книги / Аналитическая геометрия.-1

					УПРАЖНЕНИЯ				71
45.	Даны	две	вершины равностороннего			треугольника	АВС:		А (2, 1) и
В (2, 5). Найти третью вершину					С.	3	2
46.	Даны	уравнения						у — 3 = 0;
				прямых: а) 4х — 7у -f- 9 = 0; б) - - х — —
						4	Э
в)	У — 1		= 0 ;	г) -i-x +	f/— 5 = 0; д)	х — —0 +	5 = 0.		Какие из

этих уравнений являются уравнениями в нормальном виде?

47.Найти уравнение прямой по следующим условиям: ее расстояние от начала координат равно 7 единицам длины и угол между осью Ох и перпенди­ куляром к искомой прямо», проведенным из начала координат, равен 120°.

48.Написать уравнение прямой, если известно, что ее расстояние от начала координат равно 5 и что перпендикуляр, опущенный на нее из начала коорди­ нат, составляет с осью Ох угол в 60°.

49.Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:

а) Зх + 40+15 =

О;

б) 6х — 8у — 9 =

0;

в) 2х + 2 } / 3 ( / - 7 = 0;

г) x + i/ + 5 = 0.

50*. Найти длины перпендикуляров,

опущенных

из

начала

координат на

прямые 15х — 8у — 5 1 = 0 и 4х +

30 +

35 =

О. найти также координаты осно­

ваний этих

перпендикуляров.

служит

точка

(5,

—3),

а

основанием —

51. Вершиной

треугольника

отрезок, соединяющий точки ( 0 , - 1 )

и

(3, 3).

Найти

длину

высоты

тре­

угольника,

30 = О найти точку, равноудаленную

52. На

прямой х +

от

начала коор­

динат и от прямой х -|—Зу — 2 =

0.

53*. Дана прямая Зх — 4у — 10 =

0.

Найти уравнение прямой,

параллель­

ной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.

прямой,

параллель­

54. Дана прямая 5х + 120+

2 =

0.

Найти уравнение

ной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.

55*. Найги расстояние между параллельными прямыми

Зх +

4у — 15 =

0

и

Зх + 4у +

20 =

0.3621*957

56. Найти расстояние между параллельными прямыми

5х — 1 2 //+ 28 =

0

и

5х — \2у +

15 =

0.

57. Даны уравнения оснований трапеции: 2х +

у — 5 =

0, 4х +

2у — 7 = 0.

Найти ее высоту.

через точку Л (5, 2)

на рас­

58*. Написать уравнение прямой, проходящей

стоянии 4 единиц от точки (—3,

1).

касательные

к

окружности

радиуса

59. Из

точки

(1,

—2)

провести

2

__

лежит

в точке (3, 6).

— У~85, центр которой

5

прямыми Зх +

4// — 9 =

0 и

60*. Найти биссектрисы углов, образуемых

12х +

9// — 8= 0.

Проверить,

что

эти

биссектрисы

перпендикулярны

друр

кдругу.

61.Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми

		x + 8 i / - 2 6 = 0 и 4х + 70 + 29 = О.
62.	Найти уравнение биссектрисы внешнего угла А треугольника с			верши­
нами A (O', 0),		В (3, 0),	С (0, 7).	—1) U
63.	Найги	точку,	равноудаленную от точек /И (4, —3)( и /V (2,
отстоящую от прямой			4х + 30 — 2 = 0 на расстоянии, равном 2.

72

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[г л . III

64. Даны центр квадрата С(—1, 0) и уравнение стороны х + Ъу — 5 = 0.

Составить уравнения остальных трех сторон.

65. В прямоугольном равнобедренном треугольнике даны уравнение катета У = 2х и середина гипотенузы К (4, 2). Найти уравнения двух других его сторон.

66. Найги геометрическое место точек, разность квадратов расстояний которых от двух данных точек равна постоянной величине.

