книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdf7.6.3. Ф ундам ентальная матрица. Пусть X — решение мат ричного уравнения (7.6.1) при условии (7.6.2). Покажем, что един ственное решение векторно-матричного уравнения (системы)
*■1wII с: |
(7.6.5) |
|
|
при условии |
|
x ( t Q) = с |
(7.6.6) |
можно представить в виде
* |
II >< |
V# |
(7.6.7)
где у — постоянная столбцовая матрица.
Отметим прежде всего, что Х(1) на любом отрезке [f0,/ < °°]
есть невырожденная матрица. Действительно, в соответствии с фор мулой Остроградского—Лиувилля имеем
/
| Х ( 0 1 = | С | exp j Sp U { t ) d t .
'о
Так как U( t) непрерывна на [/0, 1\, то все ее элементы на этом
I
промежутке ограничены, и, значит exp J Sp U ( t ) d t нигде на [/0, /]
|
'о |
не может |
обратиться в нуль. Не равен нулю также определитель |
| С [, так |
как по условию С — невырожденная матрица. Значит, |
1*(01 * о .
Покажем теперь, что выражение вида (7.6.7) удовлетворяет ус ловию (7.6.5). С этой целью подставим (7.6.7) в (7.6.5). Получим
f t - V X ' l -
В силу равенства (7.6.1) это соотношение выполняется тождествен но.
Остается показать, что заданием начального условия (7.6.6) од нозначно определяется столбцовая матрица у. Что это так, видно из равенства X ( t 0) y = x ( t 0). В силу невырожденности матрицы X ( t 0)
это уравнение допускает единственное решение
■у=Х-'(!о)*((0). |
|
(7-6-*) |
И так, любое решение уравнения (7,6.5) посредством |
матрицы |
|
X может быть представлено в виде (7.6.7) |
. Матрица X называется |
|
фундаментальной матрицей системы (7.6 |
.5). |
|
Если X — фундаментальная матрица системы, то произведение |
||
Х В , где В — произвольная постоянная невырожденная |
матрица, |
|
есть также фундаментальная матрица, так как снова является ре шением матричного уравнения (7.6.1), но, конечно, при некотором другом начальном условии.
Подставив (7.6.8) в (7.6.7), получим
* (0 = tQ)x{t0)\ (7.6.9)
здесь K (t, t0) = A'(OAr_1(^o) — матрица Коши. Матрица Коши представляет собой решение матричного уравнения (7.6.1) при на чальном условии X (t0) = Е.
Матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матри-
. .ы. В самом деле, если вместо X(t) взять фундаментальную мат рицу Х В Угде В — постоянная невырожденная матрица, то
K(l, tQ) = X(t)BB~'X -l(t0) = X(t)X~l(i0).
§7.7. Матрицант
В§ 7.5 было показано, что решение системы (7.5.1), удовлетво ряющее начальному условию x(t0) = c = x^°\ представляется рав номерно сходящимся рядом
|
|
оо |
|
|
|
|
* = *«4 + 2 |
(*(*)_ |
|
(7.7.1) |
|
|
|
N = |
I |
|
|
Имеем (см. (7.5.5) и (7.5.6)) |
|
|
|
||
|
|
t |
|
t |
|
|
jcfl>— |
^ U(tl) x ^ d t l = |
J |
|
|
|
|
^0 |
|
^0 |
|
|
t |
|
|
t |
t |
x(2) — x(1) = ^C /^/,)^1^*,) — x ^ \ d t x= |
J |
U(tt) J U(t2)dt2xw dtl |
|||
|
*0 |
|
|
*0 |
*0 |
и т.д. Подставляя эти выражения в (7.7.1), |
имеем |
||||
t |
t |
t |
|
|
|
х = [Е + 5 |
U{t)dt + \ £/(/)$ U{t)dt2 + |
|
|
||
*0 |
*0 |
*0 |
t |
t |
t |
|
|
|
|||
|
|
|
+ J £/(/)$ |
tf(0$ U(t)dt3 + |
|
И Л И
где |
t |
t |
|
t |
|
||
fi{0 = £ + 5 |
U{t)dt + \ |
U{t)dt2 + ... |
(7.7.3) |
*0 |
*0 |
*0 |
|
Квадратная матрица |
называется матрицантом дифференци |
||
альной системы (7.6.1). Способом, указанным в § 7.5, легко дока зывается, что матричный ряд (7.7.3) сходится равномерно на ин тервале
Продифференцируем ряд (7.7.3) по t:
rfOj |
* |
* |
t |
- j f |
= U(l) + 1 / ( 0 J U(t)dt + |
£/(<)$ 1/( 0 |
$ u(t)dt2 + ... = 1/(00?,. |
Отсюда видно, что ряд dQi Idt — также равномерно сходящийся.
