книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfсобственный вектор этой матрицы, отвечающий собственному значе нию X. Рассмотрим различные случаи, которые могут иметь место.
1. |
Матрица U имеет п различных собственных значений |
ХА, Х2, |
А.п (п — порядок матрицы U). Каждому простому собст |
венному значению Xj отвечает единственный (с точностью до про извольного множителя) собственный вектор Kj, причем собствен
ные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ли нейно независимы. Общее решение уравнения (8.3.1) может быть представлено в виде
x = ' £ K JeXitуг |
(8.3.3) |
У - 1
где уj — произвольные постоянные.
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что соответству ющим выбором постоянных уj можно удовлетворить любому на
чальному условию, ибо, очевидно, (8.3.3) обращает уравнение (8.3.1) в тождество. Прежде всего представим (8.3.3) в ином виде. С этой целью введем матрицы
fXl O' |
V |
|
К = { К ХКг ... к п), А =
О
Тогда вместо (8.3.3) будем иметь х = лучим
. |
У = • • • |
V |
Уп/ |
Ке^1у. Отсюда при t = t0 по
x(t0) = Ке^(оу. |
(8.3,4) |
Так как К и еЛ1о— невырожденные матрицы, то уравнение (8.3.4) разрешимо относительно у:
у = e~AtoK~[x(tQ) — e~AtoK~1c.
Таким образом, действительно, если все собственные значения мат рицы U — простые, то общее решение уравнения (8.3.1) представ
ляется выражением (8.3.3). |
|
|
2. |
Число различных собственных значений матрицы U меньше, |
|
чем л, но каждому собственному значению Xj кратности г- отвечает |
||
ровно гу.линейно независимых собственных векторов |
..., Кр В |
|
этом случае общее решение однородной системы можно представить
в виде
/П
X = 2 { r tp ip + ... + tf/zY /zV A У= 1
3. |
Число различных собственных значений матрицы U равно |
|
' или меньше, чем п, и каждому собственному значению |
кратно |
|
сти г} отвечает один или несколько (но не более чем г}) собствен |
||
ных |
векторов (общий случай). Этот случай будет рассмотрен в |
|
§8.5 при описании другого метода.
§8.4. Решение уравнения с помощью преобразования Лапласа
Построим решение векторно-матричного уравнения
^ = U x + h(t) |
(8.4.1) |
при начальном условии
x(t0) = с |
(8.4.2) |
с помощью преобразования Лапласа. Обе части уравнения (8,4.1) умножим справа на e~pt и проинтегрируем по if в пределах от 0 до °°. Получим
со |
|
со |
ео |
|
|
$ ^ |
e~ptdt = $ Uxe~ptdt + $ he~ptdt, |
|
|||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
р Ц х) = |
U&(x) + &(h) + |
х(0), |
(8.4.3) |
||
где |
|
|
|
|
|
J?(x) = J хе |
pidt, |
-S?(A) = |
^ he ptdt |
|
|
|
о |
|
|
о |
|
— изображения Лапласа функций х и А. Из (8.4.3) находим |
|||||
&(х) = |
(р Е - |
U)~lx(0) + (РЕ - |
U)~LJ?(h). |
(8.4.4) |
|
Л ем м а 8.4.1. Для произвольной квадратной матрицы имеет место равенство
З’- 'К р Е - U)~l) = eut.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть К = (К1К2 ... Кт) — матрица, преобразующая U к форме Жордана
diag W K ) , / 2( ^ ) , ..., / J X J ) ,
а
( M L)
м =
м т
так что
т
U = K J M 2
