книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf3,4. |
|
|
|
|
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ |
83 |
|||||||||
(40) |
g ( |
2 |
йцЩЩ) = |
2 |
|
|
ацаы%щщикщ |
|
|
||||||
|
W=i |
|
/ |
t,f,k,i=i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
х4 ^] 4 + ^ ( 2 |
а« |
+20* 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
\/=1 |
/ |
|
/,/=1 |
||
Л емма |
3.4.4. |
В |
условиях |
|
леммы |
3.4.3 |
дисперсия величины |
||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ацЩЩ |
выражается |
соотношением |
|
|
|
|
|
||||||||
i,j=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(41) |
|
Var ( 2J |
fli/И/И/) = |
х4 2J |
4 |
+ |
2о4 |
2 |
4 * |
||||||
|
|
|
|
W = 1 |
/ |
|
|
/=1 |
|
|
|
i,j—\ |
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
х4 2 |
4 |
+ |
2о4 tr А2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
Если щ нормально распределены, то х4 = 0 и первый член в |
|||||||||||||||
правой части (41) равен 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(42) |
|
|
|
S ,= 2 r ( A V = |
2J |
4 г)а д , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
t= 1 |
|
|
f,s=l |
|
|
|
|
|||
и пусть А, = |
(4*). Тогда А„ = |
I, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
‘ |
1 |
|
— 1 |
0 |
. . . |
|
О~ |
|
||
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
2 — 1 |
. . . |
О |
|
|
||
(43)4 |
|
|
|
А4 = |
0 |
|
— 1 |
2 |
. . . |
|
О |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
. .. |
1 |
0 — |
||
|
|
|
|
|
~ |
1 — 2 |
1 |
|
0 |
••• |
|||||
|
|
|
|
|
— 2 |
5 |
— 4 |
|
1 . .. |
0 |
|
||||
(44) |
|
|
А2 — |
|
1 — 4 |
6 |
- |
4 |
. . . 0 |
» |
|||||
|
|
|
0 |
|
1 |
— 4 |
|
6 . . . |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
••• |
1 |
|
|||
|
|
|
- |
1 ■- 3 |
|
3 — 1 |
0 • 0 — |
||||||||
|
|
|
— 3 |
10 — 12 |
6 -- 1 • 0 |
||||||||||
|
|
|
|
3 ■- 1 2 |
|
19 — 15 |
6 • 0 |
||||||||
(45) |
А3 = |
— 1 |
6 |
— 15 |
20 --1 5 |
• |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
0 |
•- 1 |
|
|
6 |
— 15 |
20 |
•• |
|
0 |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
••. . |
1 |
84 |
|
|
ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ |
|
Гл. 3. |
|||||
|
|
1 — 4 |
6 — 4 |
1 |
|
0 • •• 0 " |
||||
|
|
— 4 |
17 — 28 |
22 |
— 8 |
|
1 |
... 0 |
||
|
|
6 |
— 28 |
53 |
— 52 |
28 |
-- |
8 |
... о |
|
(46) |
А4 |
— 4 |
22 |
— 52 |
69 |
— 56 |
|
28 |
... 0 |
|
1 — 8 |
28 — 56 |
70 |
-- 5 6 |
• • 0 |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
0 |
1 — 8 |
28 |
— 56 |
|
70 ... о |
|||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
6
II |
$ |
0 |
Ь |
о |
0 |
0 ... 1_ |
При Дг / (t) |
= |
0 вычисления дают: |
|
|
: ф { х 4 + 2а4}, |
|
|
|
|||
(48) |
Var Vx = |
1 |
II 1 |
1 |
1 |
Г 3 |
1 |
|
2 (Т— 1) j«4 + 2 2 |
2 (Г - Г |
|||||||
|
|
Г - 1 (| |
||||||
|
|
1 |
/ 1 |
5 |
1х4 + 2 |
35 |
2 |
|
|
|
Г — 2 |
I |
9(7-2) J |
18 |
2(7’—- 2 ) ] 04}* |
||
,50) |
|
|
|
69 |
|
|
|
|
VarVJ = Y ± 3 - j [ l - 100(r_ ?) Щ+ |
|
|
||||||
|
|
+ 2 [ТИ — |
f i f W |
] » * } - |
|
|
||
(51) |
Vai-V. - |
т _ 4 |
|
246(Г— 4) ]*а ^ |
|
|
||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
1287 |
4 |
|
|
|
|
|
|
490 |
2 (Т — 4)] ° 4} • |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Здесь х4 — четвертый семиинвариант.
