книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf4 .3 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 143
(Эта величина при п -»-оо стремится к (1 — е~с)ч.) При этом с межно выбрать таким образом, чтобы вероятность (73) была равна заранее заданной величине.
Т еорема 4.3.5. Если а 2 неизвестно, то равномерно наиболее мощная симметричная решающая процедура для выбора положи тельной амплитуды при заданной вероятности правильного реше ния о том, что все амплитуды равны нулю, и при условии незави симости от мешающих параметров состоит в принятии решения р (kj) > 0 при TR2 (kj)! (4s2) > с, где с определяется так, чтобы вероятность (73) была равна заданной величине.
Если а 2 неизвестно, приведенная процедура возможна только в случае существования такой оценки s2 для а2, распределение которой не зависит от тех а (кг) ,..., (kq), которые включены в гипотезы. В противном случае невозможно выполнить требование независимости от мешающих параметров. Такая ситуация возни кает, когда оказывается нежелательным предполагать равенство нулю даже хотя бы одной пары коэффициентов a (kj), р (kj), т. е. когда желательно допускать тригонометрические члены любой частоты (вида j/T, j = 0, 1.......[772]). Тем не менее иногда можно предполагать, что в действительности отличны от нуля только некоторые из этих коэффициентов, в количестве, не большем неко торого малого числа. Исследуем этот простейший случай подробно.
Предположим, что отличной от нуля может быть только одна из q теоретических амплитуд. Задача состоит в том, чтобы решить, какая из гипотез Н0, Н±.......Hqверна. Потребуем, чтобы процедуры были симметричными и чтобы вероятность Pr {R0jН0} определя
лась |
независимо от |
неизвестного а 2. Будем считать далее, что |
г — q |
выборочных |
амплитуд R2 (kq+\).......R 2(kr) соответствуют |
нулевым теоретическим амплитудам. При этом г — q может быть равным и нулю. Таким образом, в тренде остается еще Т — 2г коэффициентов, которые, возможно, и отличны от нуля, но нас не
интересуют. |
(Такая |
постановка |
задачи является |
более общей, |
|
чем |
рассматривавшиеся другими |
авторами.) Если |
Я 0 верна, то |
||
Г |
(kj), а0 |
и все |
выборочные |
коэффициенты, соответствующие |
|
Ж |
/=i
другим теоретическим коэффициентам, возможно отличным от нуля, образуют достаточное множество статистик для соответствующих
параметров. Отсюда следует, что для почти всех наборов значений |
|||
Г |
|
коэффициентов услов- |
|
~£R2 (kj), а0 и значений других указанных |
|||
/=• |
|
заданной |
вероятности |
ная вероятность R0 должна быть равна |
|||
Pr [R01Я0) |
(см. упр. 10 гл. 3). Совместная плотность вероятностей |
||
значений г, |
= TR2 (kl)l(2a2), / = 1........г — 1, при 2 |
г/ = с, т. е. |
144 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
г—1 |
равна |
|
г, = с — ^ ги |
|
|
/=i |
|
|
|
гу> 0 , |
/ = 1..........г, |
(74)П А (г/) =
/=1 |
|
|
О |
в противном случае, |
|
|
|
|
|
||
когда верна гипотеза # 0, и равна |
|
|
|||
(75) |
f / |
1 у |
' —т?/2 |
- |
. . . , г, |
k (zj | т2) П &(гг) = |
| \“ |
/ е |
е |
М т/К*/). г , > 0 , t = 1, |
|
|
1 |
|
0 |
в противном |
случае, |
когда верна гипотеза Я/. Мы используем здесь те же методы, что иГ при доказательстве теоремы 4.3.3. Пересечение областей R0 и
