книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

ровании многослойного тела с учетом индивидуальных свойств слоев и граничных условий.

ш ь — ш а

Ы V Z A tZJ

У7/7777Л	Ш 1 П
а	S
7?7, ' S S / 'А	77?

'4А!ZJу. 'А1

в

Рис. 24. Сечения плакированных(о, £)и армированныхтел(а,г)

1.2.1Э. Кинематика сплошных сред с включениями

Вобласти Q рассмотрим движение сплошной композитной среды

М, представляющей собой объединение среды-окружения М а и не­

скольких сред-включений Мр. Пусть в этой области построено множе­ ство функций Lk, определяющих по формуле (1.2.95) поле скоростей среды-окружения. В областях Q pcQ , занятых средами-включениями,

множество лагранжевых координат Щ построим на множестве ла-

гранжевых координат Lk среды-окружения как на основном решении

L l= L k +<J>l(Lt ).

О-2-216)

Здесь корректировки Ф J и их необходимые производные на границах

Sap должны удовлетворять однородным граничным условиям для со­ хранения сплошности всей композитной среды. При этом изолинии

L \ = const и h \ - const, образующие границы Sp,	должны входить в
семейство изолиний Lk= const.
Из закона сохранения (1.2.10) среды-включения
л Р	(1.2.217)
-i* - =0
А
	si

по формуле (1.2.9S), представленной в виде (1.2.92), определим вектор скорости в области Ор:

(1.2.218)

где компоненты D f вспомогательного вектора Dp получаются так же, как и ранее (1.2.93), из якобиана

К	S L l dL* dL\
dEj “ mpq	(1.2.219)
	dEi дЕ-}

путем замены дифференцирования лагранжевых координат L \ по эй­

леровой координате Е, дифференцированием по времени t. Упражнение 1.2.22. Показать, что якобиан (1.2.219) связан с яко­

бианом JE (1.2.20) соотношением

^ = 1 Е(1 + Ф1р+Ф,р1+Ф(>П).

(1.2.220)

в котором

		ф I _
		р "	dLk
	ф " = i	ф п
	Р 2 V		dLm	dLj ^
	ф ш	ЗФр ЗФ? ЭФр			(1.2.221)
	Р	дЬ х	дЬ 2	дЬ ъ ’

Упражнение 1.2.23. Показать, что вспомогательный вектор Dp век­ тора скорости VP (1.2.218) в области движения среды-включения имеет вид:

D p =D(l + <I>p +Фр +ФрП),

(1.2.222)

где D - вспомогательный вектор поля скоростей (1.2.93), построенного на основном решении о

Подстановка (1.2.220) и (1.2.222) в (1.2.218) приводит к равенству полей скоростей среды-окружения и сред-включений

п

У *=у.

(1.2.223)

Однако, как будет показано в п. 1.3, вид поля скоростей (1.2.95) в этом случае зависит от свойств и геометрических параметров всех ком­ понент гетерогенного тела и в общем случае отличается от поля скоро­ стей, описывающего движение гомогенного тела при прочих равных условиях.

Таким образом, мы пришли к выводу, что любая корректировка лагранжевых координат Lk, построенная на них как На основном реше­ нии (1.2.216), в области движения композитной среды не приводит к необходимосги построения новых полей скоростей в областях движе­ ния каждой составляющей такой среды. Физически это объясняется тем, что корректировка в (1.2.216) предполагает отсутствие разрывов кинематических параметров на поверхности S ^ , разделяющей а- и р- среды. Однако в реальных условиях в общем случае такие разрывы до­ пустимы. В этом случае скорректированные лагранжевы координаты в областях Ор следует представлять в виде:

L l= L k + <t>l{Lj,Ej),

(1.2.224)

заменяя, при необходимости, в корректировке эйлеровы координаты на соответствующие основные лагранжевы координаты. Ясно, что при полной замене первых на последние из (1.2.224) получим (1.2.216).

Теперь проследим за кинематическим взаимодействием двух компо­ нент М а и Л/р сплошного композитного тела М =М аUЛ/р на их общей границе 5 ^ . Для этого назначим лагранжевы координаты так, чтобы граница Sa$ совпала с одной из изоповерхностей L ,= const. Тогда на основании (1.2.20) и (1.2.95) для обеих компонент тела М находим

=

= -— 1.

