книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

упругости и коэффициенты Пуассона во всех направлениях одинаковы, будем'иметь следующие зависимости между деформациями и напряжениями в условиях объем­ ного напряженного состояния, которые выражает обобщенный закон Гука:

ei —	£	1°1 — М1(°2 *Ь ^з)! =			£ [(I "Ь Ц) ° i — Зро0];
						(1.145)
е2 =	4 “	~	P (e» +	0 i)l *	"g" Ю +	14) ста — 3|XCT0J;
е3 =	"g- 10 з —		Ц fa i +	ü a)l =	-}r 1 0 +	H) <*з — 3 |ia 0].

, ^ Выражения (1.145) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направле­ ниям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляют величину второго порядка малости, т. е.

	е* =	- g - [а* — Ц(оу +					а*)1,	yXff= ^ ~ \		(1.146)
	ev =	-g - [ау — р, (oz + огх)],						уиг =	т„
									G
	®z —		1	I1 (а * — Gy)\t				Yzx =	т.гх
			£ l°z						G
	Решая систему уравнений			(1.146) относительно компонентов напряжений,							по­
лучаем выражения напряжений через деформации
	jx — 2G ^ех -f-				j	2ц jA*		Хху =	GVxy’	(U 47)
	аУ =		20 (8» +		1 — 2ц		А) *	Xyz	GyyZ%
	oz =		2G (ег +		- ^	Г	À) ,	тгх =	Gy.
где	G = E/2 (1 — p) — модуль упругости						второго рода А = °х 1			^ -g2	=
=	Or - о2 о*							,
	-------- ----------*“ — объемная деформация; S =							Е/(3(1 — 2р)) — объемный модуль

упругости.

Приведенные выше зависимости дают возможность установить соответствие между компонентами девиатора напряжений н девиатора деформаций в пределах за­ кона Гука:

ех = е.		1 .			.		s.	Ххи — Gyху'г
		2G (Ох — од) —					2С >
		1	,	—		=	Su			(1.148)
еу =	By — е0 =	~2	(<Jy		С9)		,	%у2 =	G yyz)
		Q
ez =	ez — е0 =	1					sz	Tz* ~	GVzx-
		2 (j. (ffz — üe) =					~2G~ ’

Из зависимостей (1.148) следует, что в вределах упругости компоненты девиа­ тора напряжений пропорциональны компонентам девиатора деформаций.

Можно также показать, что между интенсивностями напряжений и деформаций в пределах закона Гука имеет место зависимость

оТ = ЭСе*.

(1.149)

1.2.4. Потенциальная энергия упругой деформации. При статическом нагруже­ нии твердого деформируемого тела внешние силы монотонно возрастают от нуля до некоторого значения, совершая при этом работу, которая аккумулируется в мате­ риале в виде потенциальной энергии, расходуемой на восстановление его первона­ чальных размеров и формы.

В случае простого растяжения или сжатия удельная потенциальная энергия

имеет вид
ае
и = Т	(1.150)
В случае объемного напряженного состояния потенциальная энергия	упругой

деформации будет равна сумме работ всех сил, приложенных к элементарному парал­ лелепипеду (см. рис. 1.42, а). Поскольку рассматривается упругое деформирование, то работа будет равна половине произведения силы на соответствующее перемещение.

Например, нормальная сила azdxdy совмещает работу на перемещение

szdz, равную

1l2azdxdyezdz,

работа касательной силы xzydxdy будет равна

l/2xzydxdyyzydz и т. п.

Сумма работ

будет

àu = ~ Y (охех +

оуву + а2ег +

ххууку +

xyzyyz +

rzxyzx) dxdydz.