2 */ = с определяется неравенствами гг< g (с), i = 1, ..., q, где
/—1
g (с) выбирается таким образом, чтобы условная вероятность сов
падала с заданной Рг{/?0 |Я 0}. Пересечение областей #*. h =
Г
— 1, .... q, |
и 2 |
zi — с определяется |
неравенствами |
zh > g(c) и |
||||||||||||||
Ч > |
Ч. i Ф я, * |
= |
1, .... |
Я- |
|
|
|
|
значений |
zlt ..., z, |
при |
|||||||
Условное |
совместное |
распределение |
||||||||||||||||
|
|
Г |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условии |
2 |
*/ = |
является • равномерным |
в |
области |
г-мерного |
||||||||||||
|
|
/=1 |
|
определяемой |
соотношениями |
Zj > 0 , / = 1, |
г, |
|||||||||||
пространства, |
||||||||||||||||||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 */= с* Отсюда |
следует, |
что |
условное |
распределение |
значений |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zjc, |
..., zrlc при условии 2 |
Zjlc — 1 |
будет равномерным в области |
|||||||||||||||
Zjlc > 0 , |
|
|
|
|
|
Г /=1 |
|
|
|
|
g (с) = gc |
|
|
|
||||
/ = |
1, |
|
г, |
2 V C = |
1- |
Если |
для |
каждого |
||||||||||
положительного g, |
то |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(76) |
Р г{*/<*<:, |
|
|
|
|
|
<7|2z/ = |
c, |
Я0}== |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= Р г - ? - • < * |
|
/ = 1. . . . . 9 1 2 -7 - = !* Яо |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
' |
I |
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
не зависит |
от с и совпадает |
поэтому |
с безусловной |
вероятностью |
||||||||||||||
(77) |
|
|
|
Рг |
2 / |
< g . |
/ = |
1, . . . . |
<7|Я0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f2-l *
4 .3 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
145 |
Теорема 4.3.6. Если о2 неизвестно, то равномерно наиболее мощная симметричная инвариантная решающая процедура выбора среди H0i Нъ ..., HQnpu заданной вероятности Pr {R0 I #о} состоит в принятии Н0, если
(78) |
X/ = —у |
(к'] < g, i = 1, . . . , q. |
|
2 |
R2 m |
|
<=1 |
|
В противном случае принимается гипотеза Я/ с индексом j, удовлетворяющим соотношению R2( kt) > R2 (kt), i Ф j,i = 1, q. При этом константа g выбирается таким образом, чтобы вероят ность события (78) при гипотезе Н0 равнялась заданной Pr{R0\H0).
Вычислим |
теперь |
вероятность |
события, |
дополнительного к |
||||
(78) |
, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
(79) |
Рг { шах |
Xj > |
g | Я0} = |
|
|
|
||
|
|
= Рг{Л7 > £ |
хотя бы ДЛЯ ОДНОГО /, |
(= 1, |
<7|Я0}. |
|||
Обозначим через At событие {х,- > |
g }. Тогда при гипотезе Н 0 |
|||||||
(80) |
|
Рг { шах |
X j > g } |
= Рг |
|
|
|
|
= |
2 |
Р г М ,} - 2 |
Рг{Л п а ,}+ |
... +(-ir*Рг |
{ п Д . |
|||
|
М |
/</ |
|
|
|
|
l/=l J |
[См., например, Феллер (1968, гл. IV, § 1).] Далее, в силу одинако вой распределенности величин х\ имеем
(81)Рг{Д Л/} =
= <7Рг {Лх} — ( ^ ) Рг {/4, Л |
+ |
••• + (— 1)?-’ Рг |д Л/ j . |
|||
Поскольку 2 х/ |
1 и X/ > 0 , / = |
1, .... г, то при kg > |
1 |
||
|
/=1 |
|
|
|
|
(82) |
Р г{Д |
л/} = Р г{ * !> £ ’ |
. . . , х* > £ } = 0 . |
|
|
Отсюда |
вытекает, |
что |
|
|
|
(83) |
Рг | Д Л7[. = q Рг {Ах} - |
|
) Pr Mi П А,} + |
•«• |
146 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Г л . 4.