Итак,
da't
-S f = £/(0nj„,
причем QJo = Е. |
Следовательно, Ql представляет собой фундамен- |
*0 |
*0 |
тальную матрицу однородной системы, и любое решение этой сис темы представляется формулой (7.7.2). Сравнивая (7.7.2) и (7.6.9) и помня о единственности решения однородной системы при задан
ном начальном условии, получаем |
з K(t, tQ). |
|
|
|
Отметим основное свойство матрицанта. Матрицанты |
*0 и |
*1, |
||
как два решения одного и того же матричного уравнения |
(7.6.1), |
|||
связаны между собой соотношением QJ10= QJ*1С, где С — постоян- |
||||
ная матрица. При t = ti имеем |
= ЕС = С. Используя это, нахо |
|||
дим QJ = Q* ЗД. |
|
|
|
|
l0 |
*1 о |
|
|
|
§ 7.8. Сопряженное уравнение
Пусть дано векторно-матричное уравнение
% - т * . |
(7.8.1) |
Ему сопряженным называется векторно-матричное уравнение
£ = - £ / * « * |
(7.8.2) |
где U* — матрица, эрмитово-сопряженная матрице U. Пусть X — фундаментальная матрица системы (7.8.1), a Y — фундаменталь ная матрица системы (7.8.2),-так что X и Y являются решениями уравнений
(7.8.3)
----- {ГУ |
(7.8.4) |
at
при некоторых начальных условиях. В равенстве (7.8.4) перейдем к сопряженным матрицам:
% ----- Г U. |
(7.8.5) |
Умножим равенство (7.8.3) слева на У*, равенство (7.8.5) — справа на X и результаты сложим. Будем иметь
£ ( » " * ) = 0.
Отсюда следует, что произведение Y*X есть постоянная матрица: Y*(t)X(t) = С. В частности, если X, Y — нормированные фунда ментальные матрицы системы (7.8.1) и (7.8.2) (матрицы Коши), то
Y*(t)X{t) = E.
$ 7.9. Неоднородное векторно-матричное уравнение |
|
Рассмотрим вопрос о решении уравнения |
|
% = U ( t ) x + h(t) |
(7.9.1) |
при начальном условии |
|
x(t0) = с. |
(7.9.2) |
7.9.1. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. |
|
Введем в (7.9.1) подстановку |
|
x = X(t)z, |
(7.9.3) |
где X — фундаментальная матрица однородной системы |
|
— = U(t)x. |
(7.9.4) |
Получим |
|
§ z + X % = V X z + h. |
|
Отсюда dzf dt = X |
Интегрируя это соотношение, получаем |
t
2 = 7 + 5 X~l(s)h(s)ds.
'о
Учитывая это, из (7.9.3) находим
|
|
t |
|
|
|
х = |
X(t)y+ J X(t)X~l(s)h(s)ds. |
|
|
|
|
*0 |
|
|
По условию |
(7.9.2) |
X(t0)y= c, |
Следовательно, постоянная столб |
|
цовая матрица у |
должна |
быть определена по |
формуле |
|
7 = А'“,(/0)с. В соответствии с этим |
|
|||
|
|
|
t |
|
|
х = X(t)X~l(t0)c + |
5 X(t)X~l(s)h(s)ds. |
(7.9.5) |
|
|
|
|
‘о |
|
Если Х(() |
— матрица Коши (X(t0) = Е), то тогда |
|
||
|
|
t |
|
|
|
х = |
X(t)c + J X(0-K_1(s)A(s)*/.s. |
(7.9.6) |
|
'о
Формулы (7.9.5) и (7.9.6)- представляют собой решение уравне ния (7.9.1), выраженное через фундаментальную матрицу однород
ной системы (7.9.4). |
|
|
|
7.9.2. |
Другой способ. Уравнение (7.9.1) умножим слева на не |
||
которую, пока неизвестную, матрицу У*(/), сопряженную матрице |
|||
Y{t)y и проинтегрируем от tQдо t. Получим |
|
||
t |
|
t |
t |
5 |
r ( s ) % d s= |
5 Y*(s)U(s)x(s)ds+ 5 r(s)h(s)ds. |
|
*0 |
|
*0 |
^0 |
Интегрируя по частям, |
получаем |
|
|
|
t |
/ |
t |
r ( 5)x(s)|{o- J x(s)ds= J Y*(s)U(s)x(s)ds+ J Y'(s)h(s)ds.
