книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

1.4. Перемещения в деформируемом твердом теле. Тензор деформаций.

1.4. Перемещения в деформируемом твердом теле. Тензор деформаций

Рассмотрим перемещения, возникающие в те­ ле в процессе деформаций. Будем считать, что тело закреплено и его перемещения как недеформируемого жесткого целого исключены.

Пусть некоторая точка Л (см. рис. 1.4), имевшая до деформации координаты х, у и z, вследствие де­ формации тела оказалась в положении Ахс коор­ динатами х + w,y + v n z + w .Отрезок ЛЛ, называ­ ется линейным перемещением точки А, а отрезки w, v и w — его проекции на оси координат. Переме­ щения и их проекции для разных точек различны; они представляют собой непрерывные функции координат точки

трех проекций элементарного параллелепипеда (см. рис. 1.5,а). Для этого надо знать относитель­ ные линейные деформации трех взаимно перпен­ дикулярных ребер £х, гу и е : и изменения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его гра­ ней, параллельных плоскостях координат (относи­ тельные сдвиги или относительные угловые деформации уху, yr_ )•

Найдем зависимости между компонентами де­ формации и проекциями перемещения на оси коор­ динат. Рассмотрим проекцию элементарного парал­ лелепипеда на плоскость хОу (см. рис. 1.5, б). До деформации координаты точки А - х и у, длины про­ екций ребер dxndy.

После деформации тела точка А перейдет в по­ ложение А \ а точка В - в положение В \ Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме ли­

Иу, z); V =f2(x, у z); w =f}(x, у z). нейного перемещения точки А и его приращения,

Деформированное состояние в некоторой точ­ ке А известно, если известны деформации всех

вызванного изменением координаты х при перехо­ де от точки А к точке В: и + du/dx-dx . Кроме того, вследствие изменения первоначального прямого угла ВАС на величину а точка В{займет положение

В\ Отрезок Вf t ’ представляет изменение переме­ щения v точки А при переходе от точки А к точке

Ввдоль оси х. Относительная деформация ег реб­ ра АВ:

s	АХВХ- А В	=
	= —— --------
*	АВ

_ и +д и /dx-dx + d x - u - d x _

, 0 .7)

_ 3й

дх

11

Глава 1. Основы анализа прочностной надежности двигателей

аналогично

А С - А С	ду
8 = — 1-------	= -----
АС	ду

Изменение удт прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы а и (3 их тангенсами и учитывая, что частные производные в скобках малы по сравнению с единицей:

		|\	1	1 |
		в,
			2 У-	2У-
		1
Т	=			1
		2Уух		- f r .
		1	1

2Уху

или в индексной форме

У.„, = а + Р _ ВХВ'				£ С ' _
			АХВХ	АХС{
	dv		ди	,
— dx			-zrdy		(1.8)
	дх
~ды		^	| ^ +	1 dy
_	+1 dx
дх			ду
dw		ди
дх		ду

Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выраже­ ние для относительной линейной деформации ez и относительных сдвигов и утг. В результате по­ лучим следующие шесть зависимостей между от­ носительными деформациями и перемещениями, их называют геометрическими уравнениями (со­ отношениями Коши):

		ди	f ху	_ ду	ди__
	е. —			дх	ду
		дх *
	г х -	ду	У>	_ dw ^ dv		(1.9)
		ду		ду	dz
		dw	у	_ ди	dw
	е„ = — ;

-& 'Х~!к + дх

Исходя из геометрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно ус­ тановить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответ­ ствует удлинению, положительное значение отно­ сительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, yOz и zOx.

По аналогии с тензором напряжений вводится тензор деформаций:

8и	S12	813
Те = 82|	822	823	( 1.10)
831	832	833
Тензор деформаций симметричен, т.е. у			= у ,

Уху= Уух>Ухz= Ухх или в тензоРн°й форме:

Е(7 = 8у/ При i * j

Таким образом, деформированное состояние в точке определено, если известны шесть компо­ нент тензора деформаций.

Как и в случае напряжений, вводится понятие главных деформаций, имеющих место на площад­ ках, на которых отсутствуют деформации сдвига. Эти деформации обозначают в порядке убывания £j, е2, е3. Они инвариантны относительно выбора координат. В решении практических задач прочно­ сти часто применяется другая инвариантная отно­ сительно выбора системы координат величина - интенсивность деформаций (иногда ее называют обобщенной деформацией):

е,=- л '[(s l ~ Sz)2+ 2(1+ ц)

+ (е2-8з)2+(е1-8 3)21^2 =

( 1.11)

= —— — [(е -е	)2 +
2(1+ ц ) LV	у)

+(£у~ez)2+ (ег~г х)2+

Уг

+ -(у% + ч% + ч1х\

где р - коэффициент Пуассона.