Общее выражение для дисперсий величин F, найти трудно из-за того, что элементы в обоих концах каждой диагонали А, отличают ся от элементов, расположенных ближе к середине. Запишем Sr в виде
(52) |
<=1 |
|
|
Ъ 1 г - 1)а+*(г ) ( Гс\у<+«У<+э = |
||||
|
|
|
<=1 <х,Э=0 |
|
\ а1 VР/ |
|
||
- |
Т |
- |
. |
min(s,M,7’—г) |
/ |
г \ t |
Г \ |
|
s ( |
1),+“ |
S |
( |
, |
, |
УА- |
||
|
s ,u = l |
|
*= m ax(s—г,и—г,1) |
|
|
* / |
|
|
Элемент |
равен коэффициенту при yl в (52), так что |
|
||||||
(53) |
д |
С |
Н |
2: ) ' |
|
|
|
|
= |
/#• \ 2 |
|
|
|
|
|
||
|
S—1 |
a(/Ls+it7_ s+i, |
|
s = 1, |
. . . , |
г. |
||
|
V |
[ |
] = |
|
a=oW
3 .4 . МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ 85
Первая сумма здесь вычислена с использованием тождества |
|
|||||||||||
(54) |
| ( - |
1)'-* Q |
* |
' - |
( - |
1)' ( x |
- l f |
= |
|
|
||
|
|
|
= (X- i Y ( i ~ x ) r = |
2 |
( - i ) “W r V rftV ~ a+fi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a,p- о |
|
|
\ a / \ p / |
|
и равна коэффициенту при / |
в последнем выражении. Остальные |
|||||||||||
отличные от нуля элементы суть |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2г |
|
|
|
ЛГ) |
^ |
к |
х |
+ |
^ |
ь |
- |
ч |
. + k |
|
(55) |
|
|
|
|
|
s = r - k + |
1, |
т |
|
|||
|
C L S ,S -{-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(— l)ft |
2 |
( |
Г |
\ |
|
(г) |
|
|
|
|
|
|
II . |
.) — ar-s-ft+i.r-s+i, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
a= o'aj \a + k) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
1, |
. . . , r — k, |
|
для k |
= |
1, |
r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно подсчитать и указанные дисперсии, однако вычис |
||||||||||||
ления утомительны. Для четных г,г — 2п, |
|
|
|
|
||||||||
(56) |
2 |
l ^ ’i2 = s |
|
+ |
l a |
T - s + i , r - s - f i ] 2} |
+ |
|
|
|||
|
S=1 |
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
Jr) |
|
|
l ] 2 } + (T — 2r) |
2r |
||
|
|
|
+ 2 |
{ l a ss*l2 + |
|
|
||||||
|
|
|
l a r - s + l , r - s + |
|
||||||||
|
|
|
s= n -}-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
= (T — r) ^ rj + 4 2 |
|
|
Х |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
поскольку crij+i.r-s+i = a£? и |
|
|
|
|
|
|
||||||
(57) |
|
a^+i-s,r+i-s = Q |
- |
<£'\ |
s = l , |
. . . . r. |
|
|||||
Подобным же образом, если г |
|
2п + |
1, то |
|
|
|
|
|||||
(58) |
2 |
Ia“ l2 = (Т ~ |
2г) П |
|
+ 2 £ |
(«Ч 2 + |
2 [a ^ ,.n++ + |
S=*l |
\ |
2П+ 1
Г / |
S=1 |
t r \ |
|
+ 2 |
2 [ ^ ] 2 = |
|
|
s = n -\-2 |
|
{ T ~ |
r ) ( 2rr ) 2 + i S 0- ’ |
r a i - + ( * |
|
|
86 |
|
|
ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ |
|
Гл. 3. |
||||||
ввиду |
того |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(59) |
|
|
4 „ +l= |
i Q |
, |
|
г = |
2п + |
1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2гУ2 |
|
В обоих случаях главный член равен (Т — г) I |
1 |
||||||||||
Для ft = |
1, |
г можно найти, что |
|
|
|
|
|||||
(60) |
" |
|
(T ~ 2 r + k)( |
2г |
У + |
2 21«й+*1:^-'2 |
|||||
|
|
|
|
|
V + |
ft/ |
|
S=1 |
|||
|
|
|
/ 2 Г \2 |
|
<r—fe)/ |
|
г |
|
|
2г |
|
|
,т-Ч+*)+42аЧ |
|
если г — ft четное, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г + k) |
|
<г- г)(г+ *)+4 2 |
|
^+*[^+*-(г + ^ |
||||||||
|
|
|
|
|
___1_/ 2г |
\ 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
V + ftJ |
’ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
если г — ft нечетное, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
