книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

неска (J.V. Boussinesq, 1842–1929) с решением пространственной задачи – о распределении напряжений в упругом полупространстве от сосредоточенной силы Р (см. рис. 2.1). В 1892 г. А. Фламан (A. Flamant) решил плоскую задачу – о распределении напряжений от нагрузки Р', распределенной по линии (см. рис. 2.2). Оба эти решения обычно воспроизводятся в курсах механики грунтов с большими упрощениями, поскольку в том виде, как они были опубликованы, понять их практически невозможно. Между тем решение этих задач можно получить проще, например, с использованием теории подобия (см. Л.И. Седова, 1973 [6]).

Вначале нужно подробно изучить, что такое упомянутое выше упругое полупространство (УПП), которое моделирует участок земли с приложенными к нему сосредоточенными или как угодно распределенными по площади силами. Нужно показать, как массив из реального грунта со всеми его особенностями (зернистостью, малой связностью, неоднородностью и проч.) можно заменить на нечто идеализированное, которое и есть УПП.

Рассмотрим последовательно основные свойства УПП, и то, как их следует понимать применительно к таким специфическим образованиям, как грунты.

1. Упругость. Как следует из сущности УПП, упругость понимается так, что вещество, слагающее УПП, обязано подчиняться закону упругости (закону Гука). Выше приводилась основная форма записи закона Гука σ = Еε; в качестве второй характеристики упругого тела принимается коэффициент Пуассо-

на ν = εх / εz. Как отмечалось ранее и как еще будет повторяться, модуль упругости «отвечает» в основном за осадки УПП, а коэффициент Пуассона – за горизонтальные перемещения, а в общем случае – за распределительную способность массива.

Как же можно применить к явно неупругим грунтам понятие «упругость»? Обоснование этой упругости (или, как иногда говорят, квазиупруго-

сти) можно пояснить на примере постепенного и медленного на- Рис. 2.10. Деформации грунта при испытаниях

штампом (а) и в компрессионном приборе (б) гружения массива грунта жест- и расчетные формулы для вычисления модуля ким штампом (рис. 2.10, а) или деформации Е: 1 – при нагружении, 2 – при

образца в компрессионном при- разгрузке, 3 – при повторном нагружении

71

боре (одометре), в котором нагружение ведется без возможности бокового расширения (рис. 2.10, б).

«Постепенность» означает приложение малых нагрузок, создающих возрастающее давление по подошве штампа или поршня одометра ступенями р, равное 0.10, 0.25, 0.50 или 1.0 кгс/см2 (в зависимости прочности грунта), а «медленность» – выдержку каждой ступени до тех пор, пока измеряемые осадки S практически не завершатся, что связано с проявлением ползучести грунтов или, что признается главным, медленным (в глинах) или относительно быстрым (в песках) выдавливанием воды из пор грунта.

Вначале при небольших ступенях давления грунт ведет себя как похожее на упругое тело вещество, т.е. графики S = f (p) или ε = f (σ) имеют почти линейный или слабо искривленный участок. При некотором давлении под штампом, названным в свое время не очень удачным термином «критическое ркр», зависимость S = f (p) начинает искривляться, отклоняться от линейной, постепенно переходить в нелинейную стадию и в конечном итоге – показывать на исчерпание несущей способности грунта. Дальнейший анализ ведется только для линейного участка графика S = f (p). При испытании в одометре разрушения грунта не происходит, а кривая ε = f (σ), напротив, выполаживается. Поэтому криволинейный график ε = f (σ) просто спрямляют в заданном интервале Δσ.

Наличие участка, похожего на линейный (пусть даже на условнолинейный, как в одометре), привело к заключению о том, что это и есть основание для того, чтобы считать грунт упругим телом. Хотя, разумеется, в составе образующихся осадок лишь какая-то доля может быть упругой, т.е. восстанавливающейся при снятии нагрузки (при разгрузке), а другая часть не восстанавливается и обычно называется остаточной.

Теперь, если посчитать грунт упругим, можно, применяя известные

формулы теории упругости, по значениям приращения давлений	р и оса-
док S, полученным в результате стандартных испытаний грунтов штам-
пом, вычислить модульупругости Епо формуле Ф. Шлейхера:
Е=ω(1–ν2)b р/ S,	(2.23)

где ν – коэффициент Пуассона (поперечной деформации); b – ширина штампа; ω – коэффициент, равный 0.79 для круглого и 0.88 для квадратного штампа.