Геометрические уравнения можно представить в тензорном виде:

еГ 1/2(ии + %)

( 1.12)

12

Геометрические уравнения были выше полу­ чены в предположении малости деформаций. Бла­ годаря этому они оказались линейными, что су­ щественно упрощает всю процедуру анализа напряженно-деформированного состояния тела. Если деформации нельзя считать малыми (это от­ носится, например, к гибким тонкостенным кон­ струкциям, конструкциям из резины и некоторых полимеров), необходимо использовать нелиней­ ные геометрические уравнения.

1.5. Уравнения совместности деформаций

Из уравнений (1.9), исключив перемещения, можно получить соотношения, связывающие между собой отдельные компоненты деформации. Это означает, что они не независимы в сплошной среде.

Дифференцируя первые два уравнения (1.9) для линейных деформаций, находим:

д \ _ = _с?и	д2еу _	д2у
ду2 дхду2 ’	дх2	дудх2

Складывая эти выражения и учитывая выраже­ ние для у , получаем:

д2ех [ д2е, _ д2 (ди д у Лд у ^

ду2 дх2 дхдууду dx) дхду

Аналогичным образом можно получить еще два уравнения, которые составят первую группу урав­ нений неразрывности.

Дифференцируя уравнения для угловых дефор­ маций (1.9), складывая первые два уравнения и вы­ читая третье получим:

J ^	+ ?!jL+ ^ =		2 д2у - 2 ЭЧ
dz	дх	ду	dxdz	дхдг

Дифференцируя это уравнение по у получим:

d f& r . ry ^ y , д у „ \ ду{ dz дх ду J

dxdydz dxdz

После круговой подстановки можно получить еще два аналогичных уравнения, которые соста­ вят вторую группу уравнений неразрывности. Обе группы вместе имеют вид:

				1.6. Обобщенный закон Гука
		д2ех	(N		д2Уху
			СО	II
		ду2			дхду
			дх2
		d2z y	d2ez		d2Yyz
		---- +	ду2		dydz
		dz2
		d2e z	д ех		tд2у
		— ^-+			J	J xzx
			dz2			dzdx
		дх2
д						d2z	*
дх К ду					= 2
		дх	дх у			dydx
д		7 .д Г *	d f* '			d2e
					= 2 — 2
ду	dz	дх	ду ,			dxdz
± \	дх	i + d U	' dz	)		дхду
dz\v		ду

Физический смысл уравнений (1.13) можно про­ иллюстрировать следующим примером. Разобьем тело до деформации на конечное количество малых параллелепипедов и тетраэдров. Если условия (1.13) не соблюдены, то после деформации каждого из них может оказаться невозможным сложить непрерыв­ ное деформированное тело (см. рис. 1.6, б). По этой причине уравнения (1.13) называют уравнениями совместности (неразрывности) деформаций.

Если анализ напряженно-деформированного состояния тела сводится к определению перемеще­ ния, а по ним - напряжений (решение в перемеще­ ниях), уравнения совместности деформаций вы­ полняются тождественно. Если анализ ведется в напряжениях, уравнения совместности деформа­ ций необходимы для определения перемещений.

1.6. Обобщенный закон Гука

Зависимость между напряжениями и деформа­ циями в реальном материале может быть достаточ­ но сложной: в зависимости от величины действу­ ющих напряжений деформации могут быть обратимыми (упругими) и необратимыми (пласти­ ческими). При напряжениях, не превышающих предела упругости, эта зависимость, как известно, выражается законом Гука, согласно которому де­ формации в материале пропорциональны напряже­ нию. В простейшем случае одноосного растяжения элементарного параллелепипеда, например в нап­ равлении оси*, он получает в направлении л* отно­ сительное удлинение равное:

г = а /Е

(1.14)

13

Глава L Основы анализа прочностной надежности двигателей

Компоненты тензора напряжений можно отсю­ да выразить через компоненты тензора деформа­ ций:

Рис. 1.6. Деформированное состояние тела при нарушении условий совместности деформаций

а в направлениях у и z - относительное сужение: е = - p a r/ £ , £, = —|L1CFY/Е

где Е - модуль упругости материала; |1 - коэффициент Пуассона материала.

