книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства
..pdfприложенное к электродвигателю напряжение не создаст вращаю щий момент, больший, чем момент сопротивления). При этом по грешность ее для любого значения х, очевидно, не может быть
сделана меньше Ан.
6.1.3. Переходные процессы в системах автоматического регулирования
В реальных условиях автоматическая система не может всегда оставаться в установившемся режиме, так как на нее всегда будут воздействовать внешние возмущения, стремящиеся изменить хотя
бы кратковременно значение регулируемой величины. К числу внешних возмущений можно отнести любое изменение установив шихся значений управляющей величины и внешнего воздействия, изменение параметров самой системы вследствие их нестабильности или изменения окружающих условий (температуры, влажности и т. п.), изменение напряжения источника питания и т. д., т. е. все факторы, так или иначе вызывающие изменение регулируемой величины. Вызванный внешним возмущением процесс изменения погрешности А=у3—у регулируемой величины во времени мы будем называть переходным процессом, а величину А—АУ=А П—погреш ностью переходного процесса или просто переходной погрешностью.
Исследование установившегося режима позволяет определить установившуюся погрешность, т. е. решить вопрос о пригодности автоматической системы для осуществления какого-либо процесса с заданной точностью. Однако для создания автоматической си стемы этого еще мало. Она должна быть устойчивой по отношению к внешним возмущениям. Под устойчивостью мы будем понимать
способность системы приходить к заданному установившемуся состоянию после приложения внешнего возмущения. Для решения вопроса об устойчивости необходимо исследование переходного процесса. Естественно, что неустойчивая система не может выпол нять требуемых от нее функций и непригодна в качестве системы автоматического регулирования.
Характер переходного процесса зависит от параметров системы, выбором которых мы и обеспечиваем желаемый переходный про цесс.
Внешнее возмущение может быть случайным, кратковременным. В этом случае после окончания переходного процесса регулируемая величина в устойчивой системе должна вернуться к своему преж нему, установившемуся значению. Однако внешнее возмущение может иметь и стационарный характер. В этом случае регулируе мая величина в устойчивой системе будет стремиться к некоторому новому, установившемуся значению. В дальнейшем будем для наглядности понимать под внешним возмущением изменение внешнего воздействия z или управляющей величины х.
Внешнее возмущение в общем случае может иметь произволь ный характер. Однако исследование такого общего случая слиш
ком трудно, поэтому практически ограничиваются несколькими ти повыми формами изменения внешнего воздействия г (или управ ляющей величины х), а именно: скачкообразным изменением от
одного постоянного значения до другого, изменением во времени с постоянной скоростью и изменением по синусоидальному закону.
Чтобы пояснить смысл основных величин, характеризующих пе реходный процесс, на рис. 6. 3 в качестве примера показан график изменения у при скачкообразном изменении Az внешнего воздей ствия (или Ах) для устойчивой системы. Поскольку новое устано вившееся значение yY регулируемой величины всегда легко опреде
ляется из анализа установившегося режима, то переходный про цесс удобнее характеризовать зависимостью А= у3—y= f{t) погреш
ности от времени.
Для произвольного момента времени |
|
|
|
А= Уз—У= Ду+ Ап, |
(6.3) |
где у3— заданное |
значение регулируемой величины. |
|
По окончании |
переходного процесса у = уу и Дц=0, |
т. е. |
А — Ау= Уз Уу-
6.1.4. Требования, предъявляемые к системам автоматического регулирования
Для выполнения поставленной задачи система автоматического регулирования должна удовлетворять определенным техническим требованиям, формулируемым обычно в технических условиях на проектирование. Кроме того, во всех случаях она должна быть устойчивой. Обычно одним из основных требований является обес печение заданной точности осуществления процесса, т. е. требова ние, чтобы установившаяся погрешность Ау была меньше некоторой заданной величины Д3. В связи с развитием техники требования к точности с каждым годом все более повышаются.
Как видно из формулы (6. 2 ), основным способом увеличения
точности и одновременно уменьшения зоны нечувствительности является увеличение коэффициента передачи k, доходящего в ряде
современных систем до очень больших значений. Если положить Ду=Аз, то из формулы (6. 2 ) можно определить необходимый коэф
фициент передачи. Однако,как будет показано ниже, увеличение коэффициента передачи увеличивает отклонения А регулируемой величины в переходном процессе и может даже привести к потере устойчивости системы. Первоочередным требованием поэтому является устойчивость системы, т. е. затухание переходного про цесса с течением времени.
Кроме того, для оценки качества процесса регулирования предъ
являются определенные требования и к характеру |
самого |
переход |
ного процесса, основными из которых являются |
определенная, |
|
не выше некоторой заданной, длительность /п переходного |
процесса |
и ограниченность некоторой заданной величиной максимальных воз-- можных отклонений АПшах переходного процесса (рис. 6 .3). При*'
оценке длительности переходный процесс обычно считают окончен ным, если отклонение Дп=*/у—Урегулируемой величины от ее уста
новившегося значения не превышает некоторой заданной малой постоянной величины е.
