книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

ния до этой точки, равны 2 Ае*р, то компонент полной деформа­

ции в направлении оси х в точке Р
_осТ”	^	[	о	Дбп	+	; (2.22)
			И м 'хр '	[ох —
здесь оР — эквивалентное			напряжение, соответствующее			компо­
нентам о>, ау и. сгг		в точке Р, определенное по уравнению (2.3),
а Дер — эквивалентная деформация, связанная					с соответству­
ющими	компонентами ЛеХр, М ур			и Де2р уравнением (2.4), видо­

измененным для прямоугольной системы координат х, у, г. 2.5.4. Процесс приращений. Поскольку каждый шаг процесса

дает приращение пластической деформации при переходе мате­ риала последовательно от одного напряженного состояния к дру­ гому, этот метод назван методом приращений. После определения пластической деформации в точке Р можно рассмотреть изменение напряженного состояния вблизи нее. Например, изменение ком­ понентов напряжений, увеличивающих эквивалентное напряже­ ние до с0 в точке О на рис. 2.8, должно дать новые компоненты пластической деформации, которые можно определить непосред­ ственно из уравнения (2.22), заменяя Р на О. Приращения ком­ понентов пластической деформации между О и Р, вычисленные ранее, входят в уравнение под знаком суммы с пределами О н ? .

Анализ применения уравнения (2.22) в случае увеличения эквивалентного напряжения вследствие увеличения компонентов напряжений, отношение которых поддерживается постоянным, показывает, что здесь можно не рассматривать серию приращений деформации, а использовать только окончательные напряжения. Это заключение вытекает из эквивалентности деформационной теории и теории течения при простом нагружении. Чем больше нагружение отклоняется от простого, тем больше оснований для применения теории течения. Кроме того, использование этой теории существенно для описания процессов деформирования, включающих разгрузку в какой-либо точке тела.

2.5.5. Основы численных решений. Если член со знаком суммирования перенести в левую часть уравнения (2.22), то оно оказывается аналогичным уравнению (2.7). Выражение гх —

— 2 Мхр — есть компонент полной деформации в направлении х, вызванной температурой и напряжением. Назовем это выраже­ ние «скорректированной составляющей полной деформации». Оче­ видно, что эквивалентная скорректированная полная деформация может быть выражена через компоненты деформаций по уравне­

нию (2.9) и эта деформация может	быть	связана уравнением
(2.10) с приращением пластической деформации. Этот			вывод де­
лает возможным выполнение любого	расчета	тем же	путем, что
и расчета по деформационной теории.

Решение состоит из нескольких самостоятельных расчетов, каждый из которых отражает определенную стадию истории механического и термического нагружения тела. В пределах одного расчета последовательность остается той же, что и для де­ формационной теории, при этом могут быть с успехом использо­ ваны специальные приемы, развитые для решений по этой теории. Отличие состоит только в том, что в каждой точке кривая дефор­ мирования различна, но известна заранее и зависит от пластиче­ ской деформации в этой точке, полученной из предыдущего рас­ чета.

Рассмотрим плоский круглый диск, подверженный тепловому удару с известной историей изменения распределения температур. Расчеты обычно проводят для распределения температур, возни­ кающих в некоторые моменты времени, отсчитываемые от момента •удара. Уравнения равновесия и совместности остаются теми же, что и при упругом расчете. Полная деформация в каком-либо расчете должна включать все пластические деформации, получен­ ные из вычислений, проведенных для предыдущих моментов вре­ мени.

Этот метод полных эквивалентных деформаций, как отмеча­ лось, может быть применен на каждой стадии решения задачи как метод деформационной теории с переменной диаграммой деформирования. При этом может быть использован метод, опи­ санный в разделе 2.4, как это сделал Хансон при анализе охла­ ждаемого диска и цилиндра [2.31. Описанный здесь подход изло­ жен в работе [2.7 ] в связи с задачами ползучести и пластичности.

2.5.6. Порядок операций при проведении вычислений. Порядок расчета, как это следует из предыдущего, состоит в следующем:

1. Упругие расчеты выполняются в ряде последовательных моментов процесса нагружения (термического или комбинирован­ ного механического и термического, если имеется механическая нагрузка), при этом определяют условия, при которых эквивалент­ ные напряжения а 1 в месте наибольших напряжений превышают предел упругости. Первый расчет должен быть сделан при усло­ вии, что пластические деформации возникают в одном или не­ скольких местах. Упругие напряжения и деформации представ^ ляйт собой исходные данные для первой серии расчетов. По зна­ чению а1 в каждой точке вычисляют значение Де(.р. Затем в пред­ положении упругого состояния по компонентам напряжений и эквивалентному напряжению сгг из уравнения (2.6) ( 3 , рис. 2.9) получают первые оценки Дегр и Де0р.