Деформация сдвига пропорциональна касатель­ ным напряжениям, например:

у ,= \У °>

% = \ J G>

где G - модуль сдвига

2(\ + \х/

Характеристики упругости материала Е и (I за­ висят от температуры и определяются эксперимен­ тально.

Для того, чтобы учесть тепловое расширение при нагреве тела, нужно добавить к относительно­ му удлинению произведение коэффициента линей­ ного расширения а на температуру материала:

гх= о /Е + аТ

(1.15)

В общем случае трехосного напряженного состо­ яния экспериментально установлена линейная зави­ симость компонент тензора деформаций с компонен­ тами тензора напряжений, названная обобщенным законом Гука. С учетом теплового расширения ма­ териала обобщенный закон Гука имеет вид:

£ х = ^ - Ф у + <*г ) ] + а Т ; у ху = ^

гу = \ К “	(1.16)
	+ стх )]+ «Г; У^г = - ^

е , = - ~ Ь , - Ф * + ° у ) ] + а - Т \ У . , : = ^

CT, = 2 G E , . + 3 X s - j - ^ - a r ;			x xy=Gy„
а у = 2Gey +ЗХе			V = ° h * ' (1.17)
a = 2GB 2+ЗА,е - —Е —аТ;			x 2X= G ya
	1-2\х
где £ = (&х + гу + ег)/3 - средняя деформация;
а	мД	- постоянная Ляме.
	(1 + ц )(1 -2 ц )

Приведенная выше запись обобщенного закона Гука относилась к изотропному материалу, свой­ ства которого одинаковы во всех направлениях. В ГТД в последние годы активно применяют ани­ зотропные материалы: монокристаллические ни­ келевые сплавы для лопаток турбин, композици­ онные материалы для изготовления корпусных деталей и т.д. Для этих материалов также справед­ ливо представление о линейной зависимости меж­ ду компонентами тензоров напряжений и дефор­ маций. В общем случае эти зависимости могут быть представлены следующими линейными урав­ нениями:

S JC “ a i\G x +		CL\2G у	~*~a \3G z +
+ а \4Т ху +	а \ & yz +		а \£* XZ
S y ~~ а 2 \ ° х	+	а 22® у + U23G z +

a3lGх + аЪ2°у + tt33Gz +

+ я 34т ху + л35т ^ + я 36т Х2

(1.18)

Уху= a4\Gx + aA2Gу + а4ЪGz +

+а44%ху+ а45тvz + а46та

Yj* =«51Gx + a52Gy+<*53Gz +

+а54Хху + а55Zyz + а56У xz

Уzx=^6lGx +a62Gy+^63Gz +

+аб41ху + аб51 yz + a66Xхz

14

Глава L Основы анализа прочностной надежности двигателей

а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра с плоскостями координат. Площадь наклонной гра­ ни BCD обозначим dF. Тогда площадь грани ЛВС

будет dFn, грани ACD - dFl и грани ADB - dFm.

На наклонной грани BCD действует равномер­ но распределенная нагрузка q. Ее проекции на оси х, у и z обозначены соответственно q , q На бо­ ковых гранях действуют нормальные й касатель­ ные напряжения (см. рис. 1.7).

Составим уравнение равновесия пирамиды, спроектировав все силы, действующие по его гра­ ням, на ось л*. Проекция объемной силы в уравне­ ние не входит, так как представляет собой величи­ ну высшего порядка малости по сравнению с проекциями поверхностных сил:

-с dF I - х dF ■т - х dF • п + q dF = О
-V	ЛТ	ZX	*х

Составив уравнения проекции сил на оси у и z, получим два аналогичных уравнения. В результа­ те будем иметь три уравнения равновесия:

а = а			/ - т			m + х п
*Х	X			ух			ZX
q —т		хг	/ + ОТЯ + Т п					4	(1-22)
Чу				у			zy		'
q = Т				+ Т	yz		+ G W
2z		xz					z

Эти уравнения связывают нагрузку на поверх­ ности тела с напряжениями в теле, т.е. представ­ ляют граничные условия задачи теории упругос­ ти. Система уравнений теории упругости (1.4), (1.9) и (1.16), дополненная граничными условиями по напряжениям (1.22) и по перемещениям, представ­ ляет собой общую постановку краевой задачи те­ ории упругости.

Методы решения краевой задачи теории упру­ гости, как точные, так и приближенные, можно разделить на две группы: решение в перемещени­ ях и напряжениях.

