книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы
.pdf
Рис. 5.8. К определению показателя колебательности
Пример 5.2. Определить показатель колебательности M дискретной системы, рассмотренной в примере 5.1. Передаточная функция объекта W(p)= k/p, в системе используется экстраполятор нулевого порядка с периодом, равным периоду квантования T. Запаздывание в системе отсутствует. Параметры системы: k=50 c–1,
T=0,024 c.
Найдем передаточную функцию системы в форме Z-преобра- зования:
|
z−1 |
|
|
|
|
z−1 |
kTz |
|
kT |
|
||||
W (z)= |
W (p) |
|
|
|
||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
z |
|
p |
z ( |
)2 |
z−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
|
|
|
Выполнив подстановку z =e jωT =cosωT + jsinωT , получим
комплексную частотную функцию системы |
|
|
|
|
|
|||
W * (jω)= |
kT |
=− |
kT |
− j |
kT |
ctg |
ωT |
. |
cosωT −1+ jsinωT |
|
|
2 |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
||||
АФЧХ системы на комплексной плоскости приведена на рис. 5.9 и представлена прямой, параллельной мнимой оси на расстоянии kT/2. Окружность равного значения M = const, касающаяся АФЧХ определяет показатель колебательности системы, который
91
находим, по соотношению MM+1= kT2 . При заданных параметрах
системы M =1,5. |
Если |
для |
данной |
системы |
||
|
||||||
|
учесть |
запаздывание, |
вносимое |
|||
|
экстраполятором |
нулевого поряд- |
||||
|
ка, как показано на рис. 1.9, это |
|||||
|
приведет к |
увеличению |
значения |
|||
|
колебательности M, так как АФЧХ |
|||||
|
системы повернется в отрицатель- |
|||||
|
ном направлении на угол –ωτ ради- |
|||||
|
ан и она будет касаться окружности |
|||||
|
с большим значением индекса. |
|||||
|
Анализ качества |
дискретных |
||||
Рис. 5.9. Пример определения |
систем, |
содержащих непрерывную |
||||
показателя колебательности М |
часть высоких порядков, услож- |
|||||
|
няется |
процедурой |
нахождения |
|||
АФЧХ. В этих случаях целесообразно проводить анализ с использованием ЛЧХ в разомкнутом состоянии, при этом виды, показатели качества и порядок их определения не отличаются от непрерывных систем.
Такие показатели качества дискретных систем, как колебательность, запасы устойчивости, полоса пропускания могут быть определены, как и для непрерывных систем, с использованием номограмм для определения частотных характеристик замкнутых систем по их частотным характеристикам в разомкнутом состоянии в логарифмических координатах (диаграммам Никольса).
Пример 5.3. Для дискретной системы с экстраполятором нуле-
вого порядка и непрерывной |
частью, имеющей передаточную |
|||||
функцию |
WНЧ (p)= |
1 |
|
|
, определить показатели каче- |
|
p(0,2 p+1)(p+1) |
||||||
|
|
|
||||
ства с использованием диаграммы Никольса. Период квантования непрерывного сигнала должен соответствовать условию теоремы Котельникова–Шеннона. Так как граница существенных частот не-
92
прерывной |
части системы |
при |WНЧ(jω)| ≤ 0,05 составляет |
||||
−1 |
|
|
ωи |
|
|
|
ωгр =4 c |
, |
из условия |
|
>ωгр |
принято значение периода кванто- |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
вания Т=0,2 с.
На рис. 5.10 приведены для сравнения переходные характеристики непрерывной и дискретной (с T=0,2 c) систем, где у дискретной системы отличается лишь значение перерегулирования на 4 % от непрерывной.
