книги / Основы механики горных пород

ления не происходит. Если плоскости поляризации поляриза­ тора и анализатора взаимно перпендикулярны, т. е. если они скрещены, то лучи в указанных выше точках модели через ана­ лизатор не проходят. В результате на экране появляются чер­ ные линии, пересекающие цветную картину изохром. Эти линии суть геометрические места точек, в которых направления глав­ ных нормальных напряжений ai (или аг) параллельны между собой. Такие линии называют изоклинами.

Поворачивая скрещенные поляризатор и анализатор на раз­ личные углы, можно получить систему изоклин, которые позво­ ляют определить направления главных нормальных напряже­ ний ai и аг в любой точке модели. По изоклинам строят траек­ тории главных напряжений, называемые изостатами.

При просвечивании напряженной модели темные пятна об­ разуются также в точках, свободных от напряжений, и в точ­ ках, где главные напряжения ai и 0 2 равны между собой. Эти точки называют особыми или изотропными точками. Особые точки определяют структуру изохром и изоклин и поэтому имеют важное значение при исследовании распределения на­ пряжений в модели.

Если хотят исключить появление на экране изоклин, то вместо плоской поляризации используют круговую поляриза­ цию света. Для этого в конструкции полярископа предусмот­

рены так	называемые	четвертьволновые	пластинки	из	слюды
такого же	диаметра,	как у поляроидов.	Одну из них		вводят
в оптическую систему		позади поляризатора (относительно				ис­
точника света), другую — впереди анализатора. Для				света,		по­

ляризованного по кругу, все направления в модели, на которую он падает, равноценны, и поэтому погасание луча по изостатическим направлениям не происходит.

При исследовании распределения напряжений в модели на­ ряду с белым применяют монохроматический свет с определен­ ной длиной волны, что облегчает количественный анализ напря­ жений в различных точках модели. Для этого используют нат­ риевые или ртутные лампы со светофильтрами. Обычно выде­ ляют зеленую линию светового спектра с длиной волны %— = 546 мкм. Если напряженную модель просвечивают монохро­ матическим светом, то на экране вместо цветной картины изо­ хром получают чередующийся ряд темных и светлых полос (рис. 48), причем в тех точках, где разность хода равна чет­ ному числу полуволн (т. е. целому числу волн), происходит по­ гасание света, и образуются темные полосы; в тех же точках, где разность хода равна нечетному числу полуволн, проходящий свет достигает наибольшей интенсивности и наблюдаются свет­

лые полосы.	черёз	исследуе­
Подсчитав число полос, которые прошли
мую точку модели при ее нагружении, либо	число	полос от

скрещенных поляроидах в исследуемой точке модели проис­ ходит затемнение.

Итак, исследование картины изохром в модели позволяет непосредственно определить распределение максимальных ка­ сательных напряжений Тшах или, что то же самое, разности главных нормальных напряжений ai—сгг- Исследование кар­ тины изоклин и построение изостат позволяет охарактеризовать направления главных напряжений cri и Ог в любой точке мо­ дели.

Однако конечной задачей является раздельное получение значений U| и иг в каждой точке модели. Способы получения этих значений именуют способами разделения главных напря­ жений. Они основаны на использовании дифференциальных уравнений равновесия с привлечением при определениях кар­ тин изохром и изостат. Детальное описание способов дано в работах [78, 145, 170]. Особо следует отметить способ разде­ ления напряжений с использованием линий сумм главных на­ пряжений— изопахик. Последние могут быть получены раз­ личными методами — с помощью эффекта муаровых полос, ла­ зерной или голографической интерферометрии [139, 166].

При решении задач, которые не могут быть сведены к плос­ ким, применяют объемные модели. Для нахождения напряже­ ний в какой-либо внутренней области объемной модели необ­ ходимо выделить эту область так, чтобы по пути прохождения светового луча напряженное состояние практически не меня­ лось. Основными способами решения объемных задач являются способы, основанные на использовании свойств оптически чув­ ствительных материалов моделей фиксировать («заморажи­ вать») оптический эффект; способ рассеянного света; способ оптически чувствительных вклеек [166].

