книги / Структурно-аналитическая теория прочности

вого расширения фаз или разницы модулей упругости фаз, из-за анизотропии электроили магнитострикции, из-за неоднородности неупругой деформации (дисперсии свойств пластичности), вследст­ вие дисторсии фазового превращения и т. д. Точный расчет неори­ ентированных микронапряжений в реальных структурах практиче­ ски неосуществим. Однако, как было установлено в работах [160, 227, 234, 253], среднестатистические значения микронапряжений легко оцениваются.

Какова бы ни была природа неориентированных микронап­ ряжений, для них должно существовать эволюционное уравне­ ние, аналогичное (1.14) для ориентированных микронапряжений. Если скорость генерации неориентированных микронапряжений,

выраженных в кристаллофизическом базисе, равна Лр*, то теку­ щие значения этих микронапряжений Л,-* в том же базисе дол­ жны подчиняться соотношению

л ,4 = л» - ( г ,е - " У " / 2 Щ (л*) 1 -	r3 e~wi/kT} х
х И {г2 е "и,2/ *т / 2	0.19)

Здесь второе слагаемое в правой части, которое может иметь, разумеется, и другой вид, характеризует скорость ре­

лаксации неориентированных			микронапряжений. Константы
г 2, гз, IV2,	и функция	/ г	имеют тот	же смысл,	что	и
аналогичные	параметры в	(1.14). Функция		Хевисайда,	как	и

в (1.14), разрешает релаксацию Л,-* до уровня, определяемого равенством

г2

и не допускает изменения напряжений Aik, когда их значения ниже данного уровня.

Если направляющие косинусы, переводящие систему и, v, w в /, m, п, обозначить через гцк, то тензор неориентированных мик­ ронапряжений в локальном базисе окажется равным

vik ~ Чip *1кд ^pq‘

Неориентированные микронапряжения Л/*, выраженные в лабо­ раторном базисе х, у, z, получатся следующими:

\ к ~ a ip a kq Ург *lqs ^ rs*

%Прежде чем переходить к оценкам Лр*, сделаем одно важное замечание. Строго говоря, релаксационное слагаемое в (1.14) и в (1.19) должно, вероятно, зависеть не от р% и Л,-* в от­

дельности, а от суммарного эффективного напряжения а*к, в

то время как продуцируемые части, т. е. Ao^/ît в (1.14) и

Aik в (1.19), нужно действительно разносить по соответствую­ щим слагаемым суммарного механического поля. Тем не менее, как показывает практика вычислений, с той точностью, с какой вообще можно говорить о микронапряжениях pik и Л,*, выбор эволюционных уравнений в виде (1.17) и (1.19) вполне оправ­ дан. По отношению к неориентированным микронапряжениям Aik данное утверждение усиливается тем обстоятельством, что Aik обычно чрезвычайно велики по сравнению с pik и а/* и

тем более по сравнению с o'ik. Поэтому на начальных стадиях релаксации они доминируют. Когда же уровень Aik снижается до уровня Oik или pik, скорость их релаксации становится пре­ небрежимо малой. Таким образом, некоторая непоследователь­ ность в выборе эволюционных уравнений для pik и Л/* оправдана физически. Конечно, в отдельных примерах может оказаться целесообразным использовать связную систему уравнений, из­ меняя соответствующим образом структуру правых частей урав­ нений (1.14) и (1.17).

Обратим внимание на одно интересное обстоятельство. Во многих задачах физики пластичности и всегда в задачах мик­ роразрушения неориентированные микронапряжения следует брать с таким знаком, чтобы они увеличивали поле напряжений Oik. Это связано с тем, что физические процессы массопереноса наиболее интенсивно происходят в тех микрообъемах, где 0[k и Xik складываются с одинаковым знаком. Там же, где напря­ жения вычитаются, массоперенос значительно подавлен и его в большинстве случаев не обязательно принимать в расчет. В силу изложенного макроскопическое поведение материала будет определяться именно суммой Oik и А/*, а не их разницей — в отличие от oik и pik, когда процесс пластичности определяется именно разницей этих напряжений oik - p ifc, а не их суммой. В то же время ниже мы убедимся, что в задачах разрушения потребуется учитывать сумму Oik+pik• Разумеется, данные со­ ображения о принципе суммирования макро- и микронапряже­ ний следует дополнить еще одним рассуждением: при резких вариациях напряжений Oik микронапряжения могут и не успе­ вать эволюционировать вслед за Oik. Поэтому текущие значения микронапряжений не обязательно коррелируют в смысле знака со знаком макронапряжений. Сказанное означает, следовательно, лишь то, что сумму oik+ hk и разность о-к - А^ нужно понимать только в том смысле, что вычисляемые микронапряжения (в соответствии с уравнениями (1.14) и (1.19)) нужно складывать с Oik по условленному выше правилу. Иными словами, согласно (1.14), противоположно напряжению а/* действует генерирующее