Рис. 5.10. Переходные характеристики непрерывной и дискретной систем
Если приведенная непрерывная часть дискретной системы имеет ограниченную полосу пропускания и выполнены условия импульсной теоремы, то комплексная частотная функция дискретной системы будет описываться в полосе частот ω=0...ωи/2 соотношением (4.27). Считая при этом формирователь импульсов безынерционным звеном с коэффициентом усиления T, получим выражение Wp* (jω)≈WНЧ (jω). Это выражение, как уже было показано
в подразд. 4.3, показывает возможность определения показателей качества дискретных систем по частотным характеристикам ее непрерывной части.
93
На рис. 5.11 приведены ЛЧХ непрерывной части системы, на которых показаны частота среза системы ωср =0,779 c−1, запасы устойчивости по амплитуде δL=15,6 дБ и по фазе δφ=43,2 град.
Рис. 5.11. ЛЧХ исследуемой системы
Для дискретной системы вышеперечисленные показатели составляют соответственно 0,78 с–1, 11,6 дБ и 38,8 град.
На рис. 5.12 приведена расчетная амплитудно-частотная характеристика замкнутой непрерывной системы. Расчетные значения показателей качества по АЧХ составляют: колебательность системы М=1,36 (экстремум АЧХ), резонансная частота ωr=0,808 с–1, полоса равномерного пропускания частот замкнутой системы ωп=1,32 с–1.
Для определения аналогичных показателей качества дискретной замкнутой системы составлен скрипт:
%AЧХ дискретной системы
sys=tf([1],[0.2 1.2 1 0]);sys1=c2d(sys,0.2,'zoh');sys2=feedback(sys1,1); w=logspace(-1,1,200);[mag,phase,w]=bode(sys2,w)[mp,l]=max(mag)
wr=w(l)
mp,wr
94
Рис. 5.12. АЧХ замкнутой непрерывной системы
Получены расчетные показатели качества замкнутой дискрет-
ной системы: M=1,525, ωr=1,52 с–1, ωп =1,37 с–1.
На рис. 5.13 показана логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой дискретной системы на диаграмме Никольса, по которой могут быть определены запасы устойчивости по амплитуде и фазе, показатель колебательности М (индекс линии M=const (в дБ), касающейся с ЛАФЧХ), резонансная частота ωr (частота в точке касания ЛАФЧХ линии M=const), частота среза ωср, граница полосы пропускания частот ωп, при которой АЧХ уменьшается на 3 дБ относительно коэффициента замкнутой системы (рис. 5.13).
Сравнение результатов примера 5.3 по анализу непрерывной и дискретной систем подтверждают возможность оценки показателей качества дискретных систем по диаграмме Никольса, как и непрерывных систем.
Так как частотные характеристики дискретной системы являются периодическими, причем амплитудная является четной, по-
95
вторяющейся симметрично в интервалах основной и дополнительной частотных полос, а фазовая – периодической асимметричной, в определенных условиях возникает cущественное отличие от характеристик непрерывных систем. Эта особенность учитывается при анализе дискретных систем применением билинейного преобразования частотных характеристик, позволяющих рассматривать методами исследования непрерывных систем.
Рис. 5.13. Диаграмма Никольса для дискретной системы
Если для анализа дискретных систем используется Z-преобра- зование, то изменения переменных представляются только в моменты замыкания квантователя. К этим дискретным системам следует при анализе подходить осторожно, поскольку они могут и не быть точным представлением истинной реакции дискретной системы.
96
5.3.5. Анализ влияния периода квантования на показатели качества
Основным элементом дискретных систем, отличающим их от непрерывных, является квантователь сигналов, выбор частоты которого – один из важных моментов в их проектировании.
Пример 5.4. Рассмотрим влияние величины периода квантования на показатели качества переходных режимов дискретной системы с
передаточной функцией непрерывной части W (p)= p(Tp1+1)
раполятором нулевого порядка по результатам имитационного моделирования.
На рис. 5.14 показаны полученные программой Matlab логарифмические частотные характеристики дискретной системы с периодом квантования 1 с.
