книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfСветлой памяти брата посвящается эта книга
Г л а в а I
МАТРИЦЫ
§ 1. Исходные определения и обозначения
Матрицей называется прямоугольная таблица, состав ленная из элементов (объектов) некоторого класса Di.
Матрицы могут быть набраны из объектов самой разной природы (чисел, векторов и т. п.). В этой книге почти всегда (кроме некоторых специально оговариваемых случаев) под классом di подразумевается какое-нибудь числовое поле.
Объекты, из которых составлена матрица, называются ее элементами. Положение элементов в матрице обычно отмечается двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. При этом матрица представляется в виде
Число строк и число столбцов матрицы характеризуют
ее размеры. Матрица, состоящая из т строк и п столбцов, называется прямоугольной матрицей с размерами т Х п, или т X п-матрицей, или матрицей типа т х п.
Прямоугольные матрицы с размерами т X 1 и 1 X л, называются соответственно столбцовой и строчной матри цами. Для столбцовой и строчной матриц можно ограничить ся одноиндексным обозначением элементов:
Строчные и столбцовые матрицы иногда будем называть векторами.
Сокращенно т Х п - матрицу будем обозначать (а^)тл или же одной прописной (или строчной) буквой, например А, имея в виду, что А = (% )т „*
Прямоугольная матрица, у которой число строк и число столбцов одинаковы, называется квадратной матрицей. Число л, равное числу строк (столбцов) квадратной матри цы, называется ее порядком. Место расположения элементов
au (i = |
1, 2, |
п) квадратной матрицы (ц^)пл называется |
||
главной |
диагональю. Определитель |
|
||
|
|
ап |
а12 |
#1п |
|
|
#21 |
# 2 2 |
#2л |
|
|
ап\ |
Яп2 |
|
квадратной |
матрицы с |
я 2 числами |
из числового поля di |
есть сумма |
п\ членов |
(— l / (A,,*f |
a\k1a2kt ...anknt каж |
дый из которых соответствует одному из п\ различных пере становок kly k2, ..., kn, полученных t попарными транспо зициями элементов из множества 1,2, п. Число п есть порядок определителя. Определитель квадратной матрицы принято сокращенно обозначать через | А | или det А. Итак,
по определению
П
( 1. 1)
Далее предполагается, что с основными свойствами опре делителей читатель знаком.
Квадратная матрица называется вырожденной (особен ной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) — в противном случае. Определитель
#/i*. ahk,
#*,*. # i*
называется |
минором |
р-го |
порядка т х л-матрицы |
||||
|
|
|
° 1 |
1 |
|
din |
|
|
|
|
a 2i |
|
а 22 |
&2п |
|
|
|
|
а т\ |
dm2 |
dmn |
|
|
если |
1 < |
h < h < |
... < |
ip < /я, |
1 < |
£i < К < — |
|
Миноры матрицы А, у которых и, = £v (v = 1, 2, ...» р), |
|||||||
называются |
главными. Если Л — квадратная |
матрица, то, |
в частности, главным минором является ее определитель. Если среди миноров прямоугольной матрицы А с разме
рами т х |
п имеется отличный от нуля минор порядка г, |
в то время |
как все миноры более высокого порядка равны |
нулю, то число г называется рангом этой матрицы. Очевидно, что п. Ранг невырожденной матрицы совпадает с ее порядком. Ранг вырожденной матрицы меньше ее порядка.
§ 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число
Для матриц с одинаковыми размерами т х п вводится операция сложения матриц, определяющая сумму матриц.
Суммой прямоугольных матриц А = (ai}) и В = (bt}) оди наковых размеров т х п называется т х л-матрица С —
— (сц), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е.
если |
С = А + |
В, |
|
|
|
|
|
сц = ац + Ьц |
(г = 1 , 2 , |
, т\ j = 1 , 2 , |
, п). |
Операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами:
1) |
А + В = В + А, |
2) |
(Л -Н В) + С = А + (В + С); |
здесь Л, В, С — прямоугольные матрицы одинаковых раз меров.
Матрица, все элементы которой совпадают с нулем (по ля 9{), называется нулевой матрицей.
