книги / Пространственные задачи теории пластичности

§3. Условие текучести

1.Гиперповерхность текучести. Рассмотрим идеально пласти­ ческое тело, находящееся в равновесии под воздействием внеш­ них сил. В упругой стадии считаем материал однородным, изо­ тропным и подчиняющимся линейному закону между напряже­ ниями и деформациями. В пластическом состоянии полагаем, что сохраняются однородность п изотропность материала, но нарушается однозначное соответствие между напряжениями и де­ формациями. Критерий или условие начала появления пластиче­ ских деформаций в точке идеально пластического тела называет­ ся условием текучести или условием пластичности. Для одноос­

ного растяжения это условие пишется в виде		а = а31 а при
чистом сдвиге имеем т = т5.	точке		характери­
Пусть сложпое напряженное состояние в
зуется тензором напряжений с компонентами	а,>	До	появления

пластических деформаций имеется однозначная зависимость между напряжениями и деформациями, а переход от упругого состояния к пластическому происходит, как показывают экспе­ рименты, непрерывно, поэтому естественно условие текучести за­ писать в виде соотношения

Ф (о„) = 0,

(1.10)

содержащего параметр, характеризующий количественно теку­ честь материала.

Условие пластичности (1.10) в точке в шестпмерном прост­ ранстве компонент напряжений представляет уравнение некото­ рой гиперповерхности S. Когда точка находится внутри обла­ сти й, ограниченной этой поверхностью, то имеем упругое состоя­

ние, если же точка оказывается				на	этой поверхности — имеем
пластическое		состояние. На	рис.	1.4	показаны		S
две такие точки с соответствующими радиуса­
ми-векторами.				пространстве
2.	Поверхность текучести. В
главных напряжений условие текучести						(1.10)
представляется уравнением			начала		пластиче­
ского деформирования Ф(аь			Ог, сгз) = 0.			через
Главные		напряжения выражаются
три инварианта тензора напряжений, поэтому
условие пластичности представится в форме
Ф(/;,	/з) = 0.

Известно, что всестороннее равномерное давление не вызы­ вает ощутимых пластических деформации и J\ (Da) = 0, поэтому условие пластичности можно выразить через второй и третий инварианты девиатора напряжений

Ф [/2(Д 0, /з(До)] = 0.

Это уравнение в пространстве координат щ, 02, оз представляет

цилиндрическую поверхность пластического течения, ось которой

d = 02 = Оз	одинаково		наклонена		к	координатным	осям и,
следовательно,		перпендикулярна			к	девпаторной	плоскости
01 + 02 + Оз =	0.			девпаторной плоскости назы­
След поверхности течения на
вается кривой текучести.
Обозначим проекции осей 0i, 02, оз на девпаторной плоскости
соответственно		через 1',	2\ 3'	Благодаря свойству			изотропии

материала кривая текучести должна быть симметричной относи­

тельно осей Г , 2', 3' Следовательно, кривая должна					состоять
из шести одинаковых дуг. Далее,
поскольку пределы текучести при
растяжении и			сжатии		считаем
равными, то кривые текучести в
ОСЯХ 01, 02, О3 и —01, —02, —03
будут	одинаковыми.			Это значит,
что кривая текучести должна со­
стоять	из	двенадцати		одинаковых
дуг (рис. 1.5). Из общих свойств
этой	кривой		следует		отметить:
а) кривая текучести не может
проходить		через начало			коорди­
нат, поскольку			для пластического
состояния		необходимы			отличные
от нуля напряжения; б) луч, про­
веденный		из	начала	координат,

должен пересекать кривую текучести только один раз, иначе существовало бы два разпых напряженных состояния для начала пластического состояния.

3. Условие текучести Треска. Первым по времени критерием текучести является условие Треска пли условие постоянства максимального касательного напряжения. На основании своих экспериментальных исследований Г. Треска [202] пришел к за­ ключению, что состояние текучести наступает, когда в данной точке максимальное касательное напряжение достигает некото­ рого постоянного для этого материала значения. Б. Сен-Венан [158] дал математическую формулировку этого условия и ис­ пользовал его при исследовании задач плоской деформации. По­ этому иногда этот критерий текучести называют условием йластичности Треска — Сен-Венана.