Рис. 5.14. ЛЧХ дискретной системы при Ти=1 с
До значения частоты ω=ωи/2=π/Ти=3,14 с–1 амплитудные характеристики непрерывной и дискретной систем практически совпадают, а фазовые – существенно отличаются. При больщих часто-
97
тах наблюдается периодичность частотных свойств с неоднозначными свойствами амплитудных и фазовых характеристик. На частотах, кратных ωи/2, как амплитудная, так и фазовая частотные характеристики терпят разрыв. Значит, на этих частотах передаточная функция дискретной системы не определена.
На рис. 5.15 приведены для сравнения ЛЧХ дискретной системы с разными значениями периода квантования Ти=1,0; 0,5; 0,1; 0,1 с и логарифмические псевдочастотные характеристики, полученные в результате билинейного преобразования с Ти=0,1 с.
Рис. 5.15. ЛЧХ дискретной системы с различными периодами квантования
Сравнительный анализ полученных логарифмических частотных характеристик показывает, что увеличение периода квантования ухудшает показатели качества дискретных систем.
Численные значения показателей качества, полученные при квантовании с периодом 0,1 с, оказываются такими же, что и полученные при билинейном преобразовании частотных характеристик
98
(табл. 5.1). Поэтому стремление расширить однозначность амплитудных и фазовых характеристик за счет увеличения частоты квантования оказывается неоправданным.
|
|
|
|
Таблица 5 . 1 |
|
Результаты моделирования дискретной системы |
|||||
|
|
|
|
|
|
Период |
Запас |
Запас |
Частота |
|
Частота |
квантования |
устойчивости |
устойчивости |
среза |
|
ω, c–1, |
Т, с |
по амплитуде |
по фазе |
(L=0) |
|
при φ=180° |
|
∆L, дБ |
∆φ, град |
ω, c–1 |
|
|
1 |
7,58 |
30,4 |
0,772 |
|
1,32 |
0,5 |
12,8 |
40,8 |
0,783 |
|
1,93 |
0,1 |
26,2 |
49,6 |
0,786 |
|
4,44 |
0,1 |
26,2 |
49,6 |
0,786 |
|
4,51 |
Полученные результаты влияния периода квантования на показатели качества дискретных систем подтверждаются данными, полученными при моделировании систем по определению их переходных характеристик и приведенными на рис. 5.16.
Рис. 5.16. Переходные характеристики при различных периодах квантования
99
Моделирование непрерывной и дискретной систем для получения переходных характеристик выполнено при тех же значениях периодов квантования, как и при моделировании частотных характеристик.
По переходным характеристикам на рис. 5.16 видно, что увеличение периода квантования приводит к увеличению в дискретной системе перерегулирования с 16 до 50 % и времени регулирования с 5,2 до 12 с. Период колебаний при этом в системе остается практически неизменным.
Сравнивая результаты решения примера 5.3, можно сделать выводы:
1)при одних и тех же параметрах дискретная система менее устойчива, чем непрерывная;
2)период квантования является дополнительным параметром, определяющим, наряду с другими, показатели качества системы;
3)период квантования определяется не правильностью представления ее реакции в моменты времени замыкания, а соображениями устойчивости, точности и качества системы в целом;
4)показатели качества дискретной системы зависят от периода квантования;
5)если период квантования слишком велик, дискретное представление может быть совершенно ошибочным;
6)увеличение периода квантования ведет к росту перерегулирования, и в конечном счете может привести к потере устойчивости системы;
7)уменьшение периода квантования приближает динамические свойства дискретной системы к свойствам ее непрерывной части.
Определяющим при выборе интервала дискретности является учет условий импульсной теоремы Котельникова–Шеннона: для того чтобы информация об объекте была достоверной, интервал
дискретности выбирают как |
T = |
1 |
, где f |
max |
– максимальная |
|
|||||
|
и |
|
|
||
2 fmax
частота в спектре выходного сигнала.
100