книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров

Чтобы найти модуль функции в любой точке на оси /со, следует измерить расстояния от данной точки до нулей и полюсов. Искомый модуль равен произведению расстояний от данной точки на оси до нулей, деленному на произведение расстояний до полюсов (при одинаковом масштабе для обеих осей). Проделав эту операцию для ряда точек на оси /со, можно начертить график аргумента функ­ ции в зависимости от частоты. Для построения этого графика сле­

дует измерить углы векторов, направленных от нулей функции

кточке на оси /со, затем углы векторов, направленных от полюсов

ктой же точке. Разность между суммой углов нулей и суммой уг­ лов полюсов дает значение аргумента функции в этой точке. Эту

а)

е)

Jr1

Рис. 1-13.

операцию следует провести для ряда точек. Симметричное распре­ деление р—z означает, что вдоль мнимой оси как в положительном, так и в отрицательном направлении модуль функции должен быть

четной функцией частоты (рис. 1-12, а),				а ее аргумент— нечетной
функцией частоты (рис. 1-12, б).
В качестве примера рассмотрим входное полное сопротивление
контура (рис. 1-13, а)
Z (p ) =	1	1	р + 2а
	1	С	Р2 -г 2ар +	о)§
рС +
	pL +
		/?		1	р 4- 2а______
				С	(P -P I)( P - P!) ’

21

ГДе а = ~2L ’

” ~LC ’ Р] — ~ а + 1 V *

а2;

а ~~

— /]Л )* — а2.

На рис. (1-13, б) показано расположение полюсов и нулей. Гра­ фики модуля (а) и аргумента (б) приведены на рис. 1-14. Из кривых можно определить также вещественную и мнимую части:

V (ш) =	| Z (/ш) | cos <р ((D);	(1-23)
X ((D) =	IZ (/ш) | sin ср (ш),	(1-24)

которые изображены на рис. 1-15. Все эти графики начерчены лишь для положительных значений со. Полученные кривые можно свя­ зать с известными свойствами контуров, такими, как добротность, полоса частот, резонансные частоты и т. д.

Рис. 1-15.

Таким образом, графики модуля и аргумента функции или дейст­ вительной и мнимой ее частей дают еще один способ представления функции цепи

1-4. Представление передаточных функций диаграммами Боде

Рассмотрим более подробно функцию модуля. Если взять ло­ гарифм модуля | Т7(/со) | и перейти к логарифмическим единицам для оценки относительного изменения частоты, то многие формулы

22

и положения могут быть упрощены. Напишем равенства:

F (/Ъ) = еа(ш) + h (ш);

In F (/«) = а (ш) + /ср (а>);

а (ш) = In | F (/со) | = -i- In [F(/ID) F (— /m)],

(1-25)

где а (со) является коэффициентом усиления в логарифмическом масштабе и измеряется в неперах. Вместо а (со) можно пользоваться величиной а ' (со), которая определяется следующим образом:

				а' (ш) =	20 lg | F (/ю) | =				8,686а.	(1-26)
	Коэффициент		усиления		а '	измеряется в децибелах.
=	Используем		относительную					(нормированную)		частоту 9 =
	со/со0, где со.0 — какая-то частота, принятая за единицу, полагая
						9 =		КГ;		(1-27)
						с; =		lg 9.		(1-28)
и	Переменная		v	называется		логарифмической частотой. Если v2
	соответствуют частотам					9 2 и 9 Ь то интервал
				Ig ^ - =	l g 2 » - l g 2 i =				f 2- » i .	0-29)
	Следовательно,			единичный			интервал		наоси v	соответствует
интервалу		частоты 9 2 =			109ь			т. е. одной декаде, являющейся
единицей		логарифмической частоты v.
	Применяется также следующий способ перехода к логарифми­
ческой частоте:
						9	=	2г/.		(1-30)
				v' =	log29		=	lg2	.	(1-31)
					ь				0,3	v

