книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

В инженерной практике проектирования систем управления используют часто прикладное правило выбора: Ти =(0,25...0,5)Tmin ,

где Tmin – минимальная постоянная времени объекта.

Другой подход к выбору периода квантования непрерывного сигнала приведен также в подразд. 4.2.

5.3.6. Анализ скрытых колебаний в дискретной системе

Колебания на выходе системы, не заметные в моменты квантования, о которых упоминалось в подразд. 4.2, называют скры-

тыми колебаниями.

Эффективным средством обнаружения таких колебаний является моделирование, а также использование модифицированного Z-преобразования, позволяющего определять значения выходной переменной в промежутках между моментами квантования. Наличие скрытых колебаний непосредственно определяется динамикой разомкнутой системы, поскольку система между моментами квантования описывается как разомкнутая.

Скрытые колебания могут возникнуть в дискретной системе, в частности, если приведенная непрерывная часть имеет передаточную функцию с полюсами в правой полуплоскости, причем мнимая часть этих полюсов оказывается кратной половине частоты квантователя ωи. При этом замкнутая система может быть и устойчивой, а в приведенной непрерывной части возникают расходящиеся колебания.

Скрытые колебания в дискретных системах возникают при условии, если частота квантования имеет тот же порядок, что и собственные частоты звеньев в непрерывной части. Это проявляется при нарушении условий импульсной теоремы.

Скрытые колебания могут возникнуть в дискретных системах, если неустойчивые и слабозатухающие нули объекта не компенсируются регулятором, или разомкнутые режимы не носят колебательный характер.

101

Пример 5.5. Пусть непрерывная система имеет передаточную функцию вида

W (p)= 2 p1+1+ p2 +π π2 .

Система состоит из параллельно соединенных апериодического и консервативного звеньев. Дискретная система с экстраполятором нулевого порядка имеет периоды квантования 2 и 1 с.

Проведем сравнительный анализ непрерывной и дискретной систем на наличие скрытых колебаний, возникающих при изменении периода квантования, по результатам имитационного моделирования систем с использованием следующего скрипта:

num1=[1]; den1=[2 1];W1=tf(num1,den1); num2=[pi];den2=[1 0 pi^2];W2=tf(num2,den2);

sys1=c2d(W1,1,'zoh');sys2=c2d(W2,1,'zoh');sys3=parallel(W1,W2); zero(sys3);pole(sys3);sys4=parallel(sys1,sys2); zero(sys4);pole(sys4);T=[0:1:10];subplot(222),step(sys4,T); title('h(t) с периодом квантования 1 с') xlabel('время,с'),ylabel('h(t)')

grid T=[0:0.1:10];subplot(221),step(sys3,T); title('h(t) непрерывной системы') xlabel('время,с'),ylabel('h(t)')

grid

Моделирование непрерывной системы показало, что непре-

рывная	система имеет 2 комплексных сопряженных нуля λ1,2=
= –3,142	± j1,772, 2 сопряженных мнимых полюса λ1,2= ±j3,142

и 1 действительный – λ3= –0,5. Переходные процессы, приведенные на рис. 5.17 и 5.18, имеют колебательный незатухающий характер с периодом 3,142 с, соответствующий мнимым полюсам.

При моделировании дискретной системы с периодом квантования 2 с получили систему с 2 нулями передаточной функции

z1= –1; z2= –0,0071 и 3 полюсами p1,2= –1; p3=0,6065.

Передаточная функция дискретной системы с периодом квантования 1 c имеет вид W (z)=1z−−0,36790,3679. В данном случае оказа-

102

лись скомпенсированными 2 нуля и 2 полюса передаточной функции, что подтверждается наличием скрытых колебаний, проявившихся на переходной характеристике дискретной системы

(рис. 5.17 и 5.18).

Рис. 5.17. Переходные процессы при Т = 2 с

Рис. 5.18. Переходные процессы при Т = 1 с

Таким образом, признаком наличия скрытых колебаний является компенсация дискретной системой нулей и полюсов передаточной функции.

103

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

Классический метод математического описания цифровых систем основан на использовании дискретного преобразования Лапласа, Z-преобразования, дискретных передаточных функций, псевдочастотных характеристик, структурных схем и графов.

