книги / Теория функций комплексной переменной

§2

ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ

211

Тогда для комплексного потенциала исходной задачи получим окончательное выражение

f{?) = (v*)oo2 ~ i{vy)00y/z2 - а 2.

(7.73)

В заключение найдем силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им тело. Сила давления, действующая на элемент ds дуги контура С , пропорциональна гидродинамическому дав­ лению р в данной точке потока и направлена по направлению внутренней нормали —dn = —idy+jdx. Поэтому для компонент силы, действующей на контур С, получим выражения

Rx ——f pdy,	Ry - f pdx.
c	c

Определив гидродинамическое давление p из интеграла Бернулли:

Рv -- лА - ^ 2- ,

где А — постоянная, а р — плотность жидкости, и введя ком­ плексную величину R —Ry A iRx, получим

R = — | J	v2(dx —г dy) = — | J v2dz.	(7.74)
с	с

(Интеграл от постоянной А по замкнутому контуру С, очевид­ но, равен нулю.) Преобразуем интеграл (7.74). Так как в точках контура С скорость направлена по касательной к контуру, то комплексная скорость течения w связана с величиной физиче­ ской скорости v соотношением w = ve^, где (р — угол меж­ ду касательной к контуру и осью х. Тогда формула (7.36) дает

ve~tyj =	С другой стороны, dz = dse~t(p. Поэтому v2 dz =
= ч2 е~г2(р ds ei(p= / ,2 dz, и формула (7.74) примет вид
	n = - £ $ f a(z)dz.	(7.75)

С

Это так называемая формула Чаплыгина, выражающая силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им тело, через производную комплексного потенциала. Из выражения (7.63) для комплексного потенциала вне обтекаемого тела получим

/'(*) =W OQ+

п= 2

со

71=2

Следовательно,

J f ,2 (z) dz = 2‘Ш00Г 00.

с

212 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 7

Подставив это выражение в формулу (7.75) и отделив действи­ тельную и мнимую части, найдем

Rx — р(Уу)00Т001	Ry ——p(vx)00^00-	(7.76)
Отсюда
| Д | = р Ы	- | Г оо|.	(7.77)

Формула (7.77) представляет собой теорему Жуковского о подъ­ емной силе: сила давления безвихревого потока, имеющего на бесконечности скорость VQQ и обтекающего контур С с цирку­ ляцией Г, выражается формулой |ii| = p|voo| • |Г|. Направление этой силы получается поворотом вектора v,*, на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.

Использование аппарата аналитических функций комплекс­ ной переменной позволило Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыги­ ну развить методы решения задач гидро- и аэродинамики, по­ служивших теоретической основой для практики авиастроения. Тем самым методы теории функций комплексного переменного сыграли огромную роль в развитии современной авиации.

2. Плоское электростатическое поле. Методы теории функций комплексной переменной, использованные в предыду­ щем пункте для изучения плоского потенциального течения иде­ альной жидкости, могут быть столь же успешно применены и при исследовании любого плоского векторного поля иной фи­ зической природы. В этом пункте мы рассмотрим применение данных методов к решению некоторых задач электростатики.

Задачи электростатики заключаются в определении стаци­ онарного электрического поля, создаваемого в среде заданным распределением зарядов. В зависимости от постановки конкрет­ ной физической задачи задаются или плотность распределения зарядов как функция координат, или полный заряд, распреде­ ленный на поверхности идеального проводника. В последнем случае основная цель исследования заключается в определении плотности распределения зарядов на поверхности проводника.

Чтобы получить основные уравнения для вектора напряжен­ ности электростатического поля, будем исходить из общей систе­ мы уравнений Максвелла*) в изотропной среде:

rot Н = 1 (ЭР	4тг»Ст	rot Е =	—1 дВ
с dt	c J ’		с dt ’
divD =	47гр,	divB =	О,
D = еЕ,		В = pH.

В случае стационарного электромагнитного поля уравнения Максвелла для вектора Е напряженности электрического поля

*) См. И. Е. Т а м м . Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966.