(1.151)

Разделив выражение

(1.151) на объем элементарного параллелепипеда

dxdydz, по­

лучим выражение для удельной потенциальной энергии упругой деформации:

С1-15

« = ~ Y

(< №

+Оугу +

о2ег +

хХуУху +

W

ХгхУгх^+

Подставив в выражение

(1.152) полученные ранее соотношения

(1.146),

после

преобразований имеем

1

а1 + °г —

(ах°У +

°У°г +

^ху +

%\z +

Xxz)’

и ~ 2Е [<4 +

< № )]

'

I

(1.153)

Можно также выразить энергию и через деформации

u = G

4 + 4 + 4 + T = T 2j r д 2 + 4 - tâ y +

+ ? У ]-

Выражение для

удельной потенциальной энергии существенно упростится, если рас­

сматривать главные площадки. Для этого случая выражение

(1.152) будет иметь вид

и =

glSl

о83

a3s3

Подставив

в

эту

зависимость

выражения

(1.145),

2

— +

—2 — •

получим

и =г

2 £

[°i + °2

+

°з —

(CTi ^2 +

“b ^3^ 1)1*

(1.154)

Удельную потенциальную энергию можно разделить на удельную потенциаль­

ную энергию

изменения

объема

и0,

т.

е.

энергию,

накапливаемую

за

счет

изменения объема связанную с типовым тензором

и на удельную

потенциальную

энергию формоизменения

Нф, т. е. энергию,

накапливаемую вследствие

изменения

формы, связанную с девиатором напряжений и = uv +

«ф. Имея в виду,

что

и° =

бД2**

+

а з +

^з)2.

(1.155)

и использовав зависимости (1.154)

и

(1.155),

получим

Ыф =

1 + И

(Oj

Од — OjOa — СТяа 3

OgCTj)

3Е

1 +

1*

K^i +

c *)a + (^2 — 0 з)а +

(p3 —

(1.156)

“

6 £

U

1.2.5. Условия возникновения пластических деформаций. При простейших видах нагружения условия возникновения пластических деформаций определяются легко. Так, при растяжении или сжатии эти условия наступают при достижении предела текучести ат, при чистом сдвиге — при достижении тт. В случае, если имеет место плоское или объемное напряженное состояние, эти задачи существенно усложняются, и необходимо вводить условия такого перехода. Поскольку эти условия определяют переход от упругого деформирования к неупругому, они однозначно определяются упругими напряжениями. Условия перехода зависят от физических свойств мате­ риалов и условий испытаний (температура, скорость нагружения), в связи с чем они могут быть различными для разных материалов.

Если предположить, что переход материала из упругого в пластическое состо­ яние осуществляется, когда максимальные касательные напряжения превышают предел текучести (условия пластичности Треска — Сен-Венана), то

ст1 _ 0 3 = (тт.	(1.157)
Недостатком этого критерия является то, что он не учитывает главного	напряже­
ния сг2.

Другим, широко распространенным критерием пластичности является крите­ рий энергии формоизменения (критерий Мизеса), который предполагает, что переход материала из упругого в пластическое состояние происходит, если удельная потен­ циальная энергия формоизменения превышает некоторое предельное состояние, ко­ торое не зависит от схемы напряженного состояния и определяется только свойства­

ми материала и условиями испытания. Тогда из зависимости (1.156)			будем иметь
^ [(°i — аа)2 +	(°а — о3)а +	(с, — <Д)<) = б£ ^
или	, ,
( Ъ - < а)а +	(аа - о 3)* +	(cr3 -<Tï)a = 2о\.	(1.158)

Так как энергия изменения формы пропорциональна различным характеристикам напряженного состояния (октаэдрическое касательное напряжение, среднее каса­ тельное напряжение, второй инвариант девиатора напряжений), известны и другие трактовки этого критерия. Для плоского напряженного состояния зависимость (1.158)

преобразуется к виду of + of — aiai — об­

условив пластичности (1.157) соответствует боковой поверхности бесконечной шестигранной призмы, ось которой проходит через начало координат и одинаково наклонена к осям координат аг, о2, <3. Эта призма образована тремя парами парал­ лельных плоскостей

lOi—о2 | = ± о т; (оа — сг3| = ± о т; |СТ]; — о31= ± о т.

В той же системе напряжений критерий пластичности, следующий из энергии формоизменения, интерпретируется поверхностью бесконечного кругового цилиндра

• i / T

с радиусом у "g О*.

