книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfВ рассматриваемой совокупности, наряду с оператором А, имеется также обратный (противоположный) оператор
(-А ).
В силу свойств (1.1) и последнего замечания совокуп ность всех линейных операторов в я-мерном пространстве Я образует некоммутативное кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор Е , который каждому вектору х £ Я относит тот же самый вектор:
Е х — х .
• Пусть |
( х ,у £ Я). |
У = А х |
|
Через х и у обозначим |
столбцовые матрицы, элемента |
ми которых служат координаты векторов х и у в базисе
0 1»^2* • ••» 0/j* Тогда
у = Ах,
где А — квадратная матрица порядка п, отвечающая в дан ном базисе оператору А.
Линейный оператор Л, матрица базисных векторов g
и матрица А связаны друг с |
другом равенством (см. (2.6.9)) |
|
Л £ = & 4 . |
(1 .2 ) |
Выбором базиса устанавливается изоморфное соответ ствие между кольцом линейных операторов и кольцом квад ратных матриц я-го порядка. В самом деле, сумме и произ ведению двух операторов А и В соответствуют, как это сле дует из (1 .2 ), сумма и произведение квадратных матриц А и В, а произведению числа ос из di на линейный оператор А отвечает произведение того же числа на матрицу А . Наконец, единичному оператору Е отвечает единичная матрица Е =
=(«,/)•
§2 . Матрицы линейного оператора в разных базисах
Рассмотрим в R два базиса g = (ех 02 ... |
еп) и |
= |
= {е\ е'г ... 0л), связанные друг с другом соотношением
& = %Т, |
(2 .1) |
где Т — неособенная квадратная матрица порядка я, и ли нейный оператор А , который произвольному вектору х £ Я
относит некоторый вектор у £ R. Пусть А и Ах — матрицы линейного оператора А в базисах g и g 2 соответственно. Тогда согласно (1.2)
А ё ^ ё Л . |
(2 .2 ) |
Умножая второе равенство (2.2) справа на Т-1, получим с учетом (2 . 1)
Аё = gTAjT-1.
,Сравнивая последнее соотношение с первым равенством (2 .2 ), находим
|
А = TAjT~l. |
(2.3) |
Разрешая (2.3) |
относительно Аи получим |
|
|
Ах = Т“1АТ. |
(2.4) |
Две матрицы Л |
и В, связанные другс другом |
соотно |
шением вида (2.3) |
(или (2.4)), называются подобными. |
Таким образом, одному и тому же линейному оператору в различных базисах отвечают матрицы, подобные между со бой. Матрица Т, связывающая эти матрицы, является мат
рицей преобразования координат при переходе от перЕОго базиса ко второму.
З а м е ч а н и е . Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, поскольку каждая из подобных матриц полу чается из другой путем умножения слева и справа на неосо бенные матрицы.
Определители подобных матриц равны друг другу. Это следует из свойства определителя произведения матриц.
§ 3. Обратный оператор
Принимая во внимание, что определитель матрицы ли нейного оператора не зависит от выбора базиса в R, можно ввести понятие определителя линейного оператора, подра зумевая под этим определитель матрицы линейного опе ратора в каком-нибудь базисе. Определитель линейного опе ратора, как и определитель матрицы, обозначается симво
лами |
| А | и |
det А . |
особенным (неособенным)> если |
||
Оператор |
А называется |
||||
\А | = |
0 |
(соответственно |Л |
|= ^ 0). |
||
Если |
оператор |
неособенный, то |
|||
1) |
из А х = 0 |
следует х |
= 0 ; |
2)AR = /?, т. е. векторы А х (Y x £ R) заполняют все
пространство R.
В самом деле, если А х = 0, то в некотором базисе % Ах = О,
откуда, так как \А\ Ф 0 , х = 0 .
Далее, пусть у — произвольный вектор пространства /?,
у — столбцовая |
матрица, составленная из координат век |
тора^ в базисе |
а А —матрица линейного оператора А |
в этом базисе. Так как А — невырожденная матрица, то для любой столбцовой матрицы у существует столбцовая матрица xt определяемая равенством
х= А ~ 1у. |
(3.1) |
Отсюда
У = Ах.
Полученному матричному |
соотношению соответствует |
векторное равенство |
|
у = А х |
(x ,y € R ), |
т. е. рассматриваемый (произвольный) вектор у £ R есть вектор вида А х (х £ /?)• Значит, действительно, векторы А х (Y x £ R ) заполняют все пространство R.