§2	ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ		213
в однородной среде принимают вид
	rot Е = О,	div Е = Ц-р,	(7.78)

где е — диэлектрическая постоянная среды, ар — плотность ста­ тических зарядов, создающих данное поле. В дальнейшем будем считать е = 1 и будем рассматривать плоскую задачу, когда за­ ряды, создающие поле, распределены в пространстве так, что плотность их распределения не зависит от одной из координат (например, от координаты z), а является функцией лишь двух других координат, т.е. р = р(ж, у). Очевидно, при этом вектор Б имеет лишь две отличные от нуля компоненты, которые также являются функциями лишь координат ж, у:

Е (ж,у) = iEx(x,y) + $ Е у(х,у).

(7.79)

В силу первого из уравнений (7.78) поле Е является потенци­ альным:

Е(ж,у) = - g r a d u a l / ) , Ех = ~ ,

Е у = ~ ,

(7.80)

причем на основании второго из уравнений (7.78) функция v(x, у) удовлетворяет уравнению

Д у = —4тгр(ж,у).

(7-81)

Из (7.81) следует, что в области, свободной от зарядов, потен­ циальная функция v(x,y) является гармонической. Поэтому в этой области можно построить аналитическую функцию комп­ лексной переменной

f(z) = и(ж, у) + iv{ж, у),	(7.82)
для которой потенциальная функция v(ж, у)	данного электро­

статического поля является мнимой частью.

Функция (7.82) называется комплексным потенциалом элек­ тростатического поля. Линии уровня г;(ж, у) = С называются эквипотенциальными линиями данного поля. Из формул (7.80) следует, что вектор напряженности Е в каждой точке эквипо­ тенциальной линии v(x,y) = С направлен по нормали к этой линии. Так как линии v(x,у) = С и и(ж, у) = С взаимно орто­ гональны, то направление вектора Е совпадает с касательной к линии и(х}у) = С в каждой точке этой кривой. Поэтому линии и(х, у) = С являются силовыми линиями данного поля.

Сопоставим вектору Е			комплексное число w = Ех + гЕу. То­
гда на основании (7.80) и условий Коши-Римана получим
w —Ех + гЕу =	dv	.dv	dv	.du
	дх	1ду	dx	гdx
				(du	■dv
			— г \		л__ ) = - » У ' ( г ) . (7.83)
				[d x	dx

214	ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	ГЛ. 7
Отсюда	|Е| = \f’(z)\.	(7.84)

Формулы (7.83) и (7.84) дают выражение компонент вектора напряженности электростатического поля в области, свободной от зарядов, через производную комплексного потенциала.

Пусть заряды, создающие данное электростатическое поле, сосредоточены в некоторой области, ограниченной замкнутой кривой Со1). Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащему Со внутри, от нормальной составляющей на­

пряженности электрического поля, согласно теореме Гаусса2), равен суммарному заряду (отнесенному к единице длины ци­ линдра, в котором распределены заряды в пространстве):

f E„ds = 4тге.

(7.85)

С

На основании формул (7.80), (7.37), (7.38), учитывал соотноше­ ния Коши-Римана, получим

j Ends = j £d d * - % d y .

сс

Так как электростатическое поле всюду потенциально, то цир­ куляция этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю,

/**—/£*+£* =о-

С С

Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру С от производной комплексного потенциала:

J	f-{z)dz = f	pxdx - ^	dy + i j ^	dx + pxdy.	(7 .86)
С	С		с
Сравнение приведенных выше формул дает
	J	f'(z) dz—	J Ends =	47ге,	(7.87)
	с		с

т. е. заряд, заключенный внутри области, ограниченной конту­ ром С, определяется интегралом по этому контуру от про­ изводной комплексного потенциала электростатического поля,

г) Это означает, что в пространстве заряды распределены внутри беско­ нечного цилиндра, контуром поперечного сечения которого является кри­ вая Со, причем плотность распределения зарядов не зависит от координаты z вдоль образующей цилиндра, а является лишь функцией координат х, у

впоперечном сечении.