При плоском напряженном состоянии критерий максимальных касательных напряжений имеет вид шестиугольника, а критерий энергии формоизменения — эллипса (рис. 1.48), при этом шестиугольник вписан в эллипс. Анализ рис. 1.48 дает возможность установить области наибольших расхождений между двумя рассмот­ ренными критериями. Наибольшее расхождение будет в точках С, где реализуются схемы двухосного растяжения или сжатия, когда одно из главных напряжений в два раза больше другого. В точках Вг и В2, где имеет место чистый сдвиг, условие мак­ симальных касательных напряжений дает главное напряжение стт/2 , в то время как

для энергетического критерия они будут равны		aJŸ'Z.
1.2 .6 .	Теория пластичности. В случае	неодноосного напряженного состояния

для расчетов напряженно-деформированного состояния за пределами упругости не­ обходимо иметь зависимость компонентов напряжений от компонентов деформаций в этих условиях. Эти зависимости устанавливаются в теории пластичности. Сущест­ вующие в настоящее время теории пластичности можно разбить на две группы [80).

I

Рис. 1.48. Графическое представление условий пластичности для плоского напря­ женного состояния

Рис. 1.49. Обобщенная диаграмма деформирования

ВЦпервой группе теорий, которые называются деформационными, устанавливается зависимость между напряжениями и деформациями. Во второй — пластическая деформация рассматривается как процесс пластического течения материала, в част­ ности получают зависимости скоростей деформаций от напряжений. Эта теория на­ зывается теорией течения. Наиболее простой деформационной является теория упру­ гопластических деформаций. В соответствии с этой теорией в области пластических деформаций (рис. 1.49) зависимость между напряжениями и деформациями при рас­ тяжении, по аналогии с законом Гука, принимается в виде

о — Е'е,

(1.159)

где Е' — некоторая функция деформаций, называемая приведенным модулем де­ формации первого рода, Е' — tg Р = ст/е, tg а = Е. Для случая объемного напря­ женного состояния связь между напряжениями н деформациями принимается в виде

а ; = Е'я%

(1.160)

где а* и 8 * — интенсивность напряжений и деформаций, определяемая зависимостя­

ми (1.127) и (1.142). При этом предполагается, что кривые деформирования, оп­ ределяемые зависимостями (1.159) и (1.160), совпадают. Справедливость соотношения (1.160) обосновывается большим объемом экспериментальных данных, хотя имеются работы, не подтверждающие это соотношение. Тогда зависимость между компонен­ тами напряжений и деформаций при пластическом деформировании по аналогии с (1.148) будет иметь вид

		— <*о = 2 G' (ех — е0),		хху = G*yxy\
		Од — OQ = 2 G7	— 8 0),	хyZ = Gryyx,	(1.161)
		oz — o0 = 2G' (е2 — е 0),		тгх = в'у гх.
Приняв
		G' = £ 7 2 ( 1 +		|л')	(1.162)
и учтя,	что при пластическом деформировании			и,' = 0,5, получим	G' — 1/3Б '. Из
(1.160)	будем	иметь
		G' =	о;/ЗаТ,		(1.163)
где Of	и е*	определяются ранее приведенными зависимостями			(1.127) и (1.142).

Подставив (1.163) и (1.161), получим следующий наиболее распространенный вариант записи физических уравнений при пластической деформации

2 a ;
ох — or(		xy		rxy>
3e;			3e;
оу ~ о а = 2 a î	,			(1.164)
		xyz
3e;	(ey — 8 0),		3e;	ryz*
2a ;	ч	^zx	a;	Yz*'
3e;	(82 ®o)*.		3e;

В теории течения рассматривается взаимосвязь между напряжениями и скорос­ тями деформаций [8 , 80]. В случаях, когда можно пренебречь вязким сопротивле­ нием, зависящим от скоростей деформаций, уравнения теории упругопластических деформаций и теории пластического течения оказываются тождественными [80].