Pik слагаемое h о е если скорость деформации £/* порождена

напряжением од. В случае, например, резкого изменения знака Oik или характера изменения всего поля од текущие значения Pik могут совпадать по знаку с текущими значениями од. При­ меняемое здесь понятие «знак» напряжений не является опре­ деленным в отношении тензорных полей. Поэтому этот термин следует понимать в смысле «усиления» или «ослабления» на­

лагающихся	полей	напряжений.
Оценим	теперь	скорость генерации микронапряжений	В

соответствии с данными работы [227], в кристаллах с некуби­

ческой решеткой возникают неориентированные микронапряже-

• а ния тЛ/& из-за несовместности тепловых деформаций зерен в

поликристаллах или элементов блочной структуры в монокри­ сталлах. Результаты вычислений работы [227] легко представить в кристаллофизическом базисе в следующей математической форме:

т = M(kpq <Ymn> “ Ymn) T, (1.20)

Здесь E%qmn — тензор модулей упругости в кристаллофизи­

ческом базисе; у%п — тензор коэффициентов теплового расши­ рения в том же базисе; М/*и — тензор, у которого отличны от нуля в кристаллофизическом базисе лишь следующие со­ ставляющие:

Mi in = Mi,	М2222	■ М2, М3333 =		М3,
Mi 212	" М 1221	“ М2121	* ^Л/4	,
M i3i3	=Mi 331 = M3131		= ^Ms,
М2323	“M2332	* M3232	= ^Мб,
ще М /= £ o /( £ o + Л /)	(i= 1 ,2 ,3 ,..., 6) , Во = 2 ( < i??iii > —

- < £ ? 122 > ) ,
A\	-	£ § 1 1 1 + £ 1 1 2 2 + £ 1133» Л2»£2211 + £2222 + £2233,
Аз	-	£§311 + £3322	+ £§333,	^4®£?211 + £ ?222 + £?233,
As = £ 1 3 1 1 + £ 13 2 2			+ £?333,	Лб-£ $ 3 11 + £§322 + £§ззз,
^ Ynui > ~ a ru a svriunt 7vn j j				(^) a ra a sb 7ap 7bq Уp q ^ ^ ’
			r )

< tfnnpq'* ~ a ru a sv a twa e n 7 uni 7 vn ^wp^qq*

x J/(Q)araasba tcaed ^ae ^bf^cg dh ^efgh d 3 Q .

( Û 1

В выражении (1.20) множитель (<утп> - Ути) отражает несовместность тепловых деформаций соприкасающихся участ­ ков кристалла, имеющих различную ориентацию в угловом

пространстве Q. Тензоры <Е%трц> и <утп> характеризуют среднестатистические свойства модулей упругости и теплового расширения кристаллического пространства, окружающего дан­ ный напряженный элемент. Тензор Mikpq учитывает упругую анизотропию рассматриваемого элемента по отношению к среднестатистической упругой анизотропии сопряженного с ним материала. Отметим, что функция /( Й ) оказывает очень

большое влияние на микронапряжения Л?* [160, 253]. Уравнение (1.20) может служить базой для расчета полей

неориентированных микронапряжений и другой, нежели в (1.20), природы. Так, например, в случае двухфазных сплавов необходимо различать свойства упругости и теплового расши­ рения матрицы и включения. Обозначим коэффициенты тепло­ вого расширения включения в кристаллофизическом его базисе

как ум , а для матрицы сохраним прежнее их наимено­

вание у¥ь точно так же будем различать упругие модули вклю­

чения Effkpq	и матрицы				Тогда, как нетрудно видеть, для
напряжений	во включении			из	(1.20)	имеем
	тЛ ?* = , M ikm				< Л п >	-	О	Т '	<1 2 1 >
где постоянные <Eakpq>			в	Во	отнесены		к	матрице;	вMikpq и
<ву%п> — соответственно			тензоры Mikpq				и	<у$ш>, выраженные
в кристаллофизическом базисе					включения.
Если направляющие косинусы, переводящие лабораторный
базис х, у, г в кристаллофизический базис								включения	г , m , пв,
обозначить	через £ik,	то
	“	£ /r	$ks a rm a sn ^mp^nq <‘Ypq> '
vMikev ш %ir %ks ^et %vh a rm a sn a tp a hq *1та								nb *lpc ^qd^abcd’

Преобразование (1.20) в (1.21) произведено путем следу­ ющих изменений содержания формулы (1.20): в качестве ха­

рактеристик матрицы сохранены средние значения <Утм> и

<£mmpq>, в то время как свойства включения отражены за­

меной второго сомножителя в (1.20) с nfpqmn на E^mn* а

второго слагаемого в скобках с у%п на у®т .

