книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfшаг интегрирования уравнений движения (4.3). В первом столбце (для е*22, t, и Т) приведены экспериментальные данные [150], во втором - результаты численных расчетов [26], полученных в пред положении упругопластического поведения материала стального слоя, втретьем - упругого. Было выполнено два варианта расчетов - с регуляризацией численной схемы (числитель) и без нее (зна менатель).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.2 |
|
/иЮ 3, |
Л |103, И2 \ 0 \ |
|
е„ .% |
|
/.• 106, с |
Г ! О6, с |
|
ДМ О6, с |
||||
кг |
м |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
1,75 |
16 |
1.1 |
ш |
0.81 |
60 |
53 |
50 |
187 |
196 |
162 |
1.439 |
|
|
|
|
1.04 |
0.83 |
|
50 |
45 |
|
190 |
155 |
0,1591 |
60 |
4,2 |
16 |
0,6 |
0.73 |
0.53 |
50 |
56 |
44 |
176 |
200 |
146 |
1.439 |
|
|
|
|
0,69 |
0,55 |
|
47 |
40 |
|
190 |
140 |
0,3727 |
Анализ полученных результатов показывает, что по всем конт ролируемым параметрам наблюдается достаточно хорошее согла сование экспериментальных данных и численных результатов, причем учет пластического деформирования внутреннего сталь ного слоя является существенным. Регуляризация численной схемы позволяет, практически без потери точности решения, увеличить шаг интегрирования в 9 раз при Л, = 1,75-10-3 м и в 4 раза при А, = = 4,2 -1 0 -3 м, а следовательно, во столько же раз сократить время решения задачи.
Таким образом, разработанная численная методика позволяет достаточно эффективно с приемлемой точностью решать осесим метричные задачи импульсного деформирования многослойных оболочек, состоящих из произвольного набора композитных ортотропных и изотропных упругопластических слоев.
191
4.2. Численный анализ вязкоупругого деформирования композитных цилиндрических и сферических оболочек при взрывном нагружении и осевом ударе
Следует заметить, что в случае вязкоупругого поведения материала оболочки в наследственных интегралах используются как регу лярные, так и слабосингулярные ядра. При использовании в каче стве ядер релаксации суммы экспоненциальных функций
* (') = £ Л * * |
(4.8) |
/1=1 |
|
вычисление наследственных интегралов в (1.38) сводится к рекур рентному счету по формулам [24]:
|
|
( е ' ) ‘ = Ц Г - |
|
|
- t { e - M V.W - ^ |
И ‘Ч |
((* - 1 ) ^ ) + |
(***)]}. (4.9) |
|
где J *~x■= |
А е |
М1к ,)Лг Т4 |
у(т)^ т; At -ш аг интегрирования |
|
по времени. |
|
|
|
|
В случае слабосингулярных ядер |
|
|||
|
|
R(t) = Ae-a,tM |
(4.10) |
(д > 0 , 0 < р < 1 - параметры ядра) рекуррентные соотношения по строить не удается, что приводит к значительным трудностям при численной реализации. Поэтому предлагается использовать прием [182], основанный на замене слабосингулярного ядра (4.10) суммой экспоненциальных функций вида (4.8). При этом показатели Рп
(п = 1, 3 ) определяются по формулам;
192
P„ = --^-1пхя,
Ат
где хп- корни уравнения
с3хЗЛт + с2х 2Ат + с1х Лт +с0 = 0.
Коэффициенты уравнения с. (/ = 0,3) находятся из решения систе мы алгебраических уравнений
|
S v < = ° * |
О' = о^)- |
|
|
/=0 |
|
|
Здесь R.j - симметричная матрица, элементы которой ррвны |
|||
|
1+т |
/ = (/ + j)m + 1, m - А т/Ar, |
|
|
R0 |
||
|
я=/ |
|
|
где |
- значения ядра релаксации (4.10), вычисленные в равно |
||
отстоящих точках с шагом At. |
|
||
|
Для определения амплитуд образуем из (4.8) систему алгебраи |
||
ческих уравнений |
|
|
|
|
£ л |
Л * = Л * , |
(к = 0ЛУ |
|
/1=1 |
|
|
На рис. 4.9 приводятся графики функции релаксации напря
жения T(t)/E = l - ^R(x)dx , построенные для ядра Ржаницы-
на с параметрами [151] А =
= 0,042046, а = 1 с'1, Р =0,1 |
T(t)IE |
|
|
|
|
|
|
(кривая 3) и по данной мето |
0,80 |
|
|
дике (кривые 1, 2 ), причем |
|
|
|
при расчете кривой 2 наслед |
0,65 |
|
|
ственный интеграл вычисля |
|
|
|
ется на первом временном |
0 |
10-’ 10м |
10-3 /, с |
шаге при помощи квадратур |
|
Рис. 4.9 |
|
193
ной формулы, что приводит к значительному повышению точно сти аппроксимации.
Рассматривалось динамическое деформирование вязкоупругой оболочки, выполненной из полиметилметакрилата с характеристи ками: Е - 6,24 ГПа; v = 0,246; р = 1200 кг/м3, при продольном ударе по торцу абсолютно жестким телом массой mJmQ= 0,46
(т0- масса оболочки) со скоростью м,011 с = 0,125 -10"2 (с - ско
рость звука) [3,24]. Граничные и начальные условия имели следу ющий вид:
uf = и\ = 0 |
при |
а, =/,, |
|
|
и] = Мз = 0 |
при |
a,=0,Z, |
|
|
м,2(а,,0) = м1,(а,,0) = 0 |
при |
0< а , < 1, |
(4.11) |
|
г/32(а150) = М з ( а ,,0 ) |
= 0 |
при |
0 < a ,< Z , |
|
и|2(о,о) = и,'(о,о) = - й; |
|
|||
|
|
|
«Г- |
|
Геометрические параметры были равны R = 0,1 08 |
м, h = |
=0,016 M,R=4L.
На рис. 4.10 представлено распределение нормальных пере-
и
0,003
о |
L |
Рис. 4.10
194
мещений и\ вдоль образующей в моменты времени т= 1 , 2 , 3 (т= =ct/L), кривые 1,2,3 соответственно.
На рис. 4 .1 1 показано изменение во времени продольной силы f = Г/, / Eh на ударяемом (нижние кривые) ижестко закрепленном торцах (верхние кривые). Из приведенных результатов следует, что вязкоупругое решение (пунктирные линии) имеет более плавный характер по сравнению с идеально упругим (сплошные линии).
Оболочка с такими же параметрами нагружалась импульсом внутреннего давления, которое задавалось с помощьюзависимости (4.7). Торцы оболочки были свободными [1]. На рис.4.12 приведено изменение во времени т = ct!L (с - скорость звука) нормального перемещения и\ точки центрального сечения оболочки при массе заряда т—3,3ТО-3 кг. Здесь сплошная кривая отвечает упругому
Рис. 4.12
195
решению, а штриховая - вязкоупругому. Видно, что учет вязких свойств материала приводит кзаметному уменьшению амплитуды и изменению фазы колебаний. Расчет вязкоупругого деформиро вания в этих задачах проводился с использованием как слабосингу лярного ядра (4.10), так и суммы экспоненциальных функций (4.8), при этом результаты практически совпали.
Следует отметить, что рассмотренный прием замены слабо сингулярного ядра суммой экспоненциальных функций позволяет более чем в 9 раз сократить время счета задачи и не хранить инфор мацию для вычисления наследственных интегралов.
