книги / Механика грунтов, основания и фундаменты

В итоге дифференциальные уравнения краевой задачи заменяют­ ся конечно-разностными соотношениями, объединяющимися в си­ стему линейных алгебраических уравнений. Введение гр а ­ ничных условий в виде фиксированых значений переменных или их производных на границах расчетной области делает систему уравнений определенной. Чаще всего в качестве неизвестных в зада­ чах механики грунтов фигурируют перемещения, значения которых для каждого узла конечно-разностной сетки находятся в результате решения системы уравнений известными методами линейной алгеб­ ры. Через найденные перемещения вычисляются относительные деформации и напряжения, т. е. задача о напряженно-деформиро­ ванном состоянии оказывается решенной.

Характеристики свойств среды могут быть как одинаковыми во всей расчетной области, так и различными на отдельных ее участ­ ках. Это позволяет решать МКР задачи для неоднородных сред. Обладая большими возможностями, МКР тем не менее получил меньшее распространение при решении задач механики грунтов, чем МКЭ. Объяснение причин этого выходит за рамки учебника. Но стоит сказать о том, что особенности построения конечно-разност­ ных сеток создают определенные трудности при воспроизведении сложных границ расчетной области, участков, резко отличающихся по физико-механическим свойствам. Точность решения в основном определяется густотой конечно-разностной сетки и не может быть повышена другими способами. Но при решении некоторых классов задач МКР применяется весьма эффективно.

Метод конечных элементов. МКЭ является мощным средством решения широкого круга задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Возникновение этого метода связано с проблемами авиастроения и космических исследований. Первые сведения о МКЭ были опубликованы в 1956 г. в статье М. Тернера, Р. Клафа, Г. Мартина и Л. Топпа. Дальнейшее развитие метода связано с фундаментальными трудами Д. Аргириса, О. Зенкевича, Р. Мело­ ди, Д. Одена и др. По-видимому, первые в СССР приложения МКЭ к расчетам сооружений и оснований приводятся в работах Л. А. Розина* и С. Б. Ухова**.

В течение последних 20 лет МКЭ активно применяется для решения научных и прикладных задач во многих областях знаний, глубокое развитие получили теория метода, процедура его примене­ ния. Среди изданной на русском языке литературы теоретические основы МКЭ, пожалуй, наилучшим образом изложены в работе К. Васидзу (1987), в которой дана общая формулировка решения задач механики сплошных деформируемых сред. Конечно-элементные

*Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. Л., 1971.

**Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов.— М.: МИСИ, 1973.

211

процедуры исчерпывающе описаны, в частности, в книге К. Бате и Е. Вилсона (1982). Для начального знакомства с МКЭ полезна книга Л. Сегерлинда (1979). В настоящее время основы МКЭ рассмат­ риваются в учебниках и кур­ сах теории упругости и пла­ стичности.

Сейчас МКЭ широко при­ меняется для решения задач механики грунтов. Первой успешной попыткой система­ тизации знаний в этой об­ ласти в отечественной литера­ туре явилась монография А. Б. Фадеева (1987). С ис­ пользованием МКЭ, как от­ мечает А. Б. Фадеев, связана

	каждая		третья публикация
	в области геотехники.
	При решении задач МКЭ
	расчетная			область,	которая
Рис. 8.2. Некоторыетипыплоскихконечныхэле­	может	представлять			собой
	грунтовый			массив,	систему
ментов (а) и пример конечно-элементной	типа	«фундамент — основа­
дискретизации плоской расчетной области (б)
	ние» или		«сооружение — ос­

нование» и т. п., разбивается на некоторое число подобластей, называемых конечными элементами. Элементы могут быть од­ номерными, являться плоскими или пространственными фигурами, как правило, достаточно простой формы. Например, при решении плоских задач обычно используются прямолинейные или криволи­ нейные треугольники и четырехугольники (рис. 8.2, а). В элементах выделяются точки, называемые узловыми точками или узлами. Узлы чаще всего размещаются в вершинах элементов, но могут располагаться также на сторонах и внутри элементов.