2)См. сноску на с. 212.

§2

ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ

215

создаваемого данным распределением заряда. Если Со предста­ вляет собой контур поперечного сечения идеально проводящего цилиндра, то весь заряд сосредоточен на его поверхности с по­ верхностной плотностью <T ( S ), причем

J cr(s) ds —е.

(7.88)

Со

Как известнох), имеет место соотношение

(7.89)

Со

С другой стороны, из (7.83) и (7.89) получим

<Ф ) = ± ± \f(z )\c0.

(7.90)

Знак в формуле (7.90) определяется знаком суммарного заряда е, распределенного на поверхности данного идеально проводя­ щего проводника. Формула (7.90) находит многочисленные при­ ложения при решении различных задач электростатики.

Заметим, наконец, что, так же как и в задачах гидродина­ мики, производная комплексного потенциала }'{z) на основа­ нии (7.83) является однозначной аналитической функцией z. Ес­ ли напряженность данного электростатического поля ограниче­ на на бесконечности, то разложение f(z) в окрестности точки z = оо имеет вид

ОО

f(z) = WQQ+

71=1

Отсюда для самого комплексного потенциала получим разложе­ ние

		ОО
f(z) = WQQZ + CO+	6iln 2 +	(7.91)
		71=1
Так как	/,(z)d z ’
b i = h i
CR

где контур C R содержит все заряды, создающие данное поле,

внутри, то из (7.87) получим окончательное разложение комп­ лексного потенциала в окрестности точки z = оо в виде

ОО

f(z) — WQQZ —i • 2е1пг +	(7.92)
7 ^	Z
п=0

Как мы видим, комплексный потенциал электростатическо­ го поля имеет чрезвычайно много общего с комплексным гидро-)*

*) См. сноску на с. 212.

216

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ГЛ. 7

динамическим потенциалом*). Поэтому исследование плоского электростатического поля с помощьк} комплексного потенциала может быть проведено теми же методами, что и решение соот­ ветствующих гидродинамических задач. Так, все примеры тече­ ний, рассмотренные на с. 203-205, допускают простую электро­ статическую интерпретацию.

Например, рассмотрим электростатическое поле, описывае­ мое комплексным потенциалом

f(z) = —г• 2е1пл,

е > 0.

(7.93)

Введя полярные координаты г, <ри учтя, что z = гег(р, получим

v(r, (р) = —2е In\z\ —2е In - ,

u(r, ф) = 2е arg z = 2eip.

Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностями дан­ ного поля являются концентрические окружности с центром в начале координат, а силовыми линиями — лучи (р= const. Век­ тор Е в каждой точке z Ф 0 направлен по лучу ip = const, а по абсолютной величине в силу формулы (7.84) равен

|Е = l/'WI = Ц -

Так как интеграл по любой окружности \z\ = г от нормальной составляющей напряженности данного поля имеет постоянное значение, равное 47ге, то, очевидно, это поле создается точечным зарядом величины е, находящимся в начале координат (в про­ странстве заряды, создающие данное поле, распределены с по­ стоянной плотностью е вдоль прямой, перпендикулярной плос­ кости ху и проходящей через начало координат).

Р а с с м о т р и м н е к о т о р ы е т и п и ч н ы е з а ­ д а ч и э л е к т р о с т а т и к и , к о т о р ы е м о г у т б ы т ь р е ш е н ы с п о м о щ ь ю к о м п л е к с н о г о п о т е н ц и а л а .

а) Определение плотности распределения заряда на идеаль­ но проводящем проводнике. Пусть боковая поверхность идеаль­ но проводящего проводника представляет собой бесконечный цилиндр, поперечное сечение которого ограничено контуром С. Предположим, что плотность распределения заряда постоян­ на вдоль образующих цилиндра и на единицу длины цилин­ дра приходится заряд е. Требуется определить поверхностную плотность заряда <r(s) на контуре С поперечного сечения. Оче­ видно, решение данной задачи дается формулой (7.90) при нор­

*) Очевидно, то, что потенциальная функция в электростатике являет­ ся мнимой частью комплексного потенциала, а в гидродинамике потенциал скорости является действительной частью комплексного потенциала, пред­ ставляет собой несущественное различие, которое может быть устранено введением дополнительного множителя, равного —г. Однако мы придержи­ ваемся установившейся терминологии, при которой имеет место указанное различие.