Исследование переходного процесса при проектировании си стемы автоматического регулирования имеет своим назначением такой выбор ее параметров, чтобы удовлетворялись все перечис ленные выше требования. В ряде случаев простой подбор парамет ров системы не позволяет решить эту задачу. Тогда применяют специальные методы стабилизации, позволяющие повысить устой чивость и улучшить характер переходного процесса, не уменьшая
необходимого значения |
коэффициента |
передачи. Эти методы |
в дальнейшем будут рассмотрены отдельно. |
||
6.1.5. |
Классификация |
систем |
автоматического регулирования
По основному назначению в соответствии с характером задания управляющей величины автоматические системы могут быть под разделены на три основные группы:
—системы автоматической стабилизации (регуляторы);
—системы автоматического управления (следящие системы);
—системы автоматического контроля (и измерения).
С и с т е м ы а в т о м а т и ч е с к о й с т а б и л и з а ц и и предна значены для поддержания постоянным заданного значения регули руемой величины. Значение управляющей величины х в этом слу
чае остается постоянным. Изменение регулируемой величины воз можно за счет различных внешних возмущений (изменение на грузки, толчки и т. п.) и должно ликвидироваться после окончания переходного процесса, вызванного возмущением. Регулируемый объект обычно обладает собственной инерционностью (печь, котел
и т. д.), замедляющей |
переходный |
процесс. Основным требованием, |
||||
помимо устойчивости, |
к системам |
автоматической |
стабилизации |
|||
является ограниченная |
величина |
погрешности в установившемся |
||||
и переходном режимах. |
|
|
|
|
|
|
С и с т е м ы а в т о м а т и ч е с к о г о |
у п р а в л е н и я |
предна |
||||
значены для изменения |
регулируемой |
величины |
в соответствии |
|||
с изменением управляющей величины. |
Управляющая |
величина |
в этом случае может изменяться по произвольному закону во вре мени, и это изменение является основным внешним возмущением..
Частным случаем систем автоматического управления являются; системы программного управления, отличающиеся только наличием^ дополнительного устройства, задающего определенную программу* (закон) изменения управляющей величины во времени.
С |
и с т е м ы а в т о м а т и ч е с к о г о |
к о н т р о л я предназна |
чены |
для автоматического измерения |
какого-либо параметра про |
цесса, который по отношению к самой системе автоматического контроля также может быть назван управляющей величиной. Пере мещение указателя измерительного или контрольного устройства может быть по аналогии названо регулируемой величиной, хотя по существу система автоматического контроля не вмешивается в производственный процесс и не регулирует его. Внешним возму щением для такой системы является*изменение управляющей вели чины (измеряемого параметра), происходящее в соответствии с из менением хода процесса. С этой точки зрения системы автоматиче ского контроля, если они включают в себя обратную связь по основ ному контуру (см. рис. 6. 2 ), формально аналогичны системам
автоматического управления.
Регулируемый объект в системе контроля отсутствует, хотя фор мально регулируемым объектом можно считать измерительное устройство. Мощность систем автоматического контроля в связи с этим обычно значительно меньше, чем мощность систем автомати ческой стабилизации и управления.
Общая структурная схема (см. рис. 6. 2) справедлива для всех
трех групп систем автоматического регулирования. Однако прак тические схемы, составленные на основании этой общей схемы для каждой из групп, будут существенно различаться. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся к схеме на рис. 6.1. Если в этой
схеме положить р = х = const и считать, что суммарная установив шаяся погрешность за счет х и момента нагрузки z укладывается
в заданную, то данная система будет обеспечивать с заданной точ ностью постоянство скорости вращения со, т. е. работать как система автоматической стабилизации. Предположим теперь, что мы хотим управлять величиной скорости вращения со при помощи изменения
угла |
р (например, по закону р= Ct, т. е. с постоянной скоростью |
— = |
— ) так, чтобы со изменялась пропорционально р. Из формулы |
dt |
dt / |
(6.2.), полагая z=const и x=Ct, можно убедиться в нецелесообраз
ности осуществления подобного |
режима. |
Действительно, в этом |
|
случае установившаяся погрешность |
|
|
|
|
k3C |
-Ь ■ |
|
( 1 |
t |
+ k |
|
+ k ) ' k o |
1 |
будет изменяться с течением времени, т. е. увеличение соу не будет соответствовать увеличению р.
Совершенно очевидно, что схема на рис. 6.1 не может быть
использована и для измерения скорости вращения детали. Возмож ная схема системы автоматического измерения этой скорости, составленная из тех же элементов, что и предыдущие схемы, пока зана на рис. 6.4. Здесь тахогенератор ТГ выполняет уже роль задающего элемента 1, преобразуя измеряемый параметр со=х в напряжение, подаваемое на датчик рассогласования 2 (сопротив ление R). Электродвигатель при этом будет вращать стрелку изме
рительного прибора и движок потенциометра 7 обратной |
связи |
до тех пор, пока разность Хо—*/о=Ао не сделается равной |
нулю. |
Тогда электродвигатель остановится и по шкале измерительного прибора можно будет сделать отсчет величины х=ш . При любом изменении со стрелка прибора соответственно передвинется.
Несмотря на существенные различия рассмотренных схