книги / Структурно-аналитическая теория прочности
..pdf(формулы (3.37), (3.38)), не должно значительно превышать 10 ~ 5 относительной деформации при АТ < 100 К.
В качестве резюме следует отметить, что наиболее существенными причинами последействия, связанного с пространственной диспер сией, необходимо признать дисперсию коэффициента теплового рас ширения и дисперсию скоростей ползучести, а в режиме формоизме нения (когда гз! = 0) - корреляцию между коэффициентом теплового расширения, с одной стороны, и энергией активации или температур ным коэффициентом модуля - с другой.
3.4.4.3.Форма кривой последействия
Влинейном относительно Г31 приближении кривая последействия имеет вид
А031 =/?31*(1 - е */т),
где t — текущее время; — скорость последействия сразу после скачка температуры; т — характерное время процесса. Линейное приближение, однако, в реальных экспериментах поч ти никоща не имеет места, поэтому наибольший интерес представ ляет нелинейная задача. В общем виде она, конечно, не решается, но если ограничиться простейшей двойной дельта-образной функцией распределения, то вычисления удается произвести до конца. Так, выбрав для скорости ползучести закон в виде
Д»
легко получить для последействия следующее выражение:
|
о , _*r |
г * |
лет+»*ïilni |
|
|
||||
|
ААн |
|
th |
|
+ |
|
1 |
- в |
|
|
|
Lth |
|
Ш ------ |п |
|
||||
|
- th |
ÀQOO - Уог31, |
1 + £ е -//г. |
(3.39a) |
|||||
|
|
2кТ |
In |
1 + В |
]■ |
||||
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
(3.396) |
|
AÔ(7’) = Ô 2 -Ô I -* 7 ’ 1п ^ , |
|
|||||||
= k T é Ql+Q2)/2kT |
( h AQ(T) |
. |
|
- 1/2 |
|
||||
Y0 ^31 |
(3.39B) |
||||||||
Г = |
VïyGA |
|
I й кТ + Й kT |
|
|||||
|
|
|
|
в = X Y r°/ T (T0) - Y (T) X Y TQ/ T (TO)+ Y (T)'
где
VT=J, |
ch [(й < 2 (Г )- у г ,,)/2 * П |
r J |
ch [(A Q (T) + уг3 1)/2*Г 1 ’ |
A i и Q i |
отвечает X = J C O , a |
Л 2 |
и |
Q 2 отвечает x = - X Q . Ос |
тальные |
обозначения те же, |
что |
и |
ранее. |
Из (3.39) видно, что в начальной своей части кривая последействия сильно отличается от простой экспоненты, однако «хвост» кривой с
хорошим приближением следует закону С - D e ~t/x, в чем легко убе диться, ограничившись первыми степенями разложения в ряд лога рифмов в выражении (3.39).
3.4.5. Переход к макроскопическим деформациям
Замечая, что во всех выражениях для /?3i справедливо представле ние
Й 1 = Й 1 ( г ,а 31 )^ (П с 31)ф ( 0 .
где F(T, Г31) и Ф(/ ) ~ 1 - е ~ г/т - некоторые функции, деформа
цию последействия е& всегда можно рассчитать с помощью вы ражения
е?к= ф ( 0 J /(П ) aipakjPÎq d3 Q . |
(3.40) |
(G} |
|
В принципе интеграл (3.40) вычисляется и может быть представ лен в виде элементарных либо специальных функций, так как пере менными интегрирования оказывается полное множество углов й. Тем не менее мы не будем производить такое интегрирование, по скольку оно не дает принципиально новых результатов.
3.4.6. Механическое последействие, инициируемое изменением напряжения
Микронапряжения Дгз!, которые были использованы выше для расчета последействия, зависят не только от температуры, но и от на пряжений Oik. Поэтому при изменении напряжения о/* микронапря жения Агз1(дс) начинают эволюционировать либо в сторону увеличе ния, либо в сторону уменьшения, вследствие чего возникает релакса ционный процесс механического последействия. Расчет таких явле ний не составляет труда и аналогичен таковому в проблеме темпера турного последействия. По этой причине мы не будем заниматься со ответствующими вычислениями.
3.4.7. Механическое последействие, связанное с ориентированными микронапряжениями
Еще одна причина механического последействия в условиях ползу чести заключается в том, что тензор микронапряженийрцс в (1.14), а следовательно, идеформацияв (1.68)—(1.71) зависят от уровня напряже ний oik и температуры Т. В условиях стационарной ползучести, когда
Eik = const »Рмк ~ 0* Следовательно, возникают ориентированные на пряжения/?^ = р%(Т, oifc) . При изменении Т или а/* от Т до Т\ и Oikот
oik до oik в режиме стационарной ползучести, относящейся к Т\ и
микронапряжения приобретают новое значение lpjk - lpïk (Гь °\к ) • По этой причине после изменения температуры или напряжения дол
жен инициироваться процесс эволюции pik отр^ к уровню Такой процесс будет означать появление механического (при изменении на пряжения) или температурного (при изменении температуры) после действия [299].
Проиллюстрируем подобный вид последействия на примере пове дения материала при одноосном нагружении. Пусть для определенно сти имеют силу (3.20) и (3.21). В стационарном режиме ползучести,
отвечающем Т и 033, величина р\$ находится из (3.21) прирзз = 0. Будучи подставленной в (3.20), она дает следующее значение стаци онарной скорости ползучести:
£ зз - 1Ô5 е (азз - 2 ^зз) •
Сразу после мгновенного скачка температуры от Т до Ti, а напряжения от <733 до 033 скорость ползучести становится равной
Л _ 2 . |
- и \ / к Т \ ( л |
3 С \ 3 |
е зз ~ 1 0 5^ е |
(азз “ |
2 Ъз) ' |
Через некоторое время устанавливается стационарная ползучесть со скоростью
|
Uc |
Л е |
- и \ / к Т \ ( л |
3 1 |
|
|
|
|
£ 33 = ш |
\аз з “ |
2 ’Рзз)< |
|
|
||
где |
]рзз определяется |
решением уравнения (3.21) |
при |
||||
Рзз = 0 , температуре |
T i |
и |
напряжении |
<733. Переход |
от |
ско |
|
рости |
ползучести е§з |
к |
*£ §3 происходит постепенно, |
в |
соот |
ветствии с характером изменения ръъ в (3.21), и означает на
личие механического или *температурного последействия. Последействие рассматриваемого типа возникает, естественно,
при реализации не только ^-ползучести, но и г-ползучести. При качественном сходстве процессов (5- и r-последействия име ется одно существенное различие между ними. В случае ^-пол зучести скачкообразное изменение температуры или напряжения инициирует скачкообразное изменение скорости ползучести £;&, но никогда не дает задержки ползучести. В то же время при r-ползучести аналогичное воздействие всегда вызывает или скачкообразное увеличение скорости ползучести при повышении
Т |
или Oik (положительное последействие), |
или при |
изменении |
|
Т |
или a ik в противоположном направлении задержку ползучести |
|||
на некоторое характерное время (3. Это |
связано |
с тем, |
что |
|
при г-ползучести должно удовлетворяться |
требование |
= т5. |
||
Если Г31 < Xs, что может получиться после |
скачка |
напряжения |
или температуры в сторону их понижения, возникает задержка ползучести, пока условие Т31 = г5 вследствие релаксации не вос становится. При /2-ползучести скорость определяется только раз
ностью напряжений *3 1 — ^3 1♦ Если эта разность увеличивается или уменьшается, соответственно
увеличивается или уменьшается скорость ползучести. Последняя мо жет даже поменять знак, если напряжение Г31 уменьшают ниже уровня ^31 • С этим обстоятельством связано, в частности, обратное
механическое последействие.
По свойствам последействия можно, по-видимому, делать заклю чение о том, имеет ли место г-ползучесть или /5-ползучесть. Данные о последействии, возникающем при скачкообразном изменении темпе ратуры, содержатся, например, в [253, 351, 353, 355, 357, 368, 369, 380], некоторые альтернативные теоретические соображения изло жены в [228,240, 243, 251].
3.5. Процессы разрушения, |
инициированные ползучестью |
и активной |
пластичностью |
Как было указано в главах 1 и 2, развиваемая теория позволяет прогнозировать не только упруго-пластическое поведение кристал лов, но и процессы разрушения в них. Аналитическое исследование этого вопроса было предпринято в работе [292 ]. За основу в [292 ] взя ты уравнения для упругих деформаций <1.31), для степенной ползучести в форме (1 .6 8) при я = 3, для активной пластичности
(1.72) совместно с уравнением для rs в виде
i s = л - 1 Р 31 sgn Р31а + р 'р?! Sgn/j аз, - г\ е ~”*/кт х
х (г5 - г?) Я (rs - т?). |
(3.41) |
Здесь га , wa , г® — постоянные, а остальные обозначения име ют тот же смысл, что и в (1.73). Микроповреждаемость рас считывали с использованием соотношения, аналогичного (2.5):
7i° = Н (гзз - г°)Я ф - р°)&- + Я (тз1 sgn тз1 - гс) Н ( р - р с) £ - .