Т а б л и ц а

1.13. Сравнение результатов

теорий упругости и пластичности

В теории упругости

В теории пластических

В теории пластического

деформаций

течения

Направления главных нормальных напряжений и глав­

Направления главных

ных удлинений совпадают

нормальных напряже­

ний и

главных

ско­

ростей удлинений

Объемная деформация пропорциональна среднему нор­

совпадают

пластиче­

Материал

в

мальному напряжению

ском состоянии несжи­

Главные

касательные напряжения

пропорциональны

маем

касательные

Главные

главным 'сдвигам

напряжения

пропор­

циональны

главным

Интенсивность

касательных Интенсивность касательных

скоростям сдвигов

Интенсивность касатель­

напряжений

пропорцио-

напряжений постоянна

ных напряжений

по­

нальна

интенсивности

(идеально пластическое

стоянна

(идеально

сдвига

тело)

или есть вполне

пластическое тело)

определенная для каждого

или есть вполне опре­

материала функция интен­

деленная для каждого

сивности деформаций

материала функция

сдвига

интенсивности скоро­

стей

деформации

сдвига

Обозначив

компоненты перемещения точки в твердом теле с координатами х,

у, х через

и,

v и да, можно представить компоненты скорости в виде и =

ди

v —;

dv

.

dw

*= ~Q£\ да =

~dt~' Тогда, воспользовавшись результатами, приведенными в [80], мож­

но записать для компонентов скоростей деформаций

„

_

ди

^ _

du

_j_

da

dt

dx

(1.16*)

dv

_

dv .

dw

8 у =

ду

•yz

dz

dy

*

е,

=

dw

yzx

dw

I

du

*

dz

dx

^

dz

Средняя скорость пластической		деформаций
1 .		6У+ ег) =	1 .	еа +	е3).	(!. 166)
е0 = —	(е* +		— (е, +
Главные скорости деформации сдвига
Yl2 = el'	s2>	?23 — е 2	«3,	= ê8	8j.
Обобщенную скорость деформации (интенсивность скорости деформации)
- "j/~ (в* — 8ÿ)2 4“ (8^ — в2)^ (BJ — вх)% 4* -g - (Yxy						Vуг “Ь V zx) *
						(1.167)

Зависимость компонентов напряжений от компонентов скоростей (аналог обобщен­ ного закона Гука) имеет вид

<*Х ° о =	П (ex — в8),	хХд =	П -g - уХу»
Оу — оо =	п (% — е0),	^ г =	П -g- ÿygi	( 1. 168)
•°z — °о =	П (ez 8 8),	%гх =	П 2 Y*#*

где П — переменная величина (модуль), отображающая связь между < * и в*, о* =

=Пе* (величина П определяется экспериментально).

Втабл. 1.13 [80] выполнено сопоставление основных законов теории упругих деформаций/геории упругопластических деформацией теории пластического течения

1.3.Анизотропные материалы

В практике наряду с изотропными материалами, которые являются основным объектом рассмотрения теории упругости, теории пластичности и сопро­ тивления материалов, имеют место и анизотропные материалы, т. е. материалы, свой­ ства которых в различных направлениях различны. Это относится как к характе­ ристикам упругости (модулям упругости первого Е и второго G рода), так и харак­ теристикам предельного состояния (предел текучести от, предел прочности ог„) 197].

1.3.1. Общие сведения. Анизотропия может быть начальной (исходной) , 1сущест­

вующей до процесса нагружения, или вторичной (деформационной), т. е.	изменив­
шейся, или заново возникшей в процессе деформации. Можно выделить	три типа

анизотропии механических свойств: кристаллографическая, технологическая и ком­ позиционная.

Кристаллографическая анизотропия обусловлена кристаллическим строением металлов, что приводит к различию свойств, определяемых при разных углах между кристаллографическими плоскостями монокристаллов и направлением действия на­ грузки. Кристаллографическая анизотропия наиболее явно выражена в монокрис­ таллах. Строго говоря, все металлы на микроскопическом уровне являются анизо­ тропными и то, что эта анизотропия не проявляется, как правило, при испытании образцов больших размеров,— результат осреднения свойств микрообъемов мате­ риала. Технологическая анизотропия обусловлена текстурой материалов, вызван­ ной обработкой металлов и сплавов в процессе производства деталей или полуфаб­ рикатов, такими, например, как прессование, волочение, пропитка и т. п. Компози­ ционная анизотропия обусловлена строением композиционных материалов (сочета­ нием материалов матрицы и наполнителя), закладываемым в структуру в процессе их разработки и производства.