|
|
|
. .. + ( - 1Г 1* |
|
|
|
где п — меньшее |
из двух чисел |
q и ll/g], |
a [l/g] — наибольшее |
|||
целое число, |
не |
превосходящее |
Mg. |
|
||
Г |
Условное |
распределение значений хи |
..., х, при условии |
|||
2 |
Xj = 1является |
равномерным |
в области |
значений х, > 0 , / = |
||
|
Г |
|
|
|
|
|
— 1. • *•» г, 2 xi = |
1. Оно совпадаете безусловным распределением |
/=1 |
Г |
|
величин xlt ..., хг, поскольку условие 2 */ = 1 выполняется авто- /=i
матически в силу определения xt. Координаты Хи •••. хг в (г — 1)-
Г
мерном пространстве 2 = 1 являются барицентрическими. Ве
роятность попадания в произвольное подмножество этого простран ства пропорциональна его (г — 1)-мерному объему. Имеем
(84) Рг(Л} = Рг{х1 > йг} =
= Рг [ § < * ! < 1, О < Х / < 1 — g, } ф \ 2 * / = lj =
|
vjg < xt < 1, |
О< |
X j < 1 — g , |
} ф \ , |
2 |
X j = lj |
||
|
V |o< Xj |
< 1, |
/ = 1, |
. . . , |
r, |
2 |
Xj |
— lj |
v o < v |
^ 1— g, 0<x; < 1— g, |
1Ф |
1, xx — g+ 2 xl = 1— ё |
|||||
1° |
___________ • |
|
|
|
|
|
1=2______ |
|
|
V|0<*/<1. /=1, .... X, 2 x / = l j |
|
||||||
(Здесь буквой V обозначен |
объем.— Перес.) |
Полагая в числителе |
||||||
— х1 — g, |
za = х2, ..., z, — хп получаем |
|
|
|
||||
|
v!o<z/< 1— g, |
/ = l, |
.... г, |
2 |
z/= 1— g| |
(85)Рг {Л} = — — ;-------------------------------'¥ -------------
V ]о < X/ < 1, / = 1......... |
г, 2 X/ = 1 |
I |
/=1 |
Правая часть (85) является отношением объемов двух подобных фигур (г — 1)-мерных подпространств, линейные размеры кото-
4 .3 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
147 |
||||
рых находятся в отношении |
(1 — g) : |
1. Поэтому |
|
|||
(8 6 ) |
Рг{Л1) = ( 1 - г Г 1. |
|
|
|||
Для |
определения вероятности |
|
|
|
|
|
(87) |
Pr {At П 41 |
= |
Рг {хг > |
g, |
х%> g] |
|
рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
(8 8 ) |
v | g < J r / < 1 — g, / = |
1 , |
2 , 0 < |
л-/ < |
1 — 2g, |
j= 3 ..........г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 х; = l}= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=i |
> |
= V |о < |
X/ — g < |
1 — 2g, |
/' = 1, 2, |
0 < |
дг/< 1 — 2g, |
|
|||
|
|
/ = |
3, |
. . . . г, |
(*! — £) + |
(*2 — g) + |
i ] x / = l |
— 2g] • |
|
Обозначая |
zx = |
xx — g, z2 — x2 — g, |
z3 = x3, |
zr = xr, |
полу |
||||
чаем для (8 8 ) выражение |
|
|
|
|
|
||||
(89) |
V {о < Z/ < |
1 — 2g, |
j= 1, |
r, |
% z , = |
1 - 2 * } . |
|
||
Отсюда, из тех же соображений, имеем |
|
|
|
|
|||||
(90) |
|
|
|
Рг { 4 П Л } = ( 1 - 2 ^ Г 1. |
|
|
|||
В общем случае, |
|
|
|
|
|
|
|||
(91) |
|
|
Р г |Д ^/} = |
(!'—'kg)r~x, |
k ^ ± . |
|
Наконец, из этого соотношения и из (83) следует, что
(92) Рг { шах х/ > g} = Pr I U ЛЛ =*
= <7(1 § У~ 1 ( 2)(1 |
••• |
где п — меньшее из чисел q и [1/gl.
148 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
|
Это распределение вместе с его таблицами приведено Фишером |
(1929). Указанная процедура называется критерием Фишера. Геометрическое представление для q — г — 3 предлагается в упр. 27. Уиттл (1951) использовал метод характеристических функций; Ирвин (1955) обсуждал различные методы.
Полученный результат относительно вероятности (79) можно обобщить. В этом направлении следующим шагом является вычис
ление |
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(93) |
Рг {второй по величине X/ > |
g, |
j — 1, . . . , |
q\ Н0) = |
|
|||||||||||
= |
Рг{по |
крайней мере два X/> g, |
j — 1, . . . , q\H0\ = |
|
||||||||||||
= |
Pr { U. (А |
П Л/)} = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 2 Р г {4 М / } - 2 |
|
2 |
Р г [At n Aj n Ak) + |
|
|
|||||||||||
|
«</ |
|
|
|
|
|
«/<* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ з |
2 |
|
Рг и Ап Л П A, n |
4 } --------+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
b<i<j<k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( - |
1)’ (<7 - |
1)Рг |
|
= |
( 2 |
) |
P r Mi |
п А,} |
- |