§2 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 217

мировочном условии (7.88). Тем самым задача сводится к по­ строению комплексного потенциала f(z), являющегося анали­ тической функцией вне контура <7, при условии, что мнимая часть f(z) имеет постоянное значение на контуре С и в окрест­ ности точки z = оо разложение f(z) дается формулой (7.92), где WQO= 0, а коэффициент е равен заряду, приходящемуся на еди­ ницу длины проводника.

Начнем с простейшего случая, когда проводник представляет собой круговой цилиндр единичного радиуса. Выше было пока­ зано, что эквипотенциальные линии комплексного потенциала (7.93) представляют собой концентрические окружности с цен­ тром в начале координат. Поэтому, чтобы удовлетворить усло­ вию на границе проводника, естественно искать потенциал дан­ ного поля в виде

f(z) — —iClnz,

где С — постоянная, подлежащая определению. Из условия на бесконечности (7.92) получим С = 2е. Тогда формула (7.90) дает очевидный результат

Если контур поперечного сечения проводника представляет собой произвольную замкнутую кривую С , то осуществив с по­ мощью функции £ = (p(z) конформное отображение области вне контура С на внешность единичного круга |£| > 1 так, чтобы удовлетворялось условие <£>(оо) = оо, мы сведем задачу к только что решенной. Тем самым комплексный потенциал будет иметь вид

f(z) = —i • 2eln (p(z),

(7.94)

а для плотности поверхностных зарядов согласно (7.90) получим выражение

М — — I / ' M l — —		1	_ е	dz ~ 1
47Г**'	27г	<p(z) dz £, 2 п dz с	27т	dQ |£|=1

(7.95) В качестве примера рассмотрим задачу об определении плот­ ности заряда на полосе ширины 2а. Пусть данная полоса пере­

секает плоскость ху по отрезку —а < х < а . Функция

“|(с+й

производит конформное отображение внешности единичного круга плоскости £ на плоскость z, разрезанную по отрезку дей­ ствительной оси —а < х < а. Поэтому формула (7.95) дает

dz - 1

„

1

218

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ГЛ. 7

Так как

J. _ z + yjz2 —а2

**а

и

£2 - 1 =	^ (z2 -		а2 + z\Jz2 -	а2)	= 2^Z^p~a~ (z + \Jz1		—а2) ,
то формула (7.96) дает
„(я) =	££	1	--------	1	--------- = ±- -= = L = = .		(7.97)
	27г у / а 2 — а;2 |аг + *л/а2 — я2|_а<х<а					27т \/о2 — х 2

Заметим, что плотность заряда неограниченно возрастает при приближении к краю пластины. Этот факт имеет простой фи­ зический смысл. Край пластины имеет бесконечную кривизну, и для того, чтобы зарядить его до некоторого потенциала, надо поместить на него бесконечный заряд.

б) Определение поля бесконечного плоского конденсатора.

Пусть требуется найти электростатическое поле между двумя заряженными до некоторого потенциала идеально проводящи­ ми непересекающимися цилиндрическими поверхностями, обра­ зующие которых параллельны между собой, а направляющие проходят через бесконечно удаленную точку плоскости z (рис. 7.3). В этом случае задача состоит в определении в криволиней­ ной полосе Q комплексного потенциала /(z), представляющего собой аналитическую функцию, мнимая часть которой прини­ мает постоянные значения v\ и г>2 на кривых С\ и С*2- Очевид­ но, аналитическая функция w = f(z) осуществляет конформное отображение данной криволинейной полосы плоскости г на по­ лосу плоскости w, ограниченную прямыми Im w — щ , Im w = = V2 ‘ Тем самым для решения данной задачи достаточно по­ строить указанное конформное отображение.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