Единица v' соответствует изменению со в два раза и называется октавой. Число декад, соответствующее данному диапазону частот, равно примерно трем десятым числа октав. Вернемся к функции цепи, записанной выражением (1-5), и найдем ее логарифм:

т		п
In F (/0J> = 2 In (JQ~		гг) — 2 In (/2 — Pi);	(1-32)
l-	1
	m	n
а (ш) = In | F (/«)) |= 2 In | /9 — zt | — 2 In | /9 — p, |;			(1-33)
	/=i	f=i
m		n
<P(a>) = 2 arg (JQ— z,) — 2 arg (/2 — Pi)-			(1-34)
l-l		i-l

23

Исследуем влияние на частотную характеристику множителей полюсов и нулей различных видов, входящих в функцию цепи. После этого, чтобы найти поведение функции цепи, достаточно будет суммировать все ее слагаемые.

Для учета постоянного множителя К к правым частям уравне­ ний (1-32) и (1-33) нужно прибавить In К\ если К — отрицательное число, то к правым частям уравнений (1-32) и (1-34) нужно приба­ вить соответственно /я и я. Это приведет к простому переносу осей кривых частотных характеристик (уровня 0 дб и фазы 0°).

Выразив величины в децибелах, рассмотрим множитель, соот­

ветствующий вещественному полюсу или нулю,
		af =	201 g |a— /2 |,			(1-35)
где а — вещественное число (один из нулей				или полюсов). В слу­
чае со =	0	щ — 201ga.
При	малых значениях 2,		таких, что 2	а,	функция также
примерно равна		20 lg а. При больших значениях			2 ,	таких, что
2 > а,	функция	равна 20 lg 2 = 20 v. Таким образом,				при боль­

ших величинах 2 функция становится линейной функцией лога­ рифмической частоты v с наклоном, равным 20, т. е. усиление воз­ растает (или убывает, если это множитель полюса) со скоростью 20 дб на декаду или 6 дб на октаву.

На рис. 1-16 показан асимптотический ход функции при малых и больших значениях со. Из этого графика можно получить при­ мерное представление об изменении усиления с изменением частоты. Если допустить, что асимптотические величины можно приме­ нять при всех значениях логарифмической частоты, то получится точка пересечения асимптотических значений Vj (рис. 1-16), назы­ ваемая частотой перегиба. Перегиб происходит при 2 — а или

v = lg а.	На частоте перегиба	наблюдается наибольшая ошибка
от применения вместо действительных величин асимптотических.
Поскольку	в этой точке 2 = а,	из выражения (1-35) следует, что

действительное значение щ здесь составляет
оч (а) = 20lg | / а 2+ 2 2	= 201g a - f 201g ] / 2	=
	= 201р п	4- я 010

т. е. отличается от приближенного значения на 3 дб. Следовательно, ошибка от использования приближенных величин вместо действи­ тельных не превышает 3 дб.

Каждый член выражений (1-32) — (1-34), соответствующий ве­ щественному нулю, способствует общему усилению подобно тому, как показано на рис. 1-16. Полюсы обусловливают отрицательный наклон кривой за частотой перегиба. По асимптотическим кривым можно получить отчетливое представление о ходе усиления только тогда, когда частоты перегиба достаточно далеки друг от друга,

24

так что на каждой частоте перегиба влияние других членов можно точно представить их приближенными, значениями. Это прибли­ женное представление усиления прямолинейными отрезками на­ зывается диаграммой Боде [6 ].

При наличии комплексных р—z картина изменяется. Рассмот­

рим влияние квадратичного сомножителя рг	ар ± b на усиле­
ние. Имеем
а, = + 20 lg | ф — Q2) + faQ |,	(1-37)

где знак плюс относится к нулю, а минус — к полюсу. Асимптота на низкой частоте соответствует постоянному числу ± 20 lg b, а асимптота иа высокой частоте

-> ± 20te 192 = ± 40о.

