книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

где Н— толщина диска; ог и <т0 — радиальное и кольцевое напря­ жения; р — плотность материала диска; © — угловая скорость; Е — модуль упругости; р. — коэффициент Пуассона; а — коэффи­ циент теплового расширения; АТ — разность температур.

Для приведения дифференциальных уравнений к конечно-раз­ ностной форме выбирают некоторое число дискретных положений точек вдоль радиуса диска, как показано на рис. 1.15, а. Если допустить, что распределение напряжений в диске уже известно,

Рис. 1.15. Схема, используемая при составлении уравнений в конечных раз­ ностях для симметричного вращающегося диска:

а — расположение точек п и п — 1; б — вид типичной функции в промежутке между точками п и п — 1

то все величины в уравнениях (1.91) и (1.92) известны для каждого положения точки, и тогда могут быть приближенно определены значения соответствующих величин в точке А, находящейся по­ середине между п-м и (п — 1)-м положением точки. Например, на графике зависимости-величины гКа. от г (рис. 1.15, б) радиус в точке А

Га = - ^ ( гп-1 + гп),

(1.93)

величина гкаг определяется из соотношения

(г/юДд

2

л-1 ”Ь Гп^па гп)*

(1.94)

а наклон кривой в точке А, который приблизительно равен на­ клону хорды, соединяющей точки л и п — 1,

	ГпНпРгп ГП -Фп-^Г П- 1	(1.95)
	ГП--1

Аналогично в точке А могут быть оценены значения любой другой переменной, входящей в уравнения. Значения переменных

в точке А должны удовлетворять уравнениям (1.91) и (1.92), ко­ торые в конечно-разностной форме записываются следующим образом:

	ТпНгРг, п		ТП-Т^П-хРг п-1			ЬпРйп Нп-хОв Л-1 I
	,						9	I
	+	Ш2 ^ РпНпГ1 + Рп-А-Л-1_^ =						0	.96)
И
с% 1	СТе П -1		Ц п Р г п		И л - 1 ^ Г Л -1
Ед___ ^Л-1			Еп		Еп_1		, СХ.пЪТп —
Гп— *Л-1			Г п		ГП-1		Гп — ГЛ- 1
___Г 0 + Ил) (агя — °~0л)				I	0 ~Ь Н*Л-1) (агп- 1			^9 Я-1) 1	-- 0^
2	I	^ЛГЛ					^Л-1гЛ-1	А
Эти уравнения		приводятся к				соотношениям			(1.97)
	СпРгП		^лРъп--Р пРг л-1 "Ь °ла0 л-1					Нп	(1.98)
И			/		/		/
	Г							г	(1.99)
где	Сп®гп — Д ^е, п — РпРг л-г-1 — ОдСТе /2—1							Н пуN
				С п = ГпК>
	г '		_ Ил	|	О+ИлН^л — О1-1) .
		п _		1		22Г„гл
				2		^1-1) ^Л>
	Г)'_ 1			1	(^Ч~ М-п)		д — гл-0 .
				+н*		2В„ГП
			Рц = гП-Ф'П-Ъ						( 1. 100)
	р ‘	_	Цл-1 _		П Ч~ Рл-а) (Гп — гп-х)
	п		Еп_х			2Вп_1гя_1
			Оп ~	2	(^п	^п-з) ^П-1»

_____0 + Iхл-1) Ря — гп~х)

Оп

Еп-х ^^п-хТп-х

1

Н п = ~ 2 <& (Гп — Г п - 1 ) ( р Л Л + Рл-1/1л-1/-л-1);

Н а ~~ & п ^ Т п С1л_:1АТп—1.

1.14.2.Решение уравнений в конечных разностях. В уравне­

ниях (1.98) и (1.99) огп и о0„ могут быть выражены через стг„_х и о0„_!• Если уравнения являются линейными и имеется возмож­ ность последовательного применения уравнений для перехода от одной точки к следующей, напряжения в точке могут быть выра-

52

жены линейно через напряжения в любой другой точке. Целесооб­ разно выразить напряжения во всех точках через напряжения

вточке а, которую для сплошного диска выбирают очень близко

кцентру, а для диска с центральным отверстием — на радиусе отверстия. В этой точке неизвестной величиной является коль­ цевое напряжение сте, а. Отсюда напряжения в точке п выражаются линейной функцией