запишется в виде |
|
(см. упр. 55), так что главный член |
в |
2 |
[я^!2 |
||||||||
|
|
|
/2г\2 |
' / |
2г |
\ 21 |
S ,t= l |
|
. |
S. / 2г ' 2 |
|
(61) |
( Г - г ) |
(Г - |
|||||||||
|
|
|
+ 1 2 |
J |
r + k |
- |
г), 2 v + s |
||||
|
|
|
*!=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= {Т — г) |
|
|||
При г = 2п |
второе слагаемое равно |
|
|
|
|
|
(62)
I,°”1“•-(!)]+8i> И-Чti)]~C2г
+ 1
- м | < Ц а а + ! - ( г * 2) ] + -
2г
... + 8aB_, [с',:’- 1— ( 2г^ 1 2) ] —
Кендалл и Стьюарт [(1966, стр. 389)1 приводят его к виду
(2г\2
------- Ч |
). |
Таким образом, при Arf (t) — 0 |
||
(63) Var S r = |
^(Г — r) |
— a r |
"b 2 ( 7 - r ) fir - p r]« |
2 r
3 .4 . |
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ |
87 |
(64) Var Vr =
l
9
~ Т — г
где х4 — четвертый семиинвариант, а а, определяется из (56) или (58). [Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят выражение и для
аг.\
Если Т велико, то дисперсия V, приблизительно равна
При нормально распределенных щ семиинвариант х4 равен 0. Поскольку дисперсия при Т -*■ оо стремится к нулю, то Vг яв
ляется состоятельной оценкой для а2. Можно показать, что, когда х4 существует, a ut независимы и одинаково распределены, величина
(66) |
У Т — т |
Vг- а2 |
|
имеет в пределе стандартное нормальное распределение со средним
0 и дисперсией 1. (См. разд. 3.4.5.) Если |
х4 = |
0, то дисперсия |
||||
V Т — г V, асимптотически эквивалентна 2а4 |
и послед |
|||||
няя |
величина служит |
мерой эффективности |
Vr как оценки для а2. |
|||
Как |
и следовало ожидать, дисперсия Vr с ростом г возрастает. |
|||||
Лемма |
3.4.5. Ковариация двух |
(симметричных) квадратичных |
||||
|
п |
|
п |
|
|
|
форм 2 ацЩЩ = u'Аи и 2 bkiukut ~ и'Ви |
в условиях леммы |
|||||
|
*,/=»1 |
|
k,l=1 |
|
|
|
3.4.3 |
выражается соотношением |
|
|
|
||
(67) |
Cov ( |
ацщиь |
J] Ьыикщ |
|
|
|
|
\ i,!=i |
к,ш |
|
|
|
|
|
|
= х4 2 |
аиЬи + 2°4 2 |
а«-А/ = |
*4 2 |
аиьи + 2о* tr АВ. |
88 |
ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ |
Гл. 3. |
Можно показать, что ковариация V, и V приближенно равна
Точная формула для ковариации отличается от (68) слагаемыми, возникающими из-за того, что коэффициенты членов, близких к концам ряда, отличаются от коэффициентов членов, близких к его середине. Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят точное вы ражение для этой ковариации в случае q = г + 1.
Кенуй (1953) указал, что линейная комбинация срУр+ ...+ cqVq, где
с„ + ... + с„ = 1, также является несмещенной оценкой для а2 (если
т
Д7 (0 = 0). Если р — 0, то К0 = 2 у\ IT — наилучшая несме- f«=i
щенная оценка для о2, поскольку в этом случае f (f) == 0. В предпо ложении нормальности она является достаточной статистикой для о2. (Если р = 1 и, следовательно, f (/) = const, то в предположении
нормальности достаточное множество статистик образуют статисти-
т
ки у и 2 (У<— У)2-) Для р > 1 Кенуй поставил вопрос о том, <=1
какая линейная комбинация имеет минимальную дисперсию для и4 = 0 и различных значений р и q. Если р = 1, a q = 4, то «наи лучшими» коэффициентами будут сг — 7.5, с2 = —20.25, с8 = 22.50, с4 = —8.75. Соответствующая дисперсия равна 3/4 дисперсии W Оказывается, что знаки коэффициентов этих линейных комбинаций чередуются. Таким образом, нет уверенности в том, что оценка по лучится положительной. Поскольку эти коэффициенты существен но больше единицы, то можно ожидать, что вероятность получения отрицательного значения оценки вовсе не мала.