(1-38)

Это также прямая линия, но с наклоном 40 дб на декаду (рис. 1-17). Приравняв эти две асимптотические величины, опреде­

лим частоту перегиба О = ]/&,	которая определяется расстоянием
от начала координат до полюса	или нуля. В данном случае при­

ближенные величины могут быть далеки от фактического значения логарифмического усиления а,-, за исключением очень малых или очень больших частот. Это видно из выражения (1-37).

Асимптотическую величину общего усиления легко определить при больших значениях (о. Поскольку каждый член первого по­

рядка обусловливает усиление ± 20	lgQ, а каждый член	второго
порядка ± 40 lg Q, общее усиление равно
а2-*оо“ >20(т — п) IgQ =	— 20 (п — m)v,	(1-39)

где т — число нулей, а п — число полюсов. Следовательно, уси­ ление изменяется линейно с увеличением v, причем наклон прямой в 20 раз больше разности между числом конечных полюсов и чис­ лом конечных нулей, которое равно числу нулей в бесконечности.

Построение кривых усиления можно упростить, если в выра­ жении (1-5) для рациональной функции привести все множители нулей к виду (j(o/z{ — 1), а все множители полюсов — к виду (j(o/pi — 1). Тогда вынесенные за скобки постоянные множители

25

можно объединить с множителем /(г Влияние этой постоянной вы­ ражается в том, что кривая усиления смещается вертикально на 20 lg К дб. Вели исключить величину 20 lg К, то асимптотическая величина усиления на низ­ кой частоте будет равна нулю.

			В	качестве примера			рассмот­
			рим функцию
			F(/») =	20 (р 4- 5)
				(р* + р + О0»+ ю)
				| 0 ( 1 + т )
				(p* + p + l ) ( l		+	10
			Усиление на		оси	/со
			а = 20 lg 10 -h 20		lg	-	f l	-
			- l g i + i S _ l g | l _ Q S + ; Q |l
				10
Усиление на нулевой частоте равно 20 дб, а первая точка перегиба на­
ходится при 2 = 1	(v =	0). После перегиба кривая идет			вниз	с	наклоном
40 дб на декаду. При 2 = 5 (о = 0,7)			кривая идет вверх с наклоном					20 дб
на декаду. Наконец,	при	2 = 10 (v =	1) кривая снова идет вниз с наклоном

20 дб на декаду. На высоких частотах усиление падает со скоростью 40 дб на декаду. На рис. 1-18 представлены асимптотическая и действительная (пунктиром) кривые. В данном случае асимптотическая кривая очень близка к действительной.

1-5. Годографы входных и передаточных функций

Рассмотренные ранее графические представления относились к модулю или аргументу функции. При р = /<о оказывается воз­ можным представить графически и саму функцию. Для этого вы­ числяются векторы функции при различных частотах. Затем в пло­ скости комплексных чисел вычерчивается линия, соединяющая концы векторов. В этом случае плоскость комплексных чисел на­ зывается плоскостью годографа, а линия — годографом. Значения частот отмечаются на самом годографе.

Рассмотрим годограф входных полных сопротивления и прово­ димости как функцию /со. Поскольку входные полные сопротивле­ ние и проводимость пассивных цепей всегда имеют положительную вещественную часть, их годограф также всегда должен иметь поло­ жительную вещественную часть и не может находиться слева от мнимой оси плоскости годографа. Так как числа конечных полюсов и нулей могут отличаться не более чем на единицу, то на очень вы­ соких частотах годограф ведет себя по-разному:

1)	модуль годографа увеличивается прямо пропорционально
частоте,	аргумент стремится к тс/2;

28

2) модуль годографа уменьшается прямо пропорционально ча­ стоте, аргумент стремится к — я/2;

3) модуль годографа стремится к постоянной величине, аргу­ мент — к нулю.