Матрицу Л- 1 линейного преобразования (3.1) можно рассматривать как матрицу, соответствующую обратному
оператору А~1в данном базисе пространства R. Оператор А~х также является линейным в R и
А А ~ 1= А ~ 1А = Еу
что немедленно следует из двух равенств:
у = А х и х = А~1у.
§ 4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и квадратной матрицы
Вектор х £ R называется собственным вектором ли нейного оператора А , а число А, £ Vi — его собственнымзна
чением, если |
(4.1) |
А х = кх. |
|
Выберем в R некоторый базис g = |
{ехеч, ... еп). Пусть |
А — матрица, отвечающая оператору Л |
в базисе jg, aj х — |
столбцовая матрица, элементами которой служат коор динаты вектора х в этом базисе. Имеем, учитывая (1.2),
А х = А%х = £Ах,
%х = Я§* = %кх.
Отсюда в силу (4.1)
f£Ax = $Ях,
и, значит, |
Ах = |
Я*. |
(4.2) |
|
|||
Матричное равенство (4.2) в свою очередь эквивалентно |
|||
системе алгебраических уравнений |
|
||
( < 7 ц--- Я ) x l ~Ь |
йыХп — |
О , |
|
а21х 1 + |
(°22 — Я) Ч + |
+ а2пхп= |
О, |
|
|
|
(4.3) |
<7*1*1. + |
ап2Хг Ат |
+ (йпп ~ Х ) х п = |
0 . |
Для того чтобы система линейных однородных уравнений (4.3) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
|
ои —Я |
а12 |
<7lп |
|
\А — ЯЕ | = |
а 21 |
<^22 Я |
<72* |
= 0. (4.4) |
|
|
|
||
|
<7*1 |
<7*2 |
<7пп — Я |
|
Уравнение (4.4) представляет собой алгебраическое урав нение п-й степени относительно Я и называется характери стическим уравнением. Многочлен | А — Я £| называется
характеристическим многочленом.
Каждое собственное значение Я линейного оператора А является корнем характеристического уравнения (4.4). И на оборот, каждому корню Я уравнения (4.4) соответствует ненулевое решение xlt х2, ..., хп системы (4.3), и, значит,
числу |
Я отвечает собственный вектор х = ^Х{в{ = |
%х опе- |
|
ратора А . Столбцовая матрица х, |
i |
из чисел |
|
составленная |
|||
xlt *2, |
..., хп — решения системы |
(4.3),— называется соб |
ственным вектором матрицы.
Уравнение (4.4) имеет не более чем п корней, поэтому линейный оператор А в JR имеет не более чем п собственных значений.
Пусть Ах — матрица, отвечающая тому же оператору Л , но при другом базисе в R. Матрицы Ах и А подобны:
Л, = Т ~ ' А Т .
Отсюда
Л, — ХЕ = Г-'АТ — ХТ~'Т - T~l (А - ХЕ) Т,
и, следовательно,
\Аг — кЕ\ = \А — кЕ\.
Таким образом, подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен.
Собственный вектор оператора (матрицы) определяется с точностью до произвольного множителя, не равного нулю. Действительно, пусть х — собственный вектор оператора А ,
отвечающий собственному значению к, а с Ф |
0. Тогда |
|
А (сх) = с А х = |
с к х = к(сх) . |
|
Отсюда видно, что с х ф 0 |
тоже является |
собственным |
вектором, отвечающим собственному значению к. |
||
Данному собственному значению к могут соответствовать |
и несколько линейно независимых собственных векторов. Если собственному значению к отвечают собственные век торы х , у> и оператора Л , то любая линейная комби нация этих векторов либо сама является собственным век тором, либо равна нулю. Действительно,
Л (алс 4- Ру 4* |
4- 6*0 = &Ах 4- РAy -j- |
4- АЛ я = |
||
= М а* + |
Рз>4- |
+ б«) |
(а,Р, |
. . . . 6 6 Я ). |
Линейно независимые собственные векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, порождают не которое собственное подпространство. В частности, каждый собственный вектор порождает одномерное собственное под
пространство, |
или собственное направление. |
|
||||||
Л е м м а |
4.1. |
Собственные векторы линейного опера |
||||||
тора А |
(матрицы |
Л), |
отвечающие |
попарно |
различным |
|||
собственным значениям, |
линейно независимы. |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
|
||||
АХ{ = |
kfXi |
(i = |
1,2, . . . , |
h\ k i ^ ^ k f |
при |
t s5^s/). (4.5) |
||
Допустим противное, а именно, что в |
условиях леммы |
|||||||
собственные векторыXi, х 2, |
x k линейно зависимы, т. е. |
|||||||
имеются числа alt |
ос2, ...» |
не |
все |
равные нулю и |
