книги / Синергетика и усталостное разрушение металлов
..pdfмическому критерию разрушения гомогенных материалов. Однако при этом остается совершенно неясным смысл явления "плавления”.
Его интерпретация требует привлечения новых представлений теории конденсированного состояния, развитых нами в работе [14]. Предло женный подход, основывающийся на идее рассмотрения конденсирован ного состояния атомов как системы, сильно возбужденной над основ ным состоянием, позволяет единым образом описать упругое и пласти ческое поведение твердого тела, его течение и разрушение. Вчастности,
элементарные |
носители этих явлений представляю автолокализован- |
|
ные |
решения |
полевых уравнений, вытекающих из предложенной схе |
мы |
[14]. Вп. 2 изложено краткое описание упомянутых представлений. |
Рассмотрение эволюции ансамбля элементарных носителей разрушения реализует макроскопический уровень описания процесса в целом. При этом в соответствии с многообразием разновидностей процесса [2-4] представляются возможными различные сценарии эволюции системы. Оказывается, что наиболее адекватное описание этих сценариев дости гается не в реальном физическом, а в гипотетическом пространстве с
ультраметрической топологией. Изложение соответствующей фракталь ной теории приводится в п.3.
I. Термодинамический критерий разрушения1. К настоящему времени
сложились два подхода к определениютеоретической прочности кристал лов. Впервом, следуя Борну [15], предел прочности определяется из условия потери кристаллом механической устойчивости [16, 17]. Ма тематически это условие выражается в занулении одного из собственных значений матрицы эффективных упругих постоянных либо одного из собственных значений динамической матрицы [16, 18]. Борновский кри терий дает завышенную оценку теоретической прочности, поскольку раз
рушение кристалла может произойти задолго до потери им механической ус тойчивости. Вэтой связи Орован и Маккензи (см. [19]),а также авторы [20] получали теоретическую прочность, в 2-5 раз превышающуюэкс
периментальную.
Наряду с борновским существует и другой критерий прочности кристаллов, физически менее обоснованный и ясный. Он основан на предположении о связипроцессов разрушения и пластической деформа ции с плавлением (в [21] данный критерий назван термодинамическим). Вего рамках теоретическая прочность связывается с характеристиками плавления типа скрытой теплоты перехода. Поскольку последователь ной, логической схемы получения такого соотношения нет, данный кри терий получил самые различные математические формулировки [21—25]. Наиболее удачная из них [24] позволяет устранить существовавшее ранее расхождение в 2—5раз между теоретической и экспериментально наблю даемой прочностью кристаллов.
Успех термодинамического подхода обусловлен тем, что отнесенная к единице объема скрытая теплота плавления оказывается величиной того же порядка, что и предел прочности кристаллов, а деформация раз рушения соизмерима с величиной теплового расширения от данной тем пературы до температуры плавления [21]. Однако хотя применимость
1Параграф написан совместно с Г.А.Ольховик.
201
термодинамического критерия разрушения не вызывает сомнений, его
обоснование до настоящего времени отсутствовало. Вданном парагра фе предпринята попытка восполнить этот пробел.
Обратимся сначала к борновскому критерию. Существенно, что точ ка потери механической устойчивости решетки есть точка структурно го фазового перехода [18]. Поэтому данный критерий фактически ос нован на предположении, что внешняя нагрузка сначала вызывает струк турный переход, который в свою очередь инициирует непосредственно разрушение. При этом, однако, не конкретизируется тип превращения, более того, оно не обязано иметь характер структурного перехода. Ука занные совпадения характерных термодинамических параметров разру шения и плавления заставляют предположить, что в данном случае про является неустойчивость решетки относительно плавления.
В условиях негидростатической нагрузки следует, однако, иметь в виду определенную специфику процесса плавления [26]. Она связана с появлением ориентационной зависимости в химическом потенциале твердого тела,декартовы компоненты которого имеют вид
Hii - (и - Ts)8у - Поу, |
(1) |
где и, s - удельные внутренняя энергия и энтропия, Т —температура, 12 —атомный объем, —компоненты тензора напряжения. Условия термодинамического и механического равновесия на границе раздела
твердого тела и жидкости, задаваемой нормалью |
п, имеют вид [26] |
|
ццп{п{ = ц1, |
= -Р, |
(2) |
где fJ? =uI-T%+Р£11—химический потенциал жидкости, Р —давление. Рост внешних напряжений приводит к увеличению левых частей усло вий (2) до тех пор, пока они не выполняются для одной их плоскостей п =п0. Именно по этой плоскости происходит разрушение.