67. Основание треугольника неподвижно, а вершина движется по данной прямой. Найги уравнение линии, описываемой центром тяжести этого тре­ угольника.

ГЛАВА IV

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

§ 1. Предварительные замечания. Общее уравнение второй степени относительно переменных х и у может содержать члены второй степени (я*, ху и у*), первой степени (дг и у) и нулевой <степени (свободный член). В соответствии с этим общее уравнение второй степени можно записать в виде:

Ахг Вху -\-Суг

Dx + Еу

F = 0.

Здесь по крайней мере один из

коэффициентов

Л,

В, С должен

быть отличен от нуля.

Вопрос о том, какие линии будет определять это

уравнение при

различных значениях его коэффициентов Л,

В,

С,

Д

Ел F, будет

решаться в главе V. В настоящей

главе будут

рассмотрены

неко­

торые

специальные виды

уравнения

второй

степени.

§

2. Окружность. Мы

видели

(гл.

И,

§

1),

что

окружность

с центром в точке

С(а, Ь) и радиусом R имеет

уравнение

(x -_ a Y + (y - b )* =

Rz.

( 1)

Раскрывая скобки,

придадим уравнению (1) вид:

или

х г-{-уг— 2ах — 2Ьу -\-(аг -\-Ьг — R2) =

0,

(Г)

х г-\-у г +

Ох +

Еу +

Р = 0,

(Г)

где положено

D = — 2я, Е =

— 2b,

F = a z-\-b* — R2.

Уравнение (1") является уравнением второй степени. Итак,

окружность имеет уравнение второй степени

относительно

те­

кущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение

второй

сте­

пени определяет окружность. Действительно, из уравнения (К) усматриваем, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат (ху) отсутствует. Обратно, если эти два условия (равенство коэффициентов при х г и у 2 и отсутствие члена ху) осуществлены,

7 4

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

[ГЛ. VI

то уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как оно приводится к виду (1") путем деления на коэффициент при х 21).

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, является ли оно уравнением окружности или нет. Например, уравнение

х 2-\-у 2— 2х - { -4 у — 4 = 0

определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предва­ рительно определить координаты ее центра и радиус. С этой целью

данное	уравнение		мы приведем к виду ( 1). Такое преобразование
есть не	что	иное, как представление уравнения			( 1") в виде (1).
Возьмем	в данном		уравнении	члены, содержащие	х , т. е. х 2— 2х,
и представим		этот	двучлен в	виде:

х2— 2х = (х — 1)2 —1,

т.е. выделим из членов, содержащих л:, полный квадрат линейного двучлена (л;— 1).

Далее

возьмем

члены,

содержащие у , т. е. у 2-|- 4 ^ , и, преобра­

зуя

этот

двучлен

таким

же

образом,

получим:

/

+

4.У = 0 ' +

2)г — 4-

После этого данное

уравнение

запишется так:

( х — I )2— 1 + ( j ; +

2)a— 4 — 4 =

0.

Перенося

свободные

члены

вправо,

будем иметь:

( * - 1 ) 2- Н у + 2)2= 9.

Сравнивая

это

уравнение

с

уравнением окружности (1), усматриваем,

ч т о а = 1 ,

Ь — — 2,

/? =

3. Таким образом, центром окружности

является

точка

(1,

— 2)

и

радиус

окружности равен 3. По этим

данным мы можем построить окружность.

П р и м е р .

Найти координаты центра и радиус окружносги х2+ у2— 2х =

0.

Придавая уравнению вид

(х — I)2— 1 + # 2 =

0,

или

(х — I)2 + у 2 =

1,

заключаем,

что радиус окружности

равен

1,

центром же

служит точка (1, 0).

