Глава одиннадцатая

КО ЛЕБА НИ Я ТОНКОСТЕННЫ Х

Ц И Л И Н Д РИ ЧЕСКИ Х ОБОЛОЧЕК

1. Исходны е уравнения

При рассмотрении колебаний оболочек с учетом демпфиро­ вания будем исходить из принятых выше положений о том, что рассеяние энергии в колеблющейся оболочке мо­ жет характеризоваться некоторой условной петлей гисте­ резиса независимо от причин, вызывающих демпфирование.

Предполагается также, что рассеяние энергии за цикл составляет малую долю амплитудного значения энергии колебательной системы, а потому может характеризоваться в дифференциальных уравнениях колебаний членами, со­ держащими малый параметр е. Последнее обстоятельство позволяет при решении указанных уравнений пользоваться асимптотическими методами нелинейной механики, осно­ ванными на представлении решений в виде разложений в ряд по степеням малого параметра е.

При выводе интересующих нас уравнений колебаний оболочек будем исходить из известных уравнений равно­ весия элемента, вырезанного из цилиндрической оболочки двумя смежными осевыми сечениями и двумя сечениями на расстоянии dx, перпендикулярными к оси цилиндра. Схемы такого элемента оболочки после деформации изоб­ ражены на рис. 22 [13]. Уравнение колебаний легко полу­

чить, если в уравнения статики в число компонентов век­ тора внешней нагрузки ввести компоненты сил инерции:

5а1 > ____ yh		dsv
~dt*	g	dt* '

yh daa>

T Wdt* '’

В развернутом виде уравнения равновесия сил и мо­ ментов соответственно могут быть представлены в виде

<w	aiv,Ф*	Л	d*w	лЛ,	до	п	( до ,
fl-тг-2- —	ду	aQx-faT		aNx<t	дх*	Qv \ дх
дх		£*	дх*
д*ш \		д*о		доо	__ yh_ д*и
+ а дхду		дхду		)	g	д(*	;

+ 0 !5 т .+

ш

J S .

О (до

д*ш

\

+ N *X х

ду

дх + aN* дх*

\ w

+ i 5 r J

^

/ 3%

до>\

п

(л \

^

| 1

Э2ш \

-уА

З2»

Х

( дхду

дх )

+

аду

"1" 'а

ду* )~~

~ f W ’ .01. 1)

а

3Q

3<?ф

d*w

д*ш

дх +

дхду

х ~дх*

+

Э2ш

33ш

\

Зфа • +

Мр*

ЭхЭф /

VA

Э2ш

g

Ж

’

а л ^

a/W* дх*

М *х \ дхду

д х }

3*

Зф

+

aQv = 0;

эмФ*

дмх

з2у

до

dw

ду

a

“ Эх" +

аМд:ф

Зх2

М ф (. дхду

дх

(11.2)

— aQx = 0;

до

.

3% \

,

d2w

+ « » ' ( ' +

i £

+

М *(дх

+

я ^ г) +

аМ[Лф 0Х2

+ T - w ) - ^ ( w + m ) + « < * . - * ■ > - о-

где ЛГФ, ЛГЖ1 <5Ф, Qx— внутренние усилия; М9, Мх, МХ(р, Мщ—

внутренние моменты, действующие			по	граням элемента
(рис. 2 2 ); а — радиус		нейтрального	слоя оболочки;		и —
перемещение	в осевом	направлении;		v — перемещение в
направлении	оси у; w — перемещение			в радиальном	на­

правлении (по оси г).

При выводе приведенных уравнений учтено изменение кривизны элемента ОАВС. Это существенно, если Мх, Nv и Nxy не малы в сравнении с их критическими значениями, при которых может произойти боковое выпучивание обо­ лочки. В том случае, если эти силы малы, их влиянием на

изгиб можно пренебречь, отбросив в уравнениях ( 11.1) и ( 11.2) все члены, содержащие произведение равнодейству­

ющих сил или равнодействующих моментов на производ­ ные малых смещений «, v и w. Тогда уравнения (11.1) и

Рис. 22. Схемы внутренних усилий к расчету колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек.

первые два уравнения ( 11.2) можно представить в виде

6АГ

6AL_

vh

да,,

_

dN„ .

dN,

дх

dtp

' g

dt2

хф

’

бф

*

вх

— Q<p ~Ь

-L-V L

J ! !

U’

^

dQ

.

dQn

,

и

,

yh

_

0,

' g

dt2

дх

^

Лт

^

^

IT

б

U>

бф

г

а/»

а dMХф

а*

Исключая

дМа	_	.	3JW	дМ
~яГ~ +	oQq> =	0;	~д“— Ь ° ~		— flQs
бф ’ _Г “^ф			бф	-г **	а*

из этих уравнений перерезывающие сацы

о.

Qx и

Q<P, получаем следующую систему уравнений:

a

dN .

ЗУфХ

yh d2U __

dx

• +

— +

g

dii

Зф

зуФ ,

dNxtp

+

dM

дМ„

уh

d*o*_

~

дф7- + a

dx

dx

a дф

+

g

dt* ~

U’

(PM

даЛ1

дШ

1

3aAf,

: (и .з)

ЛГФ+

+ a

+

**

3*a

*ф

4 -

Зфа

dxdcp

д*3ф +

L YA

d2w

“

Л

+ £

# а

°*

Теперь задача состоит в том, чтобы уравнения (11.3) транс­ формировать в уравнения колебаний с учетом демпфирова­ ния. Для этого выразим внутренние усилия и моменты че­ рез относительные деформации:

Eh

N* =	т ^ г	(е* + Иеф);		^ ф =■		(е® +	1“ *>;
Mj. =	— D (Хх +		рХф);	АГф =	- 0 ( Х , - ц Х . ) ;			(11.4)
Nx,<p — N<fX=		2	ц) » Мх<р—			АГфх= D (1	р) Хд-ф,
где Л — толщина			оболочки;		D — цилиндрическая			жест­
кость,
		г»	E h *			е*’ V
			12 (1 — |Аа) ;

деформации срединной поверхности; Хх, Xv и Ххч> — прира­ щение кривизн.