Для нахождения предела прочности в явном виде рассмотрим прос тейший случай упругоизотропной среды, подверженной одноосному рас тяжению о. Как нетрудно видеть, условия (2) впервые выполняются на плоскости, перпендикулярной оси растяжения, где они принимают вид
^ , |
о212* |
. |
ozSll |
- оП‘. |
(3) |
f _ (1-4.)— |
- оП* =/' - |
|
Здесь f3'1—модульные свободные энергии твердого тела и жидкости, 12*1- их атомные объемы, К, и - модуль всестороннего сжатия и коэф фициент Пуассона твердого тела (полагаем К3 К1=К).
Пренебрегая разностью 12,-12/ и принимая
/'- /* “ «О-Т/Тп), |
(4) |
где q = (s1s3)Tmскрытая теплота плавления, Tm—его температу ра,из (3) для предела прочности получаем
«1 = Г~~ Т-О-ТУТ'™). |
(5а) |
1- v 12 |
|
202
До сих пор полагалось, что процесс растяжения является изотерми
ческим. Вслучае адиабатического процесса в (5а) следует положить |
||
Т = 0, в результате чего получаем |
|
|
Я_ |
(56) |
|
а |
||
|
Найденное значение хорошо согласуется с эмпирическим критерием [25]
о2= 2Eq/Sl, |
(ба) |
если учесть, что |
1/(1-у) «1,4. Сравнивая (5а) и (56), видим, что ос < |
<oad. При этом |
если ос в точке плавления обращается в нуль, то |
остается конечной величиной <*>qll2.
Дальнейшее уточнение (56), получаемое при выходе за рамки при
ближения [4], приводит к соотношению |
|
|||
= |
п“(ч +я*г - н'т)’ |
|
(5в) |
|
где Н’т- Н‘т =- / |
(С' -q,)dT, |
—теплоемкости фаз. Оно хорошо |
||
согласуется с феноменологическим выражением [23] |
|
|||
2_ |
Е |
Н5Т |
|
(66) |
* (1-*>2) Л |
|
|||
|
|
|||
вытекающим из (5в) в предположении q - Н1Т = 0. |
предела упру |
|||
В табл. 1приведены данные расчета изотермического |
гости ряда металлов [27—31]. Хорошее совпадение с экспериментом, как и в [24], имеет место для железа и кадмия; для других металлов рассчитанные значения пределов упругости в 3—10 раз превышают экспе риментальные. Это объясняется тем, что нитевидные кристаллы кадмия и железа имеют наименьшие диаметры: согласно [24], однородное рас пределение упругой энергии характерно лишь для образцов с диаметром 1мкм. Приведенные результаты согласуются также с расчетами [24], проведенными по эмпирической формуле
o=-^-(<7+#f). |
(6в) |
Такое совпадение представляется на первый взгляд неожиданным ввиде явного различия (5а) и (6в), однако (5в) сводится к (6в), если
в нулевом порядке принять oad =E(q+ Н^-Н^)/2(l-v)(q + HST), Для кадмия критерий (6в) предсказывает теоретическуюпрочность, мень шую реально достигнутой, нашподход лишен этого недостатка. Из табл. 1 видно, что критерий (6а) и (66) приводят к значениям предела упругос ти, в 1,5—2 раза превышающим наши. Для кадмия же (66) дает значе ние, превышающее наше в 5 раз; данное обстоятельство указывает на его ограниченную применимость.