^ =	Л»Ов. + В,«; |	(1.Ю1)
°0я — АбпРоа “г ” ви 1
а в точке (п — 1) в виде
°г .1-1=	А п-1а0а + В, „_1-,
°е 1-1 = А п-1°ва "Ь В&п-ъ		(1 102)

где коэффициенты Агп, Вгп,- Л0л и Вв„ еще не определены. После подстановки выражений (1.101) и (1.102) в уравнения (1.98) и (1.99) и разделения членов уравнения на содержащие и не содер­ жащие а0а, получают

(СпАгп	ПлЛ0л	РпА^п_1	. ОлЛ0 п-1) ова -|-
+ (Спвгп -	В Д „ -	Гпвг -	ОпВ, п- 1 +	Нп) =	0 (1 .1 03)
и
(С пА т — А,Ле„ — РпАгп—1 + ОпАд ц—1) 00а +
А (СпВгп — Р/гВоп — РпВг 1 —1			СпВв п—1	Н л) =	0.
					(1.104)

Напряжение а0а зависит только от граничных условий, по­ этому при соответствующем выборе факторов, определеющих граничные условия (нагрузка на лопатки, посадочное усилие бан­ дажа), это напряжение может быть найдено при любом значении граничных условий. При этом остаются справедливыми уравнения упругости (1.91) и (1.92) и их конечно-разностная форма (1.103)

и(1.104). Если уравнение в форме сх + (I = 0 справедливо для всех значений х, оба коэффициента с и й должны быть равны нулю. Так как уравнения (1.103) и (1.104) справедливы независимо от значений а0а, то коэффициенты при сг0л должны быть равны нулю,

идва уравнения приводятся к четырем:

СПАТП В)ПА^П . РПАГ			-(- СлЛ0 П_1 — 0;
СпАт	Д А »	РпАг п—1 С„Л9 Л_1 = 0;
С пВ гЯ	Д А »	а д 1-х	(1.105)
			С пВ $ л_х "Ь н п — 0;
СпВгп Д А Л Р п В г п—\ +			СПВ® 1 —1 ' Нп == 0,

	Коэффициенты Агп, Л0л, Д				и Ввп могут быть определены из
	этих уравнений в виде
	Агп=		КпА,		+ ВпАв
	А^п=		КпАг п—1Ч- М е п—и					(1.106)
	=	К„ВГ		-)- ЬпВе п_{ 4* Мп\
	Ввп =	К'пВг„_1 -)- ЕдПе „_1 +					М'п,
	где
			' А .		V »
			ЭД,-		с а	’
			__ СпРп		СпРп
			С ,Р п - С п » п
				О А + в А , .
				С пО п - С ,Р 'п		’		(1.107)
			_	с Х	+ с Х	,
				С Л г - С р У
		м я= К		А г + ^ Л .
			С Р п - С Л '
			с'пнп + спн’п
			спЬ п - с поп
	Если коэффициенты Л,я, Л0Я, Вгя и 5 0„						известны для точки

(п — 1), они могут быть определены для точки п из уравнений (1.106).

Коэффициенты в первой точке (г = а) могут быть найдены при рассмотрении сплошного диска и диска с центральным отверстием. Согласно уравнению (1.101) для сплошного диска, в котором коль­ цевые и радиальные напряжения в первой точке равны о0а,

Ага — А$а=	1;
В га — В $а =	0.

Для диска с центральным отверстием, в котором радиальные напряжения в первой точке равны нулю, а кольцевые равны ст01 а,

^га — Вга— В0в= 0;

■Ада— 1 •

Коэффициенты во всех других точках могут быть определены по известным коэффициентам в первой точке с помощью последо­ вательного применения уравнения (1.106). После этого из рассмо­ трения заданного граничного условия может быть найдено неиз-

54

вестное напряжение ст0а. В большинстве случаев задана радиаль­ ная нагрузка на ободе. Радиальное напряжение на ободе о,ь — это центробежная нагрузка лопаток. В этом случае

а гЬ — А гЬа 0а 4" В ГЬ

или

_&гЬ		(1.108)
■>ва ■	АгЬ

где АгЬ и ВгЬ — коэффициенты для радиального напряжения на ободе. Радиальные и тангенциальные напряжения во всех точках могут быть получены из уравнения (1 .1 0 1 ), после того как опре­ делены о0а и все коэффициенты.

Основное значение метода состоит в том, что он дает возмож­ ность решать те уравнения, которые не могут быть решены точ­ ными методами. В работе [1.20] приведены соответствующие при­ меры.