Полюсы или нули в начале координат должны быть простыми, следовательно, при очень малых частотах входные полные сопро­ тивление и проводимость могут быть выражены тремя способами-

1) Лше;д/2; 2)	— е“ ;я/2; 3) Се;0, где Л, В, С—конечные вещест-
'	С О

венные и положительные постоянные. Типичные годографы вход­ ных полных сопротивления и проводимости пассивных цепей по-

tint	Jm	1т	1т
			[
Re	О * —	^	Re А

Рис. 1-19.

казаны на рис. 1-19. Стрелки на годографах указывают направле­ ния, соответствующие увеличению частоты.

Для получения входных полных сопротивления и проводимости с отрицательной вещественной частью используются активные эле­ менты (электронные лампы, транзисторы и т. п.), при этом годограф переходит в левую часть плоскости. Если входные полные сопротивление и проводимость имеют нуль на оси /со плоско­ сти р, то их годограф проходит через нуль на этой частоте и фазо­ вый угол скачком изменяется на я. Если существует полюс на мнимой оси, годограф должен идти в бесконечность с фазовым уг­ лом, равным я /2.

Построение годографа можно выполнить и для передаточной функции. Такой годограф часто используется при анализе усили­ телей с обратной связью.

Рассмотрим построение годографа полинома, который может быть полиномом числителя или знаменателя передаточной функции.

В	частности, ограничимся	полиномами, которые не имеют нулей
в	правой полуплоскости.	Различные	годографы приведены на
рис. 1-20, где п = 0, 1, 2,		. представляет собой число нулей в на­
чале координат. Фазовый		угол всегда	возрастает с частотой. Рас­

сматриваемый годограф наиболее интересен, когда полином не имеет нулей в начале координат (п = 0). Если данный полином

представляет собой знаменатель	некоторой передаточной функции,
то расположение полюсов этой	функции то же, что и нулей рас­

сматриваемого полинома. Изучение такого полинома расширяет сведения о передаточной функции и, в частности, выявляет, на­ сколько близко лежат полюсы к мнимой оси.

Полином

F (р) = а0 + ахр -Ь а2р2 + . . . -f апрп

27

при р * /ю можно записать в виде

F (/ш) = а0+ aj (/ш) + а2(/ш)а + • • • + ал (/о))я.

Величину F (/со) при соответствующем значении частоты /со можно найти суммированием векторов а0) aj (/со), а2 (/со)2 и т. д., порядок степени /со которых увеличивается от одного к другому.

Тогда построение приобретает форму рис. 1-21, которая называется ортогональным построением. Если такое построение выполнено для одной частоты, его легко осуществить и для любой другой. Например, если отношение двух частот равно 2, то вектор а0 не

') 1т

Re

изменяется, вектор ах (/со) удваивается, а 2 (/со)2 — учетверяется и т. д.

Если полином не имеет нулей в начале координат и является полиномом Гурвица, то его годограф проходит п квадрантов, так как он непрерывно увеличивается по фазе и стремится к бесконеч­ ности при аргументе, равном ля/2. Если годограф ведет себя иначе, то полином будет иметь нули на оси или в правой полуплоскости. Рассмотрим, например, годографы полиномов шестого порядка, пер­ вый из которых имеет нуль вблизи оси /со в левой полуплоскости (рис. 1-22,а), второй имеет нуль на оси /со (рис. 1-22, б) и третий

28

имеет нуль вблизи оси /со в правой полуплоскости (рис.			1-22, в).
По	этим годографам можно представить расположение		нулей.
В	частности, годографу рис. 1-22, а приближенно отвечает распо­
ложение нулей на рис.		1-23.
	Если передаточная	функция имеет нуль вблизи оси /со, то мо­

дуль ее годографа сравнительно мал на соответствующей частоте; если же функция имеет полюс около оси /со,

то модуль ее годографа относительно велик.	0
Примеры годографов минимально-фазо-
вых передаточных функций приведены на	0
рис. 1-24. На рис. 1-24, а число полюсов	___ :------
функции превышает число нулей на семь,	°
поэтому годограф идет к нулю с фазовым	,
углом, который при со -> оо равен 7 X 90°	рис> 1.23.
(вблизи оси /со нет р—z). На рис. 1-24, б

изображен годограф, передаточная функция которого имеет нуль вблизи оси /со в левой полуплоскости. Годо­

граф, показанный на рис. 1-24, в, представляет собой функцию, полюс которой находится вблизи оси /со той же полуплоскости.