Учитывая, что

—

•

е

а

дф

■v

— 1

ди

I

да .

Здс

*

Ф

а ’

Y*ф

а

дф

Зл:

’

_

fftp

.

у

_

1

/

3t>

. даш \ .

v

_

1

/ Зи

,

32ш \

* ”

Здс2

*

Л * ~

а2

\

Зф

'1" Зфа 1’

“

Т

( 1 Г

+

3^ 5 ”)

формулы (11.4) можно представить

в виде

1G3

В случае наличия в системе источников поглощения энергии при колебаниях значение силовых факторов, выра­ женных зависимостями (11.5), должно уменьшиться на не­ которую величину, создающую определенное торможение, которое при восходящем и нисходящем движении будет различное, т. е. фактическое значение внутренних сил и моментов можно было бы представить в сокращенной записи формулами

N X =	N X + N SX;	Sp =	tf„ + Aft;	М Х= М Х + М*Х\
—►	—>	►	*—>	-Л^лф = Л^хф И- (п .6)
=	Л1ф		= Nх($“Ь

4- М%,

где первые члены в правой части формул определяются формулами (11.5), вторые члены согласно выражениям (1.21) и (3.1) — соответственно формулами

Л£ = ±		4	б5	Eh	Г	ди	.	, 1	до	- \1
				1— ц.а	[	дх	"t_,A \ а		ftp	а }Jmax X
X (1 =F 2cos 0 — cos20);
t / s	____ ,	3	Л	Eh	Г /	1	до	w \	,	ди
ф	^ " 8 2 1 — ji®				[ ( а			а )		^ дх

X (1 =F2cos0 — cos20);

X (1 =F 2 cos 0—cos20)j;

(11.7)

3	x (	пГ 1 до/	, a*ai\ , ..	w
T	6, (-* > [-* • ,- j f		+ w ) + 1. д а -l ^ x

X (1ч=2со?0— cos=0)};

m

& » +	1 й '	Eh	у
*	8 ° J	2 ( l + rt ( а	а Ф + аде; max ^
X (1 =F 2cos 0 — cos20);

а л *	=	_i_ 3 Л' /1	..\ 1 / dv	,	F	38o»	\
M * >		± T 6S(1 “	и) т	(I		+	ш ах	X
						dxdq> j,

X (1 =F 2cos 0 — cos2 0).

где стрелки, направленные вправо означают восходящее движение, а стрелки, направленные влево — нисходящее.

С учетом выражений (11.5) и (11.8) выражения (11.6) внутренних усилий (сил и моментов) в развернутом виде можно представить следующими формулами:

* *	-	+	1ь -щ — г-)1± т ^[-5Г +
fr	Eh	[\ ди t	I 1	dv	а» , 3 R f ди'	,
+•* (4	"-щ- — н-)]™, О ^			2cosie— cos2®)};

т З Д 4 - £ •- ^ ) ■- и -& 1 + 4 Ц ( 4 х

х - | - - т ) + '‘ ■ !■ ]„„ (I =F2cosв — cos=>0));

+ *(*+ $)]ji **»•-«*4
	( 11.8)
й = - д Ь И £ + ^ ) + ^ + - И ^ х
х (-Ж + V ) + f	cos^fl)};
£ - w h r [ ( i £ + * ) +- i * ( l £ +
+ - w ) max (1 =F 2 co s 0 -	cos20) j ;

+

Подставляя выражение (11.9) в (11.3) и выполняя неко­ торые преобразования, дифференциальные уравнения ко­ лебаний цилиндрической оболочки с учетом демпфирова­ ния окончательно можно представить в виде

Эа«

■

1 — р.

&и

1 +

ц

д*у

ц,

^дт

»

д *г ” 1-

2а9

дфа

2а

дхд<р

а

дх

^

8 Л

X (1 =F 2cos 0 -

со8*0) |б2 (-gj- +

^

а

9--

£

х

2

дхд(р

а

х

X

д2ц| \

I

§'

( 1 ~

р д2Ч- -|_ -J-

\

] л.

Х

дх* max

'

2 \

а2

д(Р2

^

20 дхдф /max] ^

4

уа (1 — Ца)

д2и

0 .

э/а

1 +

р.

аам

,

а

i — р а2»

I

_!_

даа

_

1_

J _

2

ахЭф

'

2

Эх3

"г

а

Эфа

а

дф

“

+

а

/

a3©

,

i

a3©

\

,

ft2

Г/1

_

цч/

a2» +

Ж

+

12й Г

+

± т

о т

20056 -

cosJ0) [6г ( т

W

,

1

OЭ2-Vу

1

vdw

Л

d2w

рАа

db

,

h*

. __________________________

X

"r

"а^Г

а

аф

12a3

Эф3

12a

я~а

'

T"

Эх3

12a3

(11.9)

v

3!» \

I

с»

/ 1

ааи

,

1 - P

,

_A_

X W

) max+ 6* U

~dm

+

2

9x2

+

12a

X

эзю

+

.

л2

э2у \

I

,

YAQ

- P2)

a2»

_

n.

X

Эх3Эф

" ls r " S 3 “ l...._

+

Egh

£йА

ft9

a<9 _ u>

"r

12a

ax2

'maxJ

Эм

,

_1_ J y

w

h*2

/

a4®d*w

.,

22

aЭ4® .