(1.2.225)

dt

Отсюда ясно, что нормальные к S<$ составляющие векторов скорости V х и V9 обеих компонент на участке L ,= const одинаковы и имеют вид

3L,

dt	(1.2.226)
К / —	дЦ
dL(

дЕк дЕк

Таким образом, в рассматриваемом варианте движения КМ на общей поверхности контактирующие компоненты КМ никогда не про­ никают друг в друга и никогда не отрываются одна от другой.

83

Учитывая, что отношение градиента лагранжевой координаты L, к модулю этого градиента равно единичной нормали п, к поверхности Soft, с помощью (1.2.167) определим тангенциальные к этой поверхно­ сти составляющие обоих векторов

	V f' = п* хУа хп(.;У^ = 11*xVp xn*,	(1.2.227)
где п,	® общем случае эти составляющие отличаются друг от

друга, что соответствует относительному проскальзыванию компонент КМ. Если же в какой-либо точке поверхности S«р наблюдается равен­

ство Va = Vp , то это означает, что в этой точке произошло сцепле­

ние компонент. При этом необходимо отметить, что сцепление являет­ ся необходимым, но не достаточным условием надежного соединения компонент КМ.

Контрольные вопросы

1.В чем единство и принципиальное различие лагранжевых и эйлеровых координат движущихся материальных частиц? Как отражается это отличие на записи параметров движения сплошной среды в обоих множествах координат?

2.Поясните физическую разницу между двумя равенствами нулю частной

иполной производных по времени характеристик движения в эйлеровых коор­ динатах.

3.В чем сходство и различие компонент тензоров конечных и малых де­ формаций?

4.В чем физический смысл диагональных и боковых компонент тензоров конечных деформаций Л Эйлера, Ж.Лагранжа и тензора малых деформаций?

5.Поясните физический смысл якобианов преобразования координат Ла­ гранжа и Эйлера, укажите пределы изменения значений этих якобианов.

6.На какие простейшие составляющие можно условно разложить всякое механическое движение и какими величинами характеризуются эти состав­ ляющие по теории малых деформаций?

7.Запишите алгоритм вычисления компонент вектора скорости по задан­ ному закону движения в эйлеровых координатах.

8.Какими параметрами характеризуются скорость поступательного движе­ ния и составляющие искажения во времени окрестности материальной частицы?

9.Чем в общем случае отличаются траектория материальной частицы и линия тока; когда оба эти понятия совпадают?

10.Как записывается условие неразрывности среды в эйлеровом и лагранжевом множествах координат?

11.Какие виды механического движения описываются вектором скорости

исоставляющими вектора скорости дисторции?

12.Какие типы граничных условий можно записать с помощью кинемати­ ческих примеров?

13.Каковы условия совместного движения компонент сплошной компо­

зитной среды?

84

14.Какие разрывные поля скоростей называются кинематически возмож­

ными?

15.Чем отличается кинематическое воздействие контактирующих слоев

многослойного тела в зонах их проскальзывания и сцепления?

16. В каких случаях кинематика КМ описывается единым для всего КМ и индивидуальными для каждой компоненты КМ полями скоростей?

1.3. СТАТИКА

“...занимается силами, их сравнениями и равновесием, как причинами движения...”

Л. Эйлер

1.3.1. Механическое силовое воздействие

Статика - раздел МСС, изучающий причины, вызывающие дви­ жение материальных объектов, без изучения самого движения.

В трехмерном декартовом множестве координат х, рассмотрим движение некоторого объема £2 сплошной среды М с поверхностью S, характеризуемой в пространстве х, единичной внешней нормалью п (рис. 25). Движение, рассматриваемое как механическое перемещение всего тела М и как взаимное перемещение материальных частиц т внутри тела (т е М ), есть результат некоторого внешнего воздействия на это тело и внутреннего взаимодействия его материальных частиц между собой. Мерой механического воздействия и взаимодействия яв­ ляется непрерывное силовое поле, определяемое как соот­ ветствие между вектором си­ лы Р и радиусом-вектором х каждой материальной час­

тицы тела М: Р =P(x,f). Силы, образующие сило­

вое поле, будем различать по двум типам классификации. К первому отнесем внешние и внутренние силы, а к второму - объемные и поверхностные силы. Внешние силы являют­ ся результатом воздействия на рассматриваемое тело М окружающей это тело среды.