Если Л — произвольная прямоугольная матрица с раз мерами т х л, а О — нулевая матрица с теми же размерами,
то
А + О = А .
Разность двух прямоугольных матриц с одинаковыми размерами определяется равенством
А — В = А + (— В),
где (—В) — матрица, составленная из элементов матрицы В, взятых с обратным знаком.
Две матрицы А и В равны друг другу тогда и только тогда, когда они одних и тех же размеров и их соответствую
щие элементы равны между собой, т. е. |
|
||
ац = Ьц |
( / = 1 , 2 , |
, т ; / = 1 , 2 , |
п). |
Множество всех прямоугольных матриц с одинаковыми размерами с операцией сложения, введенной выше, представ ляет собой аддитивную группу. Роль нуля в этой группе выполняет нулевая матрица, а элемента, противоположного данному элементу В,— матрица — В.
Произведением матрицы А — (а,/) на число а из Ж назы вается матрица С = (с,/), элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число а , т. е.
если |
|
С = а Л, |
|
|
|
|
(i = 1 , 2 , |
, |
/я; / |
= 1 , 2п), . . . , |
|
сц = |
аац |
||||
Операция умножение матрицы на число обладает сле |
|||||
дующими |
свойствами: |
|
|
|
|
1) |
|
ос (А + В) = аЛ |
аВ, |
||
2) |
|
(ос -{- Р) А — осA -f- рЛ, |
|
||
3) |
|
(ар) А = |
а (РЛ); |
|
|
здесь А и |
В — прямоугольные |
матрицы |
одинаковых раз |
меров, а а, Р — числа из Ж.
§ 3. Умножение прямоугольных матриц
Для двух матриц, между размерами которых имеет место определенное соотношение, указываемое ниже, вводится операция умножения матриц, определяющая произведение двух матриц. Произведение матриц А и В обозначается либо через АВ> и в этом случае говорят, что матрица А
справа умножается на В (или, что то же самое, матрица В слева умножается на Л), либо через ВА — матрица В спра ва умножается на А (или, что то же самое, матрица А слева умножается на В). Говоря «произведение матрицы А на Б», мы будем иметь в виду результат умножения матрицы А справа на В (или, что то же самое, результат умножения матрицы В слева на Л), т. е. ЛБ.
Произведением АВ двух матриц Л и Б называется мат рица С, у которой элемент с,/, стоящий на пересечении t-й строки и /-го столбца, равен произведению г-й строки матрицы Л на /-й столбец второй матрицы Б. В свою оче редь произведение строки на столбец определяется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца, а именно:
(an ai2 |
= 2 асФы. |
|
k=\ |
Операция умножения строки на столбец, определяющая произведение строки на столбец, применима тогда и только тогда, когда число элементов строки (первого сомножителя) равно числу элементов столбца (второго сомножителя). Поэтому операция умножения матрицы Л на матрицу В применима тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы Л равно числу строк матрицы В.
Итак, пусть
А = (а,/) |
(i’ = |
1 , |
2 , |
» т\ |
/ = |
1 , |
2, |
п), |
||
В = |
(Ьц) |
(i = |
1 , |
2 , . . . |
, ni |
/ - |
1 , |
2, |
п') |
|
и п = т!. Тогда |
|
АВ — С — (с*/), |
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
(i= |
|
m; |
/ = |
1, 2, |
... n'). |
||
си — 2 |
|
a-ikbkj |
1 , 2 , |
|||||||
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица С = |
АВ имеет столько строк, сколько строк в |
матрице Л, и столько столбцов, сколько столбцов в матри це Б, так что если Л и Б имеют соответственно размеры т х X п и п х /, то С имеет размеры т х I- Матрица С = АВ в свою очередь может быть умножена справа на матрицу D,
если число строк этой матрицы равняется числу столбцов матрицы В. Матрицу С можно умножить слева на матрицу D, если число столбцов матрицы D равно числу строк матри цы Л. В результате получается произведение трех матриц ABD или DAB. И вообще, для существования произведения любого числа матриц требуется лишь, чтобы число столб цов каждого сомножителя было равно числу строк последую щего сомножителя, а число его строк было равно числу столбцов предшествующего сомножителя.
