книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfп* (V2 хТф)=<т"VJ е 5„. |
(1.5.46) |
Статическая часть смешанных граничных условий (1.3.52) и (1.3.53), представленных в табл. 6 и 7, также записывается через тензор функций напряжений Тф:
з
(V2xT®)-Tn = р"У^б5’)„или V s e S ^ ; |
|
■х[(У2хТф)-в]хв=тпУ5б5„или VJ E 5w. |
(1.5.47) |
Кинематическая часть этих условий может быть задана с помощью формул Е.Чезаро, представляемой за счет подстановки определяющего уравнения (1.5.28) в (1.2.89) в виде
Тя- < и 0 + Тш0- ( х - х 0) - |
) (х - у )х Vx |
T.-(V2 x T j . < /y |
К |
X |
|
|
|
+ J Ts-(V2 х Тф) ■dy >=npV s e S xu\ |
|
||
X0 L |
|
|
|
n x < u 0 +Тш0 ( х - х 0) - |
j ( x - y ) x ] V x |
4 |
(1.5.48) |
T«-(V2 x Тф )-rfy |
|
||
|
*0 |
|
|
T » (V 2 xTe ) dy>*u = nxV s e S pu,
X n L
либо в другом виде после аналогичной подстановки в (1.2.167)
V < v 0 +T w0 ( х - х 0) - / (x - y )x jV x |
Т» ‘(V2 хТф )’dy > + |
|
|
X, |
|
|
|
X |
d y > = \ p' i s e S xv\ |
|
|
T**(V2 xT® ) |
|
||
X n |
' |
|
(1.5.49) |
|
" 4 * |
||
nx<V 0 + Tw0 • (x —x о) —J (x - y)x <V х |
|
||
Т » - ( 7 2 х Т ф М у |
|
||
X |
dy>xn = \ xV s e S pv. |
|
|
T.-(V2 xT*) |
|
||
X0 |
|
|
|
При кинематических граничных условиях полный вектор переме щения на поверхности Su или полный вектор скорости на поверхности S, могут быть заданы своими касательными и* или V ' и нормальными и' или \ р составляющими к этим поверхностям (1.5.48) или (1.5.49) со-
141
ответственно. Либо для поверхности Su они задаются с помощью (1.2.89) и (1.4.19)
|
0 " ( х ~ х о ) - |
i (*-уЫ Vx |
Ts(V2 xT0).rfy К |
||||
“о+тш |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Хл |
|
|
|
(1.5.50) |
|
|
Тs•(Vj хТф) |
|
|
|
||
|
+ / |
dy = m”\ / s e S u, |
|
||||
а для поверхности Sy- с помощью (1.2.167) и (1.4.19) |
|
||||||
0 |
0 |
|
х |
г Г4 . |
2 |
>+ |
|
V +Tw-(x-*o)- J(x-y)xjVx Т,-(У хТф)-</у |
|
||||||
|
|
|
х0 |
|
|
|
(1.5.51) |
|
|
|
|
d y =V*V.reSv. |
|||
|
] Г т ; . ( у 2 х т ф) |
|
|||||
|
XAL |
|
|
|
|
|
Обозначения параметров, входящих в формулы (1.5.48), (1.5.50), (1.5.49) и (1,5.51), совпадают с обозначениями этих же параметров в формулах (1.2.89) и (1.2.167) соответственно.
1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов
Среда М-опытов, направленных на определение механических свойств металлов, используются процессы ОМД, для которых априори известна схема НДС. Наибольшее распространение среди таких про цессов получили испытания образцов на одноосное растяжение или сжатие и кручение. Кинематические параметры первых двух процессов при однородной деформации образцов из несжимаемых материалов, полученные в п. 1.2.6, представлены в табл. 10.
Если требуется определил» механические свойства деформируемо го металла, практически несжимаемого в исследуемом процессе ОМД, в зависимости от степени и скорости деформации, то для условий мно гих таких процессов в соответствии с постулатом макроскопической определимости испытания M -образцов из этого металла могут быть сведены к их растяжению или сжатию (1.2.168) при постоянном значе нии интенсивности сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161). Для обеспечения в испытаниях плоской деформации (к = 2) используют об разцы в виде тонкой, широкой полосы; для обеспечения осесимметрич
ной деформации (к = >/з) - в виде круглого цилиндра, для объемной
деформации (к = ) - в виде прямоугольного параллелепипеда (табл.
142
10). Испытания с фиксированной скоростью деформации (1.2.168) можно осуществить на кулачковом пластометре (рис. 34).
Т а б л и ц а 10. Кинематическиепараметры механическихнспытажй
Пара- |
|
Сжатие (h=ho-Ahf) |
|||
|
осесиммет объемное при |
||||
мет |
|
||||
плоское при ричное при |
hobol$=hbl; |
||||
ры |
hobb^hb |
|
|||
|
|
bol=bib |
|||
|
|
ш h ft |
|
||
Li |
|
|
|
|
|
L2 |
£ 2Ь . |
|
|
|
|
|
1 h |
|
|
|
|
Li |
|
Ез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
AhE2 |
|
|
h |
|
— - |
r |
||
|
|
|
2h |
|
|
Vi |
|
0 |
|
|
AhE, , |
|
|
|
— - r |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2h |
5i |
|
_ Дh |
f , |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
Дh |
f , |
ДЛ |
|
|
h |
J |
2A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
Растяжение (h =ho+Ahf)
плоское при |
осесиммет |
объемное при |
|
ричное при |
hobolb=hbl; |
||
hobb=hb |
h„F*=hie |
||
Ьь1~Ь1ь |
|||
|
|||
A0 |
|
|
|
E h _ |
|
|
|
E2 h |
■ |
Я |
|
|
|||
Ез |
|
|
|
|
h |
|
|
_ АкЕг r |
Ы Е г г |
||
h |
|
2h |
|
|
|
||
0 |
|
AhE* |
|
|
— - r |
||
|
|
Ih |
|
|
ДЛ r |
|
|
|
h |
|
|
_ Ah |
|
Д* f . |
|
h J |
|
2h |
|
0 |
|
|
Упражнение 1.5.10. Показать, что текущий радиус кулака пласгометра при изменении высоты образца по закону (1.2.117), определяемому функцией (1.2.168), обеспечивает выполнение условия Н - const -Н *, ес ли он рассчитан по формуле
+ Я*<р е~— —-1 +лБ» (1.5.52)
кш
где кп - передаточное число гидравлического редуктора; <р - текущий угол поворота барабана радиуса гБ; со - угловая скорость вращения ба рабана, со = <рIt. Знаку плюс в (1.5.52) соответствует растяжение, а знаку минус - сжатие О
143
Рис. 34. Пртщтиальная схема кулачкового пластометра: 1 - образец на раствжснис (вверху) или сж ат (внизу); 2 - гидрощиищдр; 3 - вертмсальиЛ шток с порываем;4 - Пфизонталыаьб1 шток с , что, несмотря на относительную кфостоту получения зависимости (1. положешмх; 7 - барабан(маховик)
Если дополнительно к приведен ным условиям требуется изучить влия ние на механические свойства гидро статического давления, то аналогич ные испытания можно выполнить на специальной установке (рис. 35), в ко торой образец деформируется за счет гидроэкструдирования связанной с ним заготовки переменного сечения.
Упражнение 1.5.11. Показать, что для обеспечения постоянства интен сивности сдвиговых скоростей дефор маций (Н=Н*) при испытании на уста новке, показанной на рис. 35, текущий диаметр Dz выдавливаемой гидроэкс трузией заготовки рассчитывается по формуле
|
Dz'=d |
кУя |
(1.5.53) |
|
Н > 0 ±*)’ |
|
|
Рис. 35. Схема устройства для растя |
где V„ - скорость истечения заготовки |
||
жения образца 1фи высоком гидроста |
из канала матрицы диаметром d; z - |
||
тическом давлетм: 1 —пресс-шайба с |
текущая высота рабочего участка за |
||
уплотним ; 2 - катйир; 3 - рабо |
готовки. |
|
|
чаяжнхкосгъ; 4 —опорная шайба; 5 - |
П о я с н е н и я |
к р е ш е н и ю . При |
|
образец;6-смлотмсрнгешлыйстакан |
|||
(меедоза); 7 - прессуемый исполни- |
Ei - h по данным |
табл. 10 получил, |
|
теш й элемент; 8-|ресеовая матри |
зн ач ен и е ск орости |
= V " , к отор ая и з |
|
ца;9 - прессуемый пруток |
|
|
|
144
условия постоянства потока материала заготовки связана со скоростью ее истечения из канала матрицы соотношением V*D \ = VHd 2 3
При осадке круглого образца из изотропного материала с посто янным объемом в условиях однородной осесимметричной деформации НДС характеризуется нижеследующими тензорами напряжений, де формаций и скоростей деформаций:
|
|
|
■- |
|
- е |
0 |
0 |