ц- Эх

а

Эф

T

ПГ

(°

a*4

а

Эхзэф2

~1"

+

1

d4®

\

A2

/

2 — p

db

+

JL

Э3у '1 Ч -

a3

dcp*

)

12

(

a

дх2Эф

+

a«

Эф3

л

d= -g- (1 =F= 2 c o s 0 —

COS^0) |б 2 ( V

■

+ i

da

СУ \

__

Эф

а 1гаах

A9 i,,

a4®

,

2fc

a4®

d3v

'

а3»

,

12

(a - s ? -

+

Q

ахаа"ф9

+1 •a£ - ЭфЭх9-

Эф3

'

1

a4© \

Aa (1 --I»)

/

d3v

1

■ ? r

*5>4 )m ax *"" 62

6a

l

a x %

. -f-

+

Э4©

\

1 ,

Ya (1 — l*2)

d2t)

_

Q

+

ЗГ

■

Уравнения (11.9) и являются теми исходными уравнениями, пользуясь которыми можно решить задачу о свобод­ ных колебаниях тонкостенных цилиндрических оболочек.

2. Свободные колебания

Для решения задачи свободных колебаний оболочки сле­ дует исходить из рассмотрения системы трех дифференци­ альных уравнений (11.9), которые для краткости записи членов, отражающих рассеяние энергии в колебательной системе, целесообразно представить в виде

Зац	, 1 — р.	&и , 1 -f- р	д*и_______р		dw ,
3*а	*’ 2в4	Эф1”* 2а	dxdtp	~а	dx

+

еФ(и, v, w) — а2-^ - =

0;

(11.10)

1 +

р

дги

м

п 1 — р Фу

J ___cPv

_

1

дш

,

2

ЗлсЗф

2

dx2

а

Зфа

a

dtp

'

,

h2

/

d3w

,

I d

sw\

,

h2

Г/1

\

3aa

,

“r

12a

{ 3дс*3ф

"l"

а

Эф3 ) ^

12a

^ 1 _

W

i r

+

+ ^ " 0 " ] + 8(^

y>

«)

a a 2

dt2

=

0;

(11.11)

du

do

__ai

A®

/

5*01

+

2

Э*а3фа• +

dx

a

dtp

a

12

(

dx*

a

- fta

/' 2 — p

d3v

+

1

d3v \

+

12

(i

a

dx2dtp

a3 '

dtp3 )

+ еФ (w, и, v) — aa2

0.

( 11.12)

Здесь

* * *

•) -

±

4

! (в) [«. ( - s - +

i r

S

?

-

*

+

d2u

_1^

(11.13)

dtp2 ^

2a

/J	dw	_j_	h2	d*w	pAa	d2v	,	h2	d3o \	,
\ а	Зф	’	12c8	dtp2	12a	dx2	•	12as	Зфа jmax
			д*и .		1 — p	d2v			Заш	,
			dxdtp	^ a	2

			,	ft2	d*v					(11.14)
			+	12а	дх2	max
* < * '• “> - ± т ' « [ « * к						+ т V ■- т ) _ -
___№_ /		dJm ,	2|х	g*a>		, rjt	fflo	, Ц	d3o
12	у	д х 1	а	дх2дф2		а	djc8d<p	а 3	д<р3	"т"
, 1	dlw \	Л	ft8 (1 —ц) /			g3t>
а3	dip4 )			6а	(	Aft?	+ дх2дфг )max] ’ (! 1 •15)
/( 0 ) =		1 q=2cos0 — cos20;				а2 =	-уа (g'£ft ^		,	(11.16)

где 6л и б'ц — суммы декрементов, включающих декремен­ ты, зависящие соответственно от амплитуды линейных цик­ лических деформаций и от сдвиговых деформаций.

Дальнейшей нашей задачей будет определение переме­ щений и, v и w исходя из системы дифференциальных уравнений (11.10) — (11.12). Решение будем искать в виде следующих разложений в ряды по степеням, малого пара­ метра е:

и =	auU (х, <р) cos 0 +		et/t (х, ф, 0) +	е2Uz (х, ф, 0) 4- е3 ...;
v =	aDV (х, ф) cos 0	+	еКх (х, ф, 0) +	е2К2 (х, ф, 0) + е8 ...;
w =	awW (х, ф) cos	0 -f е№г(х, ф, 0) + е2№2 (х, ф, 0) + е3,
					(11. 7)
где U (х, ф), V (х, ф),		W (х, ф) — решение			невозмущенной сис­
темы уравнений (11.10) — (11.12) при				е =	0; U1 (x, ф, 0),

Uz (х, Ф, 0 ),..., Vj (х, ф, 0), Vz (х, Ф, 0 ),..., Wx(х, ф, 0),

Wz(x, ф, 0),... — периодические функции аргумента 0 с пе­ риодом 2л.

Амплитуды деформации при колебаниях аи, йщ Ош И фаза колебаний 0 должны быть определены из системы дифференциальных уравнений

“ЗГ =	еЛч Ю +	еМ2ц (att) + ва -	I
da	еА„ (а„) +	еМ2„ Ы + е8...;	(11.18)
“2г =
da	(аш) +	В2Aw (^lo) А в ••• 5
~gj~ —

e ® Ч*

(Лц, Ц(,, йц;) “Ь 82В2 (йц, Ар» йф) А 63

(11.19)

где о — собственная частота колебаний оболочки без уче­ та рассеяния энергии в колебательной системе, движение которой можно описать уравнениями (11.10)— (11.12), по­ ложив в них е = 0 .