1.15.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

ВДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ

Метод конечных разностей имеет особое значение для решения задач с двумерными граничными условиями, особенно в случаях геометрически неправильных границ. Так как наиболее общая дву­ мерная задача относится к решению бигармонического уравнения, применительно к нему дано описание этого метода.

1.15.1. Уравнение в конечных разностях для использования в методах релаксации. Как отмечалось, для постоянного значе­ ния Еа температурные напряжения могут быть определены после

	решения уравнения для		функции напряжений
	или	У 4Ф +	Е аЧ *Т = 0	(1.109)
	д*ср	2сИ(р .	д4ср .	( 1. 110)
	~дх*	дх" ду-	"т
	где Т — Т (х, у)	— температура в точках (х, у),		отсчитанная от

некоторой равномерной температуры, при которой не возникают температурные напряжения.

Это уравнение должно быть записано в конечных разностях относительно определяемых частных производных.

Пусть тело разделено прямоугольной сеткой (рис. 1.16); рас­ смотрим значение функции напряжений ср0, фц ф2, в узловых точках. Для получения высших производных сначала необходимо

определить	производные более низкого порядка. Таким образом,
в середине	участка между точками 0 и 1
/	.).	(1.111)

В середине между точками 0 и 3

( 1. 112)

Вторая производная в точке 0- получается путем определения

изменения наклона между А		и В:
/ д > \	1 П	дф А _	/ дд> \	1
\дха /о	б 1Л	дх ) а	\ дх ) в \
=	- р -(ф 1 — 2ф0 +		Фз)-	(1.113)

Аналогично могут быть записаны выражения для второй произ­ водной в точках 1 и 3 через значения функции напряжений в точ-

„

ках 0—1—5 и 0—3—9 соответ­

ственно. Третьи производные в А

и В определяют по изменениям

7

вторых

производных

в

соседних

узловых точках точно так же, как

, 1г

получены первые производные, ис­

л г

*

ходя из рассмотрения

изменения

4

В

А

1у

1г-----------

свойств функции напряжений. На­

9 5

В

0 А '

1

5

конец,

четвертая

производная в

У— о —

<)---------- <

точке 0 получается

из

рассмотре­

\ 10

А 1

1

11

ния изменения

третьих

производ­

------------( *-----------

ных в точках А к В.

11

Таким,

образом,

•4<р3 -ф-

Рис.

1.16.

Расположение

точек

+ Фв +

Фэ)>

(1.114)

выражение

для

(<54<р!ду*)0

анало­

сетки для записи бигармониче-

ского

уравнения

через

конечные

гично

определяется

через

значе­

разности

ния <р в вертикальных узловых

точках.выше и ниже 0.

Для того

чтобы получить

<Э4<р

д2ф

в точках

0—2^-4

-^ 2 дуг > находят значения

по уравнению (1.113), а вторые производные этих функций в на­

правлении у получают аналогично с заменой		выражения
™	Тогда
	^ дх2 ду2- ) „ = "{Г Нфо 2 (ф, 4- ф, ф,	<р,) -|-
	+ Фв + Фв.+ Фю + Фи!*	(1.115)

Аналогично могут быть получены значения вторых производ­ ных температуры для определения у 2Т в точке 0.

56

Таким образом, подставив все выражения в конечных разно­ стях в уравнение (1.110), получим окончательное уравнение

20<р0	8 (ф1 -{- фг + Фз + Ф4) + 2 (фв + Фв И- Фю Ч* Ф12) +
Ч~ Фв +	Ф7 Ч~ Фо + Фи Ч~ Баб2 (Тх + Т2 + Т3 Ч-Т^ — 4710) =
= 0.	(1.116)

1.15.2.Установление граничных условий. Односвязные области имеют только одну границу и значения ф на границе и вблизи от нее могут быть произвольно взяты равными нулю, ,так что

Ф = - ^ = - | | - = 0 . Таким образом, уравнение (1.110) должно

быть решено только для этого вида гра­ ничных условий. Для многосвязной обла­ сти граничные условия оказываются зна­ чительно более сложными. Ниже описан метод расчета для двухсвязных областей; он легко может быть распространен на любую многосвязную область.