2. Остальные операции представлены блок-диаграммой на

.рис. 2.9. Используя значения Дегр и Де0р! и уравнение (2.5)— лоз. 2 вычисляют деформацию Де(Р, по которой с помощью кри­ вой деформирования 1 определяют а ь (в первом приближении этот расчет является повторением проводившейся операции). Одновременно и независимо от этого по вычисленным Дегр и Де0р с помощью кривой.деформирования и пр уравнениям равновесия

102

и совместности 4 определяют аг и сг0. Решение может быть полу­ чено методом конечных разностей или любым другим способом в зависимости от требований задачи. Величины аг и ав, вычислен­ ные таким образом, в сочетании с независимо определенным напряжением о., подставляют в уравнение (2.22) для получения новых значений Аегр и Аевр. Эти величины, указанные на рис. 2.9 в блоке В, передают в блок А, и процесс повторяют до тех пор, пока последовательные значения пластических деформаций не перестают изменяться (например, в четвертой или пятой значащей цифре).

3.Переход к новым условиям нагружения и температуре.

Как и прежде, исходное приближение является упругим, но

Рис. 2.9. Блок-диаграмма дли решения задач пластичности

достигнутые ранее пластические деформации учитываются как остаточные. В этом расчете используют соотношение (2.22) между; напряжением и деформацией и учитывают член суммирования, который представляет собой пластическую деформацию из пер­ вого расчета; член, соответствующий последующей пластической деформации, в первом приближении опускается. Новые значения' упругих напряжений являются исходными для определения при­ ращений пластических деформаций во втором приближении и т. д. Операции счета проводят в порядке, указанном в п. 2.

2.5.7. Пример. На рис. 2.10 показан результат расчета диска; нагреваемого индукционным способом [2.3]. Из примера видно существенное различие, которое можно получить при расчете по теории течения (методом приращений) и по деформационной теории. Диск был нагрет до заданной температуры на. ободе за 72 с, при этом температура обода была выше комнатной на 260? С, в то время как температура в обширной зоне центральной части диска заметно не отличалась от комнатной температуры. Затем нагрев был прекращен и началось остывание обода, в то время как центральная область постепенно прогревалась в результате теплопередачи от обода. Спустя 40 мин после начала испытаний

весь диск охладился до температуры на 18,7° С выше комнатной, а затем охлаждение до окружающей температуры проходило очень медленно.

Радиальное распределение температур в диске оказалось достаточно сложным и измерение его в соседние моменты времени

О^нгс/миг

п

дало возможность рассчитать тем­

'

пературные

напряжения,

основы­

ваясь на обеих теориях пластич­

20

ности — теории

течения

и

де­

;

г

формационной. Расчет

по дефор­

10

и

мационной

теории

выполняется

——

только для

распределения темпе­

К ;

ратур в данный

момент времени

I

>

и не учитывает

пластические

де­

-10

л

формации,

происшедшие

за

пре­

-20 \

/

дыдущие периоды. Расчет по тео­

рии течения учитывает все пла­

100'

юоо

стические

деформации,

которые

Ч 10

произошли до того

момента, для

Рис. 2.Ю . Изменение тангенциаль­

которого сделан

расчет

напряже­

ных напряжений во

времени

(с) в

ний. В период монотонного увели­

двух выбранных точках на радиусе:

чения нагрузки результаты обоих

/, 2%4 — центр

при

нагреве (теория

расчетов совпадают, как видно на

течения — метод приращений и дефор­

рис. 2.10.

После разгрузки

раз­

мационная теория) и при охлаждении

(деформационная теория 2 н теория те­

личие оказывается существенным.

чения 4);

3, 5 — обод

при охлаждении

(теория течения)

и при нагреве

(тео­

Эрудированный

инженер-расчет­

рия

течения

и деформационная);

6 —

чик, разумеется, не будет слепо

обод

при

охлаждении

(деформацион­

ная

теория)

[2.3]

применять расчет по деформацион­

ной теории,

не учитывая

предва­

рительного пластического деформирования. В рассматриваемом случае расчет должен быть прекращен к моменту, когда на ободе

начинается разгрузка.
Расчет	остаточных напряжений по	методу, приведенному
в работе	[2.8], в большинстве случаев	дает результаты, очень

близкие к результатам расчета по теории течения. Однако реше­ ние в приращениях избавляет от необходимости анализировать остаточные напряжения и дает возможность проводить расчет при непрерывном пластическом деформировании в некоторых зо­ нах тела, в то время как в других областях происходит разгрузка.