Равенства (5а)-(5в) применимы также и к упругоанизотропным те лам, если растяжение-сжатие происходит вдоль кристаллографических
203
Таблица 1
Экспериментальны и теоретические величиныпредела упругости нитевидных бездефектных кристаллов
|
Эксперимент |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
Теоретический расчет,МП |
|||||
Металл |
Направле d,мкм |
о,МПа |
Анизо |
Упруго- |
[24] |
[25] |
[23] |
|
|
ние |
|
|
тропия |
изотроп |
|
|
|
|
|
|
|
|
ное при |
|
|
|
|
|
|
|
|
ближение |
|
|
|
Ag |
(001) |
3,8 |
1730 [28] |
6411 |
7700 |
7360 |
13 351 11524 |
|
|
(111) |
_ |
_ |
8604 |
||||
А1 |
|
|
|
|
||||
(100) |
- |
- |
5876 |
5858 |
5292* |
12 369 |
8937 |
|
|
(111) |
_ |
_ |
6136 |
||||
Аи |
|
|
|
|
||||
(100) |
- |
- |
6926 |
8587 |
7985 |
13 743 11 838 |
||
|
(111) |
_ |
2940 [29] |
9546 |
||||
Си |
|
|
|
|
||||
(100) |
- |
- |
11507 |
14 121 15 840 |
21 588 18 228 |
|||
Ni |
(111) |
1,25 |
2940 [28] |
16 043 |
|
|
|
|
<100) |
- |
- |
22 680 |
25 250 19 698* |
31 955 29 792 |
|||
o-Fe |
(111) |
_ |
_ |
30 263 |
|
|
|
|
(100) |
- |
- |
15 617 |
17 383 19 820 |
30 681 33 712 |
|||
|
(111) |
1,6 |
13 150 [28] |
18 850 |
||||
Zn |
4177 |
3728 |
11922 |
|
||||
(0001) |
- |
358 [30] |
- |
|
||||
Cd |
(1120) |
0,25 |
2840 [31] |
2999 |
2260 |
6680 15 993 |
^Вычислено авторамипо формуле [24].
направлений высокой симметрии. Дня кубических кристаллов такие на правления ориентированы вдоль осей типов <100) и Oil). Для иллюст рации эффекта упругой анизотропии приведен микроскопический рас чет зависимости (5а) для натрия при сжатии его в обойме по осям (100) 011) и гидростатическом сжатии.
На рис. 1 видно, что температура плавления при одноосном сжатии (2 и 3) сначала растет вместе с о, а затем падает, при этом меньшие тем пературы плавления соответствуют более жесткому направлению <111). Вслучае гидростатического сжатия (7) расчет предсказывает рост тем
пературы плавления с давлением, который прекрасно согласуется с экс периментальными данными.
2. Микроскопическая трактовка процесса разрушения. В обычных условиях при нагрузках а< ос и температурах Т < Тт атомы твердо го тела, образующие периодическую структуру, участвуют в колебатель ном движении и очень редко совершают диффузионные перескоки меж ду узлами решетки. При этом их движение определяется двумя коллек тивными модами: реактивной фононной модой, обладающей тремя акустическими ветвями w„ = с„к, где п - 1,2,3 —индекс поляризации,
204
w частота, к —волновой вектор, сп - скорость звука, и слабо выра женной диффузионной модой wd - -iDk2f где/)-коэффициентдиффу зии, носящей диссипативный характер [14]. Бозе-конденсат статических фононов, отвечающих wn -*• 0, является переносчиком дальнодействующего упругого поля.
Сростом температуры и нагрузки до значений Тт, ас проявляются эффекты течения среды, приводящие к экранировке упругого поля. При
Рис.1. Зависимость температуры плавления натрия от нагрузки 1 —гидростатическое давле ние; одноосное сжатие вдоль
оси:2 - <100>,3 - <1И>
этом закон дисперсии поперечной ветви фононов принимает вид [14]
Wj=±ctky/l-(Kt/2Kf-iflTt, |
(7) |
гдехарактерные величинызадаются равенствами: |
|
с\) = д/р, |
(8) |
М—модуль сдвига, р —плотность среды, т? - динамическая сдвиговая вязкость. Если в коротковолновой области К >Kt закон дисперсии (7) сводится к обычному акустическому виду, то в длинноволновой (К < < Kt{2) поперечные фононы перестраиваются в диссипативнуюмоду
wd = |
, отвечающую течениюсреды. Вмакроскопическом проявле |
|
нии это |
означает полную экранировкув размывании |
упругого поля на |
расстояниях,превышающих характерную длину |
(9) |
|
\ = 4n/Kt-4‘nctTts4Ttri/y/pp. |
Видеально упругой среде (л = *») упругое поле, как и следовало, явля ется дальнодействующим (X= <»), а с ростом температуры и нагрузки величина Хсо7?(Г, о) спадает до конечныхзначений.