'0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
Т„ = 0 0 |
0 |
•т |
= |
0 1 . |
0 |
||
»1 8 |
|
||||||
0 |
0 |
- а |
|
|
0 |
2 |
-8 |
|
|
|
|
|
0 |
«■
|
о |
2 |
|
;т $ = о |
к |
0 |
2 |
0 |
—
* 0
0 |
(1.5.54) |
|
“ 4
|
|
|
|
« |
_ |
|
т |
|
Аналогичные параметры НДС при растяжении круглого образца в |
||||||||
таких же условиях имеют вид: |
|
|
|
|
||||
а О |
|
- е |
0 |
О |
5 |
0 |
0 |
|
|
•т |
|
1 |
|
|
|
(1.5.55) |
|
О О |
О '— s |
0 |
0 |
- к |
0 |
|||
»1 ( |
||||||||
О О |
|
|
2 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
О |
О |
0 |
|
|||
|
|
------- 8 |
- к |
|||||
|
|
|
|
2 . |
|
|
2 J |
В обоих случаях а - осевое напряжение, прикладываемое к дефор мируемому образцу, рассчитываемое по формуле ст = PIF с помощью площади поперечного сечения образца F и действующего на него уси
лия Р\ в - деформация изменения длины образца, 8 =— . Величины а и в определяются параметрами поведения границы образца, характери
зуемой величинами F и ^о. р,мпа
Сучетом (1.5.54) и /400
(1.5.55) |
из (1.5.31) или (1.5.42) |
т о |
|
||||
имеем: |
Д=— |
или |
* |
а |
|
|
|
и |
=— |
|
|
||||
|
38 |
|
|
|
3$ |
|
|
что позволяет |
с |
помощью |
|
|
|||
экспериментальной диаграм |
|
|
|||||
мы механического состояния |
|
|
|||||
металла при растяжении или |
|
|
|||||
сжатии |
определить |
зависи |
|
|
|||
мость |
функции |
состояния |
°*7 О? |
^4 0,5 0,0 о |
|||
среды ОТ степени деформации |
3^ Зависимость фунодш сосхомм среды ji от |
||||||
(рис. 36). |
|
|
|
стелетлефортаи 8 |
|
145
Другим распространенным способом испытания механических свойств металлов является кручение, при котором круглый образец под вержен действию крутящего момента М . При простом вручении, когда угол закручивания образца линейно изменяется по его длине, закон движения (1.2.9) в эйлеровых координатах Ер, Е9, Егимеет вид:
<f>E0Ez |
(1.5.56) |
L p - £ р ; L v = E v + - ! - £ - s L z = Et , |
где £ - длина образца; ф - угол поворота торца образца при Ег=£. Упражнение 1.5.12. Используя (1.5.56), показать, что при простом
кручении изотропного материала параметры НДС имеют вил:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
ф £ р |
; т 0 = 0 |
0 |
|
ф £ р |
(1.5.57) |
||||
|
|
и |
|
— - р |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
0 |
ф £ р |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
ф£ р |
|
0 |
|
и |
|
|
|
|
|
I t |
|
|
||||
. |
|
|
- - |
|
|
|
. . |
|
• |
|
||
П о я с н е н и я |
к |
|
р е ш е н и ю . |
Воспользоваться |
формулой |
|||||||
О.Коши (1.2.70) в цилиндрических координатах |
|
|
||||||||||
|
Э“ Р . е |
|
_ 1 |
Гди |
ф |
и |
ди. |
|
||||
*рр |
|
|
L +-L |
|
|
|
||||||
|
>^РФ ~ |
к ЪЕ |
|
|
|
|
||||||
|
ЪЕр |
|
|
|
'Р |
Ер 3£ф |
|
|||||
5фф |
1 |
ди |
Р .9 Z " _ |
|
|
ди, |
ди |
я> |
\ |
(1.5.58) |
||
|
|
|
|
ЕрдЕ, |
|
|
||||||
|
е р а я . |
|
|
дЕ*7 |
|
|||||||
% |
ди* . р |
|
_ |
ди„ |
|
ди. \ |
|
|
|
|
||
ZZ |
дЕг’>^*р - . |
дЕг |
|
дЕр J |
|
|
|
|
уравнением равновесия (1.4.18) в этих же координатах
fopp
дЕ,
да ФР
дЕ,
да ч>
дЕ,
1 |
aopy |
t ао рг |
| g PP ~ q qxp |
_ Q. |
Ер дЕф |
дЕ, |
|
|
|
1 |
да ФФ |
да ФZ + 2- фр = 0; |
(1.5.59) |
|
Ер a s . |
дЕ. |
|
|
|
1 |
Эоzw |
да |
|
|
|
— + —Н -+ 2 -Zp = 0, |
|
||
Ер а£ ф |
a£z |
£ |
|
соотношением (1.5.31) и отсутствием напряжений на цилиндрической поверхности образца 9
146
Параметры НДС в (1.5.57) не являются однородными и в общем
случае меняются в пределах |
R |
|
Ли |
—;0£<т_. >-ф— в интервале |
|||
* |
21 |
4 |
21 |