Умножение матриц обладает сочетательным и распределительным свойствами:
1 ) |
|
(АВ) С = А (ВС), |
2 ) |
(А + В)С = АС+ВС, |
|
3) |
А(В + С) = АВ + АС. |
|
Докажем это. Пусть А = (а//), В = (6//), С = (cif) — |
||
матрицы |
размеров |
X пъ т2 X п2, ms X ns соответст |
венно. |
|
произведений АВ и ВС необходимо, |
Для |
существования |
чтобы пг = /л2, п2 = ms.
Матрицы (АВ) С и А (ВС) имеют одинаковые размеры
тг X п3.
Используя правило умножения матриц, последователь но получим
(АВ) С = | 2 |
Qifbffi] (Cftj) = |
( 2 |
2 |
QirbrkPkj |
|
|
\ r = l |
|
/ |
\ f t = l r = l |
|
|
|
|
2 air 2 brkPkj \ = (&ir) ( 2 brkPki] = A(BC). |
|||||
|
л==1 |
ft=l |
/ |
|
\fe=l |
/ |
Операции |
сложения и |
умножения матриц, |
указанные |
|||
в соотношении 2), |
возможны, |
если только |
= т2, пх — |
|||
п2 = ш3. При этом условии |
|
|
|
|
||
( А В ) С =\ |
2 (aik ”f* bib) Ckj J = |
( 2 &ikckj ~f" |
2^'ft^fe/ |
|||
\ |
k —\ |
|
|
J |
\fe—l |
ft=i |
= ^21 aikCkjj + ^ 2 bikPkjj = AC + BC.
|
Наконец, при |
условии, |
что |
пх = т2 = т 3, |
п2 = «3, |
||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ( В |
С ) |
— (Ct{k) ip h j |
-f- c k i) — |
( |
|
a ik |
Ф к1 ~Ь c k j) J |
= |
|
||
|
Л, |
|
Л! |
\ |
/ |
П, |
|
\ |
|
|
|
|
(2 |
& ikb ki ~f- |
2 |
c u k C k j} — |
|
( 2 |
Q,ikbki I |
“f*( |
2 |
&ikCki |
|
|
k = i |
|
fc=i |
/ |
\ |
й= | |
|
/ |
\f e = i= |
АВ + АС. |
Переместительным свойством умножение матриц не об ладает. Действительно, пусть, например,
Тогда
Ясно, что АВ Ф ВА.
Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются переста новочными или коммутативными.
Квадратная матрица
*» О
л =
<
все элементы которой, не лежащие на главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Для диагональных матриц применяется обозначение: diag (A,t, Я,2,..., А,п).
Умножение прямоугольной т X «-матрицы А справа на диагональную матрицу Л порядка п сводится к умножению столбцов матрицы А на соответственные диагональные эле менты матрицы Л. Умножение « х ^-матрицы А слева на диагональную матрицу сводится к умножению строк матри цы/! на соответственные диагональные элементы матрицы Л.
Диагональная матрица, все диагональные элементы ко торой равны между собой, называется скалярной матрицей. Умножение матрицы А на скалярную матрицу diag ( а ,...
..., а) сводится к умножению всех элементов матрицы А на число а, т. е. умножение какой-нибудь матрицы на скалярную
эквивалентно умножению этой матрицы на соответствую щее число.
Скалярная матрица, диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. Единичная матрица порядка п обозначается через Еп или просто Е. Ес ли Л — матрица с размерами т X я, то ЕтА = АЕп ■-=А.
Множество всех квадратных матриц одного и того же порядка с введенными выше операциями сложения и умно жения матриц представляет собой некоммутативное кольцо с единицей. Роль единицы в этом кольце выполняет единич ная матрица.
Все невырожденные матрицы одного и того же порядка образуют некоммутативную группу относительно операции умножения.
§ 4. Определитель произведения матриц
Пусть А — {ац) и В = (Ьц) — две квадратные матрицы порядка пи С = АВ.