Описанные изменения касаются перестройки в коллективном пове дении атомов. Их одночастичные состояния характеризуются энергией элементарного возбуждения атомного типа, которая, согласно концеп
ции Ландау,задается в виде
u(T,t)= 8E{n(r,t)}l8n(r,t). |
(10) |
Здесь Е\п (г, г)] —полная энергия системы, задаваемая пространст венно-временным распределением атомов л (г, t), Очевидно, зависи
мость и (г, Г) представляет пространственное распределение потен-
205
циальной энергии "пробного атома” в момент времени t. Если атомы взаимодействуют между собой посредством п частичных потенциалов Vn (т1гг2...г„), то потенциальный рельеф м(г, г) связан с ними равен
ством |
[14] |
|
|
|
u(rvOs *at('.0 |
4г |
S Vn+i(*>*i (0, |
(11) |
|
|
|
»а1п |
fnI |
|
где |
(г, г) - внешний потенциал, суммирование проводится по всем |
положениям атомов [г* (Г)} в данный момент времени.
Поскольку мы интересуемся макроскопическим поведением системы атомов,то в соответствии с изменениемнабора ихкоординат{Г/ (Г)}мож но разбить величину и (г, Г) на две части. Первая из них U(г) меняется на макроскопических временах, намного превышающих дебаевское т,.
Вторая часть и (г,г) быстро флуктуирует за времена t < ту. Если при сла бом возбуждении системы Т, о< Ттос этими флуктуациями можно пре небречь, то при Т, а ~ Ттос имеем 17/(г)| /г, t) и детерминирован
ное описание системы атомов теряет смысл. При этом становится воз можным только макроскопическое представление величин, усредненных на отрезке времени . Следуя [14], полагаем, что выполняются ус ловия применимости эргодической гипотезы и от средних по времени можно перейти к средним по ансамблю[[/(г)} нефлуктуирующих по тенциальных рельефов. Согласно [14, 32], в стационарном состоянии распределение по этому ансамблюзадается функционалом
S>ltf(r)l~exp[-V\U(r)IQ]\ |
(12) |
где V\IT(t)\ —синергетический потенциал, параметр Q задается интен
сивностьюфлуктуацийи (г,t).
Параметр перестройки вязкоупругого поведения среды задается
обычным равенством |
Sirlr) |
|
|^(г)|2= Шп |
* |
|
Ir'-r|- |
S(г,г) |
|
S^t) =<6£/(r')6tf(r)>, |
(13) |
где SU(г) = f/(r)-( U(г)>,угловые скобки —усреднение по распределе нию (12). Вслучае 0(г) = 0 потенциальный рельеф <С/(г) >случайным
образом флуктуирует около среднего значения <С/(г) >с характерным
отклонением |ы(г, f)| ~y/QTf. При ф(г) Ф0 распределение U(г) коге рентным образом перестраивается на макроскопических расстояних. В пределе возможны два типа такой перестройки: 1)с изменением внеш
них условий дисперсия <(и(г, f))2>меняется слабо, тогда как вид са мой зависимости и(г, Г) —существенно, например, уменьшаются харак терные значения ее амплитуды и кривизны; 2) среднее значение <м(г, О
почти не меняется, но растет дисперсия <(и(г, г)2). Первый случай от вечает изменению упругих свойств среды, например размягчению мо дулей, величина которых пропорциональна кривизне рельефа. Расширение
ансамбля рельефов fu(г,t) I до значений <(iT(r,f))2 >~<u(r, f)">2 во вто
206
ром случае означает переход к безактивационному перемещению ато мов,характерномудля текучего состояния.
На рис. 2 представлена схема, иллюстрирующая даннуюкартину пе рестройки рельефа. Нетрудно заметить, что обеим указанным ситуациям отвечает разрыв межатомных связей.
В рамках представленной схемы параметризация вязкоупругой сре ды достигается использованием пространственно-временных зависимос тей параметра среды ф(г, t), играющего роль параметра порядка в обыч
ной схеме фазовых превращений, и упругой составляющей скорости те чения среды и(г, г), представляющей пространственные компоненты векторного потенциала калибровочного поля, сопряженного с парамет ром ф (14). Используя стандартную теоретико-полевую схему, для ука занных зависимостей в стационарном случае получаем уравнение
(f/X)2V2* =~(1-и2)ф+ \ф\*ф, |
(14а) |
V2v = |*|2и, |
(146) |
где величины ф, v отнесены к своим максимальным значениям, расстоя ния измерены в единицах длины X,f - корреляционная длина,указываю щая масштаб изменения величины ф(т) в пространстве.
Всоответствии с качественной картиной, изложенной выше, в отсут ствие перестройки среды (ф= 0) уравнение (146) дает тривиальное ре
шение v |
= 0, отвечающее идеальной упругости. Вперестраиваемой сре |
|
де (146) |
дает, как и следовало, зависимость |
и (г), экспоненциально |
спадающуюна расстояниях ~Х. |
(14а) определяется соот |
|
Характер решения материального уравнения |
ношением величин Xи f. Вхрупких материалах, к которым относится большинство используемых в практических приложениях, глубина про
никновения упругого |
поля X rj намного превосходит корреляционную |
||
длину f перестройки потенциального рельефа. |
при |
||
В полной |
аналогии со сверхпроводниками второго рода [33] |
||
этом имеют |
место |
автолокализованные решения аксиального |
типа, |
представленные на рис. 3. Они отвечают сосредоточенным в одной крис таллографической плоскости дискообразным областям, обладающим центральным провалом параметра порядка ф в радиусе ~£. Всвоюоче редь, каждая такая область погружена в гораздо больший участок ра диусом ~ X, в котором локализовано пластическое течение кристалла. Поскольку уменьшение параметра ф(т) означает ослабление межатом ных связей, а область пластического течения всегда локализована вблизи очага разрушения [1—5], то естественно идентифицировать найденное решение как элементарный носитель хрупкого разрушения. Имея в виду, нарушение межатомных связей, назовем такое образование фрустроном.
Для материалов, удовлетворяющих условию X> ?, область сущест вования фрустронов отвечает внешним нагрузкам о, заключенным меж ду значениями
(15)
где критическое значение ас определено в параграфе 1 (см., например,
207
Рис.2. Схемятичныйвидпотенциального рельефав различныхслучаях упруговяэкой среды
а —идеально упругий кристалл: 1—мягкий, 2 —жесткий; б - текучая среда
Рис.3. Радиальное распределение потенциального рельефа (а), параметра его пере стройкин полятечения (5)и модельфрустрона (в)
Рис.4.Схемацепочечного объединения фрустронов
[5]). При а < aCi фрустроны нестабильны, в случае а> oCi они слива ются в гомогенную ’’фазу”,т.е.происходит разрушение.
Разумеется, в реальном кристалле фрустроны не являются единст венными носителями процесса разрушения. Всвязи с тем что они хоро шо выражены как таковые лишь в хрупких телах, где велико отноше ние определяемое сдвиговой вязкостью jj, фрустронный меха
низм превалирует при хрупком или квазихрупком разрушении. При этом следует иметь в виду, что действие данного механизма важно толь ко на микроскопическом уровне, где также следует учитывать наличие
208
дислокаций, дисклинаций, точечных дефектов и т.д. При переходе на
более высокие |
уровни деформации включаются носители процесса |
типа зерен,пор и |
т.п. |
3. Фрактальная теория разрушения. Многочисленные эксперимен тальные данные показывают [2], что при наложении циклической нагруз ки на первой стадии разрушения формируется высокодисперсная бо роздчатая структура, распределенная в соответствии с картиной напря женного состояния образца. Если имеется концентратор напряжений
(надрез), то подрастание инициированной им макротрещины осущест вляется за счет скачкообразного присоединения отдельных бороздок,
которые, очевидно, представляют кластеры фрустронов и других носи телей разрушения, объединенные в соответствии с напряженным состоя нием.
Вгомогенных условиях происходит объединение бороздок в более крупные образования, в течение которого, в частности, реализуется переход от механизма микросдвига к микроотрыву. При своем росте на данной стадии макротрещина мгновенно проскакивает весь объем металла, где была сформирована указанная ячеистая структура. При
этом формируется вторичная ячеистая структура на фоне уже сущест вующей. Данная стадия, имеющая место в определенном интервале
коэффициента интенсивности напряжения К <=оoll!2,a - приложенное напряжение, I —длина трещины, переходит с ростом в стадиюмакро скопической нестабильности. Здесь наблюдается ямочный рельеф изло
ма,связанный с проявлением пластической деформации.
Как показывают данные по акустической эмиссии (см. [2]), процессусталостного разрушения протекает не плавно, а скачкообразно - с раз витием структурных изменений, предшествующих разрушению, обра
зец испускает короткие импульсы, различающиеся по интенсивности и час тоте.