^0 |
^0 |
*0 |
Отсюда
Г (()Х (0 - Г(<0)*(<о) =
= J |^jC + l"(s)V (s)J*(s)d»+ J i"(s)h(s)ds. |
(7.9.7) |
В качестве У возьмем |
решение сопряженной матричной |
системы |
|
d Y /d s = —LT(s)Y при условии |
|
|
|
|
У(0 = |
Е. |
(7.9.8) |
Тогда (7.9.7) принимает вид |
|
|
|
|
|
t |
|
x (t) = |
Y*(t0)x(/0) + |
J Y*(s)h(s)ds. |
(7.9.9) |
'о
Как было показано в § 7.8, если X — фундаментальная матрица однородной системы (7.9.4), то У*($)л($) = С. Из условия (7.9.8) в данном случае получаем С = X(t), так что У* (s)X(s) = Х((). Отсю
да Y*(s) = XCOX-^s), Y*(t0) « X i Q X - ' V о). Учитывая это, вместо (7.9.9) будем иметь
t
x(i) = X(t)X~l(t0)x(t0) + $ X(t)X~l(s)h(s)ds.
§ 7.10. Решение одного матричного уравнения |
|
||||||
Т е о р е м а |
7.10.1. Решение матричного уравнения |
|
|||||
|
|
^ £ = A(t)X + XB(t), |
X(t0) = C |
(7.10.1) |
|||
представляется в виде |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X = Y (t)C Z (t), |
(7.10.2) |
||
где Y(t) |
и Z (t) — соответственно |
решения матричных урав |
|||||
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
= |
МОГ. |
Y(t0) = Е, |
(7.10.3) |
|
|
|
W |
= |
ZB(0 . |
Z(t0) = E. |
(7.10.4) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дифференцируя (7.10.2) по |
ty с учетом |
||||||
(7.10.3) |
и (7.10.4) получим |
|
|
|
|||
|
at |
at |
CZ + УС ^7 = yiycz 4- YCZB. |
|
|||
|
|
|
at |
|
|
||
Очевидно, что к такому же виду приводится и правая часть уравнения (7.10.1), если вместо X подставить (7.10.2). Теорема доказана. ■
С л е д с т в и е 7.10.1.Решение матричного уравнения |
|
||
< $ = A ( t) X - X A ( t) , X (t0) = C |
(7.10.5) |
||
представляется в виде |
|
|
|
Х = Y(t)CY~l(t). |
|
(7.10.6) |
|
Действительно, в данном случае уравнения (7.10.3) и (7.10.4) |
|||
приобретают вид |
|
|
|
% = A ( t ) Y , |
Y(t„) = |
£, |
(7.10.7) |
% = - ZA(I), |
Z(tc) = |
Е. |
(7.10.8) |
Как видим, (7.10.8) есть уравнение, сопряженное уравнению (7.10.7), и поэтому Z(t) = Y~l(t). Отсюда, в силу (7.10.2), следует выражение (7.10.6).
С л е д с т в и е 7.10.2. Если А и В в уравнении (7.10.1) — по стоянные матрицы, то решение этого уравнения представляет ся в виде
Х = еА(‘- ‘о>Сев(*-‘ь>.
Действительно, в этом случае решениями уравнений (7.10.3) и (7.10.4) являются соответственно матрицы ехр[А(г —10)] и
exp [B(t - *<>)]•
В ЕК ТО РН О -М А ТРИ Ч Н О Е ЛИ Н ЕЙ Н О Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН О Е У Р А В Н Е Н И Е
С П О С ТО Я Н Н Ы М И М А Т РИ Ч Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И ЕН ТА М И
В данной главе рассматриваются линейные системы, представ ленные линейно-матричным уравнением
Лх
— = Ux + h{t), (8.0.1) at
где U — постоянная матрица.
