2 |
|
|
|
|
|
R9 |
|
Ys== |
|
Гг 4- Гб1 |
||
Т б 2 ° |
ГВ2 + Rm 4 - Г62 |
; Ycb0 ~ |
RB -\-RC |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'СВ |
|
/?9/*э 4* Гб1 |
коэффициенты токораспределения для средних частот;
Ао—!14*Япоуово
7— [95 |
97 |
— глубина обратной связи;
1
14~ РюУкю (1 — у»)
— коэффициент местной обратной связи, комплексная переменная
S=/CQТэквЬ
После повторной нормировки коэффициентов («2-45) получаем си стему уравнений
dr = п + |
х-\- /гуэг + (Л0 — 1) д |
|
|
^/'уъпгхАЧ |
|
_ |
пзс ЧэХпг ~Ь 4*nz . |
|
|
]/rY29«222xMo |
* |
(2-46)
/0
I2'47)
\ / |
Ао22 |
(2-48) |
У |
Yэпх * |
|
rfi = |
fiteO ; |
(2-49) |
d 2 = fi{g i). |
:(‘2-50) |
Параметры х, п, уэ и Ао являются исходными данными; z к q — искомыми параметрами коррекции; fi(gi) и U(gi)' — аппроксимирую
щие полиномы, соответствующие заданной неравномерности АЧХ. В данном случае значительное упрощение расчета достигается бла годаря тому, что коэффициент dz зависит только от одного искомого параметра г. Поэтому решение сводится к поиску такого коэффи циента git при котором значения dz, найденные из выражений (2-47)
и |
(2-50), совпадают с заданной точностью. Параметр |
2 , входящий |
в |
(2-47), определяется по выбранной величине gi из |
выражения |
(2-48). После того, как значение gi и соответствующая ему величи на 2 определены, вычисляется di по формуле («2-49), затем находит ся параметр q из выражения (2-46). Таким образом, решение систе
мы нелинейных уравнений (2-46)—'(12-49) сводится к одномерному
поиску по параметру gi. |
|
|
|
Результаты расчета параметров |
коррекции |
приведены |
на |
рис. 2-12—«2-114 в виде графиков q=fi\(x) |
и 2 = f» (x ) |
при Л0=*4 |
для |
ряда встречающихся на практике значений у» и ДМ. Сплошными кривыми показаны графики для уэ= 0,6, пунктирными уэ= 0 ,7 и штрихпунктирньши для уэ=0,8.
Определим параметры коррекции усилителя с автотрансформа торной коррекцией (рис. 4-7), обеспечивающей АЧХ заданной формы. Переходная характеристика этого усилителя рассматривалась в гл. 1. Методика расчета и программа остаются такими же, лишь заменяются аппроксимирующие полиномы. Поэтому рассмотрим только основные особенности полученных результатов.
При заданном значении х в ламповом усилителе (<7=0) могут существовать два варианта параметров kt, kz, k3t «соответствующих двум значениям gi. Меньшему значению gi соответствует меньшая
полоса пропускания, и наоборот. Зеркальная ламповая схема при любых требованиях к форме АЧХ имеет полосу пропускания и па
раметры |
при х=х\ такие же, как прямая схема |
при х = '\ —xt. |
При |
q^ 0 полной «зеркальности» уже не |
наблюдается. Один |
из вариантов зеркальной схемы имеет такое же значение коэффици-
98
Рис. 2*12.
г
Рис. 2-13.
99
бита gi, параметра kz и граничной частоты (в пределах погрешности расчета с помощью аппроксимирующих полиномов), -как и для пря мой схемы. Второй вариант зеркальной схемы отличается от вариан тов прямой схемы как значениями параметров, так и граничной частотой. Следовательно, при заданном значении х может существо вать до четырех вариантов реализации АЧХ требуемой формы. Эти
особенности схемы иллюстрируются табл. 2-11 для оптимальной мо нотонной АЧХ.
Варианты 4 и 8 рекомендуются к использованию как обеспечи вающие наибольшую полосу пропускания для заданной формы АЧХ при наименьших значениях параметров коррекции.
Таким образом, исследование конкретных усилителей с помощью аппроксимирующих полиномов позволяет обнаружить многозначность решения и провести сравнительный анализ отдельных вариантов. На рис. 2-15—'2-118 изображены графики для инженерного расчета уси лителя с оптимальной монотонной АЧХ. Приведены лишь варианты, соответствующие большей полосе пропускания л меньшим значениям параметров коррекции для зеркального варианта (сплошные линии). Штрихпунктирными линиями приведены аналогичные графики, соот ветствующие синтезу плоской АЧХ. Можно заметить, что оптималь ная монотонная АЧХ позволяет получить полосу пропускания на уровне 0,7 на 23—28% больше, чем плоская АЧХ. Для равноволно вых АЧХ с AM=0,05 аналогичные графики приведены в [36].
100