В табл. 1.14 приведены значения упругих постоянных Е и G для монокристал­ лов и поликристаллов ряда металлов [97]. Монокристаллы вольфрама практически изотропны, невелика упругая анизотропия и у монокристаллов алюминия, более вы­ ражена анизотропия у монокристаллов меди, железа и цинка.

Т а б л и ц а 1.14. Характеристики упругости некоторых монокристаллов и поликристаллов'

Тип решетки

Металл

Гранецентрирован-	Алюминий
ная кубическая	Медь
(ГЦК)	Серебро
	Золото
Объемноцентриро-	Железо
ванная кубиче-	Вольфрам
ская (ОЦК)
Гексагоиальная	Магний
плотно упакован-	Цинк
ная (ГПУ)	Кадмий

Модуль нормальной упру­		Модуль сдвига, GAQT~\
гости, Е • 10“*®, МПа		МПа
Монокрн*	Поликри­	Монокри­	Поликристал­
сталлы		сталлы
(экспери­	сталлы	(экспери­	лы
мент)		мент)
75,50/62,80	70,20/70,60	28,40/24,50	26,00/26,40
19000/6660	117,00/18,50	75,50/30,40 42,00/43,00
115,00/43,00	73,50/78,50	43,60/19,30	25,90/26,40
112,00/41,00	76,00/79,50	40,20/17,60 26,00/27,40
284,00/132,00 203,00/10,00		115,50/60,00 76,30/82,30
392,00/392,00	—	152,00/152,00	—
50,40/43,00	44,20/44,10	18,00/16,70	17,40/17,70
123,50/35,80	98,50/98,00	48,70/27,20 35,50/36,20
81,50/28,20	60,00/50,00	24,60/18,00 20,90/21,60

П р и м е ч а н и е , Для монокристаллов перед чертой	приведены максимальные значешщж,
после черты — минимальные; для поликристаллов перед	чертой даны результаты расчета,

после черты эксперимента.

Т а б л и ц а	1.15. Анизотропия механических свойств некоторых сталей
в зависимости от степени деформации при холодной прокатке
Сталь	Степень	<JD, МПа (кГ/мма)				ат, МПа, (кГ/мм*)
	деформа­
	ции
25ХГСА	0	587 (60)/588 (60)				383 (39)/392 (40)
	10	667 (6 8 )/6 8 6		(70)		568	(58)/588 (60)
	2 0	715 (73)/784 (80)				6 8 6	(70)/735	(75)
	30	775 (79)/834		(85)		735	(75)/824	(84)
	40	803 (82)/912 (93)				794 (81)/882 (90).
ЭИ659	0	755 (77)/814 (83)				657 (67)/784		(80)
	10	832 (85)/891		(91)		803	(82)/864		(8 8 )
	2 0	911 (93)/980	(100)			882	(90)/940	(96)
	30	578 (59)/1030		(105)		931 (95)/1000			(102)
	40	1010 (103)/1069 (110)				980	(100)/1058			(108)
	50	1050 (107)/1133 (115)				1010	(103)/1098			(112)
	60	1069 (110)/1148 (117)				1050 (107)/1148 (117)
ЭИ811	0	745 (76)/834 (85)				647	(66)/716		(73)
	10	834 (85)/980	(100)			765	(78)/892 (91)
	2 0	910 (93)/1098		(112)		864	(88)/1058 (108)
	30	960 (98)/1157 (118)				923	(94)/1 1 10 (113)
	40	1000 (102)/1176 (120)				990	( 101)/1156 (118)
	50	1058 (Ю8)/1198 (122)				1010	(103)/1176 (120)
	60	1069 (110)/1225			(125)	1058 (108)/1206 (123)
П р и м е ч а н и е . Перед чертой приведены					значения	полученные прн прокатке в про­
дольном направлении, после черты — в поперечном.

