Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdfВ.А. Битнер
КРАТКИЙ КУРС
школьной математики
в помощь учителям математики, учащимся 8 — 11 классов, абитуриентам
2006
Виктор Артурович Битнер
Краткий курс школьной математики
Рецензент:
Б. М. Белик, директор автономной некоммерческой организации «Международный институт физико-химических исследований»
ББК 22.1я7 УДК 51(075) Б66
Битнер В. А.
Краткий курс школьной математики. — СПб.: Питер, 2007. — 416 с.: ил.
ISBN 5-91180-044-6
В этой книге в очень доступной форме излагаются все вопросы математики, которые необходимо знать выпускнику обычной средней школы, даже если он не поступает в высшее учебное заведение, а просто хочет неплохо знать математику, быть математически грамотным. Ведь еще великий Ломоносов говорил, что «математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Ну а тому выпускнику, который собирается сдавать вступительные экзамены или тесты по математике и потом успешно учиться в вузе, данная книга поможет основательно подготовиться и сдать вступительные экзамены на «хорошо» или «отлично». Только необходимо самостоятельно или под руководством учителя добросовестно и глубоко изучить все темы и вопросы, разобраться с решением приведенных упражнений, прорешать все упражнения для самостоятельной работы или большую их часть.
© Виктор Артурович Битнер, 2007
ISBN 5-91180-044-6
ООО «Питер Принт», 198206, Санкт-Петербург, Петергофское шоссе, д. 73, лит. А29.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 95 3005 — литература учебная. Подписано в печать 29.06.06. Формат 70х100/16. Усл. п. л. 33,54. Тираж 1000. Заказ 0000.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Техническая книга». 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., д. 29.
Предисловие
Идея написать данное пособие возникла у меня летом 1997 года в Челябинске, когда я готовил выпускника одной из челябинских средних школ к вступительному экзамену по математике в Челябинский госуниверситет. Я готовил своего подопечного всего два дня по 15 уроков в день с небольшими перерывами. Он выдержал эту временную перегрузку, все понял, запомнил и поступил в ЧГУ. Хотя до занятий со мной его знания по математике были очень неглубокими, а многие важные разделы школьной математики он вообще не знал или не помнил. Конечно, тридцати уроков мало, чтобы глубоко изучить и привести в систему все важные и нужные разделы школьной математики. Но главные разделы мы «пробежали» и это помогло.
Я проработал учителем математики старших классов более 30 лет. Ежегодно 90-100 процентов моих выпускников поступало в ВУЗы, в основном, на бюджетной основе, и самое главное – потом легко учились в этих вузах, так как глубоко и качественно знали школьную математику. Многие десятки и сотни из них уже окончили или еще сегодня учатся в университетах и институтах Москвы (в том числе, МГУ, МИФИ, МФТИ, МГТУ им. Баумана), Санкт-Петербурга (в том числе, ЛГУ), Новосибирска (в том числе, НГУ), Челябинска, Екатеринбурга, Томска, Омска, Магнитогорска и многих других российских вузах, в университетах и институтах Казахстана, Украины, Белоруссии, Германии. Со многими выпускниками средних школ города Рудного и Кустанайской области, с учащимися старших классов я занимался индивидуально, и они, как правило, почти все поступали в вузы или хорошо учились по математике в своих школах.
Более 2000 уроков математики посещает школьник за 10-11 лет учебы в школе (в физико-математических классах – немного больше, в гуманитарных – немного меньше). Из них более 600 уроков математики приходится на 8-11 классы. Но не всё совершенно в школьной программе по математике, особенно старших классов. На одни темы отводится излишне много часов, на другие темы –
4 |
В.А.Битнер |
|
|
неоправданно мало, некоторые очень важные темы или вовсе не рассматриваются, или рассматриваются не полностью. И только очень опытные учителя математики в большей или меньшей степени дают своим ученикам необходимый минимум знаний по своему предмету.