При испытании в одометре соответствующая формула имеет вид

Е = β Hо Δσ / S,

(2.23')

где β = 1 – 2 ν2/ (1 – ν) – коэффициент, учитывающий невозможность бокового расширения, который можно получить из закона Гука.

72

Другой часто используемой характеристикой результатов испытаний сжимаемости в одометре является коэффициент сжимаемости mо = е / Δσ, где е – изменение коэффициента пористости грунта на участке кривой Δσ (см. рис. 2.10), а для перехода от mо к модулю Е ис-

пользуются формулы Е = (1 + ео) β / mо или Еoed = (1 + ео) / mо, где ео – начальный коэффициент пористости.

Учитывая, что осадки грунта лишь частично упруги, полученный модуль деформации называют не модулем упругости, а модулем деформации (но обычно сохраняют то же обозначение – Е, хотя часто его обозначают – Ео, Ед и др.), а параметр ν тоже называют корректнее: чаще не коэффициентом Пуассона, а коэффициентом поперечной деформации.

Действительную же долю упругих деформаций можно оценить по разгрузке грунта. Как показано на рис. 2.10, упругая, т.е. восстанавливающаяся при снятии давления часть осадок относительно мала по сравнению с общими осадками. Для ее характеристики используют понятие «модуль упругости» (что вполне оправданно); в отличие от модуля деформации Е его лучше обозначать символом Ео.

Очень интересна особенность грунта (к которой будут обращения

вдальнейшем) – способность «помнить» о ранее приложенном к нему давлении. Так, если после полной разгрузки вновь начать нагружение, грунт поведет себя сначала как почти упругое тело, практически повторяя часть графика разгрузки, характеризующего упругие деформации. Но затем, после достижения ранее приложенного давления грунт как бы «вспоминает» о нем и начинает вести себя так, как если бы прошлой разгрузки не было.

При дальнейшем увеличении нагрузок на штамп грунт переходит

встадию разрушения, которое сопровождается выпором грунта вверх. Но, как отмечалось, пока интерес представляет только часть графика

до точки, соответствующей критическому давлению ркр, где при испытании наблюдается похожее на упругое, точнее, на линейное поведение грунта.

Поведение грунта на линейном участке позволяет сформулировать следующие требования к тому, как и при каких условиях грунт можно уподобить упругому веществу и, следовательно, использовать решения теории упругости (применительно к грунтам ее стали называть более корректно – теорией линейно-деформируемых тел):

1-е условие – рассматривать только процесс нагружения и отказаться от рассмотрения процесса разгрузки;

2-е условие – рассматривать только те давления, которые не выходят за пределы линейного участка зависимости S = f (p), т.е. не превы-

шают критического давления ркр или близкого к нему давления (которое принимается за расчетное сопротивление R);

73

3-е условие – считать, что в расчетах будут учитываться только завершившиеся осадки, а не какие-то промежуточные их значения, когда процесс ползучести или выдавливания воды из грунта еще не закончен.

Следует указать, что формулировка этих условий была крупным достижением: собственно, именно она и позволила вести расчеты с применением как давно известных, так и новых решений теории упругости, и дать жизнь новой науке – механике грунтов. Механика же грунтов, в свою очередь, предоставила теории упругости новое широкое поле деятельности – целый класс новых задач в области строительства и, в частности, в области фундаментостроения, имеющих не только научное, но и большое практическое значение.

Также нужно иметь в виду, что это не есть какие-то невыполнимые для практики условия. Они рассчитаны на процесс строительства зданий и сооружений, при котором нагрузки на грунты, за небольшими и редкими исключениями, только возрастают (1-е условие), а размеры фундаментов принимаются такими, чтобы напряжения заведомо находились в пределах линейных участков графика «давление р – осадка S» (2-е условие). Что касается 3-го условия, то это означает, что полученные в расчетах значения относятся только к конечному результату – полностью завершившимся осадкам, а промежуточные результаты (например, завершившаяся на какое-то время осадка) будут служить предметом самостоятельной науки – теории консолидации грунтов.

2. Сплошность. Проблемы сплошности первыми решали французские ученые О.Л. Коши́(A.L. Cauchy, 1789–1857) и Сен-Венан

(A.C.B. de Saint-Venant, 1797–1886). Основное допущение механики сплошной среды состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную, сплошную среду, пренебрегая его атомным и молекулярным строением, и одновременно считать непрерывным распределение всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей и др.).

Применительно к грунтам, большинство из которых имеют именно дискретную структуру, принцип сплошности всегда встречал большие возражения. Действительно, половина, а часто и более половины площади сечения грунтового вещества, состоит из пор, заполненных водой и/или воздухом.

