Лекция8
.docЛекция 8.
ПРИБЛИЖЕННОЕ Решение ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.
Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.
Методы их решения подразделяются на два класса:
-
аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
-
численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.
Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.
Решить дифференциальное уравнение
(7.1)
численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя аналитического вида функции , найти значения , удовлетворяющие условиям:
.
Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и метод Адамса.
§8.1. Метод Эйлера.
Этот метод обладает малой точностью и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши)
, (7.2)
и выполняются условия существования и единственности решения.
Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши).
Если в уравнении (7.1) функция непрерывна в прямоугольнике и удовлетворяет в условию Липшица
,
где - константа Липшица, то существует единственное решение , , уравнения (7.1), удовлетворяющее условию , где , в .
Требуется найти решение задачи Коши (7.2) на отрезке .
Выбрав шаг - достаточно малый, равный , строим систему равноотстоящих точек
И скомую интегральную кривую , проходящую через точку , приближенно заменим ломаной Эйлера с вершинами (Рис.7.1).
Звено ломаной , заключенное между и , наклонено к оси под углом . Тангенс этого угла вычисляется по формуле:
.
Сделав преобразование, получим формулу Эйлера:
. (7.3)
Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (7.3) следующим образом. По заданным начальным условиям и полагая в выражении (7.3) вычисляется значение
(7.4)
Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (7.3) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как
(7.5)
Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .
Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых, получаем ломанную линию с вершинами в точках .
Запишем разложение в ряд Тейлора:
(7.6)
Учитывая формулы (7.3) и (7.6), получим
(7.7)
Соотношение (7.7) может быть использовано для выбора шага . Как правило, шаг выбирают таким образом, чтобы , где - заданная точность.
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
(7.8)
с начальными условиями
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
(7.9)
где - шаг интегрирования.
При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (7.9) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломаных Эйлера, построенных по полученным таблицам .
Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость поиска решения. Недостатками метода Эйлера являются малая точность и систематическое накопление ошибок, так как при вычислении значений на каждом последующем шаге исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений.
§8.2. Метод Рунге-Кутта.
Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость поиска решения, так как метод относится к классу многошаговых методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
, (7.10)
с начальным условием
. (7.11)
Выберем шаг и для краткости введем обозначения , , где .
Рассмотрим числа:
(7.12)
По методу Рунге-Кутта последовательные значения искомой функции определяются по формуле:
. (7.13)
Погрешность метода Рунге-Кутта, заданного формулой (7.13), на каждом шаге есть величина порядка (в предположении, что .
Формулу (7.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Помимо формулы (7.13) существуют еще другие формулы типа Рунге-Кутта с иными порядками точности. В частности формула - формула Рунге-Кутта второго порядка точности. Эта формула на каждом шаге дает погрешность порядка .
Для определения правильности выбора шага на практике обычно на каждом этапе из двух шагов применяют двойной пересчет. Исходя из текущего верного значения , вычисляют двумя способами: вначале с шагом , а затем с шагом . Если расхождение полученных результатов не превышает допустимой погрешности, то шаг для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за . В противном случае шаг уменьшается в два раза. Эту вычислительную схему легко запрограммировать на ЭВМ.
Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений:
с начальными условиями
.
Формулы метода Рунге-Кутта для данной системы примут вид:
где
Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и систем. Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции.
§8.3. Метод Адамса.
Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855 году по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, который занимался баллистикой. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале XX века норвежским математиком Штермером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связано с именем А.Н. Крылова.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
, (7.14)
с начальным условием
. (7.15)
Пусть - система равноотстоящих значений с шагом и . Очевидно, что
. (7.16)
Запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка:
, (7.17)
где .
В формуле (7.17) функцию заменим на производную , получим:
. (7.18)
Так как , то подставив (7.18) в (7.16), получим:
.
После преобразований будем иметь:
. (7.19)
Формула (7.19) называется экстраполяционной формулой Адамса.
Для начала итерационного процесса нужно знать начальные значения , так называемый начальный отрезок, который определяют, исходя из начального условия (7.15), каким-либо численным методом (например, методом Рунге-Кутта). Зная значения из (7.14) находят и составляют таблицу разностей:
. (7.20)
Дальнейшие значения искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса (7.19), пополняя по мере необходимости таблицу разностей (7.20).
Для работы на ЭВМ формулу Адамса применяют в раскрытом виде. Так как
то после приведения подобных членов имеем:
(7.21)
На практике шаг выбирают так, чтобы можно было пренебречь величиной
.
Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.