В этой книге в очень доступной форме излагаются все вопросы математики, которые необходимо знать выпускнику обычной средней школы, даже если он не поступает в высшее учебное заведение, а просто хочет неплохо знать математику, быть математически грамотным. Ведь еще великий Ломоносов говорил, что «математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Ну а тому выпускнику, который собирается сдавать вступительные экзамены или тесты по математике и потом успешно учиться в вузе, данная книга поможет основательно подготовиться и сдать вступительные экзамены на хорошо или отлично. Только необходимо самостоятельно или под руководством учителя добросовестно и глубоко изучить все темы и вопросы, разобраться с решением приведенных упражнений, прорешать все упражнения для самостоятельной работы или большую их часть.
Данная книга и в ВУЗе может служить справочным пособием по школьной математике , если понадобится что-то вспомнить или уточнить. Данное пособие будет, безусловно, полезно и учащимся 8-11 классов средних школ, желающим привести в порядок свои знания по математике. Рекомендую свою книгу и учителям математики, особенно, 8-11 классов и готовящим учащихся и выпускников к поступлению в ВУЗ индивидуально. Рекомендую ее также и студентам, особенно 1 и 2 курсов, поступившим в ВУЗ на коммерческой основе и перешедшим к изучению высшей математики без глубоких знаний по элементарной математике.
Работать с данной книгой необходимо систематически, не реже 2-3 раз в неделю по 2 урока или 2 часа на каждое занятие, не забывая после занятий прорешивать рекомендованные упражнения и задачи для самостоятельной работы.
Причем в 8 классе по алгебре рекомендуется изучить темы I – XVIII, XXIV и XXV (частично).
Эти же темы плюс темы XIX и XX можно изучать в 9 классе, в 10 классе добавляется тема XXI, в 11 классе – темы XXII и XXIII,
Краткий курс школьной математики |
5 |
|
|
которые можно начать изучать в 9 или 10 классе и тема XXV теперь уже во всем объеме.
В 8 и 9 классе по геометрии следует изучить тему I и тему VIII (частично), в 10 классе – темы II – V и далее – тему VIII, в 11 классе – темы VI – VII и тему VIII во всем объеме.
Примерное распределение тем по занятиям (каждое занятие – это 2 урока)
Алгебра и начала анализа
I занятие – вводное. Рассматривается программа занятий, изучаются условные обозначения, темы I и II;
II занятие – изучаются темы III – V;
III занятие – изучаются темы VI – VIII;
IV занятие – продолжает изучаться тема VIII и начинает изучаться тема IX;
V – VII занятие – изучаются темы IX – X;
VIII – X занятие – изучаются темы XI – XII; XI занятие – изучается тема XIII;
XII занятие – тема XIV;
XIII занятие – тема XV;
XIV занятие – тема XVI;
XV занятие – тема XVII; XVI занятие – тема XVIII; XVII занятие – тема XIX;
XVIII занятие – тема XX, пп. 1-7; XIX занятие – тема XX, пп. 8-9; XX занятие – тема XX, пп. 10-17; XXI занятие – тема XX, пп. 18-19; XXII занятие – тема XX, пп. 20; XXIII занятие – тема XX, пп. 21-23; XXIV-XXV занятия – тема XXI;
XXVI-XXVII занятия – темы XXII-XXIII; XXVIII занятие – тема XXIV; XXIX-XXX занятие – тема XXV
Итого, на изучение алгебры и начал анализа во всем объеме по данной книге отводится примерно 30 занятий (60 уроков). Только надо учесть,
6 |
В.А.Битнер |
|
|
что это распределение примерное и зависит от способностей и подготовленности ученика или выпускника. И, кроме того, необходимо потратить примерно столько же времени или больше на решение упражнений и задач для самостоятельной работы.