Поэтому понятие сплошности нужно принимать как вынужденное, а полученные напряжения не считать действительными напряжениями в грунте, поскольку они предполагаются распределенными по всей рассматриваемой площадке (брутто). Действительные же напряжения в грунтовых частицах будут, очевидно, более высокими, причем это будут не напряжения, а именно силы на контактах между частицами. Напряжением же следует считать сумму проекций всех этих неизвестных контактных сил по площадкам, перпендикулярным (для нор-

74

Рис. 2.11. Радиальные (а), нормальные и касательные (б) напряжения в задаче Буссинеска

мальных напряжений) или параллельным (для касательных напряжений) рассматриваемым направлениям, но отнесенным к площади брутто. Контактные силы практически невозможно достоверно определить или измерить. Исключение могла бы составить система из одинаковых идеальных шаров, в которых силы можно вычислить или измерить достаточно просто.

Таким образом, сплошность следует считать понятием, без которого невозможно использовать решения теории упругости. Попытки же рассматривать грунты именно как дискретные системы (И.И. Кандауров [5] и др.) пока не привели к какому-либо практическому результату.

Интересно, что понятие сплошности в задачах о фильтрации в грунтах (а в общем случае о проницаемости) понимается зеркально: считается, что вода или воздух движутся в грунте по всему сечению, а не только по порам; следствием будет то, что расчетная и действительная скорости движения воды будут отличаться, причем действительная скорость будет выше.

3.Бесконечная прочность. Как видно на рис. 2.11, силы Р или Р', приложенные в точке бесконечно малых размеров или вдоль линии на поверхности УПП, должны вызывать бесконечно большие напряжения в веществе, чего не может воспринять ни один из материалов. Однако без этого условия невозможно решить задачу ни по Буссинеску, ни по Фламану. Об этом будет говориться далее.

4.Невесомость. Также в зада-

чах Буссинеска и Фламана полагается, что вещество невесомо. Поэтому из решения этих задач следует, что напряжения распространяются на бесконечную глубину и на беско-

нечное расстояние от точки или линии приложения сил на поверхности. В действительности напряжения на какой-то глубине и на каком-то

расстоянии становятся неощутимыми, поэтому в эти решения вводят какие-то поправки, позволяющие снять это противоречие.

В расчетах грунтовых оснований принимают определенные «критерии чувствительности» к напряжениям или деформациям. Например,

75

доказано, что деформации можно не учитывать, когда они станут меньше какой-то доли напряжений от собственного веса грунта (от доли внешней нагрузки или от величины суммарной осадки и др.).

5. Изотропия. Изотропия, изотропность, как отмечалось, озна-

чает одинаковость свойств (сжимаемости, распределительной способности) во всех точках и во всех направлениях УПП. Грунты же часто имеют резко различающиеся по направлениям характеристики (Е, ν), например, в лессах (с вертикально ориентированными порами) или в ленточных ледниковых глинах (с ярко выраженной слоистостью).

Сейчас есть множество решений подобных задач о распределении напряжений в грунтах с учетом анизотропии свойств вещества (в частности, грунтов). В основе этих решений лежит обобщенный закон Гука для анизотропных сред, общий вид соотношений которого значительно более сложный.

Например, анизотропное тело для описания зависимости между напряжениями деформациями характеризуется большим числом (от 21 до 36) независимых постоянных, подобных параметрам Е и ν. Но в практической механике грунтов имеются более простые приемы учета анизотропии реальных грунтов. Например, в решении какой-либо задачи для изотропного тела вводятся некоторые интегральные поправки на учет фактической неоднородности свойств грунтов в разных (вертикальном и горизонтальном) направлениях.

4.3 Результаты решения задач Буссинеска и Фламана

Сама задача, как и все задачи в механике сплошных сред (и в механике грунтов), решается с соблюдением принципов:

– равновесия, т.е. любому воздействию (например, в виде силы) должен быть равный суммарный отклик (например, в виде равнодействующей всех напряжений противоположного знака, возникающих в массиве УПП по направлению действия этой силы);

– сплошности, т.е. УПП должно рассматриваться как среда с непрерывным распределением напряжений и деформаций во всех направлениях;

– упругости, когда между напряжениями и деформациями существуют зависимости на основе закона Гука.

Далее следует вернуться к несколько измененному рис. 2.1, поясняющему решение задачи Буссинеска (см. рис. 2.11).