Рассмотрим пластину с наружной по­ верхностью А и отверстием В (рис. 1.17). На контуре отверстия В граничные усло­ вия (см. раздел 1.3.5):

Ф =*ах + Ьу + с\ -|2- = а; ^г = Ь\

Рис. 1.17. Граничные ус­ ловия для двухсвязной области

Однако а, Ъи с не могут быть произвольно приняты равными нулю, так как свобода выбора имеется только по одной границе,

и этот выбор уже был сделан, когда были приняты ф =

= 0 на контуре А. Поэтому значения а, Ь и с должны устанавли­ ваться из условий единственности решения'. Процесс их опреде­ ления рассмотрен в разделе 1.15.5. Пока ограничимся способом получения решения, которое содержит три установленные кон­ станты а, & и с. Рассмотрим следующие частные решения:

1) Фв. удовлетворяющее дифференциальному уравнению

У 4фв = 0

с условиями

ф0=

- ^

=

== 0

на

границе

А

и Ф =

*»

ТЯГ =

Ь

~

0

на

гРанице В;

2)

Фь,

удовлетворяющее

дифференциальному уравнению

У 4ф&

= 0

с условиями

фь

= - ^ - =

-^ - = 0

на

границе

А

и Ф&

= у,

- ^ - = 0 , ^

=

1 на границе В\

3)

фс, удовлетворяющее дифференциальному уравнению у 4фс =

=

0 с условиями фс =

=

0 на границе

Л и фе =

1

4 ^

=

1 ^

= 0

на границе

В\

4)	фа, удовлетворяющее дифференциальному	уравнению
У 4Ф<* +	Еа^?2Т = 0 с условиями ф^ =	= О на

обеих границах Л и В.

Каждое из этих четырех решений соответствует задаче с кон­ кретными числовыми граничными условиями; способ получения этих решений рассмотрен в следующих разделах. После нахожде­ ния частных решений составное общее решение принимает вид

ф =	скра + %		+	+	ф*.				(1.117)
Рассматривая свойства частных решений, можно видеть, что
составное решение (1.117)		удовлетворяет				дифференциальному
	уравнению (1 . 1 1 0 ) и граничным условиям
	Ф =	=	-0- =	0	на		поверхности			А и
	Ф =	ах +	Ьу +	с,	^		= а,	=	Ьна по­
	верхности В. Следовательно, оно								является
	окончательным решением.
	1.15.3.									Числовые
	напряжений в узловых точках около гра­
	ницы. Каждое из частных решений имеет
	заданные числовые значения функции на­
	пряжений и ее производных на границе.
Рис. 1.18. Узловые точки	Однако, поскольку уравнения в конечных
в окрестности границы	разностях содержат ф только в заданных
	узловых		точках	и		в	большинстве			слу­
чаев, включая нерегулярные границы, узловые точки могут ле­
жать не на границах,	необходимо вывести формулу для значе­
ний функции в узловых точках около границы. Это легко сделать,
как видно, например,	на рис. 1.18. Пусть					А г и А 2 —			узловые
точки около истинной граничной точки А. Очевидно фл, =										фа +
+ ? (дф1дх)А и		<рА — Р(д(р/дх)А,
Ч>А2 =

поэтому функция напряжений в двух узловых точках, соседних с этой границей, может быть всегда определена, так как в практи­ ческих задачах функция напряжений и ее производная на границе заданы.

Для решения фй, в котором производная не равна нулю в на­ правлении у, следует определять значения ф в точках сетки с каж­ дой стороны от граничной точки в вертикальном направлении. Может оказаться целесообразным взять среднее значение величин, полученных для вертикальных и горизонтальных направлений. В любом случае, если в качестве расчетной границы рассматри­ ваются ближайшие к истинной границе внешние узловые точки, например Аг — В г — С2, этот способ позволяет установить чис­ ловые значения функций для узловых точек на границе и для уз-

58

ловых точек непосредственно внутри границы. По мере измель­ чения сетки различия между узловыми точками и истинной гра­ ницей уменьшаются.

1.15.4. Определение частных решений Методом релаксации. Если значения функции напряжений около границы известны, то уравнение (1.116) может быть применено для любой узловой точки сетки. Распределение температуры входит в уравнения только в случае решения для ф/, в других решениях члены, со­ держащие температуру, опускаются. Поскольку может быть на­ писано столько уравнений, сколько имеется неизвестных значений функций напряжений в узловых точках, каждое решение опре­ деляется однозначно.