Наибольшее распространение получил способ «заморажи­ вания» с последующей распиловкой объемной модели на тон­ кие срезы толщиной 1—3 мм. Он основан на открытом Г Оппелем в 1936 г. эффекте сохранения картины полос некоторыми оптически чувствительными материалами, обусловленном осо­ бенностями их двухфазной молекулярной структуры. Модель нагружают при повышенной температуре; затем, не снимая нагрузку, постепенно охлаждают до комнатной. При снятии внешней нагрузки деформации, полученные при повышенной температуре, остаются. Соответствующее им двойное лучепре­ ломление также сохраняется. Температуры «замораживания» различных применяемых оптически чувствительных материалов колеблются в пределах 80— 150 °С.

В последние годы метод фотоупругости все шире применяют и для решения динамических задач. При этом возникающие в моделях интерференционные картины дают возможность безинерцнонно исследовать распространение волн напряжений на

всех стадиях динамического процесса. Поляризационно-оптиче­ ское исследование динамических явлений связано с особенно­ стями моделирования, техники регистрации быстропротекающих процессов, определения зависимости между механическими и оптическими величинами и выбора методов разделения на­ пряжений. В частности, для применяемых материалов необ­ ходимо оценивать влияние вязкоупругих свойств с точки зре­ ния погрешности в определении напряжений и деформаций. Для регистрации интерференционных картин применяют высокоско­ ростные камеры, в качестве источников света используют обычно газоразрядные импульсные лампы.

Моделирование динамических нагрузок осуществляют с по­ мощью копров различных конструкций, а также взрывов спе­ циальных зарядов.

Для разделения напряжений одновременно с регистрацией картин полос производят запись деформаций в модели с по­ мощью тензометрических или геометрических (муар, голо­ графия, сетки) методов.

Другое направление связано с использованием метода фо­ томеханики при изучении деформирования пород в условиях проявления неупругих деформаций, в частности деформаций пластичности и ползучести. В этом случае говорят об эффекте фотопластичности и фотоползучести применяемых оптически чувствительных материалов.

При моделировании динамических процессов, а также на­ пряженного состояния объектов с учетом деформаций пластич­ ности и ползучести в отличие от статических задач необхо­ димо добиваться соответствия реологических свойств натуры материалов модели.

Метод оптического моделирования позволяет получить весьма наглядное представление о поле напряжений в мас­ сиве пород вокруг выработок любой конфигурации. Поэтому даже получение только качественной картины распределения напряжений дает возможность сделать подчас важные заклю­ чения и выводы, выделить наиболее и наименее напряженные участки, наметить пути достижения оптимального распределе­ ния напряжений.

§ 36. ДРУГИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Среди, других	методов	заслуживают внимания	э л е к -
т р о а н а л о г о в ы е	м е т о д ы	м о д е л и р о в а н и я , т.	е. элек­

трическое моделирование физических полей. Эти методы осно­ ваны, как отмечалось выше, на совпадении дифференциальных уравнений, описывающих процессы в электрическом и механиче­ ском силовых полях. Электрические модели могут быть двух типов. Б одном из них — методе электрогидродинамических

аналогий (ЭГДА), предложенном в 1922 г. акад. H. Н. Павлов­ ским [97], используют меняющиеся электрические свойства сплошной проводящей среды. Другой, известный под названием метода электрических сеток прямой аналогии (ЭСПА), преду­ сматривает замену сплошной среды сеткой из некоторых эле­ ментарных электрических ячеек, параметры которых назначают исходя из свойств среды в механической системе и критериев подобия [92]. Электрические ячейки — элементы напряжения, силы тока, индуктивности, емкости — служат аналогами механи­ ческого напряжения, скорости упругого смещения, массы, подат­ ливости элементарных объемов моделируемого массива пород.

Электроаналоговые методы применяют в настоящее время для решения задач, связанных с динамическими процессами в породных массивах. Однако дальнейшее развитие этих мето­ дов может открыть пути моделирования совместного действия статических и динамических процессов механики горных пород.

При решении задач механики горных пород наряду с при­ менением различных методов для решения поставленных задач используют также методы, представляющие собой комбинации двух принципов моделирования, например принципа центробеж­ ного моделирования и принципа поляризационно-оптического метода либо метода эквивалентных материалов и центробеж­ ного моделирования.

Метод, сочетающий принцип метода эквивалентных мате­ риалов и принцип центробежного моделирования, получил на­ учную, технологическую разработку и широкое применение в результате многолетних (с 1946 г.) исследований Криворож­ ского научно-исследовательского горнорудного института (НИГРИ), проводившихся под руководством проф. И. Р. Ривкина.