изменения эйлеровой координаты ОйЕрйЯ. Ясно, что в соответствии с условиями проведения М-опыгов не всякий образец может быть ис пользован при кручении в качестве М-образца. В частности, к большим погрешностям приводят испытания, в которых в качестве образца ис пользуются пруток или толстостенная труба. Для тонкостенных труб, подвергаемых кручению, вместо переменной сдвиговой деформации е?г используют ее усредненное по толщине t стенки трубы значение
I ^ |
1R—t |
t д_г |
(1.5.60) |
4£ |
Отсюда видно, что при R » t величина еф£ = -ф — . 21
С помощью метода мембранной аналогии Р.Бердг для кручения тонкостенных труб получил связь между углом поворота ф и крутящим
моментом М : ф= ^ , которая позволяет определить в (1.5.57) отлич- 4\и2£
Yт тт^4! —Т) |
----- — |
_и |
—П |
ные от нуля параметры НДС: е ? |
|
= — гт« где а Ф? “ Ус' |
|
|
*\и2е2 |
|
8t2t 2 |
редненное касательное напряжение, действующее в скручиваемой тон костенной трубе.
Трубчатые образцы используются также при испытаниях на на гружение внутренним и внешним давлением. Для цилиндрической тру бы относительно большой длины из однородного изотропного мате риала параметры НДС в цилиндрических координатах зависят только от текущего радиуса Ер. Так как к поверхностям трубы приложено
только нормальное давление, касательные напряжения а 9Р и |
равны |
|
нулю. Поэтому из (1.5.59) получаем |
|
|
дар |
= 0. |
(1.5.61) |
|
Уравнение (1.5.61) обращается в тождество, если его решение искать в виде
а р |
дФ |
(1.5.62) |
|
|
д Е Р |
Дополнительные условия для определения функции Ф(ЕР) должны быть связаны с соотношениями между параметрами напряженного и де формированного состояний. Причем, последние должны удовлетворять
147
уравнениям совместности тала (1.2.88) или (1.2.166). Соотношения ме жду параметрами НДС записываются в виде определяющих уравнений, зависящих от свойств деформируемой среды. Так, для линейно-упругой, однородной, изотропной среды в определяющем уравнении Р.Гука (1.5.2)
4
компоненты тензора T s по аналогии с (1.5.9) записываются в виде
sU&n =~ . |
X |
|
1 |
“ T^tk^jm +“ |
(1.5.63) |
||
2ц(ЗХ+2ц) |
4ц |
Точно так же, как из (1.5.9) и (1.5.1) было получено (1.5.10), с по мощью (1.5.63) и (1.5.2) получаем обобщенный закон Р.Гука для изо тропных сред в обратном по отношению к (1.5.10) визе
х
т*е S„ (1.5.64)
2ц(ЗХ+2ц)
В теории упругости эти соотношения обычно записывают через модуль
упругости Т.Ю нга д = ..**1i и коэффициент СуЦ.Пуассош v= — - — . Х.+Ц 2(Х+ц)
Тогда тензорную запись (1.5.64) можно переписать в следующей ска лярной форме
|
11Г |
1 |
)1 |
1 |
|
8 РР |
"в 1а рр |
|
+^фф IJ; ерф%2царф; |
|
|
|
__1_г |
/ |
1 |
1 |
|
ефф |
Л |
|
|||
1афф-П СТРР+<*22-)J;Sz |
2ц |
|
|||
|
Е |
|
|
|
|
ezz |
1г |
1 |
Л |
1 |
(1.5.65) |
\Pzz |
-v(aw +<7рр IJ; ezP - |
a zp* |
|||
|
Е |
|
|
2ц |
|
В связи с тем, что поперечные сечения нагружаемой внутренним и внешним давлением трубы остаются плоскими, осевая деформация е„ постоянна, а все остальные деформации являются функциями текущего радиуса Ер. Кроме того, при осевой симметрии трубы, изотропности и однородности ее материала, нет причин для появления сдвиговых де формаций. Поэтому условие Б.Сен-Венана (1.2.88) принимает вид
(1.5.66)
Подстановкой (1.5.62) в (1.5.66) получаем дифференциальное урав нение относительно функции Ф:
а 2Ф |
1 эф |
ф |
дЕр |
Ер дЕр |
(1.5.67) |
£ 2 |
148
общее решение которого Ф =АЕ0 +— |
позволяет определить с точно- |
v F |
|
ЙР |
|
стыо до констант компоненты тензора напряжений (1.5.62) |
|
а р |
(1.5.68) |
