книги / Аналитическая геометрия.-1
.pdf§ 6] |
|
|
|
|
ОДНОРОДНАЯ |
СИСТЕМА |
|
|
|
|
|
|
|
1 4 1 |
|||
§ 6. Однородная система. Перейдем теперь к исследованию |
|||||||||||||||||
системы однородных |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
X l = alx -{-b ly - \ - clz = |
|
0, |
' |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Х г= |
агх -|- bty 4 - ctz = |
|
О, |
|
|
|
|
|
(23) |
|||||
|
|
|
x > ^ aS - \- b ,y - \- c ,z = О, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
причем для сокращения письма мы через |
|
X lt |
Х г, Х г |
обозначаем |
|||||||||||||
левые части уравнений. Исследование разобьем на три |
случая. |
|
|||||||||||||||
I. Если |
определитель |
Д системы (23) отличен от |
нуля, |
то эта |
|||||||||||||
система |
будет иметь одно определенное решение согласно § 5. В нашем |
||||||||||||||||
случае |
это |
будет очевидное решение x — y = z = О, |
которое |
назы |
|||||||||||||
вают нулевым решением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Предположим, |
что |
определитель |
Д |
|
системы (23) |
равен |
нулю, |
||||||||||
но по крайней мере один из его миноров отличен |
от |
нуля. Уста |
|||||||||||||||
навливая надлежащим |
образом порядок |
уравнений |
и |
неизвестных |
|||||||||||||
в системе |
(23), |
можно |
всегда |
достигнуть |
того, |
чтобы минор, |
отлич |
||||||||||
ный от |
нуля, |
стоял |
в |
левом |
верхнем |
углу |
определителя |
Д. Итак, |
|||||||||
не уменьшая общности, мы можем считать |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Д = |
0; |
|
|
Ьг |
|
Ф Ъ- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
D = |
«. |
bx X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аг Ьг Хг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заменяя Х х, Xt, Xt их выражениями, мы можем вследствие свойств |
|||||||||||||||||
V и "VII- {§ 4): представить определитель |
|
D в виде суммы трех опре |
|||||||||||||||
делителей: |
|
|
bt |
at |
|
|
«. bx |
bx |
|
|
ax |
|
|
|
|
||
|
|
|
ai |
|
|
|
|
bx c, |
|
|
|||||||
|
|
D = |
at |
bt |
at |
X + |
аг b2 bt |
|
У + |
в* |
Ьг |
|
|
|
|||
|
|
|
аг Ьг a. |
|
|
a, bx |
bx |
|
|
a, |
Ьг С, |
|
|
Определители, |
стоящие |
при х |
и у, |
равны нулю, так как имеют |
|||
по два одинаковых |
столбца, |
а определитель, |
стоящий |
при z, |
есть |
||
определитель А, равный нулю по |
условию, |
т. е. имеет |
место |
тож |
|||
дество относительно х, у , z: |
|
|
|
|
|
||
|
|
« . К X , |
|
|
|
|
|
|
|
« . Ьг |
Х г = |
0 . |
|
|
|
at Ьг
1 4 2 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА |
[г л . VI |
Разлагая последний определитель по видим, что это тождество выражает Х л, Х 2У Х гу причем коэффициент при домо отличен от нуля:
элементам последнего столбца, линейную зависимость между Х зг очевидно, равен б и заве
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, |
|
|
|
|
|
(24') |
||
где а, и а , суть алгебраические дополнения элементов |
Х г, Х 2. |
|
||||||||||||||||
|
Это тождество показывает, что третье из уравнений (23) есть |
|||||||||||||||||
следствие первых двух. В самом деле, если |
при |
некоторых значе |
||||||||||||||||
ниях х у у , z мы будем |
иметь |
Х г = Х 2 = |
0, |
то из |
тождества |
(24') |
||||||||||||
и условия |
6=^=0 вытекает, |
что |
и ^ |
= |
0 для |
этих значений |
х у |
у , z . |
||||||||||
|
Таким |
образом, |
в рассматриваемом |
случае |
остается |
решить |
сов |
|||||||||||
местно первые два уравнения системы |
(23). Согласно |
формула^ |
(9) |
|||||||||||||||
решение будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y — k |
сл |
a% |
|
z = k |
e i |
b* |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«2 h |
|
|
|
||
т. |
е. |
x = kA„ |
y = kB„ |
z = kC„ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
k есть |
произвольный |
множитель. Если |
k= £0t то |
z= £0 |
и |
полу |
|||||||||||
чаемое решение отлично от нулевого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