В пространственном напряженном случае условие Треска за­

писывается в виде Ттах = & ИЛИ
maxdril,	IT21,	1тз1} = /Ь,	(1.11)
где к — постоянная материала.	Рассматривая		случай одноосного
растяжения (01 = 0*, 02 = 0з =	0)	и чистого	сдвига (oj =• тв,

02 = 0, Оз = —т3), заключаем, что согласно условию Треска

Условие пластичности Треска в пространстве главных напря­ жений интерпретируется боковой поверхностью шестигранной

призмы			с осью 0 \= 02 = аз. Следом этой поверхности								на девиа-
торпой			плоскости		будет	правильный				шестиугольник	(рис. 1 .6).
В		работе А. Хаара и Т. Кармана								[170] выдвинуто понятие
полупластичности,					когда	одно		глав­
ное касательное напряжение достига­
ет пластической постоянной, и по­
нятие			полной	пластичности,				когда
два	главных касательных						напряже­
ния	приравниваются этой						постоян­
ной. Дальнейшее развитие этой идеи
при		решении		пространственных					и
осесимметричных					задач	получено			в
работах А. Ишлинского						[95], Д. Ив­
лева		[84],		С.	Христиановича				и

Е.Шемякина [175].

4.Условие текучести Губера — Мизеса. Широкое распространение получило условие пластичности,

предложенное М. Губером [192] и Р. Мизесом [117]. Это ус­

ловие	постоянства интенсивности касательных		напряжений:
Со = к или
	(d	- о2)2 + (о2 - 0з)2 + (оз - Oi)2 = 6/с2.
В пространстве главных напряжений это уравнение представ­
ляет	круговую	цилиндрическую поверхность с осью	oi = -02 ^оз,

описанную вокруг поверхности призмы Треска. Следом поверх­

ности текучести Губера — Мизеса				на	плоскости		0\ + о2 + 0з =
= const является окружность текучести, описанная								вокруг	ше­
стиугольника текучести Треска (рис.				1.6).		(oi = о*,	а2 = 0з= О )			и
Для	случая	одноосного	растяжения
чистого	сдвига	(оi = т3, а2 = 0, аз =		—т5)		согласно	условию		Губе­
ра — Мизеса находим
		к = т5		<*3					( .	)
			1/3		‘				1 12
В обычных прямоугольных декартовых координатах условие
пластичности Губера — Мизеса пишется в виде
(а* — а„)2 +		(ст„ — а,)2 +	(ot — а*)2 +		6 (т2„ + x\t +			т2хг) = 6&2.
3 м. А. Задонн									(1.13)

До появления текучести зависимость между интенсивностями касательных напряжений и деформаций сдвигов выражается ли­ нейным законом Go = 2 Geo, а в пластическом состоянии соблю­ дается условие текучести сго = /с (рис. 1.7).

По интерпретации Генки это условие текучести означает, что пластическое состояние начинается, когда упругая энергия фор­ моизменения достигает критической величины. Согласно А. Надаи условие Губера — Мизеса — это критерий, по которому теку­ честь начинается, когда касательное напряжение на октаэдриче­ ской плоскости достигает определенной величины. Р. Мизес рас­ сматривал предложенное условие текучести как приближенное, но аналитически более удобное, чем условие Треска. Последую­ щие экспериментальные наблюдения показали, что условие Гу­ бера — Мизеса не хуже, чем условие Треска, отражает реальную картину.

§ 4. Теория пластического течения

Для аналитического описания процесса пластического дефор­ мирования наряду с критерием текучести необходимо сформули­ ровать физические соотношения между напряжениями и дефор­ мациями. Эти законы пластичности призваны характеризовать главные экспериментальные сведения о свойстве и поведении ма­ териала при деформировании.

Пластические деформации имеют необратимый характер, и напряженное состояние в данный момент зависит от пути нагру­ жения, от истории предшествующего деформирования. Это зна­ чит, что физические соотношения вообще не могут быть конеч­ ными зависимостями между напряжениями и деформациями.

В теории пластического течения устанавливается связь беско­ нечно малых приращений деформаций с бесконечно малыми при­ ращениями напряжений и конечными напряжениями. Эта тео­

рия дает удовлетворительное согласие с экспериментальными данными при сложных нагружениях.