34

Еще один интересный пример касается появления микро­ напряжений при механическом нагружении поликристаллов. Ес­ ли к телу приложены напряжения ст,*, которые в кристалло­ физическом базисе равны

°ik *1mi *1пк артaqn ^pq’	^ ^
то они породят неориентированные микронапряжения	по­

скольку возникнет несовместность, обусловленная различной уп­ ругой податливостью рассматриваемой области и окружающего материала. Когда в данной области, характеризуемой упругой

податливостью = появятся упругие деформации а тоща упругие деформации в окружающем данную область материале будут определяться среднестатистической упругой подат­

ливостью	<C%,pq>	и составят		с С^кря >о%.			Тогда,	осуществляя ту
же смысловую		замену	в	(1.20),	что		и при	выводе	(1.21),
получим	соотношение
(jÀik МfaBÛЕ^ватп (				^mngh>	- С	mngh) °gh			(1.23)
	ikpq pqmn '
где
		Cmngh	Vtpr *1vs a gf> a hv ^mnrs»
		mngh^		a ru a sv tfunflvn *
	^	^ afa	a 8° a hd Уap *1bq ^et				dl ^pqtl ^ ^ ’
	11
Появление здесь		тензоров		Cinngh и	< Cmngtl >			связано	с тем,

что напряжения аЛ^ в (1.23) выражены в кристаллофизическом,

a Ogh — в лабораторном базисе.

Для гетерогенных тел со свойствами включений, отличаю­ щимися от свойств матрицы, уравнение (1.23) преобразуется к

виду
О^Чк t№ikpq^pqmtl-<fPmngh> ^mngh) ^gh '	(1-24)

Тензоры Mikpq, Ëfyqmn имеют тот же смысл, что и в (1.21)., а тензор <вС ’ikev> равен

<B^'ikev> ** ^ir ^ks %et ^vh arm asn atp ahq^ma^nb *1pc r1qd<‘^'abcd>'

Наконец, отметим, что, если среда подвергается баромеха­ ническим воздействиям, характеризующимся давлением р, урав­ нения (1.23) и (1.24) переписываются соответственно так:

ЛВ	P ’	(1.26)
ik в^ ik p q ^pqmn( < t£mngg'> ^mngg)
где рА% — неориентированные макронапряжения	в кристаллофи­

зическом базисе данной области <1.25) или включения (1.26), порождаемые баромеханическим воздействием.

Таким образом, убеждаемся, что приложение «макроскопи­ ческих» напряжений и даже всестороннего давления может явиться причиной появления неориентированных микронапряже­ ний. Среднестатистические их значения определяются выраже­ ниями (1.20), (1.21), (1.23)—(1.26)— в зависимости от причин возникновения. Эти микронапряжения с неизбежностью порож­ дают микродеформации в локальном базисе и как следствие ряд механических явлений в твердых телах, например терми­ ческую усталость второго рода, неупругую деформацию под дей­ ствием баросмен, необратимое тепловое формоизменение, уско­ рение ползучести в переменных температурных и силовых по­ лях, температурное последействие и т. д. Изложенная методо­ логия позволяет надежно рассчитывать перечисленные эффекты.

Неориентированные микронапряжения могут появиться из-за

неоднородной по пространству неупругой микродеформации /?&. Если деформация в рассматриваемом элементе объема в кристаллофизи­

ческом базисе равна ф &, а среднестатистическое ее значение для

заданных углов Q равно < >, то, в соответствии с логикой ( 1.20), получаем следующую оценку для темпа генерации неориентирован­ ных микронапряжений:

(1.27)

где

0Pik *1pi Vqkfipq* < tPmn >	/ V'C5) (fimn	♦
	H

Таким образом, роль неупругой деформации в формировании полей микронапряжений двоякая. С одной стороны, она про­

изводит	напряжения p ilc, которые вычитаются из oifi,	а с дру­
гой — она	же порождает напряжения Л ^, которые не	вычита­

ются, а добавляются к напряжениям uik. Здесь важно еще под­ черкнуть, что если поля напряжений р-к ориентированы в ла­ бораторном базисе, то поля A ifc ориентированы именно в кри­ сталлофизическом базисе, а в лабораторном базисе в значи­ тельной мере рассеяны.