В качестве примера найдем поле конденсатора, изображен­ ного на рис. 7.4, если значения потенциала на кривых С\ и Сг соответственно равны 0 и 1. Предварительно найдем функцию z = <р(С), осуществляющую конформное отображение верхней

§2 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 219

полуплоскости Ini С > 0) на данную криволинейную полосу Qплоскости z. Так как область Q представляет собой треуголь­

ник1) Л 1 Л 2-А3 , то искомое отображение можно получить при помощи интеграла Шварца-Кристоффеля (см. гл. 5, § 4). Уста­ новим следующее соответствие точек действительной оси плос­ кости £ и вершин треугольника:

А\ —¥ С = 0, А2 —¥ £ —оо, As С = —1-

Так как углы при вершинах треугольника соответственно равны irai = 0, тга.2 = —я а и яаз = 7г(1 -I- а), то искомый инте­

грал должен иметь вид	С
z = c	f С- 1 (1 + С)“ d( +		Cl.	(7.98)
	Со		— 1
Из соответствия точек As (z =		ih) и £ =		следует, что при
Со = —1 получим	С
z =	С J	d( + ih.		(7.99)

- 1

Чтобы определить постоянную С , заметим, что обходу точки С = 0 в верхней полуплоскости по дуге полуокружности беско­ нечно малого радиуса р в направлении против часовой стрелки соответствует переход со стороны А2А1 на сторону A\As- При этом приращение z равно

A z = ih.

С другой стороны, из (7.99), положив С = реЪ(ри перейдя к пре­ делу при р —>0, получим

Отсюда С = - , и окончательное выражение для интеграла

7Г

(7.99) имеет вид

z

(1 + 0 °

-Ь ih.

С

- 1

Функция С = enw осуществляет конформное отображение по­ лосы 0 < Im w < 1 плоскости w на верхнюю полуплоскость Поэтому функция

z	(1 + 0 ° с?С "Ь ih	(7.100)
	С

1) Заметим, что вершины Ai и Аг находятся в бесконечности.

ниям v, приведены на рис. 7.5. При

Рис. 7.5

220

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ГЛ. 7

осуществляет конформное отображение полосы 0 < Im w < 1 плоскости w на данную криволинейную полосу Q плоскости z. При этом прямая Im w = 0 переходит в нижнюю обкладку кон­ денсатора А1Л2, а прямая Im w = 1 — в верхнюю обкладку, представляющую собой ломаную A2A$AI . Из формулы (7.100) при v = Im w = const получим параметрические уравнения по­ тенциальных кривых данного электростатического поля. Напри­ мер, в частном случае при а = 1 интеграл (7.100) вычисляется в элементарных функциях:

z = - ( 1 + тгш + е ™ ).

7Г

Тогда параметрические уравнения эквипотенциальной кривой

v = VQ = const (0 ^ VQ ^		1) принимают вид
х =	- ( 1 + пи +	cosTTVQ • е7™),
	£	— оо < гг < оо,
у =	- ( KVQ + sin7rvo * е7Ги).
	7Г

В частности, уравнение средней эквипотенциальной линии

(vo = 0 имеет вид

h , h fir 1 \

V = 5 + j e4 >(S* - 1J.

Эквипотенциальные линии, соответствующие различным значе­

VQ > i легко определяется

значение	т тах	по фор­
муле
Яшах = -	In (------	-— ) .
7Г	V	COS 7ГИ0 /

Полученные резуль­ таты легко позволяют определить то расстоя­ ние от края конденса­ тора, изображенного на рис. 7.5, на котором поле конденсатора с заданной степенью точности мож­ но считать плоским.

Вообще, методы конформных отображений широко исполь­ зуются при расчете плоских электростатических и магнито­ статических линз, применяемых для фокусировки электрон­ ных пучков, что необходимо для работы многих физических устройств.