В первом случае за основные неизвестные при­ нимают перемещения точек упругого тела:

И =f№,y,z),

V=f2(x,y,z),

W=f3(x,y,z).

Для получения решений нужно в уравнения обобщенного закона Гука (1.16) подставить геомет­ рические соотношения (1.9), т.е. выразить напря­ жения через перемещения, и затем полученные вы­ ражения подставить в уравнения равновесия (1.4), в результате чего получаются три уравнения с тре­

мя неизвестными и, v, w, решение которых даст искомые перемещения. Граничные условия в нап­ ряжениях также необходимо выразить через пере­ мещения.

Во втором случае за неизвестные принимают компоненты напряжения:

а = Ф,(х, у, z),

а,, = Ф2(х, у, z),

а. = Ф3(х, у, z),

\= ФМ ’ у z)>

\= ФГ ’ у z)>

= (Х>У>2)-

Спомощью обобщенного закона Гука (1.16)

иуравнений равновесия (1.4), шесть уравнений не­ разрывности деформаций (1.13) можно записать че­ рез напряжения:

Решение этих уравнений вместе с граничными условиями дает искомые компоненты тензора на­ пряжений.

1.8.Плоская задача теории упругости

Существуют два важных в практическом отно­ шении частных случая напряженно-деформирован­ ного состояния тела, когда решение задачи теории упругости существенно упрощается. Это плоское деформированное и плоское напряженное состоя­ ния.

На рис. 1.8, а приведен пример тела, находяще­ гося в плоском деформированном состоянии. Точ­ ки тела в выделенном пунктирными линиями слое не могут перемещаться вдоль оси z из-за препят­ ствия со стороны соседних слоев, то есть вдали от торцов при большой длине тела перемещения w вдоль оси z отсутствуют fw=0). Нагрузка, действу­ ющая на тело, постоянна вдоль оси z, но может ме­ няться в плоскости хОу. В таком случае любой эле­ мент единичной толщины, вырезанный двумя параллельными сечениями, перпендикулярными оси z, на достаточно большом расстоянии от тор­ цов находится в одинаковых условиях с соседними и испытывает плоское деформированное состояние, перемещения и и v не зависят от координаты z.

При плоском напряженном состоянии размеры тела вдоль оси z малы (см. рис. 1.8, б), а боковые плоскости, параллельные хОу свободны от нагруз­ ки, т.е. напряжения а г, Tzv и тл, на этих плоскостях равны нулю. Ввиду малой толщины можно предпо­ ложить, что и внутри тела, по плоскостям, парал­ лельным хОу, напряжения пренебрежимо малы, а напряжения ох, а , и не зависят от координатыz. Перемещения w вдоль оси z происходят, но они пред­ ставляют собой функцию напряжений a v и а .

16

Глава 1. Основы анализа прочностной надежности двигателей

в уравнение (1.30), получим бигармоническое урав­ нение:

. д 4(Р ^	д \	^ Ф = п	(1>32)
etc4	дх2ду2	ду4

Решение плоской задачи сводится к отысканию функции ф, удовлетворяющей этому уравнению и условиям на поверхности. Существует аналити­ ческое решение этой задачи для некоторых про­ стейших вариантов формы тела. При применении численных методов решение плоской задачи суще­ ственно менее трудоемко, чем пространственной.

1.9. Пластическая деформация материала. Простое и сложное нагружение

При напряжениях выше предела текучести в те­ ле возникают пластические деформации, не исче­ зающие после разгрузки. Зависимость деформации от напряжения получают экспериментально при ра­ стяжении образцов. Для большинства конструкци­ онных материалов она выглядит так, как показано на рис. 1.9; сплошная линия - условная кривая де­ формирования, получаемая без учета сужения об­ разцов при растяжении, пунктирная - истинная кри­ вая деформирования, построенная по истинным напряжениям, при расчете которых учтено сужение образца и образование шейки. При деформациях менее 1 % эти кривые практически совпадают.

Если напряжение а не превышает предела те­ кучести а Т, то зависимость между напряжением а и деформацией е линейна а = Ег (строго говоря, следует говорить не о пределе текучести, а о пре-

Рис. 1.9. Диаграмма деформирования материала

деле пропорциональности, но для большинства конструкционных материалов эти напряжения практически не различаются).

