книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей
..pdfтретьего порядка можно описать аналитически:
g2> d2) , |
(3-17) |
di^diMauc ie>h ё%> d2) , |
(3-18) |
где dimm(gu g2, dz) — уравнение гиперповерхности рав ного подъема АЧХ; dlMauC(gu gb dz) — уравнение гипер-
|
|
|
|
|
Т абл и ц а 3-4 |
|
^Коэффи |
^макс- |
=0,95 |
^макс- * |
^МИН— °'9 |
^макс- 1>2 ^МИН— ®'8 |
|
циенты |
= 1,05 |
= 1,1 |
||||
c 0 |
3,223 |
1,155 |
2,760 |
0,652 |
2,406 |
0,431 |
Cl |
10,210 |
—1,074 |
0,398 |
—0,890 |
-0,668 |
—0,990 |
Ca |
0,314 |
0,730 |
0,336 |
0,333 1 |
0,349 |
0,780 |
Cd |
—21,242 |
—8,529 |
-4,012 |
3,712 |
-14,536 |
—13,311 |
C l |
—0,226 |
-0,340 |
—0,309 |
0,107 |
—0,616 |
-0,337 |
B |
0,270 |
-0,684 |
0,343 |
-0,047 |
0,304 |
—0,199 |
C |
0,104 |
1,540 |
0,096 |
0,179 |
0,116 |
0,302 |
Cc |
||||||
c 7 |
—0,143 |
0,487 |
-0,022 |
0,117 |
0,277 |
0,194 |
cl |
—0,034 |
—0,193 |
—0,035 |
-0,047 |
-0,031 |
—0,106 |
CQ |
23,293 |
1,710 |
5,286 |
—4,936 |
19,412 |
17,880 |
CIO |
—2,142 |
1,095 |
—1,190 |
1,982 |
-0,099 |
2,485 |
Cn |
0,471 |
0,126 |
0,613 |
-0,084 |
1,066 |
—0,161 |
Си |
2,283 |
4,409 |
—0,612 |
—1,351 |
1,228 |
1,417 |
1емакс1* % |
1,8 |
— |
3,2 |
0,23 |
4,1 |
0,23 |
вскв* % |
0,76 |
— |
1.6 |
0,13 |
1.7 |
0 |
поверхности равного минимума АЧХ. В табл. 3-4 пред ставлены коэффициенты аппроксимирующих полиномов
di = c0+ d d h + c2g2i+ csgh + c^dzgi+
+ Cbd2gz-\-Cogigz+ Cid32+ Csg3i+ c§d3z+
+ cwdz+ Cugi+Cizg%
описывающих эти гиперповерхности в области 0 ^ g i^ 3 , d2^ 3 . На рис. 3-6 показаны линии М макс—const и МШт = const при g i—gz= 0. Между этими линиями за
ключена область допустимых значений коэффициентов изображения ПХ, при которых неравномерность АЧХ не превышает заданную величину 1±ДЛ1 Точки Е, С и F
соответствуют равноволновым АЧХ с ДМ=0,05; 0,1; 0,2.
Воспользуемся линиями равных подъемов для исследования и оптимизации промежуточного каскада транзисторного широкополос ного усилителя с последовательной индуктивной коррекцией. Его эквивалентная схема приведена на рис. 3-7, а изображение ПХ имеет ВИД (43]:
h ^ = 1+ hs + 62S2 + |
’ |
121
Х ~ С и + С\г ; 71 ~ г п |
; т ” Я * э . в ( С „ + С 22) |
; * э “ |
КII rn ; |
S = |
/со/?э.в {С 11 + с 22) . |
|
|
Определим связь между параметрами этой схемы, |
при которых |
||
з АЧХ имеется 10%— подъем. Уравнение линии |
КС (см. рис. 3-6), |
2,2
2,1
2,0
13
W
17
как это следует из табл. 3-4, будет:
di=2,76—>1Д9d2+0,308d22—0,022dV,
!,18«*2<3.