Переходя к трактовке изложенных данных, |
отметим |
прежде всего, |
что представляются возможным два сценария |
эволюции |
ансамбля эле |
ментарных носителей разрушения фрустронов, дислокаций и т.д. При не очень высоких значениях сдвиговой вязкости т?, когда реализуется квазихрупкое разрушение, высота активационного барьера Qc, который необходимо перевалить системе для объединения фрустронов, не очень велика в силу сравнительной малости характерного значения коэффи
циента интенсивности |
напряжений Кс ~ ос = |
‘"ft)- |
|
Поэтому |
с заметной |
вероятностью Pn ~ ехр(0Лу:Г) возможно флукту- |
|
ационное |
образование |
кластера, содержащего |
большое число фрустро |
нов N.
Такой процесс исследован в рамках неравновесной термодинамики ранее [14]. Показано, что при достижении некоторого критического значения кластер фрустронов становится генератором энергии, что оз начает переход трещины в атермический режим распространения, т.е. начало разрушения.
Исследуем далее случай больших т], когда становится практически невозможным образование выделенного кластера с N > 1. При этом наиболее вероятным представляется цепочечный процесс образования атермического кластера: с вероятностью Рх ~ exp(-Q/T) фрустроны
Чг14.Зек. 1067 |
209 |
объединяются попарно, затем с той же вероятностью пары ооразуют чет верки и тд. (рис.4).
Нетрудно видеть, что если при образовании TV-кластера, реализующем ся в случае небольших tj, малость отношения Ppf/Pi ~Р\ связана с пе ремножением единичных вероятностей Рх, то цепочечный процесс харак теризуется их суперпозицией и дает гораздо большее значениеР^/Рх Это приводит к изменениюкинетики процесса разрушения: если вероят
ность отсутствия за время t флуктуационного образования TV-кластера характеризуется дебаевской зависимостью P1(f)~exp(—Т/г0), где г0 - микроскопическое время, то для соизмеримости отвечающего ему вре мени зарождения кластера tN= —То\пР„ ~TVlnPf1 с характерным вре менем цепочечного процесса ~t0/Pn требуется положить, что кинетика последнего задается совершенно отличной от дебаевской зависимостью Pn{t) ~ T0lt. Использование фрактальной теории позволит полу чить этот результат и его обобщения последовательным образом.
Для количественного описания эволюции ансамбля фрустронов вве дем гипотетическую координату х, значения которой отвечаю различ ным кластерам фрустронов в течение времени t. Как следует из рис, 4, в рамках предложенной схемы объединение (удвоение) кластеров про исходит в дискретные моменты времени tj, интервалы At/ = t/—t/_i между которыми увеличиваются. Будем характеризовать кластеры в промежутке At/ набором координат \Х/\. Тогда каждый элементар ный акт удвоения задается отображением x/+l = f (х/) координаты X/ в xy+i, причем, как видно на рис. 4, обратное ему X/ = / _1(ху+1) явля ется неоднозначным. По аналогии с теорией турбулентности [25, 34] аппроксимируем данное отображение зависимостью
х/+1= 1-axj, |
(16) |
характеризуемой единственным параметром. Его нижнее критическое значение Ах, отвечающее образованию самого крупного кластера, опре деляется условиями X/ =f(x/), dx/+l/dx/-l, взятыми в момент обра зования этого кластера.Используя (16),получаем Ах=314.
Для определения следующих значений параметра Апроведем отобра жение (16) дважды. Нетрудно видеть [34, 35], что с точностьюдо квад ратичных членов по х/ получающемуся отображениюxJ+2 =/ (х/) можно придать вид (16),если провести масштабное преобразование
X/—►(!-а)х/, а—►</>(д). = 2а2(а -1). |
(17) |
Повторяя эту операциюп раз, получим ряд последовательных отображе |
|
ний того же вида |
|
1~апХ/, an=tp(an_l). |
(18) |
Неподвижные точки этих отображений отвечаю объединению 2й клас
теров. Соответствующие значения А„ определяются решением |
цепоч |
|
ки уравнений |
Аг =<р(А3), А„_1=<р(Ап). |
(19) |
Ai=v>(A2), |
||
Впределе п -+«» |
получаем [34, 35] |
(20) |
Аво-А„'~8п, |
8 = 5,73, А„^1,37. |
210