В этой зависимости модуль упругости материа­ ла Е равен тангенсу угла наклона линейного участ­ ка диаграммы а - е. Линейная зависимость между напряжениями и деформациями характерна для упругости, но критерий упругого поведения мате­ риалов состоит в том, что после снятия внешнего воздействия все размеры детали восстанавливают­ ся. На диаграмме а - е (см. рис. 1.9) это проявляет­ ся следующим образом. Если в точке А0при о < а т прекратить нагружение материала и снять вне­ шнюю нагрузку, деформация материала исчезнет (точка, изображающая на диаграмме состояние ма­ териала, вернется в начало координат). При возра­ стании напряжений выше предела упругости а >ат зависимость а от е перестает быть линейной. Если в некоторый момент нагружения, соответствующий точке А, прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка пойдет по прямой AAVприблизитель­ но параллельной начальному участку. Точкам пе­ рейдет в точку Л,, и в материале сохранится оста­ точная деформация ер, которая представляет собой пластическую деформацию в материале, образо­ вавшуюся при его нагружении. Полная деформа­ ция складывается из упругой ге и пластической ер:

е = е р+ е «

о - 33)

Уравнение (1.33) справедливо для любого мо­ мента деформации. Пластическая деформация су­ ществует одновременно с упругой, поэтому следу­ ет говорить об упругопластических деформациях материала. Упругая деформация для металлов со­ ставляет 0,2... 0,8 %, пластическая может доходить до 20...40% .

При повторном нагружении из точки А х (см. рис. 1.9) процесс нагружения пойдет по прямой А ХА, т.е. предел текучести возрастет. Таким обра­ зом, после предварительной пластической дефор­ мации происходит упрочнение материала, при даль­ нейшем нагружении (переход от точки А к точке В) деформирование идет так же, как в случае одно­ кратного нагружения.

Диаграммы (а - е), получаемые при сжатии пла­ стичных материалов, мало отличаются от диаграмм растяжения. Предел текучести в точке А х (см. рис. 1.10) по абсолютной величине такой же, как при растяжении. Иное поведение материала на­ блюдается, если сжатию предшествовало растяже­ ние в пластической области. Предел текучести су­ щественно уменьшается (точка А*). Этот эффект называется эффектом Баушингера и объясняется остаточным взаимодействием между зернами ма­ териала после деформации растяжения.

18

/. 10. Модели упруго-пластических деформаций. Метод переменных параметров упругости

	Рис. 1.11. Влияние температуры: Т,< Т,< Т3
Рис. 1.10. Эффект Баушингера и принцип Мазинга	блюдается (например, часть сил действует ранее
	других, или, начав вместе, некоторые из сил пре­
Предел текучести в этом случае определяется	кращают свое действие, а остальные продолжают
	нарастать и т.д.), то такое нагружение называют
принципом Мазинга, в соответствии с которым	сложным, хотя нагрузка по количеству сил, их рас­
кривая деформирования при повторном знакопе­	положению может быть и простой. Простое и слож­
ременном нагружении совпадает с исходной кри­	ное нагружение не следует путать с простым (од­
вой, построенной в удвоенном масштабе:	ноосным) и сложным (когда два или три главных
	напряжения для рассматриваемой точки отличны
а ’т = а в ' 2 о т	от нуля) напряженным состоянием.
С ростом температуры практически для всех ме­	Деформацию в некоторой точке называют ак­
	тивной, если интенсивность напряжения для этой
таллов наблюдается снижение модуля упругости	точки в каждый момент нагружения имеет значе­
и предела текучести а (см. рис. 1.11).	ние, превышающее все предшествующие его зна­
Наиболее важными характеристиками сопро­	чения. В случае простого нагружения это проис­
тивления материала внешним нагрузкам являются	ходит при монотонном возрастании нагрузки. Если
пределы текучести и прочности. Предел текучес­	при деформации интенсивность напряжения мень­
ти характеризует сопротивление материала возник­	ше предшествующего его значения, деформацию
новению пластических деформаций. Так как пере­	называют пассивной.
ход от участка упругости к зоне появления
пластических деформаций для большинства мате­	1.10. Модели упруго-пластических
риалов носит плавный характер, то условились пре­
делом текучести считать напряжение а 02, соответ­	деформаций. Метод переменных параметров
ствующее значению остаточной деформации 0,2%.	упругости
В отличие от него предел прочности а в- напряже­	В теории пластичности используют две группы
ние, соответствующее разрушению образца. Обыч­
но предел текучести составляет (0,5...0,9)ав.	математических моделей поведения материалов. Их
Нагружение считают простым, если все компо­	называют теорией упруго-пластических деформа­
ненты нагрузок возрастают от нуля одновременно	ций и теорией течения. В первой группе устанав­
так, что соотношения между ними в любой момент	ливают связь между напряжениями и деформация­
времени сохраняются неизменными, т.е. все вне­	ми. Во второй - между напряжениями и бесконечно
шние силы возрастают пропорционально одному	малыми приращениями деформаций при бесконеч­
общему параметру. Сами нагрузки при этом могут	но малых приращениях напряжений. Достоинство
быть сколь угодно сложны: сосредоточенные силы,	моделей первой группы - простота, однако моде­
равномерно или неравномерно распределенные как	ли этой группы не описывают сложного нагруже­
по наружной поверхности тела и т.д. Если неизмен­	ния и не позволяют учитывать историю нагруже­
ное соотношение между внешними силами не со­	ния при определении пластических деформаций.