	Т а б л и ц а 1.16. Технические			В случае					технологической				анизотро-
	упругие постоянные некоторых			пии отличие упругих постоянных материа­
	стеклопластиков			ла в различных направлениях не очень су­
				щественно, однако отличие								пределов теку­
	Угол между			чести и пределов прочности в различных
				направлениях					может быть весьма					сущест­
	осью образца	Е		венным.		На		рис.		1.50 приведены				кривые
	н направлени­			распределения пределов текучести о0 2, пре­
	ем волокон,
	град			делов прочности ов и продольных удлине­
				ний Ô для прессованных профилей из алю­
	Стеклоткань Т на ПИ-1			миниевых сплавов В95 и Д16, полученных
				на образцах				различной ориентации								[97].
	0	16 500	0,13	Как видно из этого рисунка, разница меж­
				ду средними значениями пределов проч­
	15	12 700	—
	30	8590	—	ности в продольном							напряжении			и	в на­
	45	7230	0,46	правлении ширины и толщины составляет
	60	7900	—	для сплава			В95, 17 и				19%,	а для сплава
	75	10 400	—	Д16 31		и 38%.				показана		анизотропия
	90	12 400	0,09	В табл.				1.15
				пределов текучести и пределов прочности
	СВАМ на ЭД-6	1 : 5, толщина 5 мм		некоторых сталей в зависимости от степени
				деформации при холодной прокатке [61].
		30500	0,18
	0			Можно отметить,						что	холодная		прокатка
	15	24 500	,—	часто	создает				«обратную			анизотропию»,
	30	17 300	—	т. е. предел текучести (предел прочности)
	45	14 400	0,47	продольных				образцов оказывается							мень­
	60	14 700	—	шим, чем для поперечных. Деформация
	75	17 100	—	растяжением				обычно			создает		«прямую»
	90	18800	0 ,1 2	анизотропию, т. е. значения ат в продоль­
	СВАМ на ЭД-6	1 : 1, толщина 10 мм		ном направлении максимальны.												уп­
				В табл.				1.16 приведены значения
	0	24700	0,16	ругих постоянных						некоторых стеклоплас­
	15	20 500	—	тиков	в	зависимости					от угла между осью
	30	15 200	—	образца и направлением волокон [97]. Как
	45	13 400	0,50	видно из таблицы,						максимальные				модули
	60	15 200	—	упругости имеют место в продольном на- -
	75	2 0 500	—	правлении,				минимальные — под						углом
	90	24 700	0,16	около 45°,			причем модули упругости									мо­
				гут изменяться в два — три раза.
	СВАМ на БФ-4 1 : 1, толщина 5 мм			Анизотропия предела прочности											стек­
		24 100	0,08	лопластиков показана на рис. 1.51 [3], где
	0			кривые		1—3 соответствуют						стеклопласти­
	15	15 700	--.	ку СВАМ на эпоксидном связующем с раз­
	30	9240	—	личным соотношением волокон в попереч­
			0,53
	45	7670		ном и продольном направлениях.
	60	9240	—	1.3.2.
	75	15700'	—	деформациями.					Из рис. 1.52 видно,							что
	90	24 100
			0,08	анизотропия существенно зависит от струк­
				туры стеклопластика (рис. 1.51). В случае

звездной структуры анизотропия практически отсутствует, минимальные значения <7„ относятся к диагональному направлению при одинаковых его значениях в про­ дольном и поперечном направлениях (для соотношения волокон 1 : 1). Приведенные выше зависимости для напряжений и деформаций, полученные для изотропных материалов, будут справедливы и для анизотропных материалов. Ограничения в использовании зависимостей возникают в том случае, если при их выводе принимались определенные допущения о связи между напряжениями и дефор­ мациями.

Опыт показывает', что в анизотропном материале под действием одного напря­ жения возможно возникновение всех компонент деформаций. Так, если растягивать

образец из анизотропного материала, то под действием	нормального	напряжения
о = PlF могут возникать не только удлинение вдоль оси и	укорочение в	поперечном

Рис. 1.50. Кривые распределения механических свойств прессованных профилей из алюминиевых сплавов В95 (а) и Д16 (б):

1 — вдоль проката: 2, 3 — в направлении толщины и ширины

направлении, но и сдвиговые деформации. При кручении может иметь место и из­ гиб и т. д.