Исследуем случай х=0,5, соответствующий самому неблагопри ятному сочетанию частичных емкостей. Так как
ГПУ]
6, _ 1+ (1 + т))2
dz= |У^т ,
]^6Г т
то уравнение связи примет вид:
1,739 У 'т — 0,944 фпР + 0,398m— 0, Ш т ^ т — |
= 1. |
При перемещении по линии равного подъема АЧХ в направ лении АВС (рис. 3-6) дважды нормированная граничная частота Q«a
возрастает. Возможное перемещение ограничивается точкой С, в ко торой Л1мин=0,9. Поэтому целесообразно рассматривать рбдасть*
№
прилегающую к этой точке. Точка Ё соответствует характеристике
^ “ . 1— 1,054x2 + х3
у которой выполнено условие D i—d*i—2^2=0. Для точки А выпол няется условие Dz= dH—2 d i= 0 и соответствующая АЧХ
1 — 0,587х + х3
Равноволновая АЧХ с отклонением ±0,1
М / |
1 |
1 + 1,420х — 2 ,495х2 + х3 |
получается, когда &\ и d2 соответствуют точке С. Параметры кор рекции пг и т), дважды нормированная граничная частота 2т» норми
рующий множитель и граничная частота 2 В, соответствующая
L
|
|
^ |
лу-УУ\---- |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
SU,бз |
|
|
JL |
1 |
|
|
|
|
""Т |
||
f |
л |
1 |
|
1 |
V л |
|
— |
1---------- |
---------- |
!------ |
|
Рис. 3-7.
трем указанным вариантам, приведены в табл. 3-5 [Qn выражается s безразмерных единицах а>/?э.в(Сп+С22)].
Точки |
т |
Ч |
®1В |
А |
3 ,3 1 8 |
2 ,5 7 0 |
1,190 |
в |
1,972 |
2 ,4 4 5 |
1,225 |
С |
0 ,8 8 2 |
3 ,3 8 6 |
1,428 |
D |
4 ,0 0 0 |
1 , 0 0 0 |
1 , 0 0 0 |
|
Т а б л и ц а 3- |
Ю |
|
|
|
||
1 |
- 1 |
|
|
. |
^ СО |
2в |
|
|
| |
1 |
|
|
1,065 |
1,26 |
|
|
1,265 |
1,55 |
|
|
1,697 |
2,42 |
|
|
1 ,0 0 0 |
1 , 0 0 |
|
При перемещении в направлении АВС |
возрастает не только ча |
стота 2 1В, но и нормирующий множитель |
Поэтому точке С |
соответствует и максимальная достижимая частота Йв=2,42 при за данной неравномерности АЧХ. На этом же графике отмечена точ ка D, соответствующая АЧХ
п Ь -
аппроксимированной по Тейлору.
123
Отметим значительное расширение полосы пропускания опти мальной АЧХ (равноволновой) по сравнению с плоской АЧХ.
В системах более высокого порядка получение аналитических ограничений вида (3-17) или (3-118) затруднительно.
3-4. ДИСКРЕТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПО ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ
КРИТЕРИЯМ
При расчете элементов усилителя, влияющих на искажения в области больших времен, обычно стремятся уменьшить величины емкостей. Между тем конечной целью является снижение таких показателей, как мас са (Р), объем (V), стои мость (5) конструкции. Ука занные параметры уменьша ются с уменьшением емко стей, но не пропорционально.
Поэтому естественно в каче стве критерия оптимума при нять суммарную массу, объ ем или стоимость конденса торов усилителя.