В дальнейшем нашей задачей будет подбор соответ­ ствующих выражений для функций

Ui (х, ф, 0);	Vt (х, ш, 0); Wt (х, ф, 0);	^iv*	IWt Bi
	( i = 1 ,2 ,3 ,...)			( 11.20)
таким образом, чтобы выражения (11.17)		с учетом		(11.18)
и (11.19) были	решением уравнений (11.10) и		(11.12).
Для однозначности функций (11.20)		на	Vi	и Wi

должны быть наложены условия об отсутствии в них пер­ вых гармоник, т. е. должны выполняться условия

зя

f Ut (х, ф, 0) cos QdQ —0;

о

2я

J Vi (х, ф, 0) cos 0d0 = 0;

о

2Я

^ Wt (x, ф, 0) cos 0d0 — 0;

о

(х, ф, 0) sin QdQ=	0;
^ Vt (*> ф , 0) sin 0d0 =	0; (11.21)
о
2я
j Wt (х, ф, 0) sin QdQ=	0.
о

Для того чтобы подставить выражения (11.17) с учетом (11.18) и (11.19) в уравнения (11.10)— (11.12), найдем со­ ответствующие производные, входящие в эти уравнения:

§ = - ^ t /c o s 0 - - a Bs i n e |. + e - g ^ +

dUu

+ 8 дв

dt +

8

даи

dt

+

8

90

dt

+ '** *

| r =

§ - Д„ { /с о з в ( ^ ) '-

- e . £ / Si n

e

£

+

« - 0 ‘ ( £

2 1 2C

da* dQ +

) ‘

+

/ e 9att99

dt dt

+

и

h 8 90r

U t l

+

dau

dt2

^

90

dt*

dau [ d t

.

2g2 W

. d a «

dt

J .

ъг

90

(

M

) \

m i .da.,

+ de д1ит Ч Г

^

8

\dt)

или

d'u

Ц

Усо59 + е

^

+

е^

+ . . . ) ^

+

dt*

+ (-2tfsm 9 + 2 e J ^

+ 2e* J ^

+

<*аи

dQ

.,.) dt

dt +

+ (— “u U c o s 6 + e |^ + e 2 |^ +

.2

Jl +

+

(— a„ysin e + e ^

1- + e > ^ -

+

•■•)

+

+

( ^ +

^

+

-

) (

^

r

<“ -22>

На основании уравнения (11.18) будем иметь

- Ж = (e ^

f

+ g2^ f ) M i«

+

еЧ 2И +

...) -

=

в2Л1и dA, „

I- в ...;

=

М

1и + в М ,, +

...) ( » +

еВ , +

+

б25 а +

••■) — вюЛщ + в2 («Л2ц + ЛщВх) + •••'»

l l r ) 1- < » + •л * + , м « +•••>*“

(11.23)

=

[(О24- 28(0/^ 4~ в2 (Bf 4- 2(оВа) 4* •••]>

^

= ( e ^

+

e24 f : + - ) H - + e M

2U+ ...) =

=

(82^2Uda7 +

88*”) ’

(“gj") — (8-Л1и + в2Л2ц +

...)2=

г2Aia +

в3...

Г Г »

иd*uи

х

Тогда в ы р а ж е н и е м о ж е т

быть представлено в виде

■jjjjr = — au(o2Ucos 0 -{- е

2tuAiuUsin 0 —

(II.24)

— 2®Вхаии cos 0 + “2^ г ] + е2 [Ап* 1 а^ U cos 0

d^U
— 2auU sin 9 (мА^ + АщВ») + 2юА1и	"t"
+ M* ^ + 2a,B1^ - < !uU cose(B J +	2рВЦ -

A ^ U s i n e ^ - ] + ss

Аналогичным образом найдем

— ■= — a0afiV cos 0 4- е [2©А1РУ sin 0 — 2шВа„V cos 0 +

+ ®2^

]

+

е2 [^ю - £ г Уcos 0 — 2fl«Vsin 0 (юА2р +

Al0Bx) +

+

2сйЛк>

+

2w5i -да- -

avVcos 0 (В* +

+

2 G>B2) -

AxvavV sin 0 - ^

]

+

e8 ...

(11.25)

—— яшю21У cos 0 -+• e ^2юЛ1ы,Т17 sin 0 — 2а>В1аш№ cos 0 -f*

+

<^aw^ - ]

+

e2 \ AJ £

L W cos 0 -

2 W sin 0 M 2u> +

10

+ A y M

+

2a>Alwaw

+ ©2- |j r

+

^

1 д^фг

- a wW cos 0 (Bf +

2^

dBx

+ e 8...

(11.26)

2) - A lwawW sin 0-gf*-

W,

Учитывая

выражения

(11.24)— (11.26),

в

соответствии с

разложением

(11.17)

левые

части

уравнений

(11.10) —

(11.12) можно представить в виде

д*и

,

1 — ц

д 2и

,

1 - f

ц.

d2v

У

два

,

д*и

_

дх*

'

2а*

Зф*

'

2а

дхду

а

дх

~

а

дР

~

- \ а дЮ I 1 - Р

а Ё!£. + 1 ± Е . Л ™ L

—

[ а к

дхг -Г

2а*

«в

а<р* +

2а

“» д*3ф

-

4

a

fl

dW

+

a2(o2auf/j cos 0 4-

dx

4* e J^(— 2(oAluU sin 0 — 2 аиа>Вхи cos 0) a2 4-

,

, п

дги

I

З2^ -

,

1 — |Д.

dWi

.