Рис. 1-24.

Методы построения годографов использованы в дальнейшем при рассмотрении передаточных функций транзисторных усили­ телей.

1-6. Нормирование электрических величин

Порядок величин, характеризующих параметры элементов элек-

трических цепей, колеблется от 10 (для емкостей) до 10 (для сопротивлений). Значения частот лежат в диапазоне от единиц до миллионов герц. Свойства различных функций и операции синтеза, рассматриваемые ниже, не зависят от абсолютных величин коэф» фициентов этих функций. Поэтому правильнее отделить рассмот­ рение свойств функции и техники синтеза от конкретных значений коэффициентов. Это достигается нормированием величин.

Если все сопротивления, индуктивности и величины, обратные емкостям, принадлежащие данной электрической цепи, разделить на постоянное число R 0f то ток в каждой ветви цепи, являющийся

реакцией на задающее напряжение,	умножится	на то	же число,
т. е. произойдет простое изменение	масштаба.	Такая	операция

29

называется нормированием комплексного сопротивления. Чтобы перейти от нормированной функции или схемы к ненормированной, нужно выполнить обратную операцию, т. е. умножить R и L и раз­ делить С на R 0>При этом достижение первоначальных величин не

обязательно, можно выбрать и другое значение R 0. Таким образом, из нормированной функции (или схемы) легко получить функцию (или схему) с любыми величинами коэффициентов (или параметров элементов). Такая операция называется денормированием.

Метод нормирования полного сопротивления применим к пере­ даточным или входным функциям полных сопротивлений и прово­ димостей, коэффициенты которых выражаются в общем виде через R, L и С. При этом величина выбранного R принимается равной 1 ом (или другой удобной величине), тогда индуктивности и ем­ кости автоматически становятся нормированными величинами. Удобство расчетов при использовании такого нормирования за­ ключается в том, что в результате его уменьшается количество не­ обходимых постоянных.

Входная или передаточная функции могут быть представлены совокупностью р—z, которые имеют фиксированные расстояния от начала координат плоскости р. Можно расширить или сжать полную плоскость р так, что численные расстояния р—z от начала координат изменятся, а их относительные положения останутся прежними. Такое изменение масштаба плоскости р называется нормированием частоты.

Рассмотрим	функцию,	содержащую нуль в точке гг = — 10е рад/сек,
нуль в начале	координат	и полюс в		точке	р г = — 0,5-10° рад!сек. Эта
функция
	F (п) =	р (р ~	=	Р (Р + 10°)
		Р — Pi		р +	0,5- 10о *
Введение новой переменной рх вместо р исключает неудобный коэффи­
циент 10б. Выберем р — 10е рх, тогда
	Г	ч	W *	(Рх +	1)
	t	'Рх' ~	Рх	ГТГс	•
				-I- 0,5 .

Это выражение значительно удобнее первого. В результате замены рас­ стояние р — 2 от начала координат сократилось в 10е раз. Изменения напря­ жения и тока в нормированной функции цепи происходят медленнее, чем в ненормированной, в 10° раз.

Несколько иная операция нормирования частоты состоит в том, чтобы произведение всех положений нулей полинома (исключая те, которые находятся в начале координат) приравнять единице, сохраняя при этом соответствующие размерности. Обычно это де­ лается в полиноме знаменателя рациональной функции, к которой применяется операция. Если существует полином и в числителе, то к нему должно быть применено то же нормирование. Рассмотрим общий полином, в котором простое почленное деление позволяет

30