Определим емкости кон денсаторов усилителя так, чтобы подъем вершины А+ и спад Д- импульса задан
ной длительности не превышали допустимую величину, а выбранный критерий был минимальным. Поставлен ная задача относится к области дискретного програм мирования с -нелинейными, аналитически не заданными функцией цели и ограничениями. Общие методы реше ния задач такого рода пока неизвестны.'Для оптимиза ции емкостей разработана процедура «л-мерный куб» [8]. В случае трех емкостей алгоритм поиска оптимума можно интерпретировать геометрически (рис. 3-8). Сна чала рассчитываются параметры коррекции и величины конденсаторов аналитическими приближенными метода ми или с помощью процедуры «Импульс» [8].^.‘Получен ные значения емкостей округляются до ближайших, но миналов, имеющихся в ряде конденсаторов выбранного типа, обусловленном ГОСТ. Точка [Сщ]пв пространстве CiCjCi представляет геометрический образ полученного
набора конденсаторов. Она находится в центре куба, на гранях которого располагаются соседние дискретные но-
124
МШШы. Ё качестве Исходных Данных процедуры вво дятся массивы С, Р, V и 5 рассматриваемого ряда. За тем производится перебор точек Ciji. Из рассмотрения
исключаются точки, для которых не уменьшается хотя бы один индекс i, / или /, так как в этом случае не мо
жет уменьшаться целевая функция (масса, объем или стоимость). Такие точки на рис. 3-8 отмечены крестика ми. Для рассматриваемой точки (набора конденсаторов} сначала проверяется величина критерия. Если она умень шается, то уточняется параметр коррекции так, чтобы получить
и находится спад Ь г импульса длительности ти. Если Ьг
превышает допустимое значение, то точка исключается, если нет — в нее переносится центр куба (точка[ CijJn+1) . Направленный перебор продолжается до получения ми нимума критерия или выхода на границу массива. По сравнению с простым перебором, применяемым в зада чах дискретной оптимизации, число рассматриваемых вариантов резко сокращается. Эффект оптимизации сильно зависит от выбранного типа конденсаторов, ис пользованного ряда номиналов и длительности усили ваемых импульсов. Это объясняется тем, что масса, объем и стоимость конденсаторов различных типов поразному зависят от их емкости. Выполненные расчеты показывают, что оптимум по критериям min Р , min V,
'ф
Рис. 3-9.
125
minS чаще всего достигается в близких точках. Умень шение целевой функции за счет дополнительной оптими зации составляет 10—40%. Так, например, расчет уси лителя рис. 3-9 с учетом истоковых цепей i/?ИСИ и по следующая дискретная оптимизация дают следующие результаты. При заданных Д+=5%, ти=10 мс, Д“ =5%, А о=5, /Со=100, С31=Сз2 для усилителя на транзисторах
КП102 получены следующие значения емкостей, округ ленные до ближайшего большего номинала по iTOCTl
6’и1—100 мкФ, Си2=50 мкФ, С31=С з2=1000 пФ. Е сли ис
пользовать конденсаторы Сиь |
типа К50-3 |
(С/р= 6 В), |
С3 типа БМ-2 (£/р= 10 В), то их суммарная |
масса |
=154 г, объем У=50 см3. После оптимизации уменьши лись емкости СИ1=50 мкФ, Сиг—25 мкФ и возросла ем кость С3=2500 пФ, но оптимизируемые критерии умень шились и составляют Р —82 г, К=28 см3.
Оптимизация осуществляется очень быстро, так как начальные значения емкостей, полученные по методике § 1-2,6, достаточно близки к оптимальным по применен ному критерию. Встречаются случаи, когда первый на бор емкостей, полученный после синтеза параметров и округления, является оптимальным.
3-5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Рассматриваемые задачи оптимизации параметров импульсных и широкополосных усилителей по своему содержанию полностью соответствуют задачам, решае мым методами нелинейного программирования. Эти ме тоды весьма универсальны и, как следствие, в частных случаях алгоритмически избыточны. Поэтому в начале главы рассмотрены пути оптимизации, максимально ис пользующие особенности оптимизируемых объектов. Но, как указано в § 3-2, возможны ситуации, когда в рас сматриваемом усилителе не реализуются АЧХ и ПХ с заданным числом экстремумов требуемой величины. Тогда невозможно применение аппроксимирующих поли номов или сжатие области ограничений. Методы нели нейного программирования не предъявляют требований к числу экстремумов, а только ограничивают их величи ну. Рассмотрим некоторые основные идеи этих методов. Все они являются многошаговыми методами, определяю щими стратегию последовательного улучшения критерия
126
оптимума у, называемого целевой функцией, и нахожде ния оптимального значения умакс (или ут т ) с опреде
ленной степенью точности. На каждом шаге возникает вопрос о направлении в пространстве параметров x(k\
в котором следует сделать очередной шаг, и о выборе величины шага Дх(Ч В зависимости от того, какая ин формация используется для нахождения направления и величины шага, определяющего последующее значение параметров
xW= xW+ hx(k\
методы нелинейного программирования подразделяются на градиентные, безградиентные (к ним относятся ме
тоды |
дихотомии, золотого |
сечения, Гаусса — Зейделя |
|
и др.) |
и методы случайного поиска. |
||
Градиентные методы |
используют информацию озна |
||
чении |
целевой функции |
у№ |
и ее производных dtj/dxj |
в данной точке (иногда и в нескольких предшествующих точках). Градиентом grad у целевой скалярной функции у(хи ..., хп) в точке (xi, ..., хп) называется вектор,
проекции которого на оси координат равны производ ным функции у по соответствующим переменным
ду \ д хп )'
Градиент направлен по нормали к поверхности по стоянного уровня у(х 1, ..., хп) = const, проходящего че рез точки Хи ..., хп, и указывает направление наиско
рейшего возрастания целевой функции. Эго обстоятель ство и используется при построении алгоритма поиска оптимума.