•) Так

как а =

-

~

,

Ь =

- ^ -

и

1?* =

аг + Ь * - Р = D* + E * - 4 F

^

то

при

D24 - Е2— 4F > 0

уравнение

(Г')

определяет

окружность радиуса

R z=i *

~~ — , при D2+

Е2— 4F =

0 уравнение (Г') определяет окруж­

ность

нулевого

радиуса

(точку),

при D 2 - f - £ 2 — 4F < 0 уравнение (1") не

опре­

деляет

никакого

геометрического

образа;

в этом случае говорят, что оно

опре­

деляет мнимую окружность.

§ 3]	эллипс	75
§ 3.	Эллипс. Эллипсом называется геометрическое	место
точек,	сумма расстояний которых до двух данных точек,	назы­

ваемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная должна быть больше расстояния между фокусами)1).

Чтобы составить уравнение эллипса, примем за ось абсцисс прямую, соединя­ ющую две данные точки Fx и F2, выб­

рав на ней положительное направление от
Ft к Fx; начало координат возьмем			в се­ &Ы0)	0	F,(c$)
редине отрезка, соединяющего две дан­
ные точки (рис. 49). Обозначим через 2с				рИс. 49.
расстояние FxFt между фокусами. Тогда
координаты точек	Fx и Ft	будут	соответственно (с, 0) и (—с, 0).
Обозначая через х и у координаты			произвольной	точки М эллипса,
выразим длины отрезков FXM и FZM по формуле				расстояния между
двумя точками (гл. I, § 5):
	/у И = Т Л * — < ) * + / ,
	РгМ = У (х +		С)2+ / .
По определению эллипса сумма FxM -\- FtM есть				величина	постоян­
ная. Обозначая ее через 2а,		имеем:
или	FJM -\-F tM = 2 a ,
У	(* — с)г - 1 - / + У (* + с)’ - | - / =			2а.

Это есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Чтобы найденное уравнение эллипса приняло простейший вид,

	нужно в этом уравнении освободиться				от радикалов. Перенося один
	радикал	направо, получим:
		V (X — С)* + /		= 2а —	+
	Возводя в квадрат обе части, найдем:
	jc* — 2сх	с2-{-у1 =
	или	= 4а* — 4а У (х +			с)2 + у* + х *-\- 2сх + с2+ / ,
		— 4cx =	4ai — 4 a Y (x -\-c)z-\-y*%
	т. е.
		сх +	аг =
				а ]/"(* +	* ) * + / .

*) Ясно, что эта постоянная не может бы?ь меньше расстояния между фокусами; если же она будет равна расстоянию между фокусами, то рассматри­

ваемым геометрическим местом точек будет отрезок прямой, ограниченный дан­ ными точками.

7 6		ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ							СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
Возводя снова		в квадрат,		получим:
или	с2х 2 -\- 2а2сх			я4 =		а2 (xz	2ох -j- с2-j-^y2),
		с2х 2		а4 =	а2х 2-}- а2с2-j- я2^у2,
т. е.
		(а2— с2) х 2				а 2;;2=	а2 (а2— с2).
Разделив	обе	части	на а2 {а2— с2), получим:
				лг						(2)
				а2
	по условию с					а2— с2
Так как				я,	то			есть	положительная вели­
чина; ее	принято		обозначать			через	Ь2,	Тогда уравнение		эллипса
будет:
				—						(3)
где положено				а2
				Ь2 =		а2— с2.				(4)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса *). Займемся исследованием формы эллипса. Это легко сделать,

отправляясь от составленного уравнения (3).
1) С и м м е т р и я				э л л и п с а . .			Так	как уравнение		(3)	содержит
только	квадраты		текущих			координат,		то если точка (я, у) нахо­
дится	на	эллипсе,	то	и	точки		( ± х ,	находятся		на	эллипсе
при произвольном выборе знаков у								координат;	следовательно, оси
координат		являются осями				симметрии эллипса. Ось симметрии эллип­
са, на которой располагаются фокусы, называется									фокальной осью.
Точка		пересечения			осей симметрии — центр				симметрии— назы­

вается центром эллипса. Для эллипса, заданного уравнением (3),

фокальная	ось	совпадает с	осью	Ох,	а центром	является	начало
координат.
2) Т о ч к и		п е р е с е ч е н и я		с о с я м и с и м м е т р и и .			Точки
пересечения	эллипса с осями		симметрии		называются	его вершинами.