Внутренние силы возникают Рис.25. Силовоевоздействиенасплошноетело

85

в самом теле М как реакция на внешнее воздействие. Объемные силы распределены по всему объему Q тела М , а поверхностные - только по его поверхности S. Объемные силы иногда называют массовыми сила­ ми. Объемные силы могут быть внешними и внутренними, а поверхно­ стные - только внешними.

К внешним объемным силам, например, относятся сипы инерции, силы гравитации, силы электромагнитной природы и др. Инерционная массовая сила, действующая на элемент объема dQ. с массой dm, дви­ жущегося с ускорением а равна d¥=adm . Инерционная сила, прихо­ дящаяся на единицу объема, с учетом (2.1.134), (2.1.142) имеет вид:

	dР	d \	(1.3.1)
	da	dt

Остальные массовые силы, приходящиеся на единицу массы, будем рассматривать как предел отношения части массовых сил </Р, дейст­ вующих на элемент объема dCl, к величине массы dm этого объема. В частности, к таким силам относятся силы гравитации и пондеромоторные силы, действующие на электрические заряды и токи, протекающие в рассматриваемой сплошной среде. В условиях земного притяжения гравитационная сила, приходящаяся на единицу массы, равна ускоре­ нию силы тяжести

1 </Р

(1.3.2)

рda

ис достаточной для рассматриваемых здесь задач точностью считается постоянным вектором. В некоторых случаях, например, при рассмот­ рении условий равновесия отливаемого в магнитный кристаллизатор металла, могут быть значимыми электромагнигаые массовые силы, от­ несенные к единице объема

FM= peEH+jxBM,

(1*3.3)

где ре - плотность заряда; Е* - вектор электрической напряженности; j - вектор плотности тока; Вм - вектор магнитной индукции.

Внешние силы, приложенные к поверхности 5 тела М с объемом £2 сплошной среды, называются поверхностными силами. Ясно, что под S в данном случае понимаются все участки значимого внешнего по­ верхностного силового воздействия.

Предельное отношение поверхностной силы ДРП, действующей на элемент поверхности AS с внешней по отношению к М единичной нор­ малью п, к величине этой поверхности при стягивании последней в точку называется полным поверхностным напряжением (рис. 26)

86

а и _	др"	(1.3.4)
	lim -=—
	AS->0 A S

Здесь и далее верхние индексы подчеркивают зависимость рас­ сматриваемой физической ве­ личины от ориентации элемен­ та поверхности, где действует эта величина. В частности, ин­ декс л в (1.3.4) указывает, что ДР" и о" действуют на элемент поверхности AS с нормалью ■ (1.2.169).

1.3.2. Формула О .Коши

Поместим начало координат базиса е, внутри тела М с объемом П сколь угодно близко к поверхности S (но не на самой поверхности). Коор­ динатные плоскости (рис. 27) отсекут от общего объема тетраэдр с объе­ мом AQ, ограниченным поверхностью AS и координатными площадками

AS, =ASn,,

(1.3.5)

где п, - направляющие косинусы (проекции на координатные оси х,) нормали а (1.2.169) поверхности AS. Выделенный элемент объема нахо­ дится во взаимодействии (с остальной частью сплошной среды Л/), ко-

Рис. 27. Выделениеэлементарноготетраэдраизсплошного тела

Г7

торое характеризуется внутренними для тела М силами АР' или связан­ ными с ними полными внутренними напряжениями на площадке AS»

определяемыми аналогично напряжениям (1.3.4)

а i	►	(1.3.6)

Здесь индекс » указывает, что индексированные напряжения и силы действуют на f-тых координатных площадках с площадью поверхности AS» нормаль в' которых параллельна оси х,.

Обозначим все действующие на тело М объемные внешние силы ти­ па (1.3.1)...(1.3.3), приходящиеся на единицу объема П, через F. Тогда из условия равновесия тетраэдра (рис. 27) АР"=ДР1+ДР2+AP3+FAfl с уче­

том (1.3.4)...(1.3.6) получим <т"	+F lim — . В связи с тем, что при
	&s-»o &s

ДА1-» 0 величина AQ-»0 на порядок быстрее, последнее слагаемое прирав­ ниваем нулю, а связь между полным поверхностным напряжением (1.3.4) и полными внутренними напряжениями (1.3.6) записываем в виде:

a " = a V				(1*3.7)
Спроектируем полное поверхностное напряжение (1.3.4)
				(1.3.8)
	и внутренние напряже­
	ния (1.3.6)
		d=<***k		(1*3.9)
	на координатные оси хк
	(рис. 28). В (1-3.9) пер­
	вый индекс величин стЛ
	совпадает		с индексом
	площадки AS» где дей­
	ствует	напряжение			&,
	второй -		совпадает		с
	индексом оси хк, на ко­
	торую проектируется это
	напряжение.			Подста­
	новкой формул (1.3.8) и
	(1.3.9)	в (1.3.7) получаем
	уравнение связи компо­
Рис. 28. Няпряжеашя, действующие на поверхностях	нент полного поверхно­
тстраэдря	стного	напряжения			с