Теория течения для идеально пластических тел наряду с ус­ ловием текучести (1.11) или (1.13) основывается на следующих положениях:

1 ) тело изотропно;

2 ) относительная объемная деформация происходит по ли­ нейно-упругому закону

г = Ка, # = 1 = ^ ,

где \i — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости материа­ ла, или при развитых пластических деформациях, на основании экспериментальных наблюдений, принимается условие несжимае­ мости материала

е = 0;
это условие эквивалентно допущению ц =		1/2 :
3) полная деформация е,, состоит из двух слагаемых: упру­
гой деформации
е« = ебу +	si}	(1.14)
и пластической деформации е?;-
еи = ь'Ь +	6о* J	(1.15)

4) девиатор приращений пластической деформации пропор­ ционален девиатору напряжений: Dde ^dX Da или

defj = dXsij,

(1.16)

где dX — бесконечно малый скалярный множитель. Дифференцируя (1.15) и учитывая (1.14) и (1.16), получим

deij = 2^-dsij + dXsij.		(1-17)
Приращение работы пластической деформации будет
dWp =	dj deij.	(1.18)
Используя условие текучести	Губера — Мизеса	(1.13) и соот­
ношение (1.18), находим
dk = .ТП dWP = ^ 2 aU dEU-		(1*19)
Zfc	ZK
Отсюда, поскольку dWp > 0, заключаем, что dX > 0.		неопределен­
В соотношениях (1.17) параметр dX остается
ным. Это значит, что согласно	приведенным зависимостям по

значениям напряжений при течении идеально пластического ма- 3*

териала нельзя однозначно определить приращения пластиче­ ской деформации.

Законы пластического течения (1.14) — (1.19) при условии те­ кучести Губера — Мизеса (1.13) предложены Э. Рейсом [148}- Для плоской деформации эти соотношения ранее были получены

Л.Прандтлем [199].

Зависимости (1.46) — (1.18) с условием текучести (1.13) со­

ставляют уравнения теории пластического течения Прандтля — Рейса.

Деля обе части уравнения (1.16) на dt, обозначая X* ^dX/dt, а затем опуская звездочку, получаем

еа =		23Г SiJ +					(1-20)
где
,	W P			i			-р
А —		,, —			9 CFi j E j j .
	2к1		2к2			3	3
Здесь X > 0, поскольку	о«еу > 0 .				В		упругом состоянии X = 0,
Оо < к имеем закон Гука.

Если в этих соотношениях пренебречь упругими деформация­ ми, то для жесткопластических тел будем иметь

eij = X s i j , X = O i j E i j . (1 .21)

Эти соотношения для случая плоской деформации при усло­

вии текучести Треска		ттах = &	предложены		Сен-Венаном			[158].
В общем случае зависимости (1.21) установлены						М. Леви		[112]
и Р. Мизесом [117].			(1.21)	с	условием		текучести
Приведенные	соотношения
(1.13) являются	уравнениями		теории	пластичности			Сен-Вена-
на — Леви — Мизеса. Они описывают				предельное		напряженное
состояние идеально жесткопластических тел.
Имеются различные обобщения этих уравнений для более
сложных идеально пластических тел.
Теория течения анизотропных идеально пластических тел, по­
строенная Р. Хиллом		[171], имела многие			успешные		примене­

ния, особенно в задачах, когда главные оси анизотропии совпа­ дают с координатными осями.

В труде В. Олыпака, Я. Рыхлевского, В. Урбановского [131] изложены проблемы пластически неоднородных тел. Сформули­ рованное и развитое главные образом польской школой это на­ правление теории пластичности в дальнейшем нашло широкое приложение в исследованиях напряженного состояния тел с пе­ ременным по координатам пределом текучести.

В работах М. Саркисяна [150, 151] построены уравнения тео­ рии идеально пластического течения для материалов, у которых различны пределы текучести при растяжении и сжатии, и даны их приложения в задаче упругопластического равновесия полого шара, находящегося под действием внутреннего давления.

§ 5. Ассоциированный закон течения

Приведенные законы течения идеально пластических тел обобщаются и для более общего условия текучести. Пусть элемент идеально пластического тела находится в состоянии текучести

согласпо условию (1.13). Положим, что — заданное распре­ деление скоростей пластических деформаций, а Оц— соответству­ ющее поле напряжений. Очевидно, ои удовлетворяет условию пластичности (1.13) или, геометрически, точка с компонен­ тами оц находится на гиперповерхности текучести (рис. 1.8). Че­

рез G{j обозначим компонен­ ты напряженного статически возможного состояния, удов­ летворяющего условию

ф (о ? Л < 0. (1 .22)

Скорость диссипации ме­ ханической энергии опреде­ ляется выражением

W = GjjFij.