111. |
Предположим, |
наконец, |
что |
определитель |
А и |
все |
его ми |
||||||||||
норы равны нулю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэф |
||||||||||||||||||
фициент аг отличен |
от |
нуля. Рассмотрим два |
определителя- 2-го |
по |
||||||||||||||
рядка: |
|
|
|
|
Х А |
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
К |
|
|
|
в, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Н* |
4 |
"*=«, |
X, |
• |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Каждый из этих определителей можно представить в виде суммы |
|||||||||||||||||
трех определителей |
(§ 4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Я . = |
а, |
а, |
|
* + |
а, |
Ь, |
уА г |
«1 |
с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«2 |
«2 |
|
«2 Ьг |
«2 С2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 г = |
а, |
а, |
|
|
|
|
|
в , |
С , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«2 |
«2 |
|
«2 |
Ь, |
|
|
а, с, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственно видно, что определители, стоящие при х, равны нулю. Кроме того, равны нулю также и определители, стоящие при у и z, так как по условию все миноры определителя А равны нулю. Следовательно,
£>, = 0, Dt = 0.
§ б] |
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА |
1 4 3 |
Итак, в рассматриваемом случае будут иметь место два тождества относительно х , у, z :
|
|
а1 Х г = |
0. |
а, |
X t |
= 0, |
(25) |
|
|
а, |
v‘ |
||||
|
|
а. Х 9 |
|
X , |
|
|
|
или |
а.ЛГ, — « ^ , = |
0, |
atX, — atX t = 0. |
(25') |
|||
|
|||||||
Эти тождества показывают, что последние два из уравнений (23) |
|||||||
суть следствия |
первого. В самом деле, |
из |
тождеств |
(25') и условия |
|||
at =^=0 вытекает, |
что |
если ^ |
= 0, то |
и Х я = Хя = |
0и Итак, в рас |
||
сматриваемом случае |
достаточно |
решить |
одно первое уравнение, и |
||||
мы получим решение |
системы (23) в виде: |
|
|
||||
|
|
__ |
Ьху-\-схг |
|
|
а значения у и z остаются произвольными.
Резюмируя исследования этого параграфа, приходим к следую щему предложению.
Д ля того чтобы однородная система (23) имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определи тель этой системы был равен нулю. Если этот определитель равен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от
нуляу то одно из уравнений |
системы есть следствие двух других. |
||||||
Если же не. только определитель |
системы (23), но и все его ми |
||||||
норы, равны |
нулю, то система приводится к одному уравнению, |
||||||
Пример |
1. Решить систему |
|
|
|
|||
2х — 3у + г = 0, х.+ у + г = 0, Зх + у —2 г = 0 . |
|||||||
Определитель системы |
|
2 —3 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Д = |
1 |
1 |
1 = |
— 23 |
|
|
|
|
|
3 |
1 — 2 |
|
|
отличен от нуля. |
Следовательно, |
данная система имеет единственное нулевое |
|||||
решение. |
2. |
Решить систему |
|
|
|
||
П р и м е р |
|
|
0, х — 3у = 0. |
||||
|
х + 0 + г = |
0, |
Зх — */ + |
2z = |
|||
Определитель системы |
1 |
1 1 |
1 |
1 1 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
3 — 1 2 |
1 — 3 0 |
|||
|
|
|
1 — 3 0 |
1 — 3 0 |
|||
Минор определителя Д, |
например |
|
|
1 Ч |
4, |
3 —1| |
|
1 4 4 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА |
[гл . VI |
отличен от нуля. Следовательно, третье уравнение данной системы есть следствие двух первых, и достаточно решить совместно два первых уравнения. Решая их, найдем (§ 2):
х = к I 1 |
= |
3s, |
y = |
k |
1 1 = |
k, |
z — k I1 1 |
= -4 k , |
|||
1—1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 —1 |
|
где k произвольно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 3. Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х — у -f- z = |
0, |
2х — 2у + |
2z = |
0, 3* — Зу -f- 3z = 0. |
|||||||
Определитель системы |
— 1 |
1 |
|
|
1 |
— 1 |
1 |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
= 0. |
|
|||||
|
А = 2 —2 2 |
= 2-3 1 — 1 |