Метод пространства состояний, применяемый в современной теории упрвления, является естественным и удобным для решения задач на микроЭВМ, позволяет унифицировать математическое описание одномерных и многомерных систем, может применяться

кнекоторым типам нелинейных и нестационарных систем.

Впространстве состояний непрерывные системы описываются системой дифференциальных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния. Для цифровых систем уравнениями состояния является система разностных уравнений первого порядка. Уравнения состояния можно записать по виду разностного уравнения n-го порядкаили дискретной передаточной функции системы.

Переход к описанию системы в пространстве состояний может осуществляться различными способами. Обычно используют векторную форму записи разностного уравнения путем прямой подстановки (метод прямого программирования) новых переменных (переменных состояния) в исходное разностное уравнение.

6.1.Преобразование разностного уравнения

ввекторную форму

Пусть уравнение объекта или одномерной линейной дискретной системы в форме прямых разностей имеет вид

y(k +n)+a1 y(k +n−1)+...+an y(k)= (6.1)

=b0u(k +n)+b1u(k +n−1)+...+bnu(k).

104

Тогда соответствующая дискретная передаточная функция будет иметь вид

	W (z)=		Y (z)		b zn	+b zn−1 +...+b
				=	0	1	n	.	(6.2)
			U (z)
					zn +a zn−1 +...+a
						1	n
Введем	переменные			состояния системы,					сделав замену
y(k)=x1 (k):
		y(k +1)=x (k)=x (k +1);
				2		1
		y(k +2)=x (k)=x (k +1);
				3		2
		...........................................
									(6.3)
		...........................................
		...........................................
	y(k +n−1)=x (k)=x (k +1);
					n	n−1
			y(k +n)=x (k +1).
						n
Принимая значения bn=1 и						b0 ,b1,...,bn−1 =0			подставим (6.3)
в уравнение (6.1)
	y(k +n)=xn (k +1)=−a1xn (k)−								(6.4)
	−a2 xn−1 (k)− −an x1 (k)+u(k).
Система уравнений (6.3) с учетом уравнения (6.4) примет вид
			x (k +1)=x (k);
			1			2
			x2 (k +1)=x3 (k);
		...........................................
		...........................................
		...........................................
			xn−1 (k +1)=xn (k);
	=−a x	(k)−a x (k)− −a x					(k)−a x (k)+u(k).
x (k +1)
n	n 1		n−1 2			2 n−1		1 n
									105

Эту систему уравнений можно представить в форме векторного разностного уравнения

x (k +1)			0	1	0 ..............		0		x		(k)		0
1			0	0	1	...	0			1			0
x (k +1)									x		(k)
2										2
............		.............................................								.......		...
		=										+		u(k)
............		.............................................								.......		...
			0	0	0	........	1
............										.......		...
				−an−1	−an−2 .....		−a1						1
xn (k +1)		−an							xn		(k)
и уравнения выхода
						x (k)
						1
						x	(k)
						2
						......
				y(k)=[1
					0 ... 0]
						......
						......
						xn	(k)

(6.5)

(6.6)

Обозначим вектор переменных состояния x, матрицу коэффициентов системы A, вектор управления B и вектор наблюдения C:

x(k+1) = A x(k) + Bu(k),

y(k) = C x(k).

(6.7)

Если bn=1, аb0 ,b1,...,bn−1 =0,

то уравнения (6.2)

и (6.3) можно

представить в форме

Y (z)=

1

U (z)= X1 (z).

(6.8)

zn +a zn−1 +...+a

1

n

Если же bn ≠1,

b0 ,b1,...,bn−1 ≠0,

уравнения (6.2) и (6.3) приво-

дятся к виду

Y (z) = b

n

X

1

(z) + b

n−1

zX

1

(z) +... + b z n X

1

(z)