Зависимость между деформациями и напряжениями (обобщенный закон Гука) ■может иметь весьма сложный вид и представляется, как правило, в матричном виде.

Вобщем случае число независимых упругих постоянных, связывающих деформации

инапряжения, равно 36 [8 , 81]. Обобщенный закон Гука в этом случае будет иметь

вид

ех — аи ° х 4" ° i a +	al3°z 4" аи хху 4" а1Ьтуг 4" а1вхгх’
8у =Х йэдОх -f- й ^ О у -(- п % ^ г 4* а24Хх у		4" а гьх у г		4" ^ав^гд:*
у г х = а01<гЛ -f a i6 O y +	авз°г 4- а <их Ху	4"	х у г	4- а а х гх>

где a-j — постоянные материала определяющие его податливость и обратно про­ порциональные модулям упругости.

Рис. 1.51. Анизотропия предела прочности стекло­ пластика:

и — 1 : 1; • 2 — 1 : 5; 3 — 1 : 13; 4 — звездная струк­ тура; 5 — стеклопластик хо­ лодного отверстия из ткани полотняного переплетения; 6 — СВАМ на бутвор-фено- льном связующем БВ-4 при соотношении волокон 1: 1).

Для практического использования уравнения (1.169) необходимо знать, с учетом равенства постоян­ ных при симметричных членах матрицы (с12 == cfa и т. д.), 21 коэффициент. Равенство а12 = а21 и так далее обосновывается в литературе на основе инвари­ антности упругой энергии т. е. ее значение в окрест­ ностях данной точки не должно зависеть от способа ее вычисления.

С учетом того, что свойства анизотропных материа­ лов по некоторым направлениям бывают одинаковыми, матрицу (1.169) можно упростить. Если в каждой точке тела можно провести плоскость, обладающую тем свой­ ством, что любые два направления, симметричные этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств (материал с плоскостью упругой симметрии), то матри­ ца (1.169) примет более простой вид

	: — a l l P n	~Ь а 12°7/ 4" Ûl3°z		+	a lRT ZX’
	By «SB	+ Cl22<Jy +	<*23aZ	+	@20XZX'
	8z = а13&х 4" йгэРУ +		°з»аг	+	а 3вXzX<
					(1.170)
	Уху		4* ÛE44x Xy	4~ Û4 5 V
JOO -	Ууг =		4" fl45 Xx y 4* a bbTy z ’
	Yz x ~ a ia a x	4- 026^4- a 36o z			4" a 66Xz x '

Члены матрицы, соответствующие незаполненным мес­ там, будут равны нулю. В этом случае осталось 13 не­ зависимых коэффициентов. В случае, если через каж­ дую точку тела проходят три ортогональные плоскости упругой симметрии (ортотропное тело), направляя оси перпендикулярно к этим плоскостям, будем иметь

n		. 1
и	JO	SO a, рад

ех — аи°х 4 - а12°У + a13azl

By =		4~ а2 2 4 - Язз^г*
SZs2 =		а 13®Х 4* а 2Э°У 4" a33CTZÎ	(1.171)
£	и	4~	цуг
Ууг		4" Я
			*55Xyz>
	*II		4* йбте^* -

В уравнениях осталось 9 независимых коэффициен­

TOB.

Примерами ортотропных тел служат стеклопласти­ ки с ортогонально наложенными слоями. Если в каж­ дой точке тела имеется ось упругой симметрии, как эго имеет место в однонаправленном стеклопластике (монотропное тело), то можно считать, что все направ­

ления в плоскости, перпендикулярной к этой оси, эквивалентны в отношении упругих свойств. Тогда

г х —	ОцОд; + Oiг ° у	4~ a13°Z>
By =	а12ох -f- а1гОу -j- al3a2;		(1.173)
e Z ~	^ 18^ * 4 - а 13°У	4 - а з з ° г ;
Уху :=t		4 “ ^44Xxy*