Из основного условия механического подобия модели и на­ туры в методе эквивалентных материалов (84) представим вы­

ражение геометрического масштаба моделирования
Ш[=	=	°м	У»	(98)
Л|		° н	Ум
Применяя в модели эквивалентные материалы взамен на­
туральных горных пород и	осуществляя нагружение			модели
в центрифуге, можно обеспечить		выполнение условий		подобия

в геометрическом масштабе модели, определяемом выраже­

нием (98).

Таким образом, сущность данного комбинированного метода состоит в том, что взамен модели из натуральных горных по­ род, применяемой в методе центробежного моделирования, мо­ дель изготавливают из эквивалентных материалов, механиче­ ские характеристики которых удовлетворяют условию (84) в ие-

котором достаточно крупном геометрическом масштабе пи'— = /м7/ц. Модель помещают в центрифугу и подвергают испыта­ ниям при параметрах вращения, определяемых задаваемым масштабом центробежного моделирования п= \!т {'. В данной комбинации двух методов геометрический масштаб модели из

эквивалентных материалов, испытываемой в	центрифуге,	ра­
вен произведению этих двух геометрических	масштабов,	т. е.
nii — m'imi.		(99)
Например, подбирая эквивалентные материалы с учетом гео­
метрического масштаба т{= 1 10 и задавая	параметры	вра­

щения центрифуги при масштабе центробежного моделирова­ ния п= 1/ш "= 20, мы обеспечиваем общий геометрический мас­

штаб модели	пц= 1:200, в	котором и	необходимо изготовить
все элементы модели, подготавливаемой к испытаниям.
Изложенный подход существенно расширяет технические
возможности	изготовления	материалов	и испытания моделей

в широком диапазоне геометрических масштабов.

Объемные модели из оптически чувствительных материалов также обычно нагружают с использованием центрифуги, соче­ тая в этом случае принципы оптического метода и метода цен­ тробежного моделирования.

Часто используют в сочетании оптический метод и метод эквивалентных материалов. Например, оптическим методом изу­ чают с наибольшей детальностью распределение напряжений в зоне опорного давления, а методом эквивалентных материа­ лов для тех же условий исследуют развитие деформаций толщи с разрывом сплошности и механизм взаимодействия сдвигающихся пород с крепью.

Глава 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО состояния

ИПРОЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД

§37. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЫХ СРЕД

Методы натурных измерений обеспечивают получение решений, справедливых для конкретных горно-геологических условий проведения экспериментов. Использование методов фи­ зического моделирования позволяет получить решения, охваты­ вающие более широкий класс условий, но и при большей сте­ пени схематизации объектов натуры.

Аналитические методы дают возможность получения реше­ ний, имеющих наибольшую степень общности, в весьма широ-

ких диапазонах изменения условий. При этом точность решений зависит от степени и полноты учета действующих факторов, а также от степени представительности и соответствия основ­ ных параметров, используемых в аналитических решениях, свойствам реальных массивов горных пород.

Основным условием применения аналитических методов яв­ ляется построение некоторых идеализированных схем или, дру­

гими	словами,	математических моделей исследуемых	явлений.
В	качестве	одной из возможных математических	моделей

в механике горных пород могут быть применены идеализиро­ ванные представления о сплошности породного массива. В со­ ответствии с этим получили применение аналитические методы, основанные на общих принципах механики сплошной среды.

Как известно, основу механики сплошной среды состав­ ляют представления о материальных телах как «о некоторой субстанции, непрерывно заполняющей объем геометрического пространства» и наделенной определенными физическими свой­ ствами, отражающими статистические закономерности для ре­ альных физических сред [50, 156].

Введенное предположение о сплошности среды позволяет на­ делять бесконечно малые объемы тел свойствами среды и эф­ фективно использовать аналитический аппарат дифференциаль­ ного и интегрального исчисления. В частности, напряжения и перемещения отдельных точек среды возможно представлять

ввиде некоторых функций координат и времени, непрерывных

идифференцируемых вплоть до такого порядка производных,

который обеспечивал бы требуемую точность решения задачи.

Вмеханике сплошных сред различают две категории сил: внешние и внутренние.