р° |
/Г |
|
(3.42) |
Предполагали, что базисыотрыва, среза и сдвига совпадают, вследствие чего £33 = Г3 3, Г31 = Г3 1. Ориентированные и неори ентированные напряжения принимали равными нулю, т. е. счи
тали справедливым тождество т = т^. Для вычисления парамет ра р использовали уравнение (2.3). Перенормировку напряжений не производили, т. е. полагали £ = - со в (2.20). Параметр мак роповреждения в (2.19) определяли в приближении изотропии,
полагая /(Q ) = 1/4я . Наконец, для критерия разрушения на мак роуровне применяли (2.28). Весь расчет был произведен для случая одноосного растяжения с постоянной скоростью нагружения <733 = Ь - const. Он сводится к следующему.
Из уравнения (3.42) следует, что началу кристаллографического
течения отвечает условие |
|
r l + (тт ~ *1) е ~ Га t - bt cosр sinp sin ш = 0 , |
(3.43) |
где га имеет тот же смысл, что и ранее; t — время, соот ветствующее началу течения; г?п — начальное напряжение те чения, которое для тщательно отожженных материалов совпа дает с Гр
Для наиболее благоприятно ориентированных кристаллов фактор cos fi sin fi sin л> = 0.5. Поэтому напряжение начала пластиче ских сдвигов в них от составляет, согласно (3.43),
где tm — время начала течения, прошедшее с момента нагру жения.
По физическому смыслу от является пределом упругости. Предел текучести можно ввести, оценивая его как напряжение, при котором «в среднем» задействована значительная часть ориентационного про странства. Полагая, что при этом среднее значение ориентационного фактора < cos fi sin fi sin ш > равно некоторому значению а, и произ водя нормировку, найдем, что а\ » 2/3 л . Это значение и использо вано везде ниже. Отсюда для макроскопического предела текучести имеем в рамках выбранной модели оценку
В соответствии с (1.72) и с учетом (3.41), (3.43), (3.8), (3.9) и (3 .1 0) находим выражение для микропластических сдвигов активного происхождения
$ н |
- 'SF (*3i А \ _ |
(r 3i ” А ъ) ~ *2* (г31 “ |
2 |
+ А*) . |
|
Здесь |
введены |
обозначения |
|
|
|
|
М |
- f\ + /2 , А2 = га Г?/i , Лз = Г? - |
, |
|
|
|
|
|
{ |
t - t 1 |
\ |
|
|
|
|
АаР _ |
J |
h 2Ь *
Применяя далее (1.8) при f(s) = <5(s - so) и /(£2) = 1/4 л 2 , опреде ляем макродеформацию активной пластичности
х Я ( а - | г?). |
(3.44) |
Выражение (3.44), естественно, отличается от (3.15), поскольку получено для иной, нежели в случае (3.15), модели процесса.
Термоактивированная компонента деформации £33, согласно (1 .6 8) и (1 .8), получается в виде
*зз |
£ |
о t • |
|
|
л ^ |
Теперь ясно, что суммарная деформация £33 + езз вызовет накоп
ление |
повреждаемости, |
которую, |
|
в соответствии с |
(2.3), |
(2.19) и |
||||||||||
(3.42), |
запишем |
в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-t\ |
\ |
1 |
|
|
|
|
п = 4 ? Ь 2 |
t - t l |
+Л ар (е |
АйР - I ) |
|
+ а га х |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t - n |
|
|
|
\ |
~ (?) - |
Л |
p{t - |
(1) + Лаp(.ti - |
А*р) е |
АаР - 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г-ft |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- I |
|
|
|
|
|
|
|
- а га ri |
t — t\ + АаР le АаР _ |
И |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
t — |
f t |
|
|
|
|
(t2 - t2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AaP _ |
|
|
|
|
||||
|
X |
t - |
t\ |
+ Aa p |
|
|
» |
+ Aa Га |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-H |
|
|
|
ra a |
î - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- A ü p ( t - t i ) + A a P i t - a a P ) [ e A* P ~ 4 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
' |
t - t l |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f-ft |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
A*p - |
li |
|||||
|
|
A |
AaP _ |
1 |
|
|
( - il + |
AaP |
|
|||||||
|
|
+ |
Г |
а T |
l |
|
||||||||||
~ h +AaP \Q |
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-H |
1 |
|
|
|
X |
|
Ar \ _ i - |
|
/ |
- |
f t |
+ |
Aa P l e |
|
_ |
1 , |
|
|||
|
|
2 |
|
2 r& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, o ,2 |
A T : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— T A i а а - |
||||||
|
|
(*l) |
- — |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 л 2 |
|
|
||
|
- ^ _ ra/l a2 - |
|
|
|
+ ^2^3 - \ r . h |
M |
- Э0A»J+ |
|||||||||
|
9я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- ' V - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ J - A l A 30 + A i A3 - i r , / i 2U - PCA r
3ar
Теперь отсюда и из (2.28) находится и время до полного разру шения образца.