На рис. 8.2, б в качестве примера показаны плоская расчетная область и ее представление в виде набора Конечных элементов простейшей треугольной формы. Элементы имеют общие стороны и узлы. Разбивка на элементы, или, как часто говорят, конечно­ элементная дискретизация, не сопровождается механическим разделением области на отдельные части, а является только матема­ тическим приемом, т. е. среда в процессе деформаций остается сплошной и непрерывной.

Рассмотрим основную идею МКЭ на примере задачи о напря­ женно-деформированном состоянии. Пусть имеется плоская расчет-

212

Рис.8.3.Схемакпостроениюконечно-элемен- тных соотношений (плоскаязадача)

ная область 1397, показан­ ная на рис. 8.3, и требуется определить некоторую фун­ кцию <р(х, у), непрерывно изменяющуюся в пре­ делах этой области. МКЭ не ставит целью определить вид искомой функции, как это делается в аналитичес­ ких решениях, а позволяет найти приближенные значе­ ния этой функции в узлах, образуемых при конечно­ элементной дискретизации расчетной области, в дан­ ном случае с использовани­ ем простейших треуголь­

ных элементов. Таким образом, искомая непрерывная функция (р(х, у) заме­

няется дискретной моделью — ее значениями в узловых точках (Ф15 Ф2, ..., Ф9). Закон изменения функции между узлами, т. е. в пределах элементов, можно задать в различном виде. Для этого непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом неко­ торой степени (функцией элемента), определяемым через значе­ ния этой величины в узлах элемента. Тогда окончательной аппрок­ симацией непрерывной функции ср(х, у) будет служить совокуп­ ность кусочно-гладких поверхностей (в данном случае плоских фи­ гур), определенных на каждом элементе.

Наилучшее приближение к точному решению достигается мини­ мизацией некоторого функционала, приводящей формулировку за­ дачи к системе линейных алгебраических уравнений. Реше­ ние этой системы позволяет определить приближенные значения искомой функции в узлах. Точность решения может быть повышена сгущением сетки конечных элементов или использованием более сложных функций элементов. Количество уравнений в системе, достигающее в практических задачах сотен и тысяч, зависит от числа узлов. Если искомая величина является скалярной (например, температура, гидравлический напор), то количество уравнений рав­ но числу узлов N, если векторной (например, перемещение), то 2N или 3N соответственно для плоской или пространственной задач.

В приложении к задачам механики грунтов одна из общеприня­ тых формулировок МКЭ предполагает отыскание поля перемеще­ ний в некоторой области, вызванных силовыми воздействиями. Не привода здесь вывод основного уравнения МКЭ, который подробно рассматривается в соответствующих учебниках и специальной лите­ ратуре, запишем это уравнение в матричной форме:

213

№ {U}={F},

(8.3)

где, [A] — матрица жесткости системы элементов; {17}— вектор компонент перемещений узловых точек; {JF} — вектор компонент сил, приложенных в узлах.

Вектор {1} суммирует заданные воздействия от сосредоточен­ ных, поверхностных и объемных сил и таким образом может быть определен. Матрица жесткости {ЛГ} формируется с использованием соотношения

£	(8.4)
М - 1 W e)l

где № — м атрица жесткости элементами суммирование вы­ полняется по специальным правилам для всей системы из Е элемен­ тов. Матрица kfe' для каждого элемента однозначно определяется его конфигурацией, задаваемой координатами узлов, и характери­ стиками деформационных свойств материала в пределах элемента.

Система линейных алгебраических уравнений (8.3) формируется

ирешается на ЭВМ при заданных граничных условиях задачи. В результате решения определяются компоненты вектора переме­ щений {U}, после чего вычисляются относительные деформации

инапряжения в каждом элементе:

	(8.5)
где	и {а^} — соответственно векторы компонент относитель­

ных деформаций и напряжений в элементе; [В^ ] — матрица, опре-

рмационных характеристик материала элемента.