2 |
( з ) р г {Л1 |
П Л П |
A3} + |
|
||||||
|
|
|
|
+ |
з | ^ Р г |
[A, f) А, |
П |
А, П Л } ------- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. .. + |
(— 1)?(q — 1)Рг | д |
Л/j = |
||||
= |
( 2 ) |
0 - 2 g )r~ ' - 2 |
( 3 )(1 - |
3g )r~ ' |
+ 3 ( 4 ) (1 - 4g )r~ l -------- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . - Н - 1) > - 1) ( * ) ( 1 - П £ Г \ |
|||||||
где п — меньшее из чисел q и \\Ig\- |
Разложение для Рг {у |
(Л, f| |
||||||||||||||
П |
А/)}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*</ |
||
использованное здесь, приведено Феллером (1968, гл. IV, |
||||||||||||||||
§ 5). Вообще имеет |
место следующий |
результат. |
|
|
4 .3 . |
|
п е р и о д ы |
ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
|
149 |
|||||||
Т е о р е м а 4 . 3 . 7 . |
Если |
хъ ... |
, х, |
|
равномерно |
распределены в |
||||||
(г — |
1)-мерной |
области |
х/ > |
0 , |
/ |
= |
1, |
..., г, |
Г |
* /= 1» т0 |
||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=I |
|
( 9 4 ) |
Pr \xj > |
g не менее |
чем для |
р индексов / = |
1, . . . , q) = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
П - ( Р |
+ |
2 ) ^ Г ' ---------+ |
|
||||
|
+ |
( - 1Г |
я |
п — 1 |
|
~ n g )r- 1 = |
|
|
||||
|
р п |
Р - |
1 |
(1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
X [1 - ( р |
+ |
1)Й ГГ 1 + |
7 Т 2 |
Г |
2 J |
[1 “ |
(р + |
2) ^ r_1 - |
|||
|
- |
••• |
+ |
( - 1)п- р |
|
|
( l - n g ) r-' |
|
|
|||
|
|
п |
|
|
|
|
||||||
где р |
q, а п равно меньшему из чисел q и [1 /gl. |
|
|
Стивенс (1939) вычислил эту вероятность при решении другой задачи и привел таблицы для р — 2. Фишер (1940) установил связь между задачей Стивенса и задачей,, которую мы рассматриваем. Кроме того, он привел ряд таблиц.
Однако полученный результат имеет ограниченное применение. Например, для р = 2 указанное распределение дает вероятность того, что два отношения х/ будут больше заданного числа g при гипотезе Н0. Это соответствует процедуре, в которой гипотеза Н0 принимается, если только не найдется по крайней мере двух боль ших, чем g, значений х,-. Фишер (1940) предположил, что такая процедура могла бы быть приемлемой тогда, когда предполага ется, что реальный эффект проявляется скорее всего в двух ампли тудах, а не в одной. В наших обозначениях предлагаемую про цедуру можно перефразировать следующим образом. Гипотеза Я0 принимается за исключением случая, когда выполняются по край ней мере два неравенства х,- >• g. В последнем случае принимается гипотеза Нц с индексами i и /, такими, что R2 (&) и R2 (kj) — наи
большие выборочные амплитуды, г, / = |
1, ..., q. |
о |
выбо |
|
Сформулируем |
теперь байесовскую |
задачу решения |
||
ре среди гипотез |
Я0, Яь ..., Я„, Я12, |
Я13, ..., Hq-\,q. |
При |
этом |
предположим, что а 2 известно. Принимая во внимание симметрию задачи, будем брать априорные вероятности симметричными и
150 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
рассматривать гипотезы при симметричных значениях х?..... |
|
тя. Пусть |
|||||||||||||||
р0 — априорная вероятность гипотезы Н0, pi — априорная |
вероят |
||||||||||||||||
ность |
события т/ = Ti, |
г? = |
0 , |
i Ф / |
(назовем |
эту |
гипотезу Щ |
||||||||||
i — 1, |
q, а рп — априорная вероятность гипотезы |
Hjh, |
состоя |
||||||||||||||
щей в том, |
что ту = хй = хп, |
х? = |
0 , |
i Ф /, |
i ф h, j <С h, |
/, h = |
|||||||||||
= 1, |
q. |
Мы имеем р0 + qpi |
+ |
q (q — 1) рц/2 = |
1. |
Поэтому |
|||||||||||
апостериорные вероятности гипотез |
Н0, |
Н) |
и H]h |
соответственно |
|||||||||||||
пропорциональны величинам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(95) |
|
|
р0 П |
k (zg), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(96) |
|
рге T'/2 / о (xj y~Zj) |
П |
k (ze), |
/ = |
1..........<7, |
|
|
|
|
|||||||
|
_ T2 |
|
|
|
|
q |
k {zg), |
j < h, |
|
|
|
|
|
||||
(97) |
pne |