Эллипс, заданный уравнением (3),. имеет вершины в точках пере­

сечения его с осями координат, так		как	последние		являются	осями
симметрии. Полагая в уравнении (3) ^ =			0,	найдем	абсциссы	точек
пересечения эллипса с осью Ох:
х*	1, откуда хг =	а2 и х = ± а .
—=
Полагая * = 0, найдем ординаты		точек		пересечения эллипса

*) Очевидно, уравнению (3) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на эллипсе. Можно показать, что уравнение (3) не дает «лишних» точек, не принадлежащих эллипсу, несмотря на то, что для получения урав­ нения (3) нам пришлось два раза пользоваться возведением в квадрат обеих частей равенства.

§

4 ]

ГИПЕРБОЛА. И

ЕЕ

АСИМПТОТЫ

7 7

с

осью Оу:

^1= 1,

откуда

у г = Ьг И у = +

Ь.

Следовательно,

вершинами эллипса будут точки:

(рис.

50).

A i К

0),

А ш(— а,

0),

В х (О,

Ь),

- * )

Отрезки /4^2 и ВхВг, соединяющие противоположные вершины

эллипса,

а

также

их

длины

2а

и

2ЬУ называют соответственно

большой

и малой

осями эллипса. Длины а и b называют соответ­

ственно большой и малой полуосями эллипса.

3)

Ф о р м а

э л л и п с а .

Чтобы

исследовать

форму

эллипса, до­

статочно

считать в

уравнении

(3)д:^=0

и у ^ 0,

потому

что,

как

было

выше замечено,

эллипс

симметрично расположен

относительно

осей

координат. Из

уравнения

(3)

следует,

что

хг

х ^ а ,

— < : 1, или

т. е. к может

изменяться

от

0 до

а.

С увеличением

JC от

0 до а ордината у

уменьшается

от

b до

0.

Таким

обра­

зом, эллипс

имеет

форму,

указанную

на рис. 50.

М е х а н и ч е с к о е п о с т р о е н и е

э л л и п с а .

Зная

фокусы

Fx

и

Fx

и

длину 2а большой

оси,

легко

механи­

чески

построить

эллипс. Нужно

взять

нить

длиной

2а,

укрепить два ее конца

FXMFZ,

М

в точках Fx и Ft и,

придав

ей

форму

Описать точкой

эллипс (в точке М поместить острие карандаша).

х г -{-уг=

аг

При а =

Ь

(с =

0)

уравнение

(3)

принимает

вид

и определяет окружность. Поэтому окружность можно рассматри­

вать

как

эллипс

с

равными полуосями.

§ 4. Гипербола и ее асимптоты.

Гиперболой

называется

гео~

метрическое место точек,

разность расстояний которых до двух

данных точек, называемых фокусами, есть

величина

постоянная

(эта

постоянная

должна

быть

положительной

и

меньше расстояния

между фокусами)1).

Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фоку­

сами через 2с и

выберем

оси

координат

так

же,

как

и

в §

3.

Пусть М (х, ^ )'— произвольная

точка

гиперболы.

*) Ясно, что

эта

постоянная не может быть больше расстояния между

фокусами

Fi

и

Ft\

если

она

равна

расстоянию

между

фокусами,

то

рас­

сматриваемое геометрическое место состоит из совокупности

тех

точек

прямой, проходящей через фокусы, которые лежат вне отрезка FXFZ.

до

двух

Геометрическим

местом

точек,

разность

расстояний

которых

данных точек равна

нулю,

является перпендикуляр, проведенный

к

отрезку

FXFXв его

середине.