2.6.ПОЛЗУЧЕСТЬ

2.6.1.Основные положения. Задачи ползучести во многом подобны задачам пластичности. При решении таких задач выпол­

няют серию расчетов для последовательных моментов времени от начала нагружения. Каждый расчет определяет увеличение деформации ползучести за соответствующий интервал времени по сравнению с предыдущим расчетом. Сначала необходимо по-

104

стулировать два важных соотношения: 1) зависимость между напряжением, деформацией и временем при сложном напряжен­ ном состоянии; 2) зависимость, определяющую изменение дефор­ мации ползучести в случаях действия напряжений, меняющихся во времени.

2.6.2. Зависимости напряжение—деформация—время. Возмож­ ность расчета не связана с формой кривой ползучести, поэтому для иллюстрации метода можно выбрать какое-либо частное соотношение для ее описания. Для трехосного напряженного состояния эквивалентное напряжение <т, определяют по соотноше­ нию (2.3), а эквивалентная деформация ползучести г1с может быть вычислена при известных компонентах вхс, еус и ггс по фор­ муле (2.4). Предположим, что эквивалентное напряжение, экви­ валентная деформация и время т действия постоянных напряже­ ний связаны степенной зависимостью

е,с = /Са"'т'1.

(2.23)

В интервале времени Ат приращение эквивалентной деформа­ ции ползучести равно Аг1с. Дифференцируя (2.23), получаем

Де,с = пКаТт"-1 Дт.

(2.24)

Предполагается, что приращения отдельных компонентов де­ формации ползучести связаны с компонентами напряжения, эквивалентным напряжением и приращением эквивалентной де­ формации такими же соотношениями, как и в теории течения. Для цилиндрической системы координат, например,

(2аг— ое — стг);

		А е ,	а г);	(2.25)
	ДбОс = ~2^ Г (2а6 — °г ~
	Авде=	Аегс
2.6.3.	Зависимости,	определяющие изменения деформации пол­
зучести. Рассмотрим сначала случай одноосного напряженного
состояния,	когда напряжение изменяется		в процессе испытаний.

Если оно изменяется после достижения некоторой деформации ползучести при заданном постоянном напряжении, возникает вопрос о том, как будет выглядеть кривая деформация — время. На этот вопрос пока не может быть дан окончательный ответ, но даже при произвольной зависимости последовательность рас­ чета может не меняться. Три гипотезы ползучести, рассмотренные в работе [2.7], показаны на рис. 2.11.

При гипотезе старения основным фактором, определяющим скорость ползучести, является время пребывания при данной температуре, независимо от истории нагружения. Если, например, напряжение 28 кге/мм2 действует в течение 5 ч, то кривой на­ чальной ползучести является кривая ОА (рис. 2.11, а). Пусть

затем напряжение внезапно изменяется до 24,5 кгс/мм2 и сохра­ няется на этом уровне 20 ч. В этом случае процесс непрерывной ползучести изображается кривой А'В, где точка А' расположена ниже А по вертикали. Если далее напряжение вновь падает до 21 кгс/мм2, то новая точка В' лежит на вертикали под В , и пол­ зучесть протекает по линии В'С и т.*д.

V

Если через т 0 обозначить время начала соответствующего интервала ползучести, то уравнение (2.24) можно разрешить относительно стг, заменив время т на среднее время (т + Дт/2) интервала Дт. Таким образом получим

=

<2-26>

По гипотезе упрочнения предполагается (рис. 2.11, б), что главным фактором, определяющим скорость ползучести, яв­ ляется деформация, независимо от истории изменения напряже­ ния, вызывающего соответствующую деформацию. Следовательно, в процессе действия ступенчато изменяющихся напряжений соот­ ветствующие точки на кривых ползучести при новом уровне на­ пряжения можно получить путем продолжения горизонтальных линий (постоянная деформация), как показано на рисунке. Чтобы получить зависимость между напряжением, деформацией и при-

106

ращением	деформации, исключают время из уравнений (2.23)
и (2.24).	Так, если &.с0 эквивалентная деформация ползучести