0

106

или
y(k)=bn x1 (k)+bn−1x1 (k +1)+...+b0 x1 (k +n).									(6.9)
Кроме того, используя уравнения (6.3), получим выражение
y(k)=bn x1 (k)+bn−1x2 (k)+...+b1xn (k)+b0 xn (k +1).									(6.10)
Подставив xn (k +1) из уравнения (6.4), получаем окончатель-
ный результат:
y(k)=(bn −b0an )x1 (k)+(bn−1 −b0an−1 )x2 (k)+...									(6.11)
...+(b1 −b0a1 )xn (k)+b0u(k).
Это обобщенное	уравнение		выхода			можно также			записать
в векторной форме:
					x (k)
						1
					x (k)
						2
y(k)=[(b	−b a	)...(b			......			+b u(k)
			−b a )]
n	0 n	1		0 1				0
					......
					......
					xn (k)
или
	y(k)=Cx(k)+Du(k).								(6.12)
При b0 = 0, т.е. для систем без прямой передачи управляю-
щего воздействия, уравнение (6.12) принимает вид
				x (k)
				1
				x	(k)
					2
	y(k)=[b ...b			......					(6.13)
				]
		n	1
				......
				......
				xn (k)
									107

Структурная схема, соответствующая разностному уравнению, полученному исходя из соотношений (6.3), (6.4) и (6.10) и записанному в пространстве состояний, представлена на рис. 6.1 в нормальной форме.

Рис. 6.1. Структурная схема разностного уравнения, записанного в пространстве состояний (нормальная форма)

Векторное разностноеуравнение иуравнение выхода имеют вид x(k+1) = A x(k) + Bu(k),

y(k) = Cx(k)+Du(k),

(6.14)

которым соответствует структурная схема, показанная на рис. 6.2. Общий вид уравнений состояния для многомерной линейной дискретной системы с постоянными параметрами (линейная ста-

ционарная модель) будет:

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k),
y(k) = Cx(k) + Du(k),	(6.15)

где x(k) – вектор состояния размерностью (n ×1), вектор входа u(k) – размерность (r ×1), вектор выхода y(k) – размерность ( p ×1) . Следовательно, матрица коэффициентов системы А, матрица входа B и матрица выхода C имеют размерности, соответственно, (n ×n), (n×r) и ( p × n) . Матрица D, характеризующая непосредственную

связь между входом и выходом системы, имеет размерность

( p × r) .

108

Рис. 6.2. Структурная схема системы, описываемой векторным разностным уравнением первого порядка

Пример 6.1. Пусть дискретная система описывается разностным уравнением в форме обратных разностей второго порядка:

y(k) =0,4u(k −1)+0,3u(k −2)+2 y(k −1)−0,5 y(k −2),

где u(k) – вход системы, а y(k) – ее выход.

Применив к этому уравнению Z-преобразование, получим передаточную функцию

	Y (z)	=		0,4z−1	+0,3z−2	=	0,4z +0,3		.
	U (z)		1−2z−1 +0,5z−2				z2	−2z +0,5

Схема моделирования приведена на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Алгоритмическая структура системы (каноническая форма программирования)

Модель в переменных состояния можно получить, приняв выход каждого элемента задержки в схеме моделирования за переменную состояния.

Уравнения состояния запишутся в следующем виде:

109

x1 (k +1)=x2 (k),

x2 (k +1)=−0,5x1 (k)+2x2 (k)+u(k), y(k)=0,3x1 (k)+0,4x2 (k).

Эти уравнения можно представить в векторно-матричной форме:

x1 (kx2 (k

+1)		0	1 x	(k)			0
	=		1			+
							u(k),
+1)		−0,5	2 x2	(k)			1
				x	(k)
y(k)=[0,3				1
			0,4]				.
				x2	(k)

6.2. Методы решения векторного разностного уравнения

6.2.1. Итерационный метод

Пусть разностное уравнение задано в векторной форме (6.15). Построим рекуррентную процедуру решения разностного уравнения для заданной последовательности входных сигналов u(k) при начальных условиях x(0). Эта процедура описывается соотно-

шениями

x(1) = Ax(0)+Bu(0),

x(2) = Ax(1)+Bu(1)=A2x(0)+ABu(0)+Bu(1),

. . . . . . . . . . . .

k
x(k) = Akx(0) + ∑ Ai-1Bu(k–i).	(6.16)

i=1

Первый член в выражении (6.16) представляет собой решение однородного разностного уравнения, второй – частное решение неоднородного уравнения.

Выходной сигнал y(k) вычисляется из второго уравнения сис-

темы (6.15).

Пример 6.2. Рассмотрим дискретную систему с передаточной функцией

110