§8.1. Экспоненциал матрицы
Как известно, экспоненциал скалярной величины а представляется рядом
е |
о |
1 |
° 2 |
+ |
+ |
аР |
+ |
|
_ 1 + „ + _ |
|
|||||
По аналогии с этим вводится понятие экспоненциала квадратной матрицы А. Подробнее см. Глава 5,§11. Под экспоненциалом матрицы А понимается матричная функция
ОО |
А” |
(8.1.1) |
ехр А = еА = '%2~г |
||
р = 0 |
у ' |
|
Ряд (8.1.1) сходится для любой квадратной матрицы, так как схо-
СО
дится скалярный ряд ^ ||-4||р/р!, составленный для нормы этой ма-
р-о
трицы.
Из сходимости ряда (8.1.1) для любой квадратной матрицы следует сходимость ряда
£ ( M f |
(8.1.2) |
р= 0 |
|
где t—скалярный множитель. Этот ряд представляет собой экспо ненциал произведения At, т.е. eAt
Сходимость ряда (8.1.2) в любой конечной области комплексной плоскости параметра t равномерная в силу равномерной сходимости в этой области ряда
V \\A\\p\t\p
2L , |
р \ |
' |
р —0
Отметим некоторые свойства экспоненциала.
1) eMt + s) — eAteAs = eAseAt (/, s e ^ ) . Действительно,
eAteAs |
|
|
/V~* |
2 |
Ap(t 4- s)p — e A(t + s)' |
/=0 |
|
k \ ( p — k ) l |
p\ |
||
* = 0 |
p = 0 |
0 |
p = 0 |
|
Так как e4(f + = eA^s + <\ то из приведенной цепочки равенств сле
дует также коммутативность матриц eAt и eAs. Полагая s = —t, бу дем иметь
|
|
|
eAte~At = ело = Е. |
|
|
|
||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
eAt — всегда невырожденная матрица и ее обратная матрица |
|||||||||
равна e~At. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Если А В = В А , то |
еА + в = еАев = евеА. |
Покажем |
это. |
||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_Y аР_ Y |
00 |
00 |
|
|
|
||
|
еАев |
. Y |
Y АРвЯ |
|
|
|||||
|
2ы! р[ |
|
(j! |
1 2 J |
2 J |
p\q\ • |
|
|
||
|
|
|
р = 0 |
|
<j = 0 |
р = О q=Q |
|
|
|
|
Положим р + q = S (s = 0, 1, 2, ...). |
Тогда, |
учитывая, что |
р < s, |
|||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АрВ*-р |
|
со |
S |
$! |
|
|
|
|
Z , |
Z , |
|
2 _1 Y |
ApB*~P. |
|
||||
|
p\(s - p ) \ |
|
s! |
Zi |
p\(s — p)\ |
|
||||
|
Ае в = у |
V |
л ^ . — |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = 0 р = О |
|
s — 0 |
p*= О |
|
|
|
|
||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s=0
итак как А и В перестановочны, то
5 |
5! |
АРВ*~ |
|
(и + д )‘ = 2 |
|||
pl(s — p)l |
и, значит,
|
,А + В _ |
и 2 |
SI |
|
= 2 |
p\(s—p)l ApBs~p = еАев. |
|
|
5 = 0 |
р —0 |
|
4) |
П р о и з в о д н а я |
э к с п о н е н ц и а л а . Ряд, полученный |
|
формальным дифференцированием ряда (8.1.2), также сходится |
|||
равномерно, поэтому законно почленное дифференцирование ряда |
|||
(8.1.2). Учитывая это, получаем |
|||
|
deM |
|
Ah |
|
dt = А + 1Т + |
2! + ... — Аем — eAtA. |
|
§8.2. Решение матричного уравнения в форме экспоненциала
Всилу свойства (4) экспоненциала матрицы матрица еи^{ V представляет собой решение матричного уравнения
^= и х , Х (10)= .Е
и, значит, является фундаментальной матрицей системы dxldt = Uх. В соответствии с этим общее решение неоднородной системы (8.0.1) при условии x(tQ) = с можно представить в виде
t
x(t) = еи(*~*о)с + J eu('t~to>e~u('s~t<Jh(s)ds,
*0
или
t
х(1) = еи^ ~ ^ с + J еи^~ S^h{s)ds.
§ 8.3. Метод Эйлера
Решение векторно-матричного уравнения
% = Ux, x(t0) = с |
(8-3.1) |
будем искать в виде
x=Ke*'tt |
(8.3.2) |
где К — постоянный вектор (столбцовая матрица). Подстановка (8.3.2) в (8.3.1) приводит к алгебраическому равенству U K= XK. Отсюда видно, что (8.3.2) представляет собой частное решение урав нения (8.3.1), если А.есть собственное значение матрицы U, а К —