При решении задач, основанных на предположении о линейной деформируемости грунта, формализация решения МКР и МКЭ осуществляется достаточно просто. К настоящему времени раз­ работаны многочисленные вычислительные программы, реализу­ ющие подобные решения. В случае нелинейных задач процедура расчета усложняется. Основные положения решения таких задач будут расмотрены ниже.

Некоторые практические рекомендации. В отличие от задач стро­ ительной механики, где рассчитываемые элементы конструкций имеют конечные размеры, в механике грунтов объектом исследова­ ний является практически не ограниченный в размерах грунтовый массив, взаимодействующий с сооружением. В то же время как в МКР, так и в МКЭ в качестве расчетных рассматриваются об­ ласти, имеющие конечные размеры. Это приводит к необходимости ограничивать размеры расчетного участка массива (расчетной об­ ласти), но таким образом, чтобы влияние искусственно введенных границ не приводило к значительному искажению результатов ре­ шения.

.214

Численные методы позволяют решать краевые задачи для неод­ нородных сред. Характер неоднородности, связанный с наличием в расчетной области участков с различными физико-механическими свойствами материалов, учитывается при назначении конечно-раз­ ностных сеток или конечно-элементной дискретизации. От качества сетки в большой степени зависит точность окончательных резуль­ татов. Сетку разбивки назначают так, чтобы в пределах одного элемента среда была однородной. На участках области, где желате­ льно получить более точные результаты, а также в зонах, где ожидаются наибольшие градиенты напряжений, производится ло­ кальное сгущение сетки.

Назначение граничных условий производится с учетом особен­ ностей решаемой задачи. На участках свободных границ расчетной области могут быть заданы внешние силовые воздействия. На внутреннем контуре, который «вырезает» расчетную область из полупространства, граничные условия обычно вводятся в виде фик­ сированных значений одной или двух компонент перемещений уз­ лов (часто равных нулю), хотя возможны и другие варианты их назначения. После задания граничных условий система уравнений становится определенной и решается методами линейной алгебры относительно неизвестных компонент перемещений. Далее через перемещения узлов определяются относительные деформации и на­ пряжения, например в МКЭ с использованием соотношений (8.5).

Методы решения задач нелинейной механики грунтов. В изложен­ ном выше виде аппарат МКР и МКЭ позволяет рассчитывать напряженно-деформированное состояние расчетной области (напри­ мер, массива грунта или системы «сооружение — основание») при использовании модели линейного деформирования грунта. Уже и в этом случае очевидно преимущество численных методов перед аналитическими, поскольку первые позволяют решать задачи для неоднородных систем. Решение физически нелинейных задач меха­ ники грунтов выполняется специальными способами, сводящимися к итерационны м процессам вычислений'.

Итерационный процесс представляет собой последовательное выполнение приближений (итераций). Если зависимость между напряжениями и деформациями для грунта линейна и деформаци­ онные свойства грунта определяются постоянными значениями мо­ дулей объемной деформации и сдвига К и G, то решение матрич­ ного уравнения МКР или МКЭ, например (8.3), позволяет получить окончательный результат в первой же итерации. В случае физичес­ кой нелинейности материала выполняется последовательность ите­ раций, но в каждой итерации производится анализ напряженнодеформированного состояния в узлах (МКР) или в элементах (МКЭ) и система уравнений преобразуется таким образом, чтобы удовлетворялись нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями, а также условия равновесия. Итерационный про­ цесс заканчивается, когда достигнута заданная точность решения.

215

Некоторые методы решения физически нелинейных задач рассмат­ риваются ниже на примере деформационной модели грунтов (см.

§3.3). Будем считать, что расчет ведется МКЭ.