19

Глава L Основы диализа точностной надежности двигателей

Модели второй группы свободны от этих ограни­ чений, но более сложны в использовании. Они не будут рассматриваться здесь, с ними можно позна­ комиться в литературе по теории пластичности, например в [14].

В основе теории упруго-пластических дефор­ маций лежит экспериментально обоснованное представление о наличии однозначной зависимо­ сти между суммарными деформациями и напряже­ ниями в теле. Для изотропного тела эти зависимо­ сти имеют вид:

1 + ц	,	ч
- е 0 = - ^ ' - ( а * - ° о )
Е
1+ Ц	,	ч
е , - E 0 = - = - V - К - С Т о )
Е
1+Ц	,	Л
8 Г
Е		(1.34)
. 1 + ц
Ух>- = 2	ХУ

-1 + ц

у= 2 — —т

1ys Е *

YZX = 2 —

где в0 = (er+ ev+ ег)/3 - средние деформации; о 0= (G x+ о + су2)/3 - средние напряжения.

Экспериментально установлено, что пластичес­ кая деформация не приводит к изменению объема материала, которое пропорционально среднему напряжению. С учетом теплового расширения при изменении температуры:

1-2ц

8о ~	а 0 + а Т	(1.35)
	Е
В уравнениях (1.34) величина у называется па­
раметром пластичности и вводится как:
	3	(1.36)
	1 + 2ц

где и а - интенсивности деформаций и напряже­ ний (1.2), (1.11).

В теории пластичности часто используется ги­ потеза единой кривой, состоящая в том, что зави­ симость между интенсивностями деформаций и напряжений е, = Д с.) получаемая эксперимен­ тально при одноосном растяжении, остается неиз­ менной для любого напряженного состояния. Та­ ким образом, параметр пластичности, вообще

говоря, не константа, а функция интенсивности на­ пряжений.

Для того, чтобы понять физический смысл па­ раметра пластичности рассмотрим одноосное рас­ тяжение стержня. Все компоненты напряжения, кроме одной равны нулю. Пусть ох= а, тогда для интенсивности напряжений из (1.2) получаем а. = а. Если продольная деформация стержня ег = 8, то деформации в поперечных направлениях ev = -р*е и е, = -|ХФе . Здесь р* - коэффициент Пуассона для пластических деформаций, в случае упругих де­ формаций он равен (I. Для интенсивности дефор­ маций из (1.11) находим:

ег= 2 (1 + р ф)/3е.

Тогда для одноосного растяжения стержня по­ лучаем:

z?8	а *	(1.37)
У = Е - ~ = —
а	а

Здесь а* = Ес - условное напряжение, которое соответствует деформации е в случае, если бы тело было упругим (точка А* на рис. 1.9).

Таким образом, параметр пластичности можно интерпретировать как отношение напряжений в уп­ ругом теле к напряжениям в пластическом теле при одних и тех же деформациях.

На упругом участке кривой деформирования \|/ = 1. В этом случае уравнения (1.34) можно при­ вести к обобщенному закону Гука (1.16). Так, для рассмотренного выше случая одноосного растя­ ж ения стерж ня средняя деф орм ация равна е0 = е(1-2р)/3, среднее напряжение а 0 = а/3 и из (1.34) при \|/ = 1 получаем а = Ег.

Для математического описания кривой деформи­ рования а. =Де.) используют различные соотноше­ ния (модели) (см. рис. 1.12). Простейшая из них -

Рис. 1.12. Схематизация диаграммы деформирования

20