такие, что |
а л |
-}- а 2х 2 -Ь |
+ |
|
(4*®) |
||
|
~ |
||||||
Пусть, |
например, |
|
ak Ф 0. |
|
|
|
|
Равенство (4.6) умножим слева на Л . Получим, учитывая |
|||||||
(4‘5)’ |
|
|
2 a(Xtx t = |
0. |
|
(4.7) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(=1 |
|
|
|
|
Равенство (4.6) умножим на \ |
и вычтем затем из |
(4.7). |
|||||
Будем иметь |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 < М ^ — |
|
|
(4.8) |
||
|
|
i= 2 |
|
|
|
|
|
Теперь равенство |
(4.8) умножим слева на Л. Придем к |
||||||
равенству |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
«i ( \ —У |
= 0. |
(4.9) |
|||
|
|
2 |
|||||
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
Из равенства |
(4.9) |
вычтем равенство (4.8), умноженное |
|||||
на %2. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
otj |
|
— ^i) •— ^2) |
~ |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
i= |
3 |
|
|
|
|
|
Повторяя этот прием, в конце концов придем к равенству |
|||||||
а * |
^1) Q^ii |
^ 2) |
|
hk—i) Хь — 0 . |
|
Однако последнее соотношение не может выполняться, так как в левой части, согласно условиям леммы и сделан ному предположению о существовании не равного нулю коэффициента a ft, все сомножители отличны от нуля. Полу ченное противоречие доказывает лемму.
§ 5. Линейные операторы и матрицы простой структуры
Линейный оператор Л в /z-мерном пространстве/? может иметь не более чем п линейно независимых собственных век торов. Если характеристическое уравнение имеет п различ ных корней, то оператор Л имеет точно п линейно незави симых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет k различных корней (k < п), то число ли нейно независимых собственных векторов может быть и больше, чем п.
Линейный оператор А в л-мерном векторном пространст ве называется оператором простой структуры, если А имеет п линейно независимых собственных векторов.
Пусть А — оператор простой структуры и g lt g 2, ..., gn— линейно независимые собственные векторы оператора А:
Agk = Kgk (£ = 1 , 2 , , л). (5.1)
Примем эти векторы в качестве базисных векторов.
Если
х =&х,
где # = (gigz.'.gn), а х — столбцовая матрица, элементами которой служат координаты вектора х в базисе # , то
У = А х = А&х = (Ag1A g 2 A gn)х =
= (Kgi K g г К gn) X = &у,
где
/K xi \
—столбцовая матрица, элементами которой служат коор динаты вектора А х в базисе
Таким образом воздействие оператора простой структу ры А на вектор х сводится к «растяжению» составляющих этого вектора по собственным направлениям, порожденным
векторами g lt g 2, ..., g n, с коэффициентами Xl5 Х2, ..., Кп. Соотношения (5.1) эквивалентны одному матричному ра
венству
А & = &А,
где
~к
к
Значит, оператору простой структуры А в «собственном» базисе g lt g 2, .... ^„соответствует диагональная матрица.
В произвольном базисе оператору простой структуры А соответствует матрица А, подобная диагональной матрице:
А = КЛК~'.
Матрица, подобная диагональной матрице, называется
матрицей простой структуры.
Итак, оператору простой структуры во всяком базисе отвечает матрица простой структуры, и наоборот.
§ 6 . Расщепление «-мерного пространства
Пусть R x и R 2 — подпространства «-мерного простран ства R . Если/?! и R 2не имеют общих векторов, кроме нуля, и любой вектор л: из R представляется в виде
X = х х+ х 2 |
(хг € /?1 , Х 2 £ /?а), |
(6.1) |
то говорят, что пространство R расщепляется на два под пространства R 1 и / ? 2 или что пространство R разлагается в прямую сумму подпространств R 1 и R t.
Это разложение записывают так:
/? = /?! + R 2. |
(6.2) |
Представление вектора х в форме (6.1) единственно. Действительно, допуская, что возможно еще другое пред ставление
х = X! + х 2, |
(6.3) |
после вычитания (6.3) из (6.1) придем к равенству двух век-
торов: х х — x x € R x и х 2— х 2 £ R 2, что невозможно, ибо у /?i и R 2 нет общего ненулевого вектора.
Т е о р е м а 6.1. Если п-мерное пространство R рас щепляется на два подпространства R x и /?2, от. е.