Безградиентные методы используют информацию о значениях только целевой функции в данной и одной или нескольких предшествующих точках, производные целевой функции не используются.
В методах случайного поиска оптимум или направле ние движения к нему определяется путем перебора слу чайных значений независимых переменных.
Возможны самые различные комбинации этих мето дов, применяемые на отдельных этапах оптимизации.
Если функция цели многоэкстремальна, то примене ние градиентных методов при заданной начальной точке приводит к нахождению одного из экстремумов. Остает ся неопределенным, является ли этот экстремум дейст
127
вительно оптимальным во всей области определения не зависимых переменных (глобальным оптимумом) или же значение целевой функции оптимально только в ближай шей окрестности экстремума (локальный оптимум). До статочно полно разработанных детерминированных ме тодов отыскания глобального оптимума пока нет. Ука жем лишь метод «тяжелого шарика» [44], требующий тщательного подбора расчетных констант. При приме нении градиентных методов можно с определенной ве роятностью ответить на вопрос, является ли найденный оптимум глобальным, повторяя поиск из разных началь ных точек, достаточно удаленных друг от друга. В безградиентных методах для этой цели применяется пред варительное обследование пространства независимых переменных. В методах случайного поиска оптимизация повторяется несколько раз и результаты сопоставляются между собой. Тем не менее нет полной гарантии, что та ким путем найден глобальный оптимум. Только хоро шее знание конкретных особенностей объекта оптими зации позволяет с полной уверенностью подтверждать глобальность оптимума.
Значительные трудности возникают в процессе опти мизации при наличии ограничений в виде равенств или неравенств. Градиентные методы в исходной форме не учитывают ограничений. Поэтому в них вводятся допол нительные шаги, устраняющие возникшие нарушения ограничений и возвращающие процесс оптимизации внутрь области ограничений. При этом алгоритм значи тельно усложняется.
В настоящее время имеются ряд хорошо разработан ных методов нелинейного программирования и их много численные модификации. Они подробно описаны в спе циальной математической литературе и в достаточном объеме изложены в технической [44—47]. В [48] приведе ны алгоритмы ряда методов, написанные на языке «Алгол-60». Поэтому детально рассматривать эти мето ды нет необходимости. Остановимся только на методе обобщенного критерия, имеющем некоторые преимуще ства по сравнению с другими при оптимизации электрон ных цепей.