1 + 1 1

d*v

+

со a fltt

a 0 2

+

3 * 2

+

2aa

dtp2

'r

“2 a

аШ ----

'"7 a*

+

82 . (Лх“ “Э

^ Г a“B* ~

2а»®в г) ^ cos 0 +

+ (— 2(oAZu -

2AluBt —auAlu ^

U

sin 0 +

+

2 соЛ «эте - +

+

« w

# - +

I P

1

+

и

дх*

i - n

W J L

i ± j i i ! L _ i L

зчр,

+

е8 — ;

(11.27)

+

_ 2а5_ Зф8

”

2а

ЗхЗф

а

1

+ ц

з21/

, ffi —I*

э2к ,

j_ SPV

1

dW

2

ЗхЗф

2

Зх2 г

а Зф2

а

д

ср

‘

h

{ &W

, 1 d*W\

,

h* Г/1

■лЗП'

,

1

32К]

+

2а

\"з5сЗфг +

а Зф3 ) ^

12а

w

З*2

а2 Зф2

32о

fi+ J L /т

л 1 - и

ew

,

1

з2к

а2 З/2

I

2

к ЗхЗф

а

2

й°

дх*

а

а ° Зф2

дW

d*W

,

1

„

33№

,

------ аw

+ 24 ( °

ю яг2Яп, *г

dW\

Зф

а

w

Эф3 )

’ 3х23ф

+

^ - [ o

— V)ao ^ r + - ^ av

j +

а2ю Ч ^}cosе +

+

е |[— 2 <oAlvV sin 0 — 2а0соВхУ cos 0] а2 -+- «А*2

+

1 + ц W k. + а b l i i W L + -L « 5 1 + ± M L _L

H

§

3 *3 ф

'

Q

2

Эдс2

^

а

Зф2

~

а

Зф

^

A / a3lFj

,

1 32И М

,

J£T/.

„ \3 !!i +

_L £ Ц 1 \ л_

"Ь Т а [ m ^ + Т ¥ ) + 12л 1У

W 3 xa f а2 3Ф2 J) ^

+

e2{[A*> Т Г

~

a»B‘ — 2ао®в а] Vcos 0 +

[— 2coЛ10 -

2Л1РВ1 — авЛ1пQpAip 4^да-1 V sin 0 +

2соЛк

V

+

4-<йВ

i - c i m

L

i ± l i - ^

+

a

i =

i i ^

+

i - ^ B i - g g r

^ - y l -

2

ЗхЗф

^

2

3.«2

^

1

dWt .

1

31Fa

■ h

( d W t

,

1

33«72

x

а

Зф2

а

Зф

”r

2a ^3х23ф

~г

а

Зф2

]

'

+

1 2 a [(*

**)

а2

Зф2

j} +

83 — ">

(11.28)

12- 4-775

ее/

,

1

dV_ __W _

№ (

3W

,

_2

aw _

a w

Р дх

'

а

дф

а

12 \

5л1

'

а

3х23фа +

а3

Зф4 )

л

/2 —ц

&v

,

1

зз1 ^ _ „ 2з»г

ди м ± „

sv_ _

*”

"Т2

(

а

зхззф'*'

а3

aq>s J

а

э/» “

^ йи дх ^

а

^

зф

- i r - -I

^«.z

y

-

-

+

Ж ^

l j £

+

COS 9 +

+

е£(— 2 a>AlwawW sin 0 — 2 aw<aBxW cos 0) се2+

оАх2^

+

4 - U ^

4

- ±

^

—

а

12

,

2

3Wf

,

^

Р

дх

т

а

Зф

"а*4" ^

а 3х»3фа “г

,

_1_

3Wj \ ___ h_ / 2 — [г

д У±

1

d®V

3

4-

"f"

а3

Зф4 )

12 ^

а

3х»3ф

Зф1*■)]

+

^

f 4 .»

-

“«3? -

2“« А » - ^ ] r s i n 0

+

I

« « i

-З’г >

I

OR

e07i

|

-щ -

i

„

a r .

,

-г ^®л1ш

дд -t* ^ i “ap- +

+

й -я г - +

4v} dawm

30»

дх

1

dVt

Wt

aw a

.

2

aw a

.

i

a*rw a. \

+

*2 _, _2_ (

Эх4

4"

а

дх»дф»

а3

Зф4 J

a

dtp

a

12 ^

— ft

/2—I*

Э8У,

,

J_ a^a

(11.29)

12 ^

а

ЭхЗф>*

а8

Зф8 )}+

88

Представим также в виде разложения в ряд Тейлора пра­

вые

части

уравнений

(11.13) — (11.15),

т.

е.

функционалы

н-

н-

еФх («, о, а»), еФ2(о, о», а)

и

еФ3 (w, и, и):

еФх (ц, о, ш) =

еФх (auUt avV, awW, cos 0) +

—*

+

e« ^ (e .t/, а0К, аю№ ,cos 0) t/x +

e8...;

(11.30)

еФ2(о, wt и) =

еФ2(flcV, awW, auU, cos 0) +

+

ЛРГ (в,У, eJ P , <*«1/, cos 0) Vx +

e8...

(11.31)

*■>

еФ8 (а», и, и) = еФ8 («*„,№, аиС/, a0V, cos 0)

+ *&9 М Г г auV> avV, cos0) Wx+ e8 ...

(11.32)

Ограничиваясь первым приближением решения задачи об учете рассеяния энергии в материале оболочки при ее ко­

лебаниях, приравняем

множители при

малом

параметре

в нулевой и первой степени попарно

правых частей

ра­

венств (11.27) и (11.30), (11.28)

и

(11.31),

(11.29)

и

(11.32):

а

дЮ

р

„

дЮ .

1 + Р -

д 2У

dW

»

2 +

а ^ +

дх

дх

2а?

2а

0 дхд<р

— cAo2au£/ =

0;

(11.33)

(— 2<иAluU sin 0 — 20u<aBjUcos 0) а2 + (о2а2 ^

+

+ ^ т а Г

— №

awW, cosЭ);

(11.34)

L±M_fl i ! L 4 - a L zJi а

w

з2к

■а,

air

а “ длгдф

+

а

2

а 0

дх2

а а° dtp3

дф

,

h /

aw

,

1

,

a w \

,

ь?г ,,___

ча2к ,

+

2а ( а “>3*23ф

а

а <"

Зф3] +

12а

^ а°

Зх2

+

+ 7

^

] + “ ? Л - ,' = 0 :

( “

(— 2соЛ1оУ sin 0 — 2a0o)B1V’ cos 0) а2 + fiAx2

+

, 1 + ц.

