книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfХарактерные зависимости остаточных пластическихдеформа ций е”п вдоль радиуса пластины на внутренней (кривые 1) и внеш ней (кривые 2 ) поверхностях оболочки, рассчитанные по выше изложенной методике (сплошные линии) и методике шаговой линеаризации (пунктирные линии) [41], представлены на рис.3 .3 4 , а, б, в для h/R= 0,0125 при различной начальной скорости й\ = =300, 200,100 м/с в момент времени /, = 16.
161
Кинетика пластических деформаций для h/R= 0 ,0 1 2 5 и = = 300 м/с в моменты времени = 1,2 ,4 показана на рис. 3.35,а, 5 ,в соответственно.
«)
Рис. 3.35
Из приведенных результатов следует, что с увеличением началь ной скорости нагружения (увеличением максимальных переме щений) остаточные пластические деформации увеличиваются и становятся немалыми (достигают 2 0 %).
162
На рис. 3.36 показана относительная разность максимальных
перемещений 8 = (wj* - м3*) • 1 0 0 % /м " (и " - максимум пере мещения при расчете по методу шаговой линеаризации, и*г - мак симум прогиба при расчете по вышеизложенной методике) взави симости от начальной скорости ц®. Кривая 1 соответствует h/R=
= 0,0125, 2 - h/R= 0,00625. Видно, что с увеличением началь ной скорости нагружения наблю
дается расхождение результатов |
|
|
расчетов, полученных на основе |
|
|
метода шаговой линеаризации и |
|
|
при учете геометрической нелиней |
|
|
ности в рамках квадратичного ва |
|
|
рианта нелинейной теории упру |
|
|
гости, поскольку пластины полу |
|
|
чают не только большие прогибы, |
100 |
200 |
но и деформации. Увеличение тол |
Рис. 3.36 |
|
щины оболочки приводит к более |
|
|
быстрому увеличению относительной разности максимальных пе ремещений 8 .
Проведен сравнительный анализ решений, полученных по мо дели с разложением в ряд и модели типа Тимошенко для жестко защемленных круглых пластин, нагруженных равномерным им пульсом внешнего давления:
kql |
при |
0 < / < /,, |
=2R/c{i0 < k < l |
^ з(') = |
при |
t > t .. |
|
ql |
|
Радиус пластины R = 0,05 м. Материал пластин - сплав Д16Т. Начальные условия нулевые.
На рис. 3.37 приведены графики перемещений UJR во време ни f,=tcJR “полюсной” точки на срединной поверхности пласти ны, рассчитанные при hIR=0,5 в рамках модели типа Тимошенко (кривая 1) и модели с разложением функций перемещений в ряд
163
по толщине пластины (кривые 2 ,3 ,4 , вычисленные при jV= 3
(АТ= 11), N= 5 {К—13), N—7 (АГ= 15) соответственно).
Рис. 3.37
Аналогичные расчеты для h/R<0,5 при условии q\ / h = const показали, что с увеличением числа членов аппроксимирующего ряда максимум прогиба в“полюсной” точке сначала увеличивается, а затем практически остается неизменным (то есть решение сходи тся). С уменьшением толщины пластины результаты расчетов по модели с разложением вряд и теории типа Тимошенко сближаются.
На рис. 3.38 в момент времени /, = 15,3 показана точность удо влетворения краевых условий (по нормальным напряжениям) на поверхностях пластины (h/R= 0,5) при различном числе членов аппроксимирующего ряда. Сплошной линией показано изменение напряжений на внешней поверхности, штриховой - на внутренней.
0 |
Л/4 |
R/2 |
ЗЯ/4 |
Рис. 3.38
R
164
Кривые 1 соответствуют расчету при N=3 (К= 11), кривые 2 - при
N= 5 (К= 13) и 3 - при N=7 { К - 15). Увеличение числа членов аппроксимирующего ряда приводит к повышению точности удо влетворения краевых условий (при N=7 { К - 15) погрешность выполнения краевых условий была менее 5% от q\ ).
На рис. 3.39 построены кривые зависимости относительной разности максимальных перемещений S = (f/3* - и**) • 100% / £ / 3
{VI - максимум перемещения в “полюсной” точке на срединной поверхности оболочки при расчете по модели с разложением вряд, а щ* - по теории типа Тимошенко) от геометрического параметра
R/h.
О |
10 |
20 |
30 |
40 |
т |
Рис. 3.39
Кривая 1 получена при условии q\ fh = 0,12109= const, а кри вая 2 - для меньших амплитуд импульса давления q \ . Видно, что, начиная с h/R= 0 , 1 , наблюдается существенное расхождение в ре зультатах расчетов по модели с разложением в ряд и теории типа Тимошенко, причем увеличение максимальной амплитуды импу льса давления q\ (увеличение прогибов пластинки) приводит к сужению области применимости модели Тимошенко.
165
3.3.Процессы деформации
вупругопластических цилиндрических оболочках при осесимметричном импульсном нагружении
На основе модели с разложением в ряд и теории типа Тимошенко приводятся формулировка и анализ решения задач упругоплас тического осесимметричного деформирования цилиндрических оболочек при действии импульсных нагрузок. В частности, про ведено исследование переходного волнового процесса в бесконечной цилиндрической оболочке, нагруженной локальным импульсом внешнего давления, при различном количестве членов аппрок симирующих рядов и проанализирована их сходимость. На примере динамического упругопластического деформирования цилин дрической оболочки конечной длины, нагруженной по поясу шириной / импульсом внешнего давления, проведено сравнение результатов решения по модели с разложением в ряд и модели типа Тимошенко [7,11].