Рассмотрим еще два примера появления неориентированных микронапряжений. В магнитных полях с напряженностью Я/,

порождающей дополнительную намагниченность Л4?, могут по-

являться несовместности магнитострикционных деформаций /3/*. Анизотропия магнитострикционных деформаций полностью оп­ ределяется структурой тензора магнитоупругих постоянных

	fil -	А р У р К	<1-28)
Сопоставляя теперь	с у?к в	(1.20) и используя	рассуждения,

положенные в основу (1.23), легко получим микронапряжение ЫА% магнитострикционной анизотропии в виде

M^ik ~ ^ikpq^pqmn^ < ^mngh> ~ ^mngh)		{^ j№ q + ^ q ^ p ) ’
где
*'	_	.0
"■mngh rl<pr7lvsa gtpa hv^mnrs »
< ^'mngh> ~ a ru a sv Уurn Уvn j-f		a ra a sb a gc a hd X
	i l
x	% p’’bp1 cl,ldek0p,led 3 a '

tfkpq — тензор магнитоупругих постоянных, выраженных в кри­ сталлофизическом базисе; M i(H i) — изменение намагниченности, обусловленное напряженностью магнитного поля Я;, выраженное в лабораторном базисе; — намагниченность в кристаллофи­ зическом базисе.

Рассуждения аналогичного характера позволяют оценить неориенти­

рованные микронапряжения, вызываемые анизотропией алектрострикци-
	«7	Последние, как известно, равны
онных деформаций
		4	=				<1-30)
где	— тензор пьезоэлектрических постоянных в кристалло­
физическом базисе;		— напряженность			электрического		поля в
том	же базисе.
	По аналогии с (1.29) сразу имеем
	E^ik ~ ^ikpq^pqmtS-			гтп^	~ ^гтп)		(1.31)
где
		^гтп	Уфq a r<p dqmn »
	< i^rmn> — а ки a sv Уиг		a kaa sb а пс Уар			Уet ^pqt ^	^ ’
Ei — напряженность		электрического		поля	в лабораторном		базисе.

37

Опыт показывает, что работа в терминах средних зна­ чений не всегда дает желаемые результаты. Ряд качественно важных эффектов связан со статистическим характером поля микронапряжений. Так, для кристаллов с гексагональной ре­

шеткой среднестатистические значения ТЛ ^ в плоскости ба­ зиса оказываются равными нулю. Однако микропластические сдвиги от тепловых микронапряжений имеют место и в ба­ зисных плоскостях, хотя пирамидальное скольжение в таких условиях действительно интенсифицируется. Ситуацию легко

исправить, если к средним	значениям в (1.20), (1.21),
(1.23) — (1.27), (1.29), (1.31)	добавить статистическое по

своему характеру слагаемое, например со следующим зако­ ном распределения:

Ч = ( "max - Мш ) п М ’)*,*.

<1.32)

Здесь Kik — тензор, все компоненты которого в кристаллофизиче­ ском базисе, например, равны единице или принимают какие-ли­ бо другие независимые значения; F(M') — нормированная по всей совокупности плотность распределения микронапряжений

(	/ F (M ')d M ' = l)		, заданная в конечном промежутке их из-
V	' )	1
менения		от Mmin до Мшах.
	При	генерации	тепловых микронапряжений, обусловленных

анизотропией коэффициентов теплового расширения, согласно

[160,	227,	253],
	М max----- А/ min ~ Е max Emin(Emax + Ещ'т)		*
		X (ÿmax —ymin) AT,	(1.33)
где A T — интервал изменения температуры; Emax,			.Emin — со­

ответственно максимальное и минимальное значения модулей

нормальной упругости кристалла; yinax, Ymin— максимальное и минимальное значения коэффициентов теплового расшире­ ния.

Когда действуют факторы механического характера (напря­ жение aIk или давление р ), пределы вариации М' приблизи­

тельно

таковы:

Л/max ~

—Л/min ~

(Ещах — Emin)(Emax +

Emin)

ARt

(1.34)

где AR -

Да

или

A R = А р \

Д а -

наибольший

интервал

изменения

напряжений; А р

- интервал

изменения

давления.

