книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Устойчивость плоской формы изгиба

71

72	Устойчивость стержней

Продолжение табл. 35

Схема Критическая нагрузка

а—Ч;			„	к V ВУС
			кр	Т-------
Я г - - 1- —	П	0 . 1	0,2	0,3	0,4	0,5
			53,2	35,2	28,5
			кр	У ВУ
				4 8 ,	р

						КР—	к]Гвус
ш		т					/8
		0,2		0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
к	138	67,1	47,0	40.1	39,9	46,2	64,2
Я Щ 1 Ш Ц И П							У вус
						(«'>№ - 84'8 Ч		? -
	3 ^					кр	к\ГВуС
							Тг
а:1	0,1	0,2		0,4	0.5	0,6	0.7		0,9
	145	67,6		40,7	41,8	50,5	75,0	150
							у	в ис

Я	<,/)*„= 86,4

		Устойчивость плоской формы изгиба						73
						Продолжение табл. 35
	Схема			Критическая		нагрузка
			Вертикальные		перемещения		опорных се­
’3У~-а^\р			чений предполагаются ненозможными
					к\ГЩс
			а : I	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
				393	114	63,1	47,2	43,2
			Вертикальные		перемещения		опорных се­
			чений предполагаются невозможными
						У ВС
				(<70, „ = 98,7 —
	Н—а				“ V в ас
	Н---------1-
а : I	0.1	0.2	0,4	0,5	0.6	0,7	0,8	0.9
			52,6	50.2	57,7	82,2	161	621

Я ШШШПНН!		(,1)кр= 120,6			|Л в с	-
					УМ-
П				и У в ис
— а \р		КР		I*
в—|Р
а : I	|	0.1	0,2	|	0,3	0.4 |	0,:
к	|	608 |	155	| 80,9 [		58,6	53.0
1БШ Ш Ш 1 Щ		но,	= 129.1		У в ис
					4 —

74	Устойчивость стержней

Для определения критических соотношении между несколькими дей­ ствующими на полосу силами может быть использован метод наложе­ ния. Он позволяет получить результат по критическим значениям более простых нагрузок, из кото­

рых состоит заданная нагрузка. Для схемы, показанной на рис.

57, критические комбинации сил Я< определяют по формуле

Рис. 57	^	——- ■= 1,	(76)
	* =	1

где Я,- — заданные силы; Р'1КР — критические значения сил (определен­ ные в предположении, что другие нагрузки отсутствуют).

Если в формуле (76) использованы точные значения критических сил Р(К , то вычисление дает заниженные значения критических на­ грузок. При использовании приближенных значений для Я</Ср, знак

Рис. 58

погрешности, получаемой при пользовании формулой (76), остается неопределенным.

Критическая нагрузка уменьшается с повышением уровня точек приложения и увеличивается с понижением этого уровня. На рис. 58

Рис. 59

дан график, характеризующий этот эффект для схем 2 и 5 в табл. 32; в последнем случае предполагаем, что к = 0,5. По оси абсцисс отложены

значения безразмерного параметра-^- " | / " ( б — расстояние от оси

балки до уровня приложения нагрузки; если нагрузка приложена выше оси. то 6 >> 0, в противном случае б < ; 0). По оси ординат отложены зна-

Устойчивость плоской формы изгиба

75

пения коэффициента ка, на который следует умножить критическое

значение, подученное в предположении, что нагрузка приложена к оси балки.

Если кроме поперечной нагрузки на полосу действуют сжимающие силы, то критические значения поперечной нагрузки уменьшаются. Для консольной полосы (рис. 59, а) критическая сила составляет

		РК	— к0 УВуС							(77)
Значения коэффициента			к0 принимают:
N	/ ~ С ~	- 0 ,1	0	0,1	0,2	0,33	0,5	1,0	2,0	3.0
	- 0 ,2
Р V	В У
К	4,58	4,29	4,01	3,74	3,47	3,14	2,77	1,95	1,15	0,80

Для двухопорной полосы (рис. 59, б) критическое значение момента

МКР -	л ,У в уС		м *	(78)
	I		л 2В„
В других подобных случаях можно пользоваться приблн>
зависимостью
		_ к		(79)
	гк0	= I.
		"кО

в которой Рк м Ык — критические значения поперечной и продольной нагрузок при их совместном действии; Рк0 и Nк0 — критические зна­

чения этих нагрузок при действии каждой из них в отдельности.

Балка двутаврового профиля

Дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы изгиба имеют вид

2 Вуи" -г

= 0;

~ВУУ У - Сф" + Муа" = 0;

здесь к — высота балки. В сложных случаях отказываются от решения системы уравнений (80) и используют энергетический метод, исходя из следующего выражения для полной потенциальной энергии:

О

О

О

в котором О — жесткость одной из полок двутавра при изгибе в ее плоскости.

Формулы для определения критических нагрузок в зависимости от параметров балки, а также безразмерного коэффициента

	/2	2С	(82)
	* “ /12 ’	Л

даны в табл. 36.

76	Устойчивость стержней

36. Критические нагрузки для некоторых случаев нагружения двутавровых балок

Витые пружины

77

ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ Общие сведения

При сжатии витых пружин возможна потеря устойчивости двух питов: а) если в процессе нагружения не происходит посадки витков, то при определенном (критическом) значении сжимающей силы исход­ ная форма равновесия становится неустойчивой и появляется бесконечно близкая к исходной возмущенная форма равновесия, характеризуемая изгибом оси пружины (эйлеров тип потери устойчивости); б) если в про­ цессе нагружения происходит посадка витков (или если пружина изго­ товлена с витками, посаженными один на другой), то при дальнейшем росте сжимающей силы может произойти потеря устойчивости путем перескока в новое состояние равновесия (существенно отличающееся от исходного).

Эйлерова потеря устойчивости может произойти также при скручи­ вании витой пружины; при достижении скручивающими моментами критических значений основная форма равновесия становится неустой­ чивой и происходит переход в новое состояние равновесия, при котором ось пружины становится кривой двоякой кривизны.

При растяоюении витых пружин возможен особый вид потери устой­ чивости, характеризуемый перекашиванием витков; это явление воз­ можно только в тех случаях, когда пружина навита с начальным натя­ жением и посадка витков не нарушается вплоть до потери устойчивости.

Потеря устойчивости сжатой пружины при отсутствии посадки витков

Круглая пружина (рис. 60). О б о з н а ч е н и я:			Вх — Е1Хи	Ву =
= ЕЗу — жесткости	сечения витка при	изгибе	относительно	глав­
ных центральных осей инерции сечения;		С=(НК—жест­
кость сечения витка при кручении; Ю— средний диаметр
пружины; # 0 — начальная высота пружины.
Если выполняется	неравенство

О	< Х Г	' (--&•)	(83)
Но.		■+*
	у

то потеря устойчивости вообщеневоз;можна. Коэффициенту в зависимости от закрепления концов пружины имеет сле­ дующие значения:

Нижний виток защемлен, верхний виток свободен Оба торцовых витка п о д п ер ты ...........................

Нижний виток защемлен, верхний виток подперт Оба торцовых витка защемлены

Рис. 60

У

2,47

9,87

20,2

39,5

Если неравенство (83) не выполняется, то возможна потеря устой­ чивости, причем критическую осадку определяют по формуле

- Ы - /	■+* Ш ’} «
	1 —

78				Устойчивости стержней
По критической осадке (84) можно определить критическую силу
				Р КР =		4СХкр	(85)
						ппЭ* у
здесь	п — число витков.
Если пружина имеет подпертые торцовые витки и изготовлена из
круглого прутка, то условие (83) принимает вид
				^		< 2,55,	(86)
а формулу (84) для критической осадки можно записать
			\ кр =	0.833Я, (1 -		] / 1 - 6 , 5 8 ^ У	(87)
Призматическая				пружина из круглого прутка (рис. 61). Вспомога­
			тельные коэффициенты
						3
				У = ' 12Р(1 + Р) + 3,2(1 + рз)>
				ь	=	1
						2 [ 1 - 1 , 0 7 у ( 1 + Зр)]	(88)
						1
	Рис.	61			$2 = в у ( 1 + 0 , 8 Р ) Ь ’
где	р =	<	1 — отношение		короткой стороны витка		к длинной.
В частности, для пружины с квадратным основанием у =							0,099; ^1 =
= 0,868;		р2 =	0,808.
Потеря устойчивости невозможна, если выполняется неравенство
							(89)
В частности, пружина с квадратным основанием и подпертыми тор­
цовыми витками не				теряет устойчивость, если
				Н0 < 7,94а.			(90)
Если условие (89) нарушено, то потеря устойчивости происходит
при	осадке
			^кр = #061 ^		—	'ЛЬ (т 7 ^ ) ]
(критическая осадка). Для пружины с квадратным основанием
		%кр = 0.868Я, [х — 1 /^ 1 — 0,808т) ( - ^ - ) ’] .					(92)