7 3

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ

ТЕОРИЯ

КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

[ГЛ. IV

По определению

гиперболы

F2M —

= -4- 2а.

В

правой

части

равенства

нужно

выбрать

знак

плюс,

если

F2M^> FyM,

и

знак

минус,

если Р2М <^РгМ.

Так

как

F2M =

Y

(*4“ С)24“.У2

и

F2M = Y { x — с)2-

^

2,

то

последнее

равенство можно записать в виде:

У (* +

с)г + У г — У { х — с ? -\-у г — ±

2а.

Это

и

есть

уравнение

гиперболы

в

выбранной

системе

координат.

Освобождаясь в этом уравнении от радикалов (как и в § 3),

можно привести уравнение к простейшему виду.

Перенося

первый

радикал

в

правую

часть

равенства

и

возводя

обе

части

в квадрат, после

очевидных

преобразований получим:

±

а У"(х +

cf -\~У2=

я 2+

сх.

Возведя еще раз обе части равенства в квадрат, сделав при­

ведение

подобных

членов

и

разделив

на

свободный

член,

получим:

х2

(2)

а2

с2— а2

Так

как

с^> а,

то

величина

положительна. Обозначая

ее

через

Ьг,

т.

е.

полагая

Ьг= сг— аг

( 4 ')

получим

каноническое уравнение гиперболы.

а2

(3')

Исследуем форму

гиперболы.

1)

С и м м е т р и я

г и п е р б о л ы .

Так как

уравнение

(3')

со­

держит только квадраты текущих координат,

то

оси

координат

являются

осями

симметрии

гиперболы

(см.

аналогичное

утвержде­

ние

для

эллипса).

Ось

симметрии

гиперболы,

на

которой

распола­

гаются

фокусы,

называется

фокальной

осью., Точка

пересечения

осей

симметрии — центр

симметрии — называется

центром

гипер­

болы. Для гиперболы, заданной уравнением

(3'),

фокальная

ось

совпадает

с

осью

Ох,

а

центром

является

начало

координат.

2)

Т о ч к и

п е р е с е ч е н и я

с о с я м и

с и м м е т р и и .

Найдем

точки

пересечения

гиперболы

с

осями

симметрии — вершины

ги­

перболы.

Полагая

в

уравнении

(3/)<у =

0,

найдем

абсциссы

точек

пересечения

гиперболы

с осью

Ох:

^2

1, откуда

х г= а г и х =

z\ a.

—=

J) Очевидно, уравнению (3') удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей гиперболе. Можно показать, что ему не будут удовлетво­ рять координаты точек, не лежащих на гиперболе.

§ 4]	ГИПЕРБОЛА И	ЕЕ	АСИМПТОТЫ	7 9
Следовательно,	точки А1{а, 0)	и	Аг (— а, 0) являются	верши­

нами гиперболы (рис. 51); расстояние между ними равно 2а, Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим в уравнении (3')

дг = 0.	Получим . для определения
ординат	этих точек уравнение

— 3? = ! . или у г = — Ьг,

откуда

у= ± У — b * = ± b V

т.е. для у мы получили мнимые

значения;		это	означает, что ось
Оу	не	пересекает		гиперболы.		В
соответствии с			этим ось		симмет­
рии,	пересекающая			гиперболу, на­
зывается		действительной осью сим­
метрии		(фокальной		осью);	ось	симметрии, которая не пере­

секает гиперболы, называется мнимой осью симметрии. Для ги­ перболы, заданной уравнением (3'), действительной осью симметрии является ось Ох, мнимой осью симметрии — ось Оу. Отрезок АхАг, соединяющий вершины гиперболы, а также его длина 2а назы­

ваются	действительной осью гиперболы. Если на мнимой			оси сим­
метрии	гиперболы отложить	в	обе стороны от ее центра		О от­
резки	ОВх и ОВ2 длиною Ъ,	то	отрезок ВхВг, а также	его	длина

2Ь называются мнимой осью гиперболы. Величины а и b называются

соответственно

действительной

и

мнимой

полуосями

гиперболы.