При

расчете

механических

эффектов

с учетом

уравнения

(1 .32)

необходимо к

каждому

из выражений

(1 .2 0 ),

(1 .2 1 ),

(1 .2 3 )— (1 .2 7 ),

(1 .2 9 ),

(1.31)

прибавить

(1 .3 2 ). При

этом, есте­

ственно, должна

измениться

и техника вычисления деформаций.

При Aik * 0 скорости деформаций неупругого характера следует

находить путем соответствующего интегрирования по Q и по s: Л^гаах

к z		!	/ f(Q )a ipakgx
6 ik
	■^max	^min (°)
			d s <?a >	(1-35)

где

T	^ m n ( ^ m a x ^ m i n ) ^ ( s ) ^mr^ns Krs *

Комбинируя функции /(Q) и /4s), можно описывать разнообразные механические и микропластические свойства кристаллов.

Вболее общей постановке вместо одной функции распределения

в(1.32) нужно задать шесть таких функций для каждой из компо­ нент Aik, находя суммарное распределение в виде их произведения.

Тогда и в (1.35) потребуется интегрирование соответствующей крат­ ности по переменным s. Однако чаще всего при решении практиче­ ских задач достаточно представлений в форме (1.32), (1.35).

Подчеркнем, что неориентированные микронапряжения не дол­ жны удовлетворять и не удовлетворяют уравнениям равновесия по соображениям, изложенным ранее. Их не следует учитывать и при расчете упругих деформаций. Однако отмеченные ограничения не мешают решать практические задачи.

Введение в предмет анализа не только механических и теп­ ловых полей, но и электрических и магнитных позволяет фор­ мулировать и решать с единых позиций многочисленные прак­ тические задачи соответствующего содержания, причем в связ­ ной постановке.

Еще раз отметим, что ориентированные микронапряжения plk относятся к области усреднения К и как бы в этом объеме уравно­ вешены. Следовательно, они заданы в каждой «математической точ­ ке сплошной среды». В объемах Ко, составляющих объем К, они продуцируют напряжения xpik, которые могут менять знак в зави­ симости от угловой координаты Q . В то же время напряжения Aik ориентированы в кристаллофизическом базисе и уравновешены в объемах Ко, а не только в К. Средние их значения в объеме К, т. е. в математической точке сплошной среды, будут составлять в лабо­ раторном базисе

=/ / ( Q) aimакп ЧтрУщ ^pq ^ ^ •

И

Для случая 1Aik и рА,-* имеем <А/*> s 0 при /(Q)=const. В остальных примерах микронапряжение A ik вызывает появление суммарного <Xik> в объеме усреднения К, а не только в Ко, и при отсутствии текстуры, т. е. и при /(Q)=const.

Перечисленными примерами причины возникновения напря­ жений Aik не исчерпываются. Показательна в этом смысле сле­ дующая иллюстрация: в средах с включениями, обладающими иной по сравнению с матрицей теплопроводностью, неориенти­ рованные микронапряжения появляются не только из-за разли­ чия свойств теплового расширения и упругости включения и матрицы, но и вследствие значительного перепада температур между матрицей и включением в непостоянных тепловых полях. Сравнивая тепловые потоки через матрицу и включения (точ­ нее, приравнивая их), легко найти, что в переменном поле температур, характеризуемом градиентом V/ Г, где V/ — оператор набла, разница температур A T k между включением и матрицей составит приблизительно

где d — характерный размер включения; к о , к в- коэффициенты теплопроводности соответственно матрицы и включения. Следо­ вательно, включение должно испытывать дополнительное теп­ ловое расширение, примерно равное у f* A T k- Отсюда, используя (1.20) и логику (1.21), легко получим для специфических мик­ ронапряжений *Л/£, порождаемых нестационарным тепловым по­ лем в гетерогенных средах:

Такие микронапряжения, как видно из формулы, появляются только при условии V/T 5*0 и ко * к Q. В задачах термоудара, термической усталости и неизотермической деформации учет микронапряжений Aik оказывается нередко крайне необходимым.

1.6. Построение локальных вариантов

Ключевым вопросом в рассмативаемой теории является струк­ тура локальных инвариантов для микродеформаций. Если закон для микродеформаций /?/* любой природы задан правильно и, сле­ довательно, удовлетворяет требованиям локальной калибровочной ин­ вариантности, можно надеяться, что и связь между макроскопи­ ческими переменными, такими как £,* и о/*, будет правильно отражать физико-механические свойства твердого тела.

Обратимся к рассмотрению конкретных локальных инвари­ антов.