Метод переменной жесткости. Рассмотрим задачу о расчете напряженно-деформированного состояния грунтового массива., Для простоты изложения предположим, что массив однороден и свойст­ ва грунта описываются нелинейными диаграммами объемного сжа­

тия и формоизменения, определенными экспериментально. Решение осуществляется последовательным выполнением итераций. В каж­ дой итерации рассматривается квазиупругая задача с фиксирован­ ными в данной итерации значениями показателей K nG .

Перед выполнением первой итерации встает вопрос о выборе начальных значений характеристик К и G. Их часто назначают соответствующими наклону начальных участков диаграмм дефор­ мирования. Например, по диаграмме £„,—/( ат) (рис. 8.4) начальный модуль объемой деформации может быть принят равным tg atJ Аналогично по диаграмме формоизменения назначается начальный модуль сдвига Gt.

После выполнения первой итерации оказываются известными напряжения и деформации в элементах, причем точки, соответст­ вующие напряжениям ати деформациям етв элементах, согласно упругому закону деформирования, должны находиться на луче, проведенном под углом ах к оси ет, т. е. отклоняться от криволиней­ ного графика £m=f(<rm). Предположим, что для некоторого элемен­

та эта точка заняла положение Г (рис. 8.4) с координатами		от).
Сохраняя постоянным среднее напряжение	сместим точку Г на

кривую £m= f(crm) в положение 1 и определим новое значение модуля как К2= tg а2 (рис. 8.4), который часто называют секущим м оду­ лем.

Естественно, что по результатам первой итерации напряжения и деформации в различных элементах будут различными, вследст­ вие чего будут различными и значения секущих модулей. Проведем повторное решение задачи (вторая итерация) с полученными значе­ ниями секущих модулей и найдем для рассматриваемого элемента точку 2' на графике, лежащую уже ближе к опытной кривой. Скор­ ректировав снова значение секущего модуля Z3= tg a3, выполним следующую итерацию и получим точку 3'. Дальнейшая последова­ тельность решений строится аналогично, асимптотически прибли­ жаясь к точному решению. Анализ реальных краевых задач включа­ ет одновременное рассмотрение диаграмм объемных деформаций и формоизменения и изменение от итерации к итерации секущих модулей K B G для каждого элемента.

Решение некоторых практических задач требует учета последова­ тельности приложения нагрузок (разгрузка основания при разра­ ботке котлована, поэтапное нагружение при возведении сооружения и т. д.). В этом случае в расчетах осуществляется так называемое

216

Рис. 8.4. Схема решения нелинейных	Рис. 8.5. Схемарешениянелинейныхзадачпри
задач методом переменной жесткости	инкрементальном нагружении

инкрем ентальное нагружение, т. е. нагрузка прикладывается от­ дельными шагами (инкрементами) {AF} и на каждом шаге нагруже­ ния выполняется итерационное решение нелинейной задачи. В ре­ зультате на каждом шаге определяются непосредственно не полные перемещения {С/}, а их приращения {А17}, соответствующие шагу нагружения, и для каждого элемента вычисляются приращения деформаций {Ае} и напряжений {Дет}.

Рассмотрим ход решения задачи на примере анализа диаграммы формоизменения (рис. 8.5). Пусть начальное значение модуля сдви­ га характеризуется величиной G1= tga1. Предположим, что после первого шага нагружения {AFJ в некотором элементе получено напряженно-деформированное состояние, соответствующее точке I с координатами уа и хй. При этом определены векторы перемеще­

ний {17!}, деформаций и напряжений {о^}.

На следующем шаге к расчетной области прикладывается вто­ рой инкремент нагрузки {Ai^}. Проведя первую итерацию при модуле сдвига Gu определим приращения векторов перемещений {АПг}, деформаций {Ае^} и напряжений {Aer^}, через которые вычис­ лим полные значения напряжений и деформаций, а затем сдвиговые деформации у' и напряжения г'а. Соответствующая им точка 2'

показана на рис. 8.5. Поскольку точка 2' отклоняется от диаграммы yi=f(x{), т. е. значения у^ и х'й не соответствуют «истинным»,

применяется итерационный процесс, аналогичный описанному вы­ ше. Разница с предыдущим заключается в том, что итерации выпол­ няются для каждого инкремента нагружения. В следующих итераци­ ях назначаются модули сдвига, соответствующие тангенсам углов а2, а3 и т. д. и называемые касательны м и или тангенциаль­ ными модулями.