Геометрия
I-IV занятия – тема I;
V-VI занятия – тема II;
VII занятие – темы III-IV;
VIII занятие – тема V;
IX занятие – тема VI;
X занятие – тема VII;
XI-XII занятия – тема VIII
Итого, примерно 12 занятий (24 урока) на изучение геометрии по данному пособию. Конечно, это самый минимум. Лучше потратить на изучение этого материала 20 или более уроков, и 20 и более уроков – на решение задач для самостоятельного решения. Итого, на изучение всех важнейших разделов школьной математики по данному пособию необходимо всего 84-90 уроков или немного больше и примерно столько же на решение задач для самостоятельной работы.
Условные обозначения и кванторы
- знак принадлежности (принадлежит);
- не принадлежит;
- знак включения, подмножества;
- знак следования;
- знак равносильности;
{ } - |
знак множества; |
{- знак системы;
[- знак совокупности;
- знак объединения;
∩- знак пересечения;
- пустое множество;
- квантор всеобщности (для любого, каждого);
- квантор существования (найдется, существует);
a |
- |
аксиома; |
|
t |
|
- |
теорема; |
|
|||
l |
|
|
лемма; |
|
|||
|
- |
||
s |
|
|
следствие; |
|
|||
|
- |
||
|
|
|
|
d- что и требовалось доказать;
о в обертке |
o |
- |
определение; |
п в обертке |
p |
|
пример; |
- |
|||
у в обертке |
u |
|
утверждение; |
- |
|||
|
|
|
пусть; |
|
n |
- |
|
з в обертке |
z |
|
замечание; |
- |
|||
|
e |
|
если; |
|
- |
||
|
r |
- |
рассмотрим; |
|
|
- |
деление без остатка; |
|
( ) |
- |
точка, (...) - точки |
8 |
В.А.Битнер |
|
|
Что надо знать по алгебре и началам анализа.
I. |
Основные законы арифметики и алгебры.................................... |
16 |
II. |
Некоторые вопросы теории множеств.......................................... |
17 |
III. |
Числовые множества и их свойства.............................................. |
19 |
IV. |
Формулы сокращенного умножения. Треугольник |
|
|
Паскаля ............................................................................................ |
21 |
V.Разложение многочленов на множители. Способы
|
разложения. Деление многочленов............................................... |
22 |
VI. |
Степень числа и его свойства. Действия со степенями .............. |
24 |
VII. |
Модуль числа и его свойства......................................................... |
27 |
VIII. |
Арифметический корень n-ой степени и его свойства. Дей- |
|
|
ствия с корнями, упрощение степеней с дробными |
|
|
показателями................................................................................... |
28 |
IX. |
Некоторые вопросы теории уравнений. Линейные уравне- |
|
|
ния.................................................................................................... |
33 |
X.Числовые неравенства и их свойства. Действия с неравенствами. Доказательство неравенств. Решение линейных
|
неравенств, совокупностей и систем неравенств с одной |
|
|
|
переменной, в том числе – с модулями ........................................ |
40 |
|
XI. |
Некоторые вопросы теории функций........................................... |
52 |
|
XII. |
Некоторые алгебраические функции и их графики .................... |
57 |
|
|
(1) |
Линейная функция ............................................................. |
57 |
|
(2) |
Обратная пропорциональность......................................... |
61 |
|
(3) |
Степенная функция............................................................ |
63 |
|
(4) |
Графики функций с модулем............................................ |
67 |
|
(5) |
Построение различных графиков функций..................... |
68 |
XIII. |
Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. |
|
|
|
Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчле- |
|
|
|
на на линейные множители ........................................................... |
74 |
|
XIV. |
График квадратного трехчлена, в том числе – с модулем.......... |
84 |
|
XV. |
Решение квадратных и дробно – линейных неравенств. |
|
|
|
Дробно – рациональные неравенства и неравенства выс- |
|
|
|
ших степеней................................................................................... |
93 |
|
XVI. |
Иррациональные уравнения и неравенства................................ |
101 |
Краткий курс школьной математики |
9 |
|
XVII. |
Системы линейных уравнений и методы их решения. Пра- |
|
|
вила Крамера. Метод Гаусса....................................................... |
109 |
XVIII. Нелинейные системы................................................................... |
121 |
|
XIX. |
Арифметическая и геометрическая прогрессии, бесконеч- |
|
|