Неизвестные консганш А и В определим из граничных условий на поверхностях Sa: при EP =R имеем <yp= -pi, а при Ер- г имеем Подставляя эти условия в (1.5.68), находим значения констант А и В ,& с их помощью - напряжения
|
_ p2r2 - p lR2 . |
(P i-p2)R2r2 . |
|
Р |
R 2 - г 1 |
E lift - r 2) |
' |
|
р2тг - P\R2 . (Pi~P2)R2r2 |
||
Ф |
R 2 - г 2 |
£ * (я * - г2) |
(1.5.69) |
' |
Теперь на основе принципа суперпозиции параметров однородных НДС можно записать тензоры напряжений, деформаций и скоростей деформаций для сложной механической схемы деформаций (совокуп ность схем деформированного и напряженного состояний), получаемой растяжением или сжатием, кручением и нагружением внешним и внут ренним давлением круглой тонкостенной трубы. В дальнейшем всякое испытание механических свойств материалов, для которого известны параметры НДС, будем называть стандартным испытанием.
Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что соотношения между параметрами НДС, полученными при стан дартном испытании макрообразцов из различных металлов, могут быть использованы в расчетах параметров НДС для процессов просто го нагружения с произвольными механическими схемами деформаций, что подтверждает гипотезу единой кривой, обычно используемую при решении задач ОМД. Пример диаграмм механического состояния хро моникелевой стали, полученных А.М.Жуковым для различных соот ношений напряжений при испытаниях труб на растяжение с внутрен ним давлением, приведен на рис. 37. В общем случае такие диаграммы при одноосном растяжении (рис. 38) имеют несколько характерных учаспсов. На первом участке диаграмм, где 0^<т£<тпц, напряжение рас тяжения образца пропорционально деформации и его значение изменя ется в соответствии с линейным законом Р.Гука
ст= £ б. |
(1.5.70) |
149
Т9МПа
Рис. 37. Подтверждение ппотезы единой |
Рис.38. Обижйяидwaipamai а-е |
кртой при различных соотношениях растя- |
Далее при а > а ш соотношение между напряжением и деформацией становится нелинейным. Однако до значения о = от металл ведет себя как упругое тело, так как нагружение до а£<тт и разгрузка до снятия деформирующего напряжения происходят по одной и той же кривой без остаточной деформации после полного снятия нагрузки. При о = от начинается так называемая текучесть металла, при которой рост де формации осуществляется практически без изменения силовой нагруз ки. Для некоторых металлов можно наблюдать ярко выраженную пло щадку текучести. При напряжении о=От начинается пластическая де формация металла, при которой в результате полной разгрузки металл получает остаточную деформацию Еосг.
Напряжение <зт называется пределом текучести (в некоторых изда ниях это напряжение обозначают а,). Если на диаграмме механического состояния металла отсутствует ярко выраженная площадка текучести (рис. 39), то вместо от назначается условная величина Оуа, получаемая на диаграмме в точке ее пересечения с прямой, параллельной участку пропорциональности (1.5.70), исходящей из точки а = 0; е = еуСл. Поэтому напряжение <уусл называется условным пределом текучести. Величина ус ловной степени деформации еУсл в нашей стране'принимается равной 0,2% (еУсл = вод), а соответствующее ей напряжение оУсл обозначается со,2. В не которых странах значение еусл принимают равным 0,05% или 0,1% и тогда условный предел текучести обозначается соде или oo,i соответственно.
Разгрузка образца при произвольном уровне напряжения о за площадкой текучести диаграммы механического состояния осуществ ляется параллельно прямой участка линейной упругости. Если разгруз ка произошла полностью, то ее прямая пересекает ось деформации в
150