217

Рис. 8.6. Схемы решения нели­ нейных задач методом началь­ ных напряжений (а) и методом начальныхдеформаций (б)

Сходимость описанных выше итера­ ционных процессов достаточно быстрая. Вместе с тем, поскольку изменяются па­ раметры деформационных свойств, в ка­ ждой итерации приходится заново формировать матрицу жесткости систе­ мы и производить ее обращение для по­ лучения промежуточных решений. Избе­ жать многократного повторения этого цикла, требующего больших затрат ма­ шинного времени, позволяют методы, описанные ниже.

Метод начальных напряжений.

Вэтом методе итерационный процесс сопровождается изменением вектора на­ грузки. Идея заключается в том, что после получения упругого решения (точ­ ка Г на рис. 8.6, а) определяется от­ клонение полученных значений напряже­ ний от «истинных» (Агп). Разница между

полученными и «истинными» напряже­ ниями перераспределяется в соответст­ вии с упругим законом в узлы элемента в виде узловых сил, которые добавляют­ ся к вектору нагрузки. Последующая итерация выполняется с измененным ве­

ктором нагрузки без дополнительной модификации матрицы жест­ кости. Характер процесса сходимости решения иллюстрируется на рис. 8.6, а. При общей экономии времени на проведение одной итерации число итераций, необходимое для достижения заданной точности решения, оказывается большим, чем в методе переменной жесткости.

М етод начальных деформаций. Этот метод во многом сходен с методом начальных напряжений, но здесь после получения упругого решения определяется отклонение вычислен­ ных деформаций от «истинных» (Asmi). Полученное отклонение

(рис. 8.6, 6) с помощью упругого закона пересчитывается в соответствующий дефицит напряжений с дальнейшим преоб­ разованием в дополнительные узловые силы. По своей эффектив­ ности метод начальных деформаций аналогичен методу начальных напряжений.

Из геометрических соображений нетрудно установить, что ме­ тод начальных напряжений целесообразно применять для выполаживающихся диаграмм (например, диаграмма т,- — у,- на рис. 8.6, а), а метод начальных деформаций — для восходящих диаграмм вида ат— ет на рис. 8.6, б. Изложенные методы могут применяться

218

в расчетах раздельно или в комбинации как для моделей дефор­ мационного типа, так и при использовании более сложных моделей грунтов.

Реализация численных методов расчетов на ЭВМ. Даже поверх­ ностное знакомство с численными методами свидетельствует о том, что решение задач сопровождается обработкой огромных

объемов числовой	информации. В первую очередь это связано
с необходимостью	формирования и решения систем уравнений

с большим числом неизвестных. Количество хранимой и об­ рабатываемой информации возрастает при решении нелинейных задач механики грунтов итерационными методами, поэтому ре­ ализация расчетов возможна только с применением высокопроиз­ водительных ЭВМ. Примечательно, что развитие теории, совер­ шенствование аппарата и расширение сфер приложения численных методов проходили параллельно с развитием вычислительной техники.

Очень важной особенностью численных методов является то, что определенные этапы решений однотипны для разлйчных задач и приложений методов. Они могут быть описаны стандартными алгоритмами и оформлены в виде самостоятельных подпрограмм. Примером этого в МКЭ служат входящие во многие вычислитель­ ные комплексы библиотеки подпрограмм, выполняющих обработку разнообразных типов конечных элементов: формирование матриц жесткости и векторов нагрузки, вычисление деформаций и напряжет ний в элементах и т. д. Тот же принцип используется при расшире­ нии пакета подпрограмм, реализующих введение в расчет различ­ ных моделей механического поведения грунтов и других матери­ алов. Некоторые подпрограммы являются стандартными и исполь­ зуются вне зависимости от особенностей задачи, например подпрог­ раммы построения сетки элементов или решения систем линейных алгебраических уравненений. Функции основной программы сводят­ ся главным образом к управлению вызовом из библиотеки нужных подпрограмм в соответствии с постановкой и выбранным методом решения краевой задачи.