1 |
|
|||||||
|
|
3 —3 |
3 |
|
|
1 |
— 1 |
1 |
|
|
Все миноры определителя Д тоже равны нулю. Следовательно, система при водится к одному уравнению, что непосредственно становится ясным, если сократить второе уравнение на 2 и третье на 3. Чтобы найти решения системы, достаточно разрешить лишь первое уравнение, и получаем:
|
|
|
|
у = |
х + г, |
|
|
|
|
|
|
где х и г остаются произвольными. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ |
7. Общее исследование системы трех уравнений первой |
||||||||||
степени с тремя |
неизвестными. |
Обращаясь теперь к |
исследованию |
||||||||
неоднородной системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
* , = |
‘IiX + |
b,y + ctz = |
d„ |
\ |
|
|
||
|
|
|
Хг= |
агх + |
Ьгу - \- с гг = |
<1г, |
V |
|
(26) |
||
рассмотрим |
отдельно ряд |
случаев. |
|
|
I |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
I. Если определитель Д этой системы отличен от нуля, то си |
|||||||||||
стема |
эта |
имеет |
единственное |
решение, |
выражаемое |
формулами |
|||||
(22') |
(§ 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. |
Предположим, что |
определитель |
Д равен |
нулю, |
но по крайней |
||||||
мере |
один |
из его |
миноров, за |
который |
мы можем принять, |
не умень |
шая общности,
отличен от нуля. В этом случае, как мы видели в § 6, левые части уравнений (26) связаны линейной зависимостью (24). Отсюда вытекает, что если система (26) допускает решение, то и правые части d ly (1г, ds уравнений этой системы должны удовлетворять той же линейной зависимости, т. е. должно быть:
л, b, d,
аг Ьг d 2 = 0.
b,
Итак, случай И подразделяется на два:
§ 7] |
ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
1 4 5 |
11,. Если
в, Ьх d,
в. Ьг dl а» К d,
то система (26) несовместна, т. е. не имеет никакого решения. И,. Если же
a, |
bt |
d, |
|
а2 |
Ьг |
d, |
= 0, |
а, |
К |
d, |
то будут иметь место два |
равенства: |
|
|
|
||
|
а1Х 1-4- а2Х2 |
6Х2 = 0, |
|
|||
|
« А |
+ М |
г+ |
к |
= ° , |
|
из которых первое |
выполняется |
тождественно |
относительно у , 2, |
|||
как это было установлено в § |
6, а второе получается из данного |
|||||
условия разложением по элементам последнего столбца. |
||||||
Вычитая из первого равенства второе, получаем тождество |
||||||
а, (Х2 - |
d.) + |
а, {Х2- |
d,) + |
6 (X, - |
d,) = 0, |
откуда усматриваем, что третье из уравнений (26), а именно Хг— d2 =
= 0, есть |
следствие первых |
двух: X t — dx = |
0, |
Х2— d2 = |
0. Чтобы |
|||||||
найти решение системы (26), остается |
решить |
совместно |
первые ее |
|||||||||
два |
уравнения, |
которые можно переписать в виде: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a,x + |
bly = |
dl — с,г, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
aix-Sr b2y = |
di — c2z. |
|
|
|
|||
|
Таким |
образом, решение этой системы, а следовательно, и системы |
||||||||||
(26), |
будет вида: |
|
|
|
la, |
d, —cxz\ |
|
|||||
|
|
|
|
I dl — clz b l \ |
|
|
||||||
|
|
|
|
___ U 2 - |
C%z b2 1 |
___ I a* |
dt - c2z I |
|
||||
|
|
|
|
* — |
3 |
1 |
y ~ |
|
|
ь |
|
|
где |
z |
остается |
произвольным. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
111. Пусть, |
наконец, |
определитель |
Д |
и |
все |
его миноры равны |
|||||
нулю. Не уменьшая общности, можно считать |
ax=jf=-0. В этом случае, |
|||||||||||
как |
было |
показано в § |
6, будут иметь место две линейные зависи |
мости (25) между левыми частями уравнений (26). Если данная
система |
допускает |
решение, |
то и правые части dxx d21 dt должны |
удовлетворять тем |
же зависимостям, а именно: |
||
|
|
а. |
a, d, = 0. |
|
|
fl, d, |
|
и случай |
III подразделяется |
на два: |
1 4 6 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО |
И |
3-ГО ПОРЯДКА |
[гл: VI |
|
|
III,. Если хотя бы один из определителей |
|
|||
|
«. |
d, |
а, |
d, |
|
|
а . |
dt 1 |
|
|
|
отличен от нуля, то система (26) несовместна, т. е. не имеет ре шений.