О = I
Тогда |
|
|
|
|
|
( p E - U ) ~ l = (рКМ - |
KJM)~l = |
|
|
|
|
|
= |
[К(рЕ - |
J)M)~l = |
ЛГ(р£ - |
/ ) _1М. |
Но |
|
|
|
|
|
( p E - J ) = diag [(рЯ^ - / х), (р£^ - |
/ 2), |
- /„)]. |
|||
Учитывая это, получим |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
(рЕ - |
и г 1= У Ka(pEt |
- J . r ' K - |
|
|
|
|
а в 1 |
о |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З Г Ч & Е - и ) - ' ) = 2 |
KaS?-'[(pEk - / а)-‘1М. |
(8.4.5) |
|||
|
о=1 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
(см. (5.9.9)) |
|
|
|
(рЕк - |
/ а) - ‘ = [(р - Ха)Ек - |
Нк ]-» = |
|
|
|
Ек |
|
+ |
+ ... + |
|
+ |
(р~К) |
||
|
р ~ К |
|
(р~К) |
|
На основании последнего соотношения |
||||
|
я - 'К р Е ь - j „ r l] = х ц г 1* ~ '\ 7 г т ? ]- |
|||
|
о |
v = 1 |
О |
\р — |
|
|
|
|
|
Здесь принято Н°к = Ек . Но
а' о
С+ /<»
я*.-1
к *
СР~КГ°
(8-4 б >
^ - ‘1 |
^ ] = ^ с. 5 . т ^ 7 ^ = < й т л ' |
( i = ^ |
||
|
нк t |
н \ £ |
я*»-1/*»-1 |
|
|
« V = Я». + i f |
+ ~2!~ |
|
|
(так как |
Я^г>= 0 при г 2* *„). Поэтому |
|
|
|
'о
•S*"1[(р£* - / с) -1 ] = eHkJekvt = е(Х« Л / " * / ~ ^ А 1'. |
(8,4.7) |
Подставляя (8.4.7) в (8.4.5), будем иметь
т
& -'[(рЕ - и у 1] = 2 KaeJo ^ M a = KeJtM = eut.
0=1
Лемма доказана. ■ Используя эту лемму, вместо (8.4.4) записываем
&(х) = &(еш)х(0 ) + & ( е иг)&(/1).
Применяя обратное преобразование Лапласа, отсюда находим
x(t) = ешх(0) + |
(8.4.8) |
Для скалярных функций g и h имеет место Т е о р е м а о свертке:
t
^ - ‘[^ (г)^ (А )] = \ g ( t - s)h(s)ds. (8.4.9)
О
Эта формула, очевидно, остается справедливой, когда одна из функций, например, h — векторная функция. Можно показать, что формула, аналогичная (8.4.9), имеет место и в нашем случае, когда
одна функция (eut) — квадратная матрица, а вторая (А) — век тор. Действительно, так как (см. (8.4.7) и (8.4.6))
%(еи‘) = (рЕ - |
t/ Г 1= 2 |
K JpEt |
О- |
/ „ Г ' К |
= |
|
|
|
|
0=1 |
|
|
|
|
|
|
т |
к° |
НГ 1 |
|
т |
- |
. Г 1 J U |
|
|
|
|||||
|
= 2 |
Ko 2 j r |
|
|
|||
|
|
|
. |
I (v—т л e |
|||
|
о = 1 |
v = l р ^ |
|
0 = 1 |
v = l |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
m |
К |
|
srl (v v~l л |
t) ■24*) |
|
||
о = 1 |
V — 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
m |
k |
|
|
|
|
|
|
tfl |
a |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
2 * i ; X 5 |
|
- 4 ( s ) d S= |
||||
а * 1 |
v —1 |
|
|
|
|
|
|
m |
' |
• HyHt-s)*-1 |
|
|
|||
= 2 |
5 |
2 |
V - i v— |
ekJt-*)Mah(s)ds = |
|||
t |
т |
|
|
— $ |
2 |
K0eHkJ't~ ^ e ^ t~^Mah(s)ds = |
|
Оо =1 |
t |
||
|
t |
т |
|
|
= S |
2 ^ |
e J M t ~5)^ ah{s)ds= \ e*0-/)ft(s)</s. |
|
Оо=1 |
О |
|
С учетом последнего результата соотношение (8.4.8) примет вид t
x(t) = eutx(0) + J eu« - 5)h(s)ds. (8.4.10)
о
Остается х(0) выбрать так, чтобы удовлетворялось граничное условие (8.4.2). Имеем
'о
*(<0) = еи^ х ( 0 ) + j еи(*о~5)h(s)ds.
о
Отсюда
x(t) — е u,°x(t0) 4- J е Ush(s)ds.
Подставляя значение JC(0) в (8.4.10), получаем
^0 1
x(i) = еи(1~*о>х(10) —J eu^ ~ s^h(s)ds 4- ^ eu^ ~ s^h(s)ds.