На задаче ударного деформирования (mjm0= 0,46; м,01 / с=
= 0,125-М "2) армированной цилиндрической оболочки (h = =0,002 м; R/h= 20,5; L/R- 10) проводилось исследование влияния коэффициента армирования и на максимальные перемещения обо лочки [24]. Механические характеристики арматуры и связующего были следующие: Е° = 36,2 ГПа; vff = 0,18; Е* = 3,2 ГПа; vc = 0,39; Е*/Е0 = 0,6. Граничные и начальные условия имели вид (4.11). При этом вязкоупругое деформирование связующего описы валось в рамках модели стандартного вязкоупругого тела R(t) =
= Л1е~Ь‘.
На рис. 4.13 приведены зависимости максимальных касатель ных перемещений оболочки и}jh от коэффициента армирования. Кривые 1,3 соответствуют упругому расчету при длительном и мгновенном модулях упругости.
Кривая 2 рассчитана при вязкоупругом деформировании при pj= = 5 -1 02 с"1. Видно, что вязкоупру гое решение лежит между упруги ми решениями с мгновенным и длительным модулями упругости.
На примере этой же задачи для стеклопластиковой оболочки с ха рактеристиками: Е° = 25,2 ГПа;
196
Еа>/Е° = 0у6; v =0,17; р = 1960 кг/м3 проведен анализ различных моделей вязкоупругого поведения материала оболочки [9,10].
На рис 4.14 показано изменение касательного перемещения и}
во времени т = ct/L точки срединной поверхности на ударяемом торце оболочки. Кривые 1-3 получены при расчете по модели стан дартного вязкоупругого тела R(t)=Р(1 -Z r7£0)e-P' для различных
времен релаксации (1 |
- р =5-10 2 с-1; 2 - |
1 0 3 с-1; 3 - |
1 0 4 с-1). |
|
0,2 |
|
|
|
|
0 |
1,5 |
3,0 |
4,5 |
т |
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
Кривая 1' рассчитана на основе модели Максвелла R(t)= рер/. Штрихпунктирная кривая соответствуетупругомурешению. Умень шение времени релаксации приводит к увеличению амплитуды и периода продольных колебаний. Расчет по модели Максвелладает завышенный результат по сравнению с расчетом по теории стан
дартного вязкоупругого тела.
На рис. 4.15 представлено изменение прогибов uj вдоль обра зующей оболочки в момент времени т = 3,1- Сплошная кривая соответствует расчету по модели стандартного вязкоупругого тела при Р = 104 с-1. Штрихпунктирная кривая рассчитана в предпо-
«э' |
//----- |
|
----г*+1 |
|
0,005 |
|
Л/ |
1 |
|
|
|
в * * * ' * ^\7v> |
|
|
|
л |
/ |
' |
\ |
|
и4 |
L/2 |
||
0 |
31/4 |
|
||
|
|
Рис. 4.15 |
|
|
197
ложении упругого деформирования материала оболочки. Видно су щественное качественное и количественное различие решений.
На рис. 4.16 показано изменение относительных максимальных касательных и нормальных перемещений 6 = [(и* - H°)/W°]*1 0 0 %
|
(м°, и - максимальные перемеще |
|
ния для упругой и вязкоупругой обо |
|
лочек) в зависимости от времени |
|
релаксации. Кривые 1, Г соответс |
|
твуют максимальным касательным |
|
перемещениям; кривые 2,2'- мак |
|
симальным прогибам. Сплошные |
|
кривые рассчитаны по модели стан |
|
дартного тела, штриховые - по мо |
|
дели Максвелла. Видно, что макси |
0,2 0,4 0,6 (Igp)-' |
мальные перемещения, рассчитан |
ные по модели Максвелла, дости |
|
Рис. 4.16 |
гают тех же значений, что и по |
|
модели стандартного тела при зна |
чительно больших временах релаксации. Зависимость изменения максимальных касательных перемещений от параметра (3 у среды Максвелла проявляется значительно в большей степени по срав нению с расчетом по модели стандартного тела. С увеличением времен релаксации решения асимптотически приближаются к упругому.