Вн е ш н и е с и л ы — это приложенные к рассматриваемому

объекту силы, вызываемые действием других тел. Их подраз­ деляют на поверхностные и объемные. Поверхностные силы (например, давление) приложены к поверхности тела и харак­ теризуют конкретное взаимодействие его с другими телами. Объемные или массовые силы приложены к внутренним частям

тела (силы веса, силы инерции и	др.).
В н у т р е н н и е с и л ы — это	силы связи между отдель­

ными физическими частицами вещества. Внутренние силы под влиянием внешних изменяются, получают приращения, которые и являются основным предметом изучения механики деформи­

руемых тел.

Кроме того, под воздействием внешних сил изменяются также положения отдельных точек в теле, расстояния между ними, т. е. тело деформируется.

Таким образом, определить напряженно-деформируемое со­ стояние какого-либо тела под влиянием приложенных внешних сил — это значит определить в каждой его точке значения при-

Рис. 49. Напряженно-деформированное состояние элементарного объема в де­ картовых координатах.

а — напряжения на гранях элементарного объема; б —деформации элементарного объема.

ращений внутренних сил и перемещений его точек в простран­ стве.

Как внешние, так и внутренние силы обычно характеризуют их интенсивностью, т. е. усилием, приходящимся на единицу площади поверхности или объема тела.

При рассмотрении внутренних сил эту интенсивность назы­ вают напряжением. В общем случае напряжения суть функции координат, ориентировки бесконечного малого элемента пло­ щади ds в пространстве деформируемого тела и времени.

Напряжение р как вектор может быть представлено в виде трех взаимоперпендикулярных составляющих. Две из них рас­ полагаются в плоскости сечения и называются касательными напряжениями х. Направленную перпендикулярно к сечению называют нормальной составляющей или нормальным напря­ жением а. Таким образом, напряженное состояние по любой элементарной площадке может быть однозначно охарактери­ зовано тремя составляющими напряжений.

Вместе с тем три взаимоперпендикулярные площадки харак­ теризуют элементарный объем. В соответствии с этим напря­ женное состояние элементарного объема может быть опреде­ лено девятью компонентами напряжений (рис. 49, а).

Кроме понятия напряжение в данной точке тела применяют также понятие деформация в данной точке тела, которое ха­ рактеризует относительное изменение расстояний между точ­ ками тела в результате приложенных внешних сил. Подобно напряжениям деформации являются функциями координат, ори­ ентировки бесконечно малого элемента длины dl в простран­ стве деформируемого тела и времени. Полная деформация е аналогично напряжению может быть также представлена в виде

трех взаимно перпендикулярных составляющих. Одна из них обусловливает линейные деформации тела е (удлинения или укорочения), а две другие перпендикулярны к ней и соответ­ ствуют сдвиговым деформациям у (рис. 49, б).

Деформирование любого объема может быть охарактеризо­ вано деформациями трех взаимно перпендикулярных отрезков. Поэтому, как и для напряжений, деформированное состояние какого-либо объема может быть однозначно определено де­ вятью компонентами.

Девять компонент напряжений и девять компонент дефор­ маций соответственно составляют тензоры напряжений * и де­ формаций в данной точке:

	^х^ху^хг			1	1
			e* T Y**		Ух:
Ти	V awV	Тд=	2	Уух?У 2 Ууг		( 100)
	T’ Z X ^ 'Z lР г		~2	Угх~2	Угу&г
Из теоретической механики			известно, что главный			вектор

и главный момент всех внешних сил, действующих на любой материальный объем, находящийся в равновесии, равны нулю. Если составить уравнения моментов всех сил относительно каж­ дой из осей Ох, Оу и Oz выделенного деформирующего объема

(см. рис. 49) и приравнять	их нулю, то легко		может быть вы­
ведено, что	Хуг — Хгу',		( 101)
Txÿ-- Т^г,		^zx — Т*
и соответственно
Уху= Уух>	Ууг = Угу>	Угх= Ухг-	(102)

Благодаря этому число необходимых величин для определе­ ния напряженно-деформированного состояния в точке сокраща­ ется до шести.

Переход от компонент тензора деформаций к перемещениям точек деформируемого тела может быть осуществлен с по­ мощью следующих соотношений, называемых уравнениями

Коши:	ди	;	Уху~	ди	!	ÔV • 1
	1 7			ду	*	дх	’
Ё!/=	dv_.		v	dv	1	dw	*	(103)
	а	У YУХ		dz		а
	ду					ду
8г =	OW	> Угх —		dw		ди
	~~Z			дх	+		’
	дг							оси Ох;
где и, V, w проекции перемещений соответственно на
Оу и Oz.

* Подробнее об этом см. в гл. 8.