Рис. 1.8

Согласно принципу максимума утверждается, что скорость диссипации энергии при пластическом деформировании прини­ мает максимальное значение для истинного напряженного сос­ тояния среды всех статически возможных напряженных состоя­ ний, удовлетворяющих условию (1.22). Это означает, что

		’ р -_	о * р
	Oijfij >		Oijefj.
Отсюда следует
	( о г « - а $ ,) ё 5 > 0.			(1.23)
Считая функцию	Ф (о«)	непрерывной и		дифференцируемой,
ищем относительный	максимум		мощности	диссипации W как
функцию от Оц при условии пластичности Ф(Оо) = 0.
По методу Лагранжа, составляя функцию
	U =	Oijefj — ХФ (<Tjj),

где К — неопределенный множитель, из условия

находим

=

(1.24)

Полученное соотношение устанавливает ассоциированный с условием пластичности (1.10) закон течения. Здесь функция Ф, т. е. левая часть условия текучести (1 .10), называется пласти­ ческим потенциалом. Из предположения гладкости функции Ф(а,;), положительности X и закона (1.24) заключаем, что век­

тор Etj в шестимерном пространстве напряжений направлен по внешней нормали к гиперповерхности пластичности (1.10). Ина­ че говоря, течение происходит перпендикулярно поверхности пластического потенциала и направлено наружу.

В частном случае, когда имеем условие пластичности Губе­ ра — Мизеса

Ф = ol -

получаем ef;- = Xsij4 т. е. приходим к соответствующим законам пластического течения в теории Прандтля — Рейса или Сен-Ве- нана — Леви — Мизеса.

В пространстве Q неравенство (1.23) можно интерпретиро­ вать как условие неотрицательности скалярного произведения

векторов Oij — Oij и			М(оц) на	гиперповерхности
Рассмотрим произвольную точку
текучести S и проведем через эту точку гиперплоскость, перпен­
дикулярную вектору efj.
Поскольку векторы Oij —	и	efj	составляют не тупой угол,
то область Q всегда останется по		одну сторону по отношению к
	касательной плоскости. Это доказы­
	вает	невогнутость		поверхности теку­
	чести (см. рис. 1 .8).
	При наличии сингулярности, т. е.
	при наличии угловых точек или ре­
фгМ =0	бер на поверхности течения, допу­
	скаем кусочную гладкость функции
Рис. 1.9	Ф.(о«).		Уравнения	этих	пересекаю­
	щихся		гиперповерхностей		принима­
ем заданными в следующем виде:
Ф1(а0) =	0,	Ф2(ао)= 0 .			(1.25)
Составляя по методу Лагранжа функцию
U = OijZij —			КФ2,

где \\ и Яг — неопределенные	множители, из условия	относи­
тельного максимума диссипативной функции находим
ер — Я	I \ дф2	(1.26)
Al d^J + Л2 ЯлГ”
	да-о.

Это соотношение устанавливает ассоциированный с условия­ ми пластичности (1.25) закон течения. На ребре направления течения находятся между двумя нормалями к поверхностям (1.25) в точке их пересечения (рис. 1.9).

К ассоциированному закону течения (1.24) или (1.26) можнв прийти также, если использовать постулат Друкера [43].

§ 6. Теория упругопластических деформаций

Более доступной для приложений по сравнению с теорией те­ чения является деформацдонная теория, или теория упругопла­ стических деформаций, предложенная Г. Генки [30] и А. Надаи [121]. В этой теории устанавливаются конечные соотноше­ ния между напряжениями и деформациями аналогично физиче­ ским зависимостям нелинейной теории упругости.

В основу деформационной теории идеально пластического те­ ла наряду с условием текучести (1.11) или (1.13) положены

следующие допущения:
1 )	тело изотропно;	по ли­
2 )	относительная объемная деформация происходит
нейно-упругому закону		(1.27)
	е = Ко

или при развитых пластических деформациях принимается усло­ вие несжимаемости (|л=* 1/2 ):

е = 0;

3) девиаторы деформаций и напряжений пропорциональны:

Dt = XDa, т. е.

e,i = U i,			(1.28)
где X — некоторая неизвестная скалярная функция.
При Л = 1 /(2 G) соотношения (1.27)	и	(1.28) переходят в за­
кон Гука. Для пластического состояния		из	условия текучести
Губера — Мизеса (1.13) и зависимости	(1.28)		находим

где ео определяется согласно (1 .6).

Тогда из (1.28) приходим к соотношениям

При допущении несжимаемости материала (1.29) можно на­ писать в виде

		*	2А-
		О i j — O O i j = — E i j .
			о
В	этих	зависимостях, очевидно, из-за условия текучести
(1.13)	нет	взаимно однозначной связи между компонентами на­
пряжений и деформаций.			деформаций удовлетворительно
Теория		упругопластических

описывает пластическое деформирование при частных путях на­ гружения. Однако вследствие сравнительной простоты эта теория получила множество различных приложений при исследовании напряженно-деформировапного сотояния тел и конструкций.