о о
Отсюда
t
x{t) = euV~*Jx(t0) + J eu^ ~ s^h(s)ds.
§ 8.5. Интегрирование уравнения путем замены переменных
Решение однородного уравнения |
|
|
— =Ux |
(8.5.1) |
|
dt |
их |
|
при начальном условии |
|
|
x(t0) = с |
(8.5.2) |
|
можно построить и следующим образом. Пусть К — матрица, пре образующая матрицу U к жордановой матрице /, так что
U = KJK~l = KJM (М — а:-1). |
(8.5.3) |
В уравнении (8.5.1) произведем замену переменных х = Ку. Полу чим d.y/dt~ K~lUKy, или, учитывая (8.5.3),
й! |
= /у |
(8.5.4) |
dt |
у' |
|
Матрица J имеет квазидиагональную структуру:
/ = diag-t/^A-j),..., Jp( \p)).
Столбцовую матрицу у разобьем на блоки так, чтобы число строк /-го блока равнялось порядку клетки Жордана /.(Ху.). Тогда будем иметь
d_ |
О |
У\ |
|
||
dt |
|
|
Как видно, наше векторно-матричное уравнение распадается на р независимых уравнений
( / — 1 , 2 , . . . , р ) . |
(8.5,5) |
Каждое из векторно-матричных уравнений (8.5.5) представляет со бой систему с треугольной матрицей. Уравнения этой системы мо гут быть легко проинтегрированы последовательно, начиная с по следнего.
Построим решение уравнения
^ |
(8.5.6) |
пользуясь, однако, другим, более удобным способом. Фундамен
тальная |
матрица системы |
(8.5.6) |
имеет вид |
Y . = eJft i>\ или |
|||
Yj — |
так как Jj(kj) = |
|
+ Нк . Имеем |
||||
|
ен к{ — К |
4 kf |
|
« I f |
+ |
H lr W r 1 |
|
|
А---- L— I----- L |
• • • + |
--------- |
||||
|
6 ' |
1 |
+ |
2! |
|
(fc |
- 1 ) Г |
Легко видеть отсюда, что |
|
|
|
t r l |
|
||
|
|
1 |
t |
_2 |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
(*у-1 )! |
|
|
|
О |
1 |
t |
|
f r 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
е">/ |
= |
(*/- 2)! |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Таким образом, |
|
|
t r 1 |
|
|
|
|
|
|
2! |
(*;“ l)1- |
О |
|
t |
tkr 2 |
|
(kj-2)\ |
||
Y. = <?V |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Зная фундаментальные матрицы уравнения (8.5.5), можно по строить фундаментальную матрицу уравнения (8.5.4) в виде квазидиагональной матрицы
Общие решения уравнений (8.5,4) и (8.5.1) имеют соответственно вид y(t) = Y(t)y, x(i) = KY(t)y.
§ 8.6. Расщепление системы на независимые подсистемы
|
меньшего порядка |
|
|
|
|||
8.6.1. |
Преобразование квадратной матрицы системы к квази- |
||||||
диагональному виду. Пусть собственные значения Х1# ..., Хп матри |
|||||||
цы |
U |
разбиты |
на |
р непересекающихся |
групп |
..., |
|
(сг = |
1, ..., р) при условии |
|
|
о |
|||
|
|
|
|||||
|Х р — Xts> |> 0 |
(s = o, i = l , ..., |
ка; / = 1 , ..., к,). |
(8.6.1) |
||||
Тогда, как было показано в гл. 5, существуют такие блочные мат |
|||||||
рицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Л, |
0^ |
(Мj' |
|
|
* = ( * , - |
Кр), |
А — |
, |
М = |
|
|
|
|
|
|
|
Л„ |
м„ |
|
что |
|
|
|
|
р) |
р) |
|
|
U = КAM, |
МК = КМ = Е |
|
(8.6.2) |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
U = 2 KoА ^ а , |
|
(8.6.3) |
|
|
|
|
|
о-1 |
|
|
|
причем между субматрицами Ка, Ла и Ма (ст = 1, 2, ..., р) имеют место равенства
МаКS |
Ek , |
s = от, |
(8.6.4) |
|
О, |
О |
s Ф а, |
||
|
|
|
||
UK5= |
KsAs. |
(8.6.5) |
||
8.6.2. Расщепление системы. Предполагая, что собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (8.6.1), вве дем замену переменных
* = £ *<л. |
(8-6-6) |
а= 1 |
|
где К0 — субматрица преобразующей матрицы К типа п х ка, у0 — столбцовая матрица новых переменных типа *о*1- Подста вим (8.6.6) в уравнение
^ = Ux + h. |
(8.6.7) |
at
Получим
р |
dv |
р |
2 * . i f |
|
|
или, в силу (8.6.5), |
|
|
о=1 |
' |
а л ) - * - |
' |
||
Умножим слева на М:
Полученное соотношение эквивалентно следующим р равенствам
|
d у |
- Л а’ |
(s*—1, 2, ..., р). |
|
К 2 Ко |
4 г |
|
||
dt |
о* |
|
|
|
о=1 |
|
|
|
|
Отсюда, учитывая (8.6.4), получаем |
|
|
||
|
|
+ МЛ |
и = 1 ,2 .......р), |
(8.6.8) |
Итак, с помощью преобразования (8.6.6) система (8.6.7) рас щепляется на р независимых подсистем (8.6.8).