Уравнения в конечных разностях могут быть решены двумя путями. Если число узловых точек мало, уравнения могут быть решены обычным способом с помощью одного из методов решения систем уравнений. Однако часто число уравнений оказывается большим, и тогда метод релаксации становится предпочтительным. Сущность этого метода кратко описана ниже, однако надо иметь в виду, что фактически применяемая методика содержит много

усовершенствований; работы [1.33 и			1.34] могут	быть	полезны
для	уточнения деталей	фактической	методики.	быть	сделана
В	методе релаксации	первоначально должна

оценка значений функции напряжений во всех узловых точках. На границе и в точках сетки, смежных с границей, значения функ­ ции напряжений известны из заданных граничных условий. В уз­ ловых точках, удаленных от границы на два шага сетки, вначале должна быть сделана оценка по какому-либо из методов. Эта оценка может быть получена с помощью предварительного реше­ ния методом сеток, в котором уравнения решаются непосред­ ственно, идеализированного решения или даже предположения.

Основное преимущество метода релаксации заключается в том, что он дает исследователю возможность использовать свою ин­ туицию для получения ответа в первом приближении. Чем лучше первое приближение, тем быстрее может быть получен правиль­ ный ответ; но даже при неверном первоначальном предположении, метод приводит к правильным результатам. Правильность выбора серии узловых значений ф определяется с помощью уравнения. (1.116), применяемого в каждом узле сетки, удаленном от границы на два-шага (для сра, <р&, срс члены, содержащие температуру, опу­ скаются). Если значения ф являются точными, уравнения удов­ летворяются в каждой узловой точке, и левая часть уравнения всюду равна нулю. Если оценка не является правильной, в каж­ дой точке сетки возникает невязка, численно равная результату, полученному подстановкой значений ф в левую часть уравнения. Далее следует изменить ф, чтобы по возможности свести невязки к нулю. Этот процесс называется релаксацией.

Согласно уравнению (1.116) изменение ф0 на единицу дает изменение невязки в точке 0 на 20 в то время, как невязка в точке 1

•изменяется на —8 (невязка в точке 1 содержит член —8ф0, если уравнение в конечных разностях написано для точки 1).

Таким образом, можно видеть, что изменение функции напря­ жений в одной узловой точке имеет большое влияние на невязку именно в этой узловой точке и меньшее — в других. Поэтому первой узловой точкой считают точку с наибольшей невязкой. Значение <р0 изменяют здесь .таким образом, чтобы снизить невязку до нуля. Так как это значение ф изменяется, невязки в соседних узловых точках также меняются в соответствии с коэффициентами перед фо в выражении для невязок. Значение коэффициента за­ висит только от положения узловой точки, и опытный исследова­ тель на основании анализа может быстро записать изменения в не­ вязках во всех связанных точках сетки. После того как наиболь­ шая из невязок уменьшена И' другие изменились соответственно, но в меньшей степени, оставшаяся наибольшая невязка вновь уменьшается, и процесс повторяется до тех пор, пока все невязки не приблизятся к нулю. Невязка, в некоторой точке сниженная в каком-либо приближении до нуля, не сохраняет нулевого зна­ чения, при последующем уменьшении невязок в других точках сетки вокруг нее, и релаксация в любой точке может проводиться несколько раз, прежде чем все невязки окажутся существенно сниженными. Процесс обычно сходится, и невязки могут быть постепенно уменьшены последовательным применением метода релаксации.

Когда невязки достигают удовлетворительного низкого уровня, целесообразно использовать полученное решение как основу для выбора значений функций для более частой сетки. Процесс затем повторяется до любой желаемой степени точности. Процесс ока­ зывается достаточно трудоемким, и поскольку он во многом ос­ нован на интуиции исследователя, не применяется для машинного счета, который тем не менее возможен [1.42].

1.15.5. Определение постоянных для многосвязных областей. Для двухсвязной области процесс состоит из решения четырех вспомогательных задач с заданными граничными условиями и по­ лучения общего решения по выражению (1.117). Константы а, &и с являются произвольными, поэтому выражение (1.117) удов­ летворяет как дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям на свободных поверхностях. Они определены из условий однозначности перемещения и поворота, как показано в разделе 1.2.5. Общая задача рассмотрена в работе [1.41, а частное решение для плоской задачи о температурных напряжениях дано в работе [1.35]. Идея метода состоит в интегрировании выражений для дифференциалов перемещения и поворота вдоль любой линии, включающей отверстие. Если эти интегралы однозначны как в слу­ чае, когда подынтегральные выражения являются полными диф­ ференциалами, значения перемещения или поворота остаются теми же по возвращении в начальную точку независимо от пути интегрирования и, следовательно, контурный интеграл равен

60