Отнесем цилиндрическую оболочку длиной L и радиусом R к
системе координат а ( / = 1, 3 ): а , направлена вдоль образующей оболочки, а 2 - по окружности, а 3 - по внешней нормали к средин ной поверхности. При этом коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны будут равны: А, =А2= l,k}=0,k2=\/R.
Используя в (1.16) в качестве заданных функций полиномы Лежандра Ря(х), представим аппроксимирующие ряды в следую щем виде:
N |
|
t/, (а, ,а 3,/) = и?(а, ,t)+ и[ (a„t)x + £ м ”(а ,,f) Р„О), |
|
л=2 |
|
2 N |
(3.41) |
[ /з(а | . “ з. 0 = “1 (а |,О + т Е " з ( а 1.О^„Ч*). |
|
" п=2 |
|
где x=2ajhy Л- толщина оболочки.
166
Л инейны е составляю щ ие деформаций цилиндрической обо лочки с учетом осесимметричного характера деформирования и соотнош ений (3.41) запишутся в виде:
Эц,° |
|
, |
1 |
ЗМ,1 |
6 . 2 |
8 11 “ л » |
8 22 |
^2М3> ®И ” |
Я |
’ ae2 2 ~ T ^ 2 M3J |
|
З а , |
|
|
|
З а , |
h |
|
|
|
|
2к |
N |
£ 2 |
d a , |
|
*22 = - Г 2- 2 ] “ з Т ( * ) . |
||
|
|
" |
п=3 |
||
|
12 |
2 |
|
|
|
® 3 3 = ^ T W3> |
® |
/7=3 |
<3 -42) |
||
|
|
|
Я |
|
■fЗа,£. |
<3=h ^f ltd |a r, |
P':W> |
|
2 |
2 N |
|
|
*13 =Т »!> |
< з = т £ иГ № - |
_ |
|
h |
ht£ |
|
Н елинейны е компоненты тензора деформаций e..(i = 1,3), е,3 определяю тся соотношениями (1.7) с учетом (3.42).
Ф изические уравнения устанавливаются в рамках дифферен
циальной теории пластичности с линейным упрочнением [153].
Д ля вывода уравнений движения цилиндрической оболочки используется вариационное уравнение динамики (1.51), которое в
данном случае запиш ется в виде:
f |
.К |
|
5 a i |
+ |
oL |
da, |
|
17 |
|
Л |
6 . ; . м , - |
Зах |
h |
< ± м ; , т 1 |
h2 |
|
За, |
||
|
А ё |
«п=2 |
^ а 1 |
Л п=2 |
167
h +1 |
|
z2 = \ + k2- x , z, = 1 , |
||||
= o’ \S\\zipA x)dx, |
||||||
z |
-i |
|
|
|
2 |
|
h |
|
|
|
+i |
|
|
м 'п = 2 K |
P-W * ' |
= 7 |
|
|
(1 O 3), |
|
-* |
|
|
1 -1 |
|
|
|
|
|
/z+l |
|
|
|
|
|
Мзз = - jS32z2PXx)dxy |
|
||||
|
|
L-i |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
( l o 2 ), |
(.N\\,MU,T\\,L\X) = — |
|
|
|
|
||
|
^ -i |
|
|
|
|
|
(6р -Чз) = | |
Jal3z,(U)A% |
(1 «-> 3), |
ft3 |
|a J5z2&, |
||
|
-i |
|
|
|
2 |
4 |
h +* |
|
|
|
|
|
2 ), |
= r /® и г 2 « |.- * ® и .* 2* м .еГ з)* . (1 ^ |
||||||
Z-I |
|
|
|
|
|
|
( К з п Д , ш |
, < ж ; ш |
) 4 |
к |
г! (* п ’$ « - и |
'>-ге"з)л ' |
|
|
|
z |
-i |
|
|
|
|
|
Z -! |
|
|
|
|
|
B ” =ph/(2n + \) |
(n = M |
0 , |
|
||
B",+I = в;;’ =pkS-n/i&n1- 2) |
(n=uv), |
|||||
B " = 0 при и 5й /м, |
кроме |
|
w = w + l |
(и,ш = 0,.Л0, |
169
Bj'„ = 2рп(п+1 )/h (п = 1, N), |
|
|
в;: - В"т = ркгп(п + 1) |
(n = \ , N - i , |
/ = 1,3,5,...), |
= В"*‘ = 2ри(и +1 )/h |
(п = 1, N - /', |
/' = 2 ,4 ,6 ,...), |
F1 = A (1 - M / 2 ) + 9,(1 + M ' ' 2 ),
^ = Л ( 1 - М / 2 ) - ? 3 (1 + * 2Л / 2 ) ,
М , = 9 , (1 + k2hl2) - р ,( \ - к 2И/2 ),
6
М 3 = - А л (1+А21 )"9з(1+А21) ’
F" = 9,(1 + k2h/2) + (-\)" р, ( \ - k 2h/2) |
(n = 2,N), |
||
Л 1"*: |
4 £ -1 )(-1 )" |
||
|
|
|
|
-4,з^ + *2 | ] Е ( 2 и - |
4А-1) |
(и = |
3,1V), |
dv,°,ii/,0 , s ; ' ) = ^ ] s , ( i , x ,i> „ w ) ^ , |
|||
“ |
- I |
|
|
(1V3°,M3°,S") = ^ |
|5 3(1,дс,Р„(дс))/й:. |
^ -I
Применяя к (3.43) стандартную вариационную технику, получим:
170