Таким образом, вязкие свойства материала оказывают сущест венное влияние на максимальные перемещения оболочки.
Ниже приводятся результаты исследования динамического поведения сферических оболочек, имеющих полюсные отверстия и образованных многозонной спиральной намоткой стеклопласти ковой ленты с механическими характеристиками: £ , = 52,7 ГПа; Е2=П,9 ГПа; v 12=0,25; G)3=5,62 ГПа; р = 1990 кг/м3 [1]. Толщину оболочки вычисляли на основе зависимостей, приведенных в [2 1 2 ]. Нагружение осуществлялось по закону (4.7) при т = 3 -1 0"3 кг.
На рис. 4.17 приведено изменение во времени т=ct/R окруж-
198
ного f 2 = Тх\ -1 0 3/(£,Л ) (сплошные кривые) и продольного f -
= Тх\ *5105/(ExR) (штриховые кривые) усилий в первой расчетной точке около полюсного отверстия. Здесь кривая 1 соответствует оболочке с одной зоной намотки г= г0 (г(а,) - расстояние от оси вращения до точки координатной поверхности с координатой а,), состоящей из шести двойных спиральных слоев; кривая 2 - оболо чке с двумя зонами намотки, причем в первой зоне (г=г0) реализо вана четырехслойная намотка, а во второй (г=R12>8 ) - двухслой ная; кривая 3 - оболочке с трехзонной намоткой (r=rQ; r=R/3; r - = R/2) при двух слоях в каждой зоне.
На рис. 4.18 показано распределение окружных (сплошные кривые) и продольных (штрихо вые кривые) усилий вдоль об разующей оболочки в моменты времени т= 2 (верхние кривые)
и т = 4 (нижние кривые). Из по лученных результатов следует, что, варьируя числом зон и слоев намотки, можно значительно по низить уровень напряжений в районе полюсного отверстия.
199
4.3.Волновые процессы деформации
ипрочность в многослойных композитных балках, пластинах и оболочках при соуда рении с жесткими телами и действии ло
кального импульса нормального давления
Важным практическим приложением разработанной методики численного моделирования ударного деформирования многослой ных, неоднородных по толщине пластин и оболочек при взаимодей ствии с жесткими телами является проектирование многослойных ударостойких покрытий, позволяющих демпфировать ударные нагрузки, действующие на конструкцию. В качестве таких покры тий наибольшее распространение получили трехслойные пластины и оболочки с тонкими жесткими внешними слоями и относительно мягким заполнителем. Однако вопросы ударного деформирования оболочечных элементов конструкций существенно неоднородной структуры по толщине остаются пока малоисследованными, а имеющиеся в литературе результаты получены, как правило, на базе единых кинематических и статических гипотез для всего многослойного пакета.
Рассмотрим результаты численного исследования центрального поперечного удара стального шара радиусом 1 -1 0 -2 м с начальной скоростью 1,4 м/с по трехслойной полосе с размерами L - 0,3 м, /г,=/г3= 1,6 -10' 3 м, Л2= 1,6 -10' 2 м. Несущие слои балки выполнены из алюминия. В качестве заполнителя рассматривались материалы типа ПХВ - пенопласт поливинилхлоридный (.Е = 0,5 ГПа; v = = 0,4; р = 500 кг/м3) и ЭК-5 - эпоксидный компаунд ( £ = 0 ,5 ГПа; v= 0,4; р = 1500 кг/м3).
Характер изменения контактного усилия во времени показан на рис. 4.19. Кривые 1 относятся к балке с заполнителем ПХВ, кривые 2 - к балке с заполнителем ЭК, кривые 3 - к однородной алюминиевой балке. Сплошными линиями представлены резуль таты, полученные по данной методике [26], пунктирными - резуль таты работы [121]. Наблюдается достаточно хорошее соответствие
2 0 0