Решение задачи с выполнением перечисленных принципов приводит к выражению для радиального (главного σR) напряжения (см. рис. 2.11, а), а также нормального σz и касательных напряжений τzу = τуz, τzх = τхz по соответствующим осям (см. рис. 2.11, б):

76

σR σz τzу τzх

=3 P / (2πR2) cos β;

=3 Pz3 / (2πR5);

= τуz = 3 Pуz2	/ (2πR5);	(2.24)
= τхz = 3 Pхz2	/ (2πR5),

где R = √ х2 + у2 + z2.

Выражения для других компонент нормальных напряжений σz и σу более сложные: в них входит коэффициент Пуассона ν и сложные выражения для координат Х, Y, Z и R.

Для сравнения ниже приводятся соответствующие выражения, полученные из решения плоской задачи Фламана:

σR = 2P' / (πR) cos β; σz = 2P'z3 / (πR4);

σу = σz (у / z)2; (2.25) τzу = τуz = σz у / z,

где R = y2 z2 .

Теория упругости также дает выражения для вертикального перемещения (осадки) поверхности УПП (обозначим его как Δ) в пространственной задаче:

= Р (1 – ν2) / (π Е r),

(2.26)

где r – расстояние от сосредоточенной силы Р в любом направлении Х или Y (см. рис. 2.2).

Из формулы (2.26) следует, что в точке приложения силы (при r = 0) → ∞, а на бесконечном удалении от нее (при r → ∞), напротив, → 0.

При каком-то промежуточном значении, например, при Р = 100 кН =

= 10 тс, Е = 10 МПа = 1000 тс/м2, ν = 0.3 и r = 0.5 м r =0.5 = 10 (1 – 0.32) / (π

1000 ∙ 0.5) = 0.0058м = 0.58 см, а при r = 2.0 м r =2.0 = 0.0014 м = 0.14 см.

Важно отметить, что решение плоской задачи формально приводит к образованию бесконечно большой осадки во всех точках УПП, но

из выражения
уi = [2Р' (1 – ν2) / (π Е)] ln (у1 / у2)	(2.27)

можно определить, как соотносятся осадки поверхности в точке, удаленной от линии силы Р' на расстояние у1,относительно точки, удаленной от линии Р' на расстояние у2 (см. рис. 2.2). Допустим, что осадка в точке у1 известна из прямых измерений (например, у1=0.5 = 0.58 см). Используя формулу (2.27), можно рассчитать осадку на расстоянии у2 = 2.0 м:

77

Рис. 2.12. Равномерно распределенная нагрузка по площади прямоугольника

у2=2.0 = [2Р' (1 – ν2) / (π Е)] ln (у1 / у2) =

= [2 ∙ 10 (1–0.32) / (π ∙ 1000)] ln (0.50 / 2.0) = –0.008 м,

т.е. осадка в точке у2 меньше, чем в точке у1 на 0.8 см (расчеты выполнены при Р' = 10 тс/м и принятых выше Е и ν). Для сравнения в пространст-

венной задаче разница меньше – r=0.5 – r=2.0 = 0.58 – 0.14 = 0.44 см. Отсюда следует достаточно очевидный вывод – деформации в про-

странственном случае уменьшаются с удалением от точки приложения силы Р гораздо более значительно, чем в плоском случае (с удалением от линии силы Р').

Этот пример иллюстрирует уникальную особенность решения Фламана: с одной стороны, осадки во всех точках бесконечно большие, но разница между осадками отдельных точек отнюдь не бесконечна. Здесь подтверждается известный в математике факт – разница между двумя бесконечно большими значениями (здесь – осадок) в различных точках вполне конечна.

Развитие решения Буссинеска заключается в следующем (рис. 2.12). Сосредоточенная нагрузка Р, приложенная к прямоугольной площадке бесконечно малых размеров (dx dy), считается уже не сосредоточенной, а равномерно распределенной на этом бесконечно малом участке (обозначается как р или чаще q).

Эта площадка располагается в пределах площади прямоугольника заданных размеров в плане, например, b вдоль оси Y и l вдоль оси Х, и имеет

координаты центра х; у. Для упрощения начало координат на рис. 2.12 принято в левом нижнем углу.