R — Ri + Ла,
то сумма размерностей R x и R 2 равна п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем некоторый базис f u / 2, ...,/* в подпространстве/?! и базис g lt g 2, ..., g t в подпро странстве /?2.
Векторы |
•••♦/*, gi> |
....S'/ |
линейно |
независи |
мы. Действительно, пусть |
|
|
|
|
ai fl + tt2/ В+ |
4“ akfk 4~ |
1 + |
|
|
тогда |
|
+ Ргб’г + |
= |
|
"Ь akfh ~ |
|
|
|
|
0£х/х 4* а г/а 4" |
|
|
+ Ш - |
|
|
= - |
(Pi?, + |
+ |
Левая |
часть последнего равенства |
есть вектор из R lt |
|
а правая |
часть — из Д 2. Поскольку |
у |
подпространств Д х |
и Д 2 общим является только нулевой |
вектор, то |
|
ai/l 4" “гЛ 4“ |
+ afc/ft= 0» |
|
||
|
PlITl 4" Рг!^ 4~ |
+Р/^ = 0- |
|
||
Отсюда, |
в |
силу линейной |
независимости векторов /г* |
||
/а» •••»/&» а 1 |
= |
а 2 = |
— ка= 0, а из линейной |
независи |
|
мости векторов g ltg it |
St следует, что Рх = |
р2 = ... = |
|||
= Р/ = 0 . |
|
|
|
g l t ...»gi линейно не |
|
Следовательно, векторы f lt |
|||||
зависимы. Так |
как все |
они—векторы ^-мерного |
простран |
||
ства Д , то |
|
|
k + / С |
я. |
(6.4) |
|
|
|
|||
Рассмотрим |
теперь |
я линейно независимых |
векторов |
e l t 0 2 ****>0п пространства Д . Каждый из этих векторов мо жет быть представлен как сумма двух векторов из Д х и Д а и, значит, как линейная комбинация векторов/ lt
8 i....... S t
01 = ailf 1 4“ а 1J 2 + |
+ |
+ |
|
|
0 2 = <*2l/l + |
|
+ |
Ривр1 + |
РЫГа + |
а 2zf2+ |
4~ a Z k f k+ |
P2lfil 4“ |
||
|
|
|
"ЬРга^г 4" |
|
* |
■ |
|
• |
* |
0Л = CS/il/l 4" a n 2 f 2 4" |
4" a n k f k 4* P/llfil 4" |
|||
|
|
|
4- |
4* |
Применяя |
к системе векторов е 1У |
02» ... , 0„ ^ |
||
лемму 2 .2 .2 , |
будем иметь |
|
|
|
|
|
ti ^ |
k -}- 1. |
|
Сравнивая (6.4) и (6.5), получаем
k -)-1= я.
4~ Pug/»
4~ Р2 lg b
4- fim g i- f i > •••» g i
(6.5)
§ 7. Проекционные операторы и матрицы
Пусть дано произвольное расщепление линейного про странства Д на два подпространства S кТ:
д = |
Т. |
Тогда любой вектор х £ R разлагается, и притом един ственным образом (см. § 6), на сумму двух векторов из S
и Т:
х — Xs + Хт |
(Xs € S* Хт € Т). |
(7.1) |
Вектор Xs называется проекцией вектора х на подпрост ранство $ параллельно подпространству Т. Аналогично, Хт называется проекцией вектора х на подпространство Т параллельно подпространству S.
Пусть Р — оператор, осуществляющий проектирование пространства R параллельно подпространству Т, Этот опе ратор определяется равенством
Р х = Xst
где х — произвольный вектор из R , a xs его проекция на S. Очевидно, что Р является линейным оператором.
Равенство (7.1) можно записать и так:
х = Р х -f- Хт. |
(7.2) |
Если х £ S, то разложение (7.1), в силу единственности разложения вектора из R на сумму (7.1), принимает вид*
х = x s |
(хт = 0), |
и из (7.2) в этом случае получаем |
|
x s = |
P x s , |
т. е. оператор Р , примененный к вектору из S , действует как единичный оператор.
Если х £ Т, то разложение (7.2) принимает вид
Хт — Рхт + Хт,
и, значит,
Р х т= о.
Пусть теперь х — произвольный вектор из R. Применим оператор Р к обеим частям равенства (7.2). Будем иметь
|
Р х = Р2Х + |
Рхт. |
Отсюда, |
учитывая (7.3), получим |
|
|
Р х = Р2Х. |
|
Следовательно, |
|
|
|
Р2 = Р. |
(7.4) |
Оператор Р в R> удовлетворяющий равенству (7.4), |
||
называется |
проекционным оператором. |