|
III,. Если же одновременно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a, |
d, |
|
0 |
|
а, |
d, |
0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
и |
a, |
d. = |
|
|
|
||||
то |
будут иметь место |
равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ахХг - а |
гХ х = 0, |
ахХ ш— aiX 1= 0 , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a,dt — atdx = |
0, |
a,d , |
— a,d, |
= 0 , |
|
|
|
||||||
из |
которых |
первые |
два |
выполняются |
|
тождественно |
относительно |
|||||||||||
х , у , z y как |
это было |
установлено |
в § |
6, |
а вторые |
два |
выражают |
|||||||||||
условия |
разбираемого |
случая |
III,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Из |
последних равенств |
попарным вычитанием получаем: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
в, ( |
|
А |
|
. |
|
|
= |
0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
at (Xt - d t) - a t (X ,— dl)= |
0, |
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
мы |
усматриваем, |
что |
последние |
два |
из |
уравнений |
(26) |
суть |
||||||||
следствия первого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Таким образом, система (26) приводится к одному первому урав |
|||||||||||||||||
нению; |
|
решая |
его относительно |
х л получим решение |
системы (26): |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
____*х — Ьху — схг |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
л — |
|
I |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
где у |
и z остаются произвольными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Резюмируя |
исследования настоящего |
параграфа, приходим к |
сле |
||||||||||||||
дующим предложениям: |
|
|
|
|
|
|
системы (26) отличен |
от |
||||||||||
|
Если |
определитель А неоднородной |
||||||||||||||||
нуля, |
то |
система |
имеет |
единственное |
решение, |
определяемое |
||||||||||||
по формулам (22'). |
|
А равен |
нулю, |
но |
по крайней мере один |
|||||||||||||
|
Если |
определитель |
||||||||||||||||
из его миноров отличен от нуля, то |
система (26) либо несов |
|||||||||||||||||
местна, либо неопределенна. |
В первом случае среди определителей |
|||||||||||||||||
3-го порядка, |
принадлежащих таблице |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
®«. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К, |
с*. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь„ |
|
d. |
|
|
|
|
|
|
|
есть по крайней мере один, |
отличный от нуля, во втором случае |
|||||||||||||||||
все |
эти |
определители |
равны нулю, |
и |
система (26) приводится |
|||||||||||||
к двум уравнениям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7] |
ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
147 |
Если, наконец, вместе с определителем системы, (26) все его миноры равны нулю, то система (26) либо несовместна, либо не определенна. В первом случае среди определителей 2-го порядка, принадлежащих таблице (27), есть хоть один, отличный от нуля, во втором же случае все определители 2-го порядка этой таблицы равны нулю, и система (26) приводится к одному уравнению•
П р и м е р 1. Решить систему
х + У + г = 5, x — y + z = 1, х + г= 2.
Определитель системы |
1 1 |
|
|
|
] |
|
|
|
|
Д = 1 - 1 1 |
= 0, |
|
|
|
I |
0 1 |
|
|
1 |
но среди его миноров есть отличный |
от |
нуля, |
М |
|
например: L |
__ j I = — 2. |
Среди определителей 3-го порядка таблицы
1, 1, 1, 5, 1,-- 1 , 1, 1, 1, 0, 1, 2
[ от нуля, например;
1 1 5
-1 1 1 = —2.
0 1 2
Следовательно, данная система не имеет решения, что непосредственно оче видно, если сложить первые два уравнения и сравнить результат с третьим уравнением.