11 70 (x,. У!/) /„ (xn V~zh) П |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/, |
A = |
1 , • • • » Q* |
|||
Следовательно, 7?0 определяется |
неравенствами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
..........q, |
|
|
|
|
|
||
(98) |
|
]/’zy)< - ^ e Tl/2, |
|
/ = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
(99) |
/„ (Tn V~Zi) l о (Tn |
|
|
|
e '11» |
K |
K |
j , h = l , . . , , q . |
|||||||||
Неравенства (98) эквивалентны |
неравенствам г / < с , |
/ |
= |
1, ..., |
q, |
||||||||||||
если с определить соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(10 0 ) |
|
/„ (х У~с) = |
|
|
е 1'2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
_ |
|
|
|
|
РI |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Поскольку |
1, |
из |
(100) |
вытекает, |
что |
|
|
pi. |
|||||||||
/о (xiKc) > |
р0е4'2 > |
||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ю1) |
|
/о(т„ К с Х - ^ - Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то (99) следует из (98). (Если т? = хп, то |
(101) |
принимает вид |
|||||||||||||||
РоРп |
Pi). |
Так как |
/0 (хп ]/г й) > |
1, |
из |
|
(99) |
вытекает |
|
|
|||||||
<102) |
|
|
/ о ( т „ К |
^ < ^ - ^ 1; |
|
|
|
|
|
|
так что при выполнении
Р0
2
Т II
4 .3 . |
|
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
151 |
||
из (99) следует (98). (Если TJ = тп, то (103) есть просто ри > |
^2 |
||||
p i e 1'2.) |
|||||
Множества Rj определяются неравенствами г > |
с, |
|
|||
(104) |
h{'tl V z j ) > I 0(*iVz'h), |
h=£j, h — l, |
. . . . q, |
|
|
(105) |
- t f / 2 |
h (*i V z j)> P ne |
" h { \ i V z t) I 0{ru V z h), |
|
|
Ple |
|
||||
|
|
|
i=£h, |
i , h = \ , . . . , q. |
В силу определения они не пересекаются. Каждая точка на границе (попадание на границу имеет нулевую вероятность) может быть отнесена к любой области. Неравенства (104) эквивалентны нера венствам z,-> zh, h Ф /, h = 1, ..., q. Неравенство (105) при i — j равносильно неравенству
(106) |
|
/р (Т1Уzj) |
^ |
Рп |
h (TII VZhi- |
|
||
|
/о (тц Уzj) |
|
Pi |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Если TI = xfi, T O (106) эквивалентно неравенству |
|
|||||||
(107) |
|
|
/о (г |
|
Ри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое в свою очередь равносильно неравенству zb < |
d, где |
|||||||
(108) |
|
|
1Л х у - й) = - ^ |
е^ \ |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рп |
|
|
|
Если |
d |
с (р\ < |
р0 рп), |
то |
из г/ > |
с и |
zh<i d вытекает нера |
|
венство |
zh < г/, |
которое |
совпадает с неравенством (104). Если |
|||||
т! > |
тп, |
отношение / 0 (ti ]/"z, ) / / 0 (тц ] / г/) |
монотонно |
возрастает, |
а ограничивающая его функция (106) имеет положительную произ водную dzh!dzj. Если же т? < тп, отношение / 0 (xi У zj)!I0(тц Yzj) монотонно убывает и у ограничивающей его функции (106) произ
водная |
dzh!dZj отрицательна. |
|
|
|
|
|
|
|||
Область |
Rjh, |
/ < |
h, определяется неравенствами |
|
|
|||||
(109) |
|
|
/ 0 (т„ 1/7,) /о (тн V h ) > |
j f - А |
|
|
|
|||
|
_т2 |
|
__ |
|
_т2/2 |
|
|
|
|
|
(1 1 0 ) |
рпе |
п / 0 (тп Vzj) / 0 (тп V zh) > |
PjC 1 |
/ 0 (TjKzJ, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i — |
1, . • • |
, q, |
и Z j> zh |
zh > |
zh |
i ф j, 1 ф h, |
i = |
1, |
q. |
Если |
т? = |
т?ц |
|
то (ilO) при i = |
h равносильно неравенству г,- > d, |
а при i = |
/ — |
|||||||
неравенству |
гл > d: |
|
|
|
|
|
|
|
152 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
Mtt <р\
|
Рис. 4.3. |
|
|
|
|
|
Области принятия гипотез Н0, Н\, |
Н2, Н[2, когда %[ = т^. |
|
||
На |
рис. 4.3 изображены R0, Ru |
R2 и |
R12 при xi = |
хн. |
Вид |
этих |
областей зависит от р0, pi, рп |
и х\. |
(При х\ = xfi |
знак |
не |
равенства в (103) невозможен.) При xf > xfi прямые zx = |
d и z2 — |
||||
= d заменяются кривыми с возрастающим |
наклоном, а |
при т\ < |
|||
•< ти |
кривыми с отрицательными |
тангенсами углов |
наклона. |