Витые пружины

79

После вычисления критической осадки находят критическую силу

	йуСккр
Ркр —	(93)
	па3

Потеря устойчивости сжатой пружины с посаженными витками

Сжатая пружина с посаженными витками изображена на рис. 62. При силах Р < Р* единственной формой равновесия служит начальная форма, показанная на рис. 62, а. При силах Р > Р* существуют три состояния равновесия: одно состояние равновесия с прямолинейной осью пружины (рис. 62, а) и два состояния равновесия, которым соответствует изгиб оси пружины (рис. 62, б); устойчивой является форма, которая характеризуется большими прогибами. Кривая состояний равновесия

показана на рис. 63, причем крестиками отмечены неустойчивые искрив­ ленные состояния равновесия. Если Р > Р*, то для перехода из основ­ ной формы равновесия в искривленную форму необходимо преодолеть некоторый деформационный барьер, т. е. создать возмущение в виде дополнительной боковой силы, способной создать достаточно большой изгиб оси (больший, чем изгиб, характеризуемый крестиками на рис. 63). За критическое значение можно принять наименьшее значение сжима­ ющей силы, при котором становятся возможными искривленные формы равновесия, т. е. величину Р*, определяемую приближенной формулой

Ей*

Р*	пЮ ’	(94)
где п — число витков; й — диаметр сечения		витка; Э — диаметр
пружины.
Потеря устойчивости	скручиваемой	пружины

Ниже даны расчетные формулы, относящиеся к пружине из круглого прутка.

О б о з н а ч е н и я : В = Е^х — жесткость сечения витка при изгибе; С — жесткость сечения витка при кручении; И — средний диа­ метр пружины; -V— коэффициент Пуассона; п — число витков.

80	Устойчивость стержней

Если расстояние между торцами может свободно изменяться, то критическое значение скручивающего момента определяют по формуле

	Мкр —	4В	(95)
		пО (2 +
			V )

В случае* когда расстояние между торцами (их центрами) остается неизменным, то критическое значение скручивающего момента со­ ставляет

4В
Мкр = ± пО (2 + V ) [ 1 + 7 Т 7 “ 51п “»]>	(96)

где а 0 — угол подъема витков. Если момент закручивает пружину, принимают верхние знаки в формуле (96), если раскручивает — нижние.

Потеря устойчивости растянутой пружины с посаженными витками

Характер потери устойчивости такой пружины показан на рис. 64. Критическое значение растягивающей силы

_	Ей5
Ркр “	8Д3 ’	(97)

где й — средний диаметр пружины; с1— диаметр сечения витка.

При отношении

10 (для пружинных сталей) до

потери устойчивости возникнут пластические деформации

иформула (97) становится непригодной. Она непригодна

ив тех случаях, когда до потери устойчивости произошло раскрытие зазоров между витками (если зазоры раскры­ ваются, то потеря устойчивости вообще становится невоз­ можной).

Вслучае, когда происходит потеря устойчивости и воз­ никает перекашивание витков, то после разгрузки пру­ жина не восстанавливает свою исходную форму вследст­

Рис. 64 вие действия сил трения между витками.

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Общие сведения

Приведенные ранее соотношения относятся к случаям потери устой­ чивости в упругой области, т. е. справедливы при условии, что вплоть до достижения критического состояния максимальные напряжения не превышают предела пропорциональности материала. Ниже приведены сведения, необходимые для расчетов на устойчивость сжатых стержней с первоначально прямолинейной осью, если критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера,

(98)