в начале интервала времени Ат, в течение которого напряжение изменяется до сг(., а Де*с — приращение эквивалентной деформа­ ции ползучести за время интервала, то результирующее соотно­

шение имеет	вид	'
О,	-	К - '" ( $ § ) " " ( « „ +	(2.27)

Гипотеза относительной долговечности является сочетанием гипотезы старения и гипотезы упрочнения. Если, например (рис. 2.11, в), при напряжении 24,5 кгс/мм2 ползучесть разви­ вается до уровня деформации, соответствующего точке В, а затем напряжение уменьшается до 21 кгс/мм2, то точка В’ распола­ гается так, что время, соответствующее достижению этой точки, составляет ту же часть общей долговечности до разрушения при постоянном напряжении 21 кгс/мм2, что и время, соответству­ ющее точке В при постоянном напряжении 24,5 кгс/мм2. Таким образом, если, например, время, соответствующее точке В, со­ ставляет х/4 полного времени испытаний при постоянном напря­ жении 24,5 кгс/мм2, то точке В' соответствует время, составля­ ющее х/4 долговечности при напряжении 21 кгс/мм2.

2.6.4. Последовательность расчета. Рассмотрим последователь­ ность расчета на примере вращающегося диска. Пусть егС0 и е0(ГО— компоненты деформации ползучести в момент времени т 0, вычис­ ленные в некотором предыдущем расчете. Определим приращение деформации ползучести Дегс и Де0с за приращение времени Дт. Если е, и е0 — полные деформации за средний интервал времени, и сг и а0 напряжения, действующие в это время, то

ег = ~ Ё

(а г — М'Ое) +

а Т

+

егсО + ~2

^ ъгс\

ео~

( ° в — ^г) 4

~

+ Ч с о

+ ~7г Де0с-

(2.28)

Запишем уравнение совместности,

используя

эти

уравнения:

4г \

Е

Е

\

г/Т \

г

|

^е8с \

_

+

^

+

е9«о +

2

/

__

1

И*

. О’г — ^8

|

Бгсо — &всО ,

АВ/ч? — Абдс

(2.29)

Е

г

'

г

'

2г

Уравнение

равновесия для диска

имеет вид

-^ Г (гН а г) —

йств +

рсо2г2А. = 0.

(2.30)

Прежде всего необходимо иметь кривые ползучести при раз­ личных температурах и напряжениях и в уравнении ,(2.23) опре­ делить К, т и п для каждой точки диска с переменной по радиусу

107

температурой. Задачу можно существенно упростить, если ис­ пользовать предложение Дорна, согласно которому кривые пол­ зучести при заданном напряжении, но различных температурах,

совпадут, если		деформация ползучести нанесена в зависимости
от те~д" / * г,	где	АН — постоянная		материала; К — универсаль­
ная газовая	постоянная, а		Т — абсолютная температура [2.9].
Таким образом,		уравнение	(2.23)	приобретает вид
	е,-с =	К а ? ( т е ~ АН1ПТ) п =		( Н е Г п АН/НТ) аГтп.	(2.31)
Постоянные т и п одинаковы для всех точек диска,					но коэф­

фициент К' = Кё~ пАЯ/ЛГ изменяется от точки к точке, поскольку изменяется температура по радиусу. Коэффициент К' легко вычислить, если К, т и п определены из серии испытаний при одной температуре и АН получено из испытаний на ползучесть при постоянном напряжении и нескольких выбранных значениях температуры. Известную из эксперимента' зависимость К от тем­ пературы можно использовать непосредственно.

Упругие (или упругопластические) напряжения в диске перво­ начально вычисляют без учета ползучести, что соответствует распределению напряжений в момент приложения нагрузки т = 0. После этого можно перейти к первому интервалу времени. Дли­ тельность этого интервала зависит от конкретных условий задач. Одно из важнейших требований заключается в том, чтобы при расчетах приближения были сходящимися (если интервал вре­ мени принят слишком большим и приближения расходятся, то необходимо выбрать меньший интервал) и чтобы изменение на­ пряжений в каждом интервале сохранялось малым (например, 0,7 кгс/мм?).

Следующим шагом является сокращение приращения деформа­ ции ползучести за первый интервал времени, хотя это не очень существенно, так как последующие итерации быстро приводят к верным значениям. Однако поскольку процесс сходимости после­ довательных приближений зависит от исходного приближения, для задачи ползучести можно рекомендовать в качестве исходного для первого интервала времени предположение о том, что напря­ жения не изменяются в выбранном интервале. В этом случае [ап сг0 и а1 известны из упругих и пластических расчетов и значение а,- используется в интервале Ат в уравнении (2.24) для определения эквивалентной деформации ползучести Ае1С за рассматриваемый интервал времени. По этой деформации ползучести и по напряже­ ниям из уравнения (2.6) определяют деформации Деес и Дегс.