П р и м е р |
2. |
Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
х + у + г = 5, х — у + г = 1, x + z = 3. |
|
|||||
Определитель |
системы — тот же, |
что и в предыдущем примере, следова |
||||||
тельно, Д = 0, |
но среди его |
миноров |
есть отличный от нуля. Определтели |
|||||
3-го порядка таблицы |
1, |
1, |
1, |
5, |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1, - |
1, 1, 1, |
|
|
||
|
|
|
1, |
о, |
1, |
3 |
|
|
все равны нулю. Следовательно, данная система приводится |
к двум уравне |
|||||||
ниям, что непосредственно становится ясным, если |
сложим первые два урав* |
|||||||
нения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая совместно первые два уравнения, получим: |
|
|||||||
|
|
х + г — З, |
у — 2, |
или х — 3 — г, |
у = 2 , |
|
||
где z произвольно. |
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
3. |
Решить систему |
|
|
|
|
|
|
2х + у + г = 4ш 4x + 2j/ + |
2z = |
5, 6х + |
3г/ + 3г = |
10. |
1 4 8 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
2-ГО И |
3-ГО |
ПОРЯДКА |
[гл. VI |
||||||||
Определитель системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
д = |
4 2 2 |
= |
6 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
6 |
3 |
3 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
Все его миноры тоже равны нулю. Среди |
определителей 2-го |
порядка |
таб |
||||||||||
лицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
1, |
1, |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
|
2, |
2, |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, |
|
3, |
3, 10 |
|
|
|
|
|
|
есть отлйчный от нуля, например ^ |
5 = |
— 3. |
Следовательно, |
данная |
си |
||||||||
стема несовместна, в чем убеждаемся |
непосредственно, умножив первое уравне |
||||||||||||
ние на 2 или на 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 4. |
Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2* + y + z = 4. |
4х + |
2// + |
2z = |
8, |
6х + Зу + Зг = 12. |
|
|||||||
Определитель |
системы — тот |
же, |
что |
и в предыдущем примере; значит, |
|||||||||
Д = 0 и все его |
миноры |
тоже |
|
равны |
нулю. Определители 2-го порядка таб |
||||||||
лицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2» |
1, |
1, |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
2, |
2, |
8, |
|
|
|
|
|
6, 3, 3, 12
все равны нулю. Следовательно, данная система приводится к одному урав нению, в чем непосредственно убеждаемся, если сократим второе уравнение на 2, а третье на 3. Остается решить первое уравнение, чтобы получить решение данной системы. Таким образом, находим:
г = 4 — 2х — у,
где х и у произвольны.
§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии.
1.П л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а .
Вгл. I, § 10 мы вычислили площадь 5 треугольника по коорди
натам его вершин и получили формулу
* 1 |
— *ш |
Ух— Уг |
5 = ± т |
— |
Уг — Уг * |
которую можно переписать таким образом:
Ух— Уш о s = ± i х*— х. Ух— Ух 0 .