ная убывающая геометрическая прогрессия ............................. |
131 |
XX. |
Тригонометрия ............................................................................. |
144 |
(1)Единичная числовая окружность. Радианное измерение угловых величин. Формулы длины окружности и площади кругового сектора. Определение тригонометрических функций, их области опреде-
|
ления и множества значений.......................................... |
144 |
(2) |
Основные тригонометрические тождества ................... |
146 |
(3) |
Знаки тригонометрических функций по четвертям ..... |
146 |
(4) |
Значения тригонометрических функций некоторых |
|
|
основных углов ................................................................ |
147 |
(5) |
Четность тригонометрических функций....................... |
147 |
(6) |
Периодичные функции. Периодичность тригоно- |
|
|
метрических функций ..................................................... |
148 |
(7) |
Формулы приведения...................................................... |
149 |
(8) |
Графики тригонометрических функций........................ |
150 |
(9) |
Оси тангенсов и котангенсов.......................................... |
161 |
(10) |
Тригонометрические формулы сложения..................... |
162 |
(11) |
Формулы двойного аргумента. Формулы пониже- |
|
|
ния степени....................................................................... |
163 |
(12) |
Формулы половинного аргумента ................................. |
164 |
(13) |
Преобразование сумм и разностей тригонометри- |
|
|
ческих функций в произведения .................................... |
165 |
(14) |
Преобразование произведений тригонометриче- |
|
|
ских функций ................................................................... |
167 |
(15) |
Выражения sin a и cos a через tg a / 2 .......................... |
168 |
(16) |
Условия равенства тригонометрических функций ...... |
169 |
(17) |
Формулы вспомогательного аргумента......................... |
169 |
(18) |
Обратные тригонометрические функции |
|
|
(Аркфункции)................................................................... |
171 |
(19) |
Формулы тригонометрических уравнений ................... |
175 |
(20) |
Классификация тригонометрических уравнений......... |
181 |
(21) |
Тригонометрические неравенства.................................. |
194 |
(22) |
Формулы аркфункций..................................................... |
200 |
10 |
|
|
|
В.А.Битнер |
|
(23) |
Гармонические колебания. Графики гармонических |
|
|||
|
колебаний.......................................................................... |
|
|
|
202 |
XXI. Производная и ее применение..................................................... |
|
|
209 |
||
(1) |
Определение |
производной, |
ее |
физический |
|
|
(механический) смысл ..................................................... |
|
|
209 |
|
(2) |
Основные правила нахождения производных .............. |
210 |
|||
(3) |
Производные постоянной, линейной, квадратичной |
|
|||
|
и степенной функций....................................................... |
|
|
210 |
|
(4) |
Таблица производных...................................................... |
|
|
211 |
|
(5) |
Уравнение касательной к кривой. Геометрический |
|
|||
|
смысл производной.......................................................... |
|
|
215 |
|
(6) |
Применение производной в физике ............................... |
|
218 |
||
(7) |
Применение производной при исследовании функ- |
|
|||
|
ций ..................................................................................... |
|
|
|
219 |
(8) |
Отыскание наибольших и наименьших значений |
|
|||
|
функции на отрезке.......................................................... |
|
|
225 |
|
(9) |
Задачи на наибольшие и наименьшие значения ........... |
226 |
|||
XXII. Показательная функция, ее свойства |
и график. |
|
|||
Показательные уравнения и неравенства................................... |
|
|
231 |
||
XXIII. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Лога- |
|
||||
рифм числа и его свойства. Решение логарифмических и |
|
||||
показательно-логарифмических уравнений и неравенств. |
|
||||
Различные интересные графики, связанные с показатель- |
|
||||
ной и логарифмической функциями........................................... |
|
|
235 |
||
XXIV. Текстовые задачи .......................................................................... |
|
|
|
257 |
|
XXV. Решение упражнений вступительных экзаменов и вступи- |
|
||||
тельных тестов по математике различных вузов России.......... |
268 |