д Щ

,-

1 - ц

Э2У

.

1

д2Уг- ■

1 ЭУ,

,

2

дхдф

-

2

ах2

i

а

Зф2 -

а Зф

'

h

(d*W i

I

1

d * W j ,

й» Г

_

aw

, j _ 3 W j

"Н Пл

\дяЭф2' "*"*

a

Зф3

j" t” T2a ['

w dx2 T a2 Зф2

2a

at/

= фг(«.V,

^ r

-

A

cos 0)i

T

(11.36)

.

l

„ev

(

tWin ■aLd

ИЯ.-Н + Т

0»’ Зф-

aw .

~

w

12 \ “ “ “

Зф*

2

aw , i , a w \

h ,2 - p

aw ,

'r

а 0ш3л:*3ф2 *f*

a® ац> "Эф2 j

12 {

a

0 д х Щ

^

+ т^ 1 £ +“ад‘1»г)=0:

о*-37)

(—- 2соЛ1Ц)№ sin 0 — 2 aufiiB1W cos 0) a2 -f

+<rfWa

. + u a +

±

i L

- j b - .

+ <***

30»

+ *1

3* +

а

Зф

a

	ft2 /	Й*	|	2	d3^ i		I	1	д*Щ
	12 [в		+	«	ах23ф "T			a8	3q>4 /
ft	2 —ц 3%	. 1	W i		j	=	Ф з(й«^. att£/, «|У> COS 6).
12	\ 2	“l" cs		ftp3

(11.38)

Решение задачи в нулевом приближении получим, рас­ смотрев систему однородных дифференциальных уравнений (11.33), (11.35) и (11.37). Решение задачи в первом при­ ближении найдем из рассмотрения уравнений (11.34), (11.36) и (11.38).

Решение невозмущенной системы уравнений (11.33), (11.35) и (11.37) для определения собственной частоты колебаний в случае оболочки, опертой по двум параллель­

ным кругам (х = 0 , х = /) ,			можно	получить, представив
перемещения U, V, W выражениями
U =		тпх		1
	cos	I	sin т;
V	.	тлх		(11.39)
	sin -p - cos пт;
ТТ77	♦		•
W =	sin		—sin ПТ.
		1		)

1осле подстановки (11.39) в (11.33), (11.35) и (11.37) юлучим систему уравнений относительно аи, av, aw, опре­ делитель которой дает уравнение частоты третьей степени относительно о. Из этого уравнения для заданных т и п получим частоты соответствующего типа для поперечных и двух продольных колебаний опертой оболочки.

Для других краевых условий оболочки выражения для U, V и W должны быть приняты другими. Не останавлива­ ясь детально на методике определения частоты собствен­ ных колебаний оболочки, поскольку эти вопросы доста­ точно полно освещены в соответствующей литературе [14], перейдем к решению задачи в первом приближении, пола­ гая, что частота со определена указанным выше способом и что известны выражения для U, V, W в соответствии с уравнениями (11.39).

Для решения задачи в первом приближении умножим

уравнения	(11.34), (11.36) и (11.38) соответственно сна­
чала на U cos QdxdsdQ, V cos QdxdsdQ, W cos 0dxdsdQ, а				за­
тем — на	U sin QdxdsdQ, V sin QdxdsdQ,		W sin QdxdsdQ
(ids=adff)	и проинтегрируем	полученные	выражения	no
основным	размерам оболочки	за полный	цикл. При этом

12 * 2п

[(— 2а>А1и11sin 0 — 2 aua)BlU cos 0) а2 +

	ООО	d*U	1 + Ц.	д*У	■	у, д№г
	-J- СО2?*2
		д02 +	2а	дхдв	'	а дх

— (auU, aDV, awW, cos 0)] U cos QdxdsdQ = 0; (11.40) l 2n 2П

j" ^	£ [(— 2соЛ1и sin 0 — 2aua>BjUcos 0)a2 +
0	-t (ОЪ	_L	+	a dX
		gQ2 -t	2a dxgQ 1-

—Ф (auU, avV, aw W, cos 0)] U sin QdxdsdQ = 0 .

Всоответствии с выражениями (11.21) уравнения (11.40) примут вид

I 2л2Л

f [(— 2<оЛ1иУ sin 0 — 2auB1UcosQ)az—

о о о

— Фх (auU, a„V, awW, cos 0)J Ucos 0 dxdsdQ = 0; (11.41)

l 2Я 2Я

Jj £ [(— 2coAluU sin 0 — 2 a(l(s)B1Ucos 0) a2 —

оoJ oJ

— Фх (auU, a0V, awW, cos 0)J U sin QdxdsdQ = 0.					(11.42)
По аналогии из уравнений (11.36) и (11.38) получим
	I 2П2П		2avVBl cos 0)a2 -
[	J	С[(— 2co410l/sin 0 -
о	о	о
— Ф2 (о„У, awW, auU, cos 0)] V cos QdxdsdQ =				0;	(11.43)
	I 2Я 2Я
	I	.1 $ К - 2cOi4luV - 2avVBl cos 0) a2 -
—> обо
— Ф2 (a0V, awW, auU, cos 0)j V sin QdxdsdQ =				0;	(11.44)
/	2Л 2Я
.1	J J К— 2 <*AlwW sin 0 -		2 awWB1 cos 0) a2 —

doo

— Ф3 {awW, avV, auU, cos 0)] W cos QdxdsdQ = 0;

l2П2Л

J J J [(— 2 aAlwW sin 0 - 2 awWB1 cos 0) a2—

0 0 0

— G>3(aaW, a0V, auU, cos 0)] W sin QdxdsdQ = 0 .

Из уравнения (11.42) находим
	/ 2Я 2я
	n	s ^ (	)Ut sin0dxdsdO
A	— 0 0	0	1 2 n
Л 1 u	----------------
		2яю J J VHxdx
		о	0

Соответственно из уравнений (11.44) и (11.46)

12 Я 2Я -

J j J фа ( ) v sin edjtdsde

А- ООО

—

2я<о J j V*dxdx

о о

(11.45)

(11.46)

(11.47)

(11.48)

			/ 2Л 2Я_*				W) sin OdxdsdQ
			J	(	J Ф3(
			о	о	oJ				(11.49)
			^110 ~
					2яю f ^ №2 dxdx
						6	о
Суммируя уравнения (11.41),						(11.43)		и (11.45), получаем
			1 2 п					kawW2) dxdx] =
	Вг |2ясоа2 ^ j* (au(/2 +					a„l/2 +
l 2 rt 2rt £			о o'	£			; *
									) W]cosQdxdsdQ,
0 0	0		)^ + Ф2(			)У + Фз(
откуда, решая относительно Bit получим
		12Л 2Я							) IF] cos edxdsdQ
—			f F M	)^ + ®г(			) ^ + ® з (
B i -	0	0	0
			/2я
			2ясоа2 J J (auf/2 +				a / » +	AaJF2) <f*ft

0 0

(11.50)

Подставив выражения (11.47)-— (11.49) в (11.18) и (11.50) в (11.19), найдем следующие дифференциальные уравне­ нии для определения в первом приближении амплитуд аи, аи, dw и фазы 0 как функции времени t

				12Л2Л				) У sin 0 dxdydQ
		dau __		\	J	fеФ х (
				0 0		0			(11.51)
		dt\				2ncoaa £		l 2Л
								£ U2dxdy
							0 0
				12Л2Л
		daD		J	j	J еФа (		)Vsin QdxdydQ
			_	0 0		0		12Л	(11.52)
		dt
						2яооа2 J j*V2dxdy
							0	0
				1 2 Л 2 Л			->	) Wsin QdxdffdQ
				J	J	j	е Ф3 (
				6 о		о___________________			(11.53)
							12л
						2яюа*£ ^ Wadxd(f
		1 2 П2П -»					о о
							-*•	->
dQ _		(	С f	[е Фх (		) + еФа (		) + еФ# ( )1 cos 0 dxdydQ
	„	о oJ о _______________________________________
$ ~~	®			“	Г5Н			‘	‘
			2я<оа» J J (ац(/а +					a0V® + a j ? a) dxdy
				о oJ					(11.54)

Таким образом, пользуясь формулами (11.51) — (11.54),

?

при конкретных выражениях еФ4( ), еФ2( ), еФ3( ) путем интегрирования можно получить интересующие нас значения амплитуд аи, ав, aw и фазы 0:

ои — /(/); av = /2(/); aw^ f s(t)\ 0 = © f - f/4 (оц, а„, a j . 3

3. Вынужденные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания под действием равно­ мерно распределенной возмущающей силы eq cos pt, дей­ ствующей вдоль образующей. В этом случае в качестве исходных уравнений могут быть приняты уравнения (11.10)— (11.12) с той разницей, что в правую часть урав-

нения (11.10) должен быть включен член, характеризу­ ющий внешнее возмущающее силовое воздействие:

д2и

1 — р

дги

.

1 4- р

д2и

___р

дш __

0 д2и _

дхг

2а2

Эф2

'

2а

ЗхЗф

а

дх

dt2

=

— еФ (и, v, to) -f- zq cos pt;

(11.55)

1 +

p d*u

,

1 — p

d2v

,

_1_ d2v ____ 1

dw

■

2

dxdy

'

2

дх2

'

а Эф2

а

Эф

‘

■ ft2

/

d3w

,

1 Э3и>

\

,

h2

|д

.Л 3at> .

1

r32t) 1

"* 12о

\3х23ф

'

а

Эф3 }

'

12а | '

дх2

а2

Эф2 ]

— а2 -^р-= — еФ(о, ш, гг);

(11.56)

ди .

1

д ь ____w___ft2

/

d*w

.

2

d4w

1

d*w

^

дх '

а Зф

а

12 Г*

дх1

'

а Эх23ф2 +

а3

Зф

2 - Р

SPv

1

d3v

32ю

) = — еФ (w,u, v),

12 I

а

Э*2Эф

+

а3

Зф8

+ а5 di2

(11.57)

где

zq — амплитуда

внешнего

возмущения

порядка мало­

сти е, т. е. того же порядка малости, что и функционалы еФ(и, v, w), учитывающие рассеяние энергии в колебатель­ ной системе.

Согласно принятой

в

данной

монографии

методике

ункции перемещений

и,

v,

о»,

частоту колебаний

р

и

шг фаз ф будем искать в виде следующих разложений:

и (х, <р,t) =

U (х, ф) аиcos pt +

zUt {х, ф, t) -f

+

е2С/2(^,ф ,0 f

(11. 58)

v (х, ф,t) =

V (х, ф) а0 cos pt +

zV1 (х, ф, t) -f

+

z2V2 (x,<i>,i)+

(11.59)

w (x, ф,t) =

W (x, ф) awcos pt +

zWx (x, ф, t) -f

+

eW 2 (x,<p,t)+

(11.60)

p2 =

oo —f—eAx -j- в2Д2 4"

(11.61)

Ф =

Фо +

8^1 4-

4-

(11.62)

При этом

предполагается,

что

U{(x,

ф, t),

Vi(х,

ф,

t),

Wi(x, ф, t)

( t = l ,

2,

3...)

не

содержат

главных гармоник,

т. е. удовлетворяют условиям

(11.21).

Подставляя разложения (11.58) — (11.60) в уравнения (11.56) , (11.57), в полученных выражениях приравняем нулю коэффициенты при различных степенях малого па­ раметра е. Тогда вместо системы уравнений (11.55) — (11.57) получим следующие уравнения:

а*ц	I	1 —Iх	d2U	1 + и	а2к	dW
“ dx2	~г	2а2	а“ Зфа	2а	а « dxdtp	дх

— afr&aJJ = 0;

(11.63)

,

i —t* d*Uj

, i + n

__

Wi

kxaulJa2 cos0 —

dx2

2

dq>2 ^

2

0*dcp

P

dx

— q cos (0 — ф0) — Фх (iaJJ, авУ, аш\У, cos 0) == 0; (11.64)

1 Ч~ й

d2U

■ Л 1 — И- „

дгУ

I

1

_

d2V

1

dW

,

й и dxdq>

~г а

о

дх2

r>

° v сер*

л

Длdtp т

•

AS

L

d*w

,

1 „

a*iF\

,

л2

Г/,

..\Л

0*2

,

"г

12а

(аш дх2о<р

^

а ° ш dtp3 )

12а

+

4 * ^ ] “ «2ao)4V =

0;

(11-65)

l +

ц

.

1 — |i

aaKi

,

1

d2Vi

1

dWi .

2

dxdtp

"*■

а

2

fljt! +

в

Зф2

a

a<p

i_

x i L f f i l

а

5ф3

/

12а

ид , 1 5 1 -

12а

^dxdcp2

^

дя2

^

а

дф2

— &atVcaU<.&G — <l> (a9VtaJP,aJJ,co&fye= 0;

(11.66

-	&	( Ч	*	«. И	* +	±	« . £ )	+ < * ■ * . *	« 0;	(11.67)
»	dx	I	a	__W j		h2 ( W j , i аш м
r		~		dtp	a	2	\a dx*	a3 dtp* f
								e	-
	s								1	(H-68)
	Ъ	(лш1У, йи(/, avV, cos 0) =0;

где 0 = Ы -f ф.

Решение системы невозмущенных уравнений (11.63), (11.65) и (11.67) с определением функций U, V, W и соб­ ственной частоты (о можно получить для конкретных усло­ вий закрепления по методике, предложенной в предыду­ щем параграфе, приняв в качестве решения найденные в случае опирания по двум параллельным кругам для U, V и W выражения (11.39).

Итак, далее будем считать, что функции U, V, W и час­ тота собственных колебаний со нам известны из решения невозмущенной системы уравнений по известной методике.

Для изучения вынужденных колебаний оболочки с уче­ том рассеяния энергии в колебательной системе в первом приближении введем в рассмотрение уравнения (11.64), (11.65) и (11.68) и воспользуемся методом энергетического баланса. С этой целью умножим указанные уравнения

один раз соответственно на U cos BdxdqdB,					V cos QdxdydQ,
W cos BdxdtpdB,	а	второй	раз	на	U sin BdxdtpdB,
V sin BdxdydB,	W sin Bdxd(f>dB,		каждый	раз	проинтегриро­

вав по всему объему материала оболочки за один цикл. Просуммируем полученные выражения. Выполняя указан­ ные операции и учитывая выражение (11.21), получаем

Л я

— Дхя а 2 J J (auU*+ avV2 + awWl) dxdy —

О6

l 2Я	I 2л 2Я J*	£
= Щcos J| f Udxdy +	У У f № ,()i/ +	®k( ) V +

ооООО

	4- Ф3( ) W] cos BdxdydB;						(11.69)
		Ля		12я		£
— sin ipo f j ШхЛР = Л					|	№ ,( )U +
	0	0	0	0	0
+	Ф2( ) V +		Ф8( ) Щ sin BdxdydB.				(11.70)
Из уравнения (11.69)		получим
12Л			12л2я		( ) U + ^ > а ( ) V - f
я ? c o s Фо У У Udx dt p + [ \ У
О О		—►	0 0 0
а __	+ < М ) W ] c o $ e d x d q > d Q						* V11-' Ч
—	П л ~	— "--------------------------------------------
ш 2	\ (auU2- f aovV2-f- cutwW2) dxd(p
	о о

	а из уравнения (11.70)		находим
		/ 2л 2Л «4	•->
	sin ipo =	J 1 J	) у + Ф3( ) У + Ф 8( )1Р]sfnQdxdcpdB
		-----5-2-i--------------
			Щ j		Г UdxdB
				0	0		(11.72)
	Подставив уравнение (11.71) в (11.61),					найдем
		1 2 Л	cost|)0 +		^	^	( )V +
		J J [е<7лУ		(£ (е®! (		)и + еФ8
	рЪ=	й)2 -	+ е®з(	) №) cos 0d0j dxdq>
		«а* J j (aut/a +			aavV*+	aawW2) dxdtp
		0 0

ИЛИ

12Я

j j ^qnU cos t|>0 + (j) (еФг ( )1/+вФ а ( ) V - f

о о

+	еФа ( ) IF) cos QdQ| dxdy
Г2Н		» (^ '^ 3)
Jtco2a2 J j	(auU*+	aavV*+ aaJV2) dxd<p
о о

где (f) указывает интегрирование за цикл, т. е. (j) еФ, ( ) =*

2я'	я _
= феФ, ( ) +	феФ {( )•

яо

Умножим числитель и знаменатель правой части уравне­ ния (11.72) на е, тогда окончательно выражение для синуса угла сдвига фаз примет вид

j j * [ ^ ( 8 ® i (	) U + еФа (	) 7 + еФ3 ( ) П?) sin Gdejdxd?
sm to — -------------------------------	ш ---------------------------------
	eqfl j	j Udxdcp

О0°

(П.74) Формулы (11.73) и (11.74) являются теми окончательны­ ми формулами, пользуясь которыми можно построить амплитудно-частотные резонансные кривые.