З а м е ч а н и е 8.6.1. Условие (8.6.1) может быть ослаблено. Так, в качестве матриц Ка можно взять субматрицы матрицы К,
преобразующей U к жордановой матрице J. В этом случае расщеп ленная система имеет вид
|
- j i = J sys + Msh |
(s== 1,2, |
| (8.6.9) |
причем, |
вообще говоря, собственные значения субматриц / с и Js |
||
при s & се не обязательно разные. |
|
|
|
8.6.3. |
Случай матрицы простой структуры. В этом случае К, |
||
составленная из п линейно независимых собственных векторов мат |
|||
рицы U, преобразует последнюю к диагональному виду: |
|
||
|
\ |
О |
|
|
А = |
|
|
|
О |
|
|
В соответствии с этим расщепленная система (8.6.8) может быть представлена в виде
dt - КУо + Mah (or = 1, 2, ..., п).
8.6.4. Полное расщепление в общем случае. В общем случае, когда U не является матрицей простой структуры, исходную систе
му можно расщепить на подсистемы вида (8.6.9). Произведем даль нейшее расщепление подсистем (8.6.9).
Итак, рассмотрим систему
^ = /(Х)у + я|)(<), |
(8.6.10) |
где /(X) — клетка Жордана некоторого порядка I. Систему (8.6.10) можно представить и так:
|
= (^Ei + Ht) У+ Ч>(0* |
|
Положим y — |
Получим |
|
|
lit z + * Ш = |
+ н № 0 Z + * о . |
Это равенство будет выполняться, если, например,
(8.6.11)
и
(8.6.12)
Система (8.6.11) есть система с постоянной матрицей. Интег рируя ее, получим
X = e" f = Е, + H,t + i (Я ,()2 + ... +
так как Нк = 0 |
(к & I). Таким образом, |
|
|
|
|||
|
1 |
г |
ъ |
/*—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
1 |
|
(/-2)! |
|
|
|
|
г- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
Как видно, %— невырожденная матрица (det |
1). Учитывая |
||||||
это, из (8.6.12) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
f f = ^ |
+ ХН(0Ч»(0- |
|
|
(8.6.13) |
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
; |
{ z |
l |
\ |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
, |
Z = • • • |
|
|
|
|
|
|
|
Z f |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Ясно, что (8.6.13) распадется на I независимых уравнений 1-го порядка |
|||||||
|
^ = Х г 4 + Г4П> |
(* = 1 |
|
, 2 |
, (S.6.14) |
||
Итак, каждая подсистема системы (8.6.9) может быть расщеп лена на независимые линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка вида (8.6.14), а замена переменных х = K%(t)z, где К — матрица, преобразующая матрицу U к форме Жордана
с субматрицами вида |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t*r*l |
|
■ |
■ |
£ |
(k .-\)l |
|
О |
1 |
|
£ г 2 |
|
|
t |
2)1 |
||
|
|
|
( к - |
|
* |
• • |
♦ |
• |
* |
0 |
0 |
0 |
1 |