З.б. Результаты численного моделирования процессов деформации и разрушения
3.6.1. Диаграммы активного деформирования
Численное моделирование диаграмм активного деформирования в области деформаций, не превышающих нескольких процентов, реа лизовано в работах [52—56, 246]. Использовано уравнение (1.72) со вместно с определяющим законом для напряжения кристаллографиче ского течения в форме (3.41). Для ориентированных микронапряжений применяли уравнение (1.18). Ориентационное усреднение деформа ций осуществляли в приближении ориентационной изотропии, по-
лагая в (1.8) /(Î2) = 1/8 л . Распределение по статистическим пе ременным кристаллографического предела текучести было вы брано дельта-образным. В качестве констант уравнений приняты
следующие значения: Ай = 9*10 (МПа) , /1 9= 10 М Па,
р - 18 МПа • с , г? = 140 М Па. Все расчеты в [52, 54—56 ] выпол нены для скорости нагружения 0.2МПа ■с - 1 при тем пературе 293 К. Значения констант ra = u г = го e- K 0 / * 7для 293 К взяты
равными: га = 5 - 1 0 -2 с -1 , г = 8 * 1 0 - з с -1 .П еречи слен н ы е постоянные подбирали таким образом, чтобы получить разумную скоростную чувствительность напряжения течения и хорошее количественное совпадение между прогнозируемыми диаграммами деформирования и реально измеренными. В качестве эксперимен тальных данных использовали результаты, полученные при актив ном кручении и растяжении образцов из стали, содержащей 0.37 % углерода.
Основные результаты работ [52, 54—56 ] иллюстрируются при водимыми рисунками. На всех рисунках сплошные линии отвеча ют эксперименту, а точки — расчету.
На рис. 3.1 построены диаграммы кручения (а) и растяжения (б). Легко видеть, что имеется хорошее совпадение расчетных и экспери ментальных кривых. Здесь же изображены кривые разгрузки и после дующего деформирования, иллюстрирующие известный закон по вторного нагружения. Рис. 3.2 демонстрирует поведение материала в условиях изменения знака деформирования, когда проявляется ха рактерный эффект Баушингера. Более сложные закономерности изо бражены на рис. 3.3, на котором показано, как ведет себя материал, когда после предварительного растяжения его деформируют кручением
(а) и после предварительного кручения — растяжением (б). Удовлетво рительное согласие с экспериментом достигнуто и для режимов про-
Рис. 3.1. Диаграммы активного кручения (а) и растяжения (б).
6,МПа
Рис. 3.2. Иллюстрация эффекта Баушингера.
Рис. 3.3. Диаграммы растяжения и последующего кручения (а), кручения и последующего растяжения (б). На вставках здесь и ниже изображены схемы
нагружения.
Рис. 3.4. Диаграммы деформирования исходного объекта в условиях пропор ционального нагружения (а) и после предварительного растяжения (б).
Штриховые кривые изображают обычные диаграммы кручения и растяжения.
порционального нагружения, когда производили одновременное рас тяжение и кручение. Соответствующие диаграммы построены на рис. 3.4,а. Если материал и математический объект сначала деформирова ли кручением (а) или растяжением (б), а затем, после снятия нагруз ки, по пропорциональному режиму, то также удалось достичь хоро шего соответствия между прогнозируемыми и реально измеренными свойствами.
Интересные данные получены при анализе свойств материала при изломе траектории нагружения в пространстве напряжений, причем как для ортогональных, так и для других углов излома. Эти исследо вания иллюстрируются серией кривых на рис. 3.5. Диаграммы на рис. 3.5,а показывают характер эволюции свойств в условиях, когда после предварительного растяжения производят кручение, сохраняя постоянным растягивающее напряжение. Теория предсказывает и бо лее сложное поведение материалов. На рис. 3.5,6 показано, как изме няются деформационные свойства, если после перехода от растяже ния к кручению осевую нагрузку не поддерживать на постоянном уровне. И опыт, и расчет убеждают, что при таком способе нагруже ния увеличение сдвиговых напряжений сопровождается значитель ным уменьшением осевых напряжений. Рис. 3.5,в относится к слу чаю, когда только что рассмотренное свойство имеет место при пере ходе от кручения к растяжению. На рис. 3.5,г—е построены диаграм мы, относящиеся к неортогональным траекториям нагружения, когда после включения второго звена траектории производят синхронное увеличение растягивающего (рис. 3.5,г) напряжения либо соответст венно сдвигового или растягивающего напряжения (рис. 3 .5 ,д,е). Видно, что и для таких режимов достигается правильное количест венное прогнозирование. Следующая иллюстрация (рис. 3.6) отно сится к случаю деформирования растяжением вдоль оси в и сжатия вдоль оси z с соблюдением требования az = —оддля любых моментов времени.