Ух 1
§ 8] |
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
1 4 9 |
|||
Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей |
|||||
строки, |
найдем окончательно: |
|
|
|
|
|
S = |
*1 |
Уг |
1 |
|
|
2 * 1 |
Уг |
1 |
|
|
|
|
|
Уг |
1 |
|
2. |
|
Ус л о в и е , |
при |
к о т о р о м |
т ри |
т о ч к и |
л е ж а т на |
о д н о й |
||||||||||||
пря мой . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
три данные |
точки |
находятся на |
одной |
прямой линии, |
то |
||||||||||||||
5 = |
0, |
и обратно. |
Следовательно, |
условием того, чтобы три данные |
||||||||||||||||
точки |
(xlt |
у 9), |
(х21 |
y 2)t |
(х9, у 9) |
лежали |
|
на |
одной |
прямой, |
будет |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 1 |
Уг |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ух |
1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
У р а в н е н и е п р я м о й , п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е д а н |
||||||||||||||||||
ные |
т о чк и . |
|
|
|
|
|
|
|
(ха, у 9) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Заменив |
в |
последнем |
условии |
текущими |
координатами |
|||||||||||||||
(аг, у ), |
получим |
уравнение |
первой степени: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Уг |
1 |
|
0 |
|
|
X |
у |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*» |
Ух |
1 = |
или |
* . |
У, |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
X |
у |
1 |
|
|
|
|
|
Ух |
1 |
|
|
|
|
||
которое определяет прямую линию, проходящую |
через две |
данные |
||||||||||||||||||
точки: (*,, |
у х) |
и (х2, у г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эту |
задачу |
возможно |
также |
решить |
с |
помощью определителей, |
||||||||||||||
не прибегая к формуле для площади треугольника. Пусть уравнение |
||||||||||||||||||||
искомой |
прямой линии |
будет |
А х-\-В у - [ - С = 0 . Так |
как эта |
прямая |
|||||||||||||||
согласно условию должна проходить через |
точки (х91 .у,), (**> .УД т0 |
|||||||||||||||||||
координаты |
последних должны |
удовлетворять |
уравнению прямой, т. е. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Ахх -\-В уг-]г-С =0, |
Ах2— Ву2— С = 0. |
|
|
|||||||||||||
Итак, |
имеем три уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A x — B |
y |
С = |
0, |
Ахх |
|
|
|
С = |
0, |
|
i4„vl -j-# y a- |- C = 0 , |
где х , у суть координаты любой точки нашей прямой. Эти уравнения являются однородными относительно неизвестных А %В, С. Эта си стема должна иметь решение, отличное от нулевого. Как мы знаем, необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю определителя системы, т. .е.
X у 1
у , 1 = о.
Ух 1
1 5 0 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО |
И 3-ГО ПОРЯДКА |
[гл . VI |
|
Полученное |
уравнение первой |
степени относительно х %у изображает, |
||
очевидно, искомую прямую. |
Легко |
проверить, что координаты двух |
данных точек удовлетворяют составленному уравнению. Действи
тельно, |
подставляя вместо х у |
у |
координаты данной |
точки, получим |
в левой |
части определитель |
с |
двумя одинаковыми |
строками, кото |
рый, очевидно, равен нулю. Полученное уравнение можно рассма
тривать |
также, Как условие того, что три точки (х, 3;), (хХУдг,), |
|||
(.vt, y t) |
лежат на одной прямой. |
|||
4. |
|
У с л о в и е , |
при к о т о р о м т р и п р я м ы е п е р е с е к а ю т с я |
|
в о д н о й |
точке. |
|
|
|
Пусть |
три данные |
прямые |
линии |
|
|
|
|
А,х + |
В,у С, = О |
пересекаются в одной точке (л:0, Д70). Координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям данных прямых:
|
А \хй4 “ |
4 “ Сх= |
О, |
А2х 0 + |
В2у 0 Сг = |
О, |
|||
|
|
|
Агх о+ |
ВгУо+ |
С, = |
0. |
|
|
|
Эти равенства |
показывают, что однородная система |
|
|||||||
|
Ахх -{- Вху -{- Cxz = |
0, |
А2х -1- В2у -{- C2z = |
О, |
|||||
|
|
|
А г х 4 “ |
4 " C * Z — 0 |
|
|
|||
имеет ненулевое решение * = |
* 0, y = y Qt z = |
1. Следовательно, опре |
|||||||
делитель |
этой |
системы должен |
быть |
равен |
нулю, |
что и дает нам |
|||
искомое |
условие: |
|
|
|
|
|
|
|
Ах Вх Сх
Аг ВшCt = 0. Л, Я, С,
Упражнения
1. Вычислить определители
а)
б)
в)
г)
д)
е)
х-
х-
X- X- X -
2х -- 2 = 1 ,
-у - - г = а,
-у - -2 = 0 ,
-у - -2 = 0, -2 = 2,У -
- уу Л- 2 = 1,
2*4-4и — 2 = 1,
* + 0 + a)y + z = 2a,
2*—3у А-42 = 0,
2х— 3у А-4г = 0, 2х — Зу-|-42 = 3,
х + У— 2= 2,
н1 Й 1 32= -- 2. * + У + (1+а)г —
4х — 11у 4-102 = 0. Ъх — Ту ■4- 82 = 0. 4*-11у--1-102= 5.
5*+У —2= 7.