Порядок действия дан блок-диаграммой на рис. 2.12. Значения Аегс и Де0с после их определения подставляют в уравнения равно­ весия и совместности (2.29) и (2.30). Указанные дифференциальные уравнения становятся линейными и разрешаются относительно <тг и ст0 в конечных разностях или каким-либо другим удобным спо­ собом. Одновременно АегС и Аевс подставляют в уравнение (2.5)

108

для получения эквивалентной деформации, по которой из уравне­ ния закона ползучести (2.24) вычисляют эквивалентное напряже­ ние сг(-.

По значениям ог, а0, а1 и Ав[с и уравнению (2.25) вычисляют новые значения Авгс и Ае0с. Если они не совпадают с первоначально принятыми значениями (они не совпадают, если ползучесть по­ влияла на напряжения), то их используют в качестве следующего приближения и расчет повторяется. В большинстве расчетов, проделанных автором и его сотрудниками, за критерий окончания

Рис. 2.12. Блок-диаграмма для задачи ползучести:

/ — закон ползучести, уравнение (2.24); 2 — соотношение между на­ пряжением и деформацией по уравнению (2.25); 3 — уравнение'равно­ весия, уравнение совместности; 4—соотношение между напряжением н деформацией для известной деформации ползучести

расчета принималось совпадение величин деформаций в пятой значащей цифре; такая точность, однако, в ряде случаев оказы­ вается излишней.

Исходные значения АвгС и Де0с во втором интервале могут быть получены на основе допущения, что скорость ползучести, достигнутая в первом интервале, сохраняется и во втором. Так что исходные величины деформации ползучести во втором интер­ вале вычисляют по скоростям деформации первого прямо пропор­ ционально времени интервала. Схема дальнейших вычислений идентична приведенной. Аналогична последовательность дей­ ствий для последующих интервалов времени, которые могут быть увеличены, если замедляется темп изменения напряжений.

Результаты расчетов, проведенных в предшествующих интер­ валах, могут служить руководством для выбора последующего интервала времени, за который изменение напряжений не превос­ ходит некоторой произвольной величины, например, 0,7 кгс/мм2. Если напряжения не изменяются, т. е. устанавливается стацио­ нарное состояние ползучести, то критерием временного интервала

может быть значение деформации ползучести за интервал. В дей­ ствительности в большинстве случаев дальнейшие расчеты не нужны, так как при установившемся напряжении скорость пол­ зучести стабилизируется. Только в том случае, когда вследствие ползучести происходит такое изменение размеров, которое ока­ зывает влияние на напряжения, необходимы дальнейшие расчеты. Примером может служить вращающийся диск, ползучесть ко­ торого в радиальном и тангенциальном направлениях вызывает уменьшение толщины.

°С	б „ н г с /м н г

Рис. 2.13. Изменение напряжения вследствие ползучести во вращающемся диске с радиальным перепадом температур:

а — распределение температур; б — изменение в процессе ползуче­ сти напряжений и профиля диска

2.6.5. Пример. На рис. 2.13, б показаны результаты расчетов ползучести диска с распределением температур, представленным на рис. 2.13, а. Закон ползучести принят в виде

о	аг 1л 29	—0,0027- 3,28
8 = 3,45-10		-е	«V т;
рсо2/?2 = 101,2	кгс/мма; а		= 18-10" 6 Ч°С.

Кольцевые напряжения на ободе первоначально являются сжимающими из-за стеснения теплового расширения, но затем они быстро релаксируют вследствие ползучести. Температурные напряжения в центре равны 28,1 кгс/мм2, но постепенно релакси­ руют до напряжений около 14 кгс/мм2, поскольку деформации, вызванные температурными напряжениями и напряжениями от центробежных сил, более равномерно распределяются по всему диску за счет ползучести. На рис. 2.13, б в увеличенном масштабе показано также изменение контура диска. Вначале он имеет одинаковую толщину, но через 500 ч толщина в центре значи­ тельно уменьшается, а радиус увеличивается. Снижение несущей способности в результате уменьшения толщины и увеличения центробежных сил из-за увеличения диаметра приводят со време­ нем к состоянию неустойчивости, вызывающей разрушение диска,

по