Сказанное не должно создавать впечатление, что разработка универсального и многопланового программного комплекса явля­ ется формальным и относительно простым делом. Все обстоит сложнее и в значительной мере зависит от ориентации комплекса на решение тех или иных классов проблем. В области механики сплош­ ных деформируемых сред сравнительно просты программы реше­ ния линейных упругих задач. Учет нелинейных упругопластических закономерностей деформирования грунтов приводит к большому числу разветвлений в программе, связанному с количеством исполь­ зуемых механических моделей и методов решения нелинейных за­ дач, поэтому вопросы алгоритмизации решений выходят за рамки учебника. С ними можно ознакомиться в специальной литературе.

219

8.3. Расчет осадок фундамента методами линейной и нелинейной механики грунтов

В качестве иллюстрации приведенных выше положений рассмот­ рим простейшую задачу определения размеров центрально нагру­ женного ленточного фундамента. Согласно СНиП 2.02.01 — 83, при проектировании фундамента должно выполняться условие расчета по деформациям, в соответствии с которым ожидаемая осадка фундамента s не должна превышать предельную для данного типа сооружения величину осадки su (s ^ s j. Кроме того, для возмож­ ности использования при расчете осадок рекомендованных СНиПом методов, основанных на теории линейного деформирова­ ния грунтов, необходимо, чтобы среднее давление под подошвой фундамента р не превышало расчетного сопротивления грунта

R(p^R). Тогда последовательность проектирования заключается

втом, что сначала определяются размеры фундамента в плане из условия p^R , а затем выполняется расчет по деформациям.

Чем ближе давление р к расчетному сопротивлению R, тем при выполнении условия s^su более экономично запроектирован фун­ дамент. Однако в практике нередки случаи, когда расчетная осадка s оказывается значительно меньше предельной даже при давлениях,

близких к расчетному сопротивлению грунта (s<z:su при p=R). Возникает противоречие: с одной стороны, можно уменьшить пло­ щадь подошвы фундамента, увеличив р и тем самым приблизив расчетную осадку s к предельной, с другой — давление р при этом превысит значение расчетного сопротивления грунта R и определе­ ние осадки фундамента с использованием рекомендованных СНиПом методов станет невозможным ввиду перехода основания

вфазу нелинейного деформирования.

В§ 7.5 был приведен инженерный способ расчета осадок за пределами линейной зависимости между напряжениями и дефор­ мациями в основании, т. е. при p>R. Более точные данные могут быть получены с использованием численных методов решения нели­ нейных задач механики грунтов.

Рассмотрим сначала задачу расчета ленточного фундамента в соответствии с рекомендациями СНиП 2.02.01 — 83 (рис. 8.7, а). Фундамент, на верхнем обрезе которого действует нагрузка 500 кН/м, заложен на глубину d= 2u в толще однородных тугопластич­ ных суглинков с удельным весом у= 18 кН/мл Механические свойст­ ва суглинков изучены на компрессионных и сдвиговых приборах, на основании чего получены кривая компрессионного сжатия (рис. 8.8, а) и характеристики сопротивления сдвигу грунта <рц =20° и ся =20 кПа.

Примем ширину подошвы фундамента Ь—2 м. Тогда с учетом веса фундамента нагрузка, приложенная к плоскости подошвы фун­ дамента, будет равна Рв=580 кН/м, а среднее давление составит p —Fv(b=2% кПа. Если теперь по формуле (9.5) определить зиаче-

220