Метод обобщенного критерия (метод «штрафа») по зволяет не рассматривать отдельно вопрос о нарушении ограничений, а включает ограничения вместе с целевой функцией в некоторый обобщенный критерий. Перспек-
123
тивность и общность этого метода и его модификаций подтверждаются рядом работ [45, 49—51]. Рассмотрим
его более подробно. |
оптимизируемую функцию цели |
||
Пусть |
мы |
имеем |
|
у (хi, ..., |
х п) |
и ограничения |
|
|
n = f j ( x u |
•. хп) > 0 ; i = l , . : ., т. |
При этом как функция цели, так и ограничения мо гут быть заданы либо аналитически, либо алгоритмами для их вычисления. Образуем сложный критерий в виде
т
|
< 3 = г /+ а 2 |
(3-19) |
|
|
|
1=1 |
|
где P j = 0, если f j > 0; |
и определяется min у; |
||
pj= 1, если rj^O |
|||
Pj=— 1, если |
.и определяется т а ху. |
||
Если ограничения выполнены, то pj=0 и ведется оп |
|||
тимизация |
критерия |
Q =y. При нарушении одного или |
|
нескольких |
ограничений появляются |
дополнительные |
слагаемые apj/j, ухудшающие значение критерия («штраф»). Для того чтобы «штраф» был ощутим и при
оптимизации |
произошло возвращение внутрь |
области |
|
ограничений, |
положительный |
коэффициент а |
должен |
быть достаточно большим. |
Его необходимо |
выбирать |
так, чтобы при определении grad Q вне области ограни чений для всех независимых переменных выполнялось условие
дЦщ |
ду |
dxi |
dxi |
Критерий (3-19) представляет собой функцию с т - мерным оврагом. Поэтому здесь применяется методика слежения за оврагом [48]. Ширина оврага зависит от ве личины коэффициента а, выбор которого в значитель ной мере определяет успешную оптимизацию. При ма лом а достаточно быстро находится оптимум параме
тра Q, но остаются нарушенными некоторые ограниче ния Г}. «Штраф» за невыполнение ограничений при этом
оказывается недостаточным и мало изменяет суммарное значение критерия. При больших значениях а овраг становится очень узким и наступает рыскание по скло нам оврага. Это явление не дает опуститься на дно оврага, где расположен оптимум. Поэтому применяется
9—195 |
129 |
Осторожная тактика: сначала оптимизация ведется при малом а, полученный результат является исходным при повторении процесса с удвоенным значением а. Потом а еще раз удваивается и т. д. до получения оптимального значения при выполненных ограничениях. При этом все время контролируется процесс оптимизации и при воз никновении рыскания уменьшается шаг.
Процесс оптимизации начинается из произвольной точки, в которой могут быть нарушены ограничения. Эта точка расположена на склоне оврага. Из нее произво дится спуск на дно оврага (локальный поиск) упрощен ным градиентным методом, так как высокая точность на данном этапе не требуется. Затем в окрестности ис ходной точки с помощью случайного числа выбирается новая точка, из которой также осуществляется спуск на дно оврага. Полученные две точки на дне оврага позволяют определить направление, в котором делается овражный шаг к оптимуму (глобальный поиск). Этот шаг приводит в точку, как правило, не лежащую на дне оврага. Поэтому из полученной точки снова производит ся спуск на дно оврага, определяется направление, де лается следующий овражный шаг и т. д. Поиск заканчи вается, когда улучшение критерия в результате выпол ненного шага становится меньше некоторой заданной величины. Программа оптимизации методом обобщенно го критерия и пояснения к ней приведены в приложе нии 3.
Т а б л и ц а 3-6
mi |
1/Л> |
т г |
« 0 , 7 |
о |
|
*’ 0 , 9 5 |
k |
X |
^макс ^ м и н |
0 |
0.5 |
1 |
0 |
2,826 |
1,713 |
0,215 |
1,113 |
1,056 |
|
0 |
0.5 |
1 |
0,5 |
1,810 |
1,194 |
0,313 |
1,261 |
1,049 |
— |
0,25 |
0,5 |
1 |
0 |
1,505 |
1,060 |
0,549 |
1,307 |
1,046 |
_ |
0,25 |
0,5 |
|
|
1,347 |
|
0,643 |
|
|
|
1 |
0.5 |
0,982 |
1,520 |
1,046 |
— |
||||
0.5 |
0.5 |
1 |
0 |
1,2 0 2 |
0,946 |
0,996 |
1,728 |
1,048 |
0,997 |
0.5 |
0.5 |
1 |
0.5 |
Г, 125 |
0,903 |
1,075 |
1,841 |
1,036 |
— |
В качестве примера в табл. 3-6 приводятся результаты оптими зации усилителя (рис. 3 -2 ) методом обобщенного критерия при допу
стимой неравномерности АЧХ ДМ^0,О5. В данном случае выбран критерий
т
Q = - 2 + a 2 P /| Ш ю -Ш \
/= 1
130