Постановка этой задачи приводит к вопросу о причинах ограни чений на числа V, и, что более важно, о причинах, по которьм ста тистик ограничивается только суммой квадратов переменных раз ностей. Что следует считать наилучшей оценкой а2, когда тренд «гладкий»? Трудность состоит здесь в необходимости такого доста точно строгого определения «гладкости», при котором задача наи лучшего оценивания была бы математически определена. Если глад ким считать тренд, являющийся полиномом степени q, то наилуч шей оценкой а2 будет оценка, приведенная в § 3.2. Любые другие определения гладкости являются либо недостаточно четкими, либо слишком сложными.
Кендалл (1946а, задача 30.8) предложил модифицировать ме тод переменных разностей путем введения фиктивных переменных = У—г+2 = ... = Уо = 0 и ит+ 1 =? ... = ут+г = 0 и под
3.4. |
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ |
89 |
счета сумм квадратов hfyt для значений t от —г + 1 до Т. В таком случае существуют простые соотношения, связывающие эти суммы
T - j
квадратов с суммами попарных произведений 2 %#+/• Кенуй
(1953) предложил другую модификацию, связанную с изменением крайних членов. Так, например, у него m-я модифицированная сум ма равна среднему двух (т — 1)-х модифицированных сумм
(69) |
т |
г г — 1 |
|
т |
|
|
(m) |
= 4 - У |
wt + |
У |
wt |
, |
|
|
2 |
1 |
^d(m—1) |
* ’ |
||
|
t = 1 |
y = \ |
|
t— 2 |
|
|
где
TT
(70)2<o>“v = 2 wt- t=i t=i
Далее, можно использовать модифицированные суммы .(Дryt)2 и ytt/t+i и связать их. Иная модификация, приводящая к некоторым упрощениям, состоит в использовании А] вместо Аг. (См. гл. 6.)
3.4.5. Определение степени гладкости тренда
Можно интересоваться также вопросом о том, обладает ли тренд определенной степенью гладкости. От этого, например, зависит выбор сглаживающей формулы. Таким образом, может возникнуть необходимость выяснить, является ли тренд гладким в том смысле, что он в каждом интервале времени может быть адекватно представ лен полиномом вполне определенной степени q. Это соответствует задаче проверки гипотезы о том, что данная степень является прием лемой для описания тренда, против альтернативы, состоящей в том, что данная степень недостаточна для его описания. Кроме того, мож но рассмотреть задачу со многими решениями об определении прием лемой степени (в пределах между двумя заданными значениями m и q) полинома, аппроксимирующего тренд.
Если под точным соответствием понимать совпадение выравни вающей функции с единственным адекватным представлением трен да, то перечисленные задачи полностью равносильны изученным в § 3.2 для полиномиального тренда. Если допустить более широкое, но нечеткое толкование адекватности представления, то задачи те ряют математическую определенность. Вполне возможно особое внимание уделить максимально допускаемому расхождению между действительным трендом и его полиномиальной аппроксимацией. Однако получаемые при этом математические задачи трудны для решения. Следует отметить, что общая теория задач со многими ре шениями, являющаяся обобщением теории § 3.2, здесь неприменима.
90 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.
Рассмотрим указанные задачи, ограничиваясь |
использова |
||
нием |
сумм квадратов переменных разностей. Из |
(37) |
видно, |
что |
математическое ожидание величины V, зависит |
от |
суммы |
Т—т |
|
|
|
2 [А? (/)12Эта сумма равна нулю, если полином имеет степень, (=i
меньшую г, и близка к нулю, если функция / (0 близка к полиному степени, меньшей г, для каждого набора (г + 1) последовательных значений t. Отсюда следует, что V, можно использовать в упомяну
тых статистических задачах. Принимать решение о том, что Д7 (/) близка к нулю для всех значений t (т. е. что полиномы (г — 1)-й степени дают адекватное представление), против альтернативы бли
зости к нулю только разности Дг+1/ (/) для всех t, можно, например, убедившись в том, что Vг ненамного больше Vr+i-
Сглаживающие формулы, рассмотренные в § 3.3 и 3.4, были основаны на предположении о том, что полином степени 2k или 2k + 1 дает адекватное представление тренда в интервале 2m + 1 последовательных моментов времени. В частности, мы отмечали, что для т — k + 1 смещение при оценивании тренда равно C'A2k+2f (i). Таким образом, вопросы, которые мы сейчас изучаем, соответствуют задачам о выборе подходящих сглаживающих фор мул.
Рассмотрим проверку гипотезы Arf (t) = 0 в предположении, что
А (/) = 0 (q > г). Мы отвергнем эту гипотезу, если V, будет на много больше Vq. Такая процедура может быть основана на стати стике
(71) l / T ^ - ^ 2 . = K ^ = ? ( ^ - - l ) .