3) Ф о р м а

г и п е р б о л ы .

При

исследовании

формы гиперболы

достаточно

рассматривать положительные значения

х н у ,

потому

что кривая

симметрично расположена

относительно

осей

координат.

t

X*

то х

может изме­

Так как из уравнения (3') следует, что “г

няться от

а

до

-f-oo. Когда х увеличивается от

а

до

-{-оо, то у

тоже увеличивается от 0 до -|-оо .

Кривая

имеет форму,

изобра­

женную на

рис.

51. Она располагается вне полосы, ограниченной

прямыми х = ± а , и состоит из двух

отдельных ветвей. Для

любой

точки М

одной

из этих ветвей FZM^>FXM и

FZM — FxM = 2 a

(правая ветвь),

для любой точки М другой ветви

FxM^>FtM и

FXM — FtM = 2a (левая ветвь).

4) А с и м п т о т ы г и п е р б о л ы . Чтобы более

ясно

представить

себе вид гиперболы, рассмотрим две прямые линии, тесно с нею связанные — так называемые асимптоты.

Предполагая х н у положительными, разрешим уравнение (3') гиперболы относительно ординаты у:

1

Ьг ~ а*

80	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ	КОНИЧЕСКИХ	СЕЧЕНИЙ	[ГЛ. IV
0ТКУда	y = ± . y p z гг* .			(У)
Сопоставим уравнение (3") с уравнением прямой линии				У ==^ 'х у
называя	с о о т в е т с т в у ю щ и м и	две точки	N (x, У) и	М (х, у ),

расположенные соответственно на этой прямой и на гиперболе и

имеющие

одну

и

ту же

абсциссу

х

(рис.

51). Очевидно, У^>У и

разность

У— у

ординат

соответствующих

точек

выражает

расстоя­

ние между ними,

т. е. M N — Y — у .

Покажем, что при неограниченном возрастании х расстояние MN>

убывая,

стремится к нулю. В самом деле,

MN = У— у =

— х — — Y * 2— я2,

откуда

J

а

а

7

’

M N = U x — V x* — аг)=

— ( х

-

У

х г - а2) (х + У х 2 -

а»)

а 4

т

'

а

х

-J- ~угх 2 — о 2

После

упрощения

получим:

M N = -------^

-

а

2

х +

^

Из

последней

формулы

мы

усматриваем,

что

при

неограничен­

ном возрастании

абсциссы

х

расстояние

MN

убывает

и

стремится

к нулю. Отсюда

следует,

что

когда

точка

Ж,

двигаясь

по

гипер­

боле в

первом

квадранте,

удаляется

в

бесконечность,

то

ее

рас­

стояние

до прямой д г = —х

уменьшается

и

стремится

к

нулю.

То

же обстоятельство будет иметь место при движении точки Ж по

гиперболе	в	третьем	квадранте (вследствие симметрии		относи­
тельно начала координат О).
Наконец, вследствие			симметрии гиперболы относительно оси Оу мы
получим вторую прямую			Ъ	симметрично расположенную
			у = — — я,
с прямой	у =	— х ,к которой также		будет неограниченно	прибли­

жаться точка Ж при движении по гиперболе и удалении в беско­

нечность (во втором и четвертом квадрантах).						гиперболы;
Эти	две	прямые	линии	носят	название асимптот
они, как	мы видели,		имеют	уравнения:		. сч
			Ь		Ь
			у = - х к у		= — - х .	(5)
Очевидно,		асимптоты		гиперболы располагаются		по диагона­

лям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси Ох

и равна	2а, другая — параллельна оси				Оу и равна	2Ь, а центр
лежит в начале координат		(см.	рис.	51).
При	вычерчивании гиперболы		по	ее	уравнению	рекомендуется
предварительно построить ее		асимптоты.