компонентами внутренних напряжений, называемое статической фор­ мулой О.Коиш в скалярной форме записи:

а*к = и,аЛ. (1.3.10)

Покажем, что компоненты о* образуют тензор второго ранга, т.е. при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов (П 1.17) эти компоненты изменяются по закону (П1.26) при ранге и = 2.

Точно так же, как была получена формула (1.3.Г0) в базисе ек, для нового базиса е'-, повернутого относительно старого базиса е* с по­

мощью матрицы косинусов ((а,*)) (П1.17), получим

	4
° т - ° m j n j *	(1.3.11)

Учипавая, что ст" и п, являются компонентами векторов, принимая во внимание (П1.24), перепишем формулу (1.3.10): о.тка1п = а^и^ст,к.

Теперь умножим обе	части	этого	равенства на		л т а р,а „ =
= v.jiv.pkn'j<3ik. При этом в		левой	части	вследствие	(П1.20) имеем
5тра т = ар ’ Поэтому	а р =a jia pkn'jcslk.			Сравнивая последнее вы­
ражение с (1.3.11), устанавливаем
	a Jpx a jia pk0 ik>				(1.3.12)

что соответствует закону (П1.26) преобразования компонент тензора второго ранга Te = [[о,*]], который называется тензором напряжений.

Окончательно формулу О.Коши (1.3.10) можно представить в тен­

зорной форме записи
о" = п-Т„.	(1.3.13)

В математической постановке задач ОМД наряду с полным по­ верхностным напряжением о* используются проекции р" и т" этого напряжения на направление нормали а к площадке AS и на саму пло­ щадку соответственно (рис. 28). Первая проекция р" называется нор­ мальным поверхностным напряж ением. Модуль этой проекции, как известно из векторной алгебры, находится путем скалярного умноже­

ния о" на п:
p ^ - c f ’n.	(1.3.14)

Сам вектор р" получается умножением (1.3.14) на в. Тогда с учетом формулы О.Коши (1.3.13) получим

«9

3

(1.3.15)

где использована символика р-скалярного умножения (П1.33) тензора 3

напряжений Тв на тензор третьего ранга Т п (1.2.172).

Вторая проекция тл называется касательным поверхностным на­ пряж ением. Такое напряжение можно найти векторным вычитанием (1.3.15) из (1.3.13)

тл= о л-р ,и.

(1.3.16)

На основании (1.2.174) получается другая, эквивалентная (1.3.16), формула для определения тл без промежуточного вычисления нор­ мального напряжения:

т',= п х а лх||.

(1.3.17)

Спомощью (1.3.13) и (1.3.15) формулу (1.3.16) можно представить

ввиде, в котором тл полностью определяется тензором напряжения Т„

иединичной внешней нормалью п. К аналогичному виду с помощью формулы О.Коши (1.3.13) приводится формула (1.3.17). Однако эта ви­

ды записи касательного напряжения тл здесь не приводятся, так как в следующем пункте будет показано, что для расчета поверхностного ка­ сательного напряжения тл достаточно использовать не весь тензор на­ пряжения Т„, а лишь его девиаторную часть.

1.3.3. Тензор напряжений

Напряженное состояние в окрестности материальной частицы т деформируемого тела М характеризуется тензором напряжений Тп. В зависимости от размерности N пространства N, где расположено тело

М , различают объемное (N =3), плоское (N=2) и линейное (N - 1) на­ пряженные состояния.

Из рис. 28 следует, что боковые компоненты о* 0*&) тензора Т„ являются касательными напряж ениями на координатных площадках

AS„ а его диагональные компоненты ( i- k ) - нормальными напряжения­ ми, действующими на этих площадках.

Тензор напряжений поворотом множества координат можно при­ вести к диагональному виду

То,		О
Тс = О	ст2	О	(1.3.18)
О	0	о 3

90