Из (68) видно, что дисперсия числителя У Т — q (Vr — Vq) приб лизительно равна
Если указанная гипотеза верна, то математическое ожидание чис лителя (71) равно нулю; в противном случае оно положительно.
3.4. |
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ |
91 |
Разность V, — Vq можно записать в виде
Каждое из последних двух слагаемых, умноженное на У Т — q, сходится по вероятности к нулю. (Отметим, что множитель, стоя щий первым во втором слагаемом, имеет порядок 1IT2.) Первое слагаемое является средним для Т — q величин. Если щ независи мы и одинаково распределены, то рассматриваемые величины рас пределены также одинаково, но уже не являются независимыми. Тем не менее их последовательность образует стационарный слу чайный процесс (см. гл. 7), прйчем члены, отстоящие друг от друга более чем на q, являются независимыми. Это так называемый ста ционарный случайный процесс с конечной зависимостью. Теорема
7.7.5 утверждает, что V Т — q {V, — Vq) имеет в пределе нормаль ное распределение. Поскольку Vq является состоятельной оценкой для а2 (вне зависимости от того, является ли нулевая гипотеза истинной или ложной), то и (71) имеет в пределе нормальное рас пределение, дисперсия которого получается из (72) опусканием <т4.
Теорема 3.4.1. Если Д7 (/) = 0, t — 1, .... Т — г, а иъ иг, ..., Uj
независимы и одинаково распределены с %щ — 0 |
и 8и* < оо, то |
|
статистика |
2q+ 2r\ -1—1 |
|
|
||
(74) |
О 4 + r I |
|
|
|
|
|
( X |
) |
имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и еди ничной дисперсией.
Поэтому в случае больших выборок мы отвергаем нулевую ги потезу с уровнем значимости е, если вычисленное по выборке зна чение (74) превышает t (2е), где
(75) |
( |
— Х - е - “,/2 du=B. |
|
J |
УаГ |
/<2е)
В теории больших выборок мы не использовали точную диспер сию, поскольку разность между ней и (72) стремится к нулю при
92 |
ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ |
Гл. 3. |
Т оо, а центральная предельная теорема, на основании которой строится указанная процедура, не чувствительна к подобным раз ностям. Возможно, что учет дополнительных слагаемых может привести к тому, что асимптотическое распределение будет лучше приближать точное распределение для данного Т. Однако это не известно. Тинтнер (1940) брал более точные значения моментов (включая состоятельную оценку семиинварианта х4) и привел таб лицы, облегчающие вычисление Vr и использование предельного распределения.
Если щ распределены нормально, то в случае истинности нуле вой гипотезы статистика (74) имеет распределение, не зависящее от мешающих параметров. Распределения квадратичных форм от нормально распределенных переменных и отношений таких квадра тичных форм будут детально изучены в гл. 6 в связи с рассмотре нием сериальной корреляции. Там будет показано, что распределе ние величины (Vг — Vq)!Vq, или, эквивалентно, VJVq, является весьма сложным и не может быть приведено к простой канонической форме. С целью упрощения отыскания этого распределения был пред ложен ряд модификаций. Тинтнер (1940, гл. 8) предложил заменить
Vr и Vqсоответственно суммами слагаемых (Агу()2и (A<’yt)2, отбирае мых таким образом, чтобы у( не появлялось дважды. При этом и числитель, и знаменатель являются суммами квадратов независи мых нормально распределенных величин и их нормированное отно шение имеет F-распределение. Этот метод, однако, крайне неэф фективен, поскольку число членов в каждой сумме составляет лишь 1/ (q + г) от максимально возможного. Другая модификация, пред ложенная Тинтнером (1955), состоит в использовании циклического определения (см. гл. 6). Это упрощает задачу отыскания распределе ния, но может привести к значительному смещению, поскольку тренд в начале ряда часто бывает совершенно отличным от тренда в его конце. (Фактически смещение может возрастать с ростом Т.) Камат (1955) и Гейссер (1956) предложили опускать одно или два средних слагаемых в выражении для Vr (или F?) с целью упрощения распределения последних. Другая возможность состоит в замене
Аг на Аь Мы обсудим эти задачи в дальнейшем в гл. 6 (где обозна чение Aj используется для других матриц).
Рассмотрим задачу со многими решениями о выборе одной из следующих гипотез:
Н ч: |
А?/( 0 ^ 0 , |
|
Я*_,: |
Д 7 (0 = 0 . |
A"”1/ (0 ^ 0 , |
(76) |
Am+2f(t) —0, |
Am+1f (t) Ф 0, |
Яот+1: |
||
# т : |
Дт+|/ (t) = 0. |
|