Определитель матрицы С равен
1-1
с п
с12
С2 2
С\п |
2 a\kfik% |
2 |
Qi ^ v |
&2п |
А,=1 |
v |
- 1 |
|
|
|
|
|
2 ankfiki\ |
l b |
|
&п1 Сп2 |
С пп |
2 a*bnbknn |
|
|
|
|
|
||
|
|
А.=1 |
kn = l |
|
п |
|
П |
a \ k b k nn |
|
— S |
|
Onkfiktl |
ankbknn |
|
|
|
|
||
|
|
|
bk,\ |
bt |
|
|
&nkJ |
Qnkf t |
v - |
|
|
|
Вправой части полученного соотношения все слагаемые,
укоторых хотя бы два индекса kt и k, одинаковы, равны нулю, ибо в этом случае
0-\kx а'кп
Gfiki апкп
есть определитель с двумя одинаковыми столбцами. Учиты вая это, будем иметь
«и |
Clп |
|
a ik t |
а 'К |
|
|
II |
|
|
Сп\ |
Спп |
^1..... ^д—1 |
G/ikt |
а"к„ |
ki=£kj (i^i) |
|
|||
|
|
|
|
;ftii япп
В последнем равенстве все индексы klt &2, kn различ ны и принимают значения от 1 до гг. Путем некоторого числа транспозиций индексов можно привести определитель
|
«1Л, |
|
а'»п |
|
|
«11 |
Clin |
|
|
|
|
к |
виду |
|
|
= И |, |
|
|
ankt |
|
а„ъа |
|
|
ап\ |
Clnn |
|
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Glk, |
aikn |
|
|
t ikukf |
k ) |
|, |
|
|
|
|
= |
( |
|||
|
|
flnfe, |
ankn |
- 1) |
“'Iл |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
t (klt |
Ь |
|
|
|
транспозиций, |
необходимых |
|
k2, .... kn) — число |
||||||||
для |
|
a2i |
K ) ~ |
|
|
I, 2 , ..., |
п к расположению |
|
приведения |
перестановки |
|||||||
1 » ^2» • •■1 |
rv^jik |
|
|
|
|
|
|
|
«11 |
|
Cln |
| А | |
П |
|
(— 1); {k"k*..... кп) |
|
|
|
|
= |
2 |
1 |
|
|||
Cnl |
|
Cnn |
А,( 1М| |
|
|
|
||
|
tЧФЬ[(1ф!\ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
» = И 1 |й |. |
т. е. определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
§ 5. Присоединенная матрица
Если А = (ац) — квадратная матрица порядка п, то
присоединенной {союзной) называется матрица
Al ^21 |
All |
элементами которой служат алгебраические дополнения эле ментов матрицы А, а именно:
Я п |
а\ / - 1 |
а\ / - и |
а\п |
Ац = ( - 1)*Н Я/—! 1 |
ai-i /_ 1 |
1 / + 1 |
ai-in |
|
at— |
||
а{+\ 1 |
/—1 |
Я/+ 1 ж |
Я/+ 1 п |
Ял1 |
Ял /—1 |
Я« /+ 1 |
Я п п |
(*. / - 1 , 2 , ... , п).
Из теории определителей известно, что сумма произве дений всех элементов некоторого столбца (строки) определи теля на алгебраические дополнения соответственных эле ментов другого столбца (строки) равна нулю, а сумма произ ведений всех элементов столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов то го же столбца (строки) равна данному определителю:
П |
aikAjk = |
| А |, |
|
|
|
S |
|0 |
, |
1 ф \; |
||
fe=i |
|
|
|||
П |
|
|
б/, = |
|
<= / \ |
2 |
Afttakj = |
Ьц | А | |
И. |
||
|
|
|
|||
Учитывая это, легко устанавливаем основное свойство |
|||||
присоединенной матрицы: |
|
|
|
||
|
|
ААС= АСА = \А\Е. |
|
(5 Л) |
§ 6. Обратная матрица
Квадратная матрица В называется обратной данной
квадратной матрице А, если |
|
BA = АВ =Е, |
(6.1) |
где Е — единичная матрица соответствующего порядка. Матрица, обратная матрице Л, обозначается через А~К На основании свойства определителя произведения ма
триц
| Л—' 11ЛI = IЛ 11 |
I = 1 |
(6.2) |
(определитель единичной матрицы равен 1 ). Отсюда ясно, что, во-первых, обратную может иметь только матрица,