Чтобы получить формулы для любой из компонент напряжений в любой точке УПП (в пределах пощади прямоугольника и вне его), нужно дважды проинтегрировать по координатам Х и Y соответствующую формулу для нужной компоненты так, чтобы охватить всю площадь прямоугольника. Например, интеграл для компоненты σz имеет вид

b l
σz = рz3 / (2πR5) ∫ ∫dx dy,	(2.28)
0 0

а решение его приводит к громоздкому выражению, которое приводить не имеет смысла – соответствующие выражения табулированы и приведены во всех справочниках по механике грунтов. Также, но интегриро-

78

ванием только по координате Y, решается и задача о распределении напряжений в плоской задаче: от нагрузки Р', приложенной по бесконечно протяженной по оси Х ленте шириной b (в теории упругости ее ширину обычно обозначают как 2b):

b

σz = 2Р'z3 / (πR4) ∫dy. (2.29) 0

В любой точке М с координатами х; у; z можно вычислить соответствующий радиус: в пространственной задаче R = x2 y2 z2 ,

в плоской – R = y2 z2 . После интегрирования формул (2.28) и (2.29)

можно прийти к простому и однотипному выражению для обеих задач: для пространственной

σz = α р,	(2.30)
для плоской
σz = α р',	(2.31)

где α – коэффициент (его часто называют упрощенно, но достаточно точно по смыслу – коэффициентом рассеивания напряжений), зависящий от соотношения сторон загруженной площади (η = l / b) и относительной (т.е. по отношению к полуширине b) глубине (ζ = 2z/b).

Соответствующие формулы вычисления коэффициента α для каждого из частных случаев (не только для σz, но и для других компонент напряжения) можно легко получить, зная основы интегрирования функций. Однако такое преобразование не имеет никакого практического смысла и не относится собственно к механике грунтов. Значения α, как отмечалось, табулированы для всех компонент напряжений; они приведены во многих справочниках и нормах проектирования.

Для примера в табл. 2.3 приведены значения α для определения напряжений σz под центрами загруженных площадей при некоторых значениях η и ζ (в табл. 2.3 приняты те же строки, которые были в табл. 2.2). Эти значения следует умножить на р = 20 тс/м2 (поверхностная нагрузка), чтобы получить конкретные значения в табл. 2.2 на соответствующей глубине z.

По табл. 2.3 можно проследить ранее отмечаемое на простом примере: напряжения величиной ~0.1 р, отмеченные в клетках табл. 2.3, как и табл. 2.2, жирным шрифтом и серым тоном, под квадратным фундаментом достигают относительной глубины ζ = 4, а под лен-

той ζ = 12.

79

Таблица 2.3

Значения α для напряжения σz

ζ =2z/b				η = l/b
	1.0	1.4	2.4		5.0	10.0	≥100
0	1.000	1.000	1.000		1.000	1.000	1.000
0.4	0.960	0.972	0.976		0.977	0.977	0.977
1.2	0.606	0.682	0.739		0.754	0.755	0.755
2.4	0.257	0.325	0.419		0.470	0.477	0.477
4.0	0.108	0.145	0.214		0.285	0.303	0.306
6.0	0.051	0.070	0.110		0.173	0.202	0.208
12.0	0.013	0.018	0.031		0.058	0.088	0.106

Еще одно замечание. Ленточным обычно считается фундамент, имеющий длину l, примерно в 10 раз превышающую ширину b. Но в таблицы всех редакций строительных норм в столбце «η ≥10» вносят значения α, относящиеся к почти бесконечному отношению η ≥100 (см. последний столбец табл. 2.3). Несмотря на то, что различия в напряжениях ощущаются начиная только с относительной глубины ζ = 3…4, тем не менее таблицами вносится преувеличенное представление о распределительной способности грунтов (об этом речь пойдет при рассмотрении методов расчетов осадок в 5-й лекции), а также нарушается «гладкость» изменения коэффициентов, корректность интерполяции и др. Правильнее было бы в последний столбец подобных таблиц в нормах проектирования внести значения из предпоследнего столбца табл. 2.3 (при η = 10).

И, наконец, последнее. В приведенных решениях никак не учитывается влияние жесткости фундамента: в обеих задачах полагается, что нагрузка р приложена непосредственно к поверхности УПП. Совершенно очевидно, что жесткость реального фундамента внесет изменения

враспределение напряжений и деформаций, и это предстоит оценить

вдальнейшем.

4.4 Метод угловых точек

Все приведенное выше относится только к напряжениям, возникающим под центром загруженной площади. Принципиально возможно составление подобных же таблиц для любой вертикали, не совпадающей с центром действия нагрузки. Но тогда появилось бы множество таблиц для коэффициентов α, относящихся к расстояниям от центра загруженной площади, например: 0.1 b, 0.2 b, 0.5 b, 1.0 b и т.д.

Примерно в 1930-е гг. обратили внимание на следующую особенность распределения напряжений, вытекающую из решений теории упругости. Например, возьмем точку М, расположенную в центре некоторой площадки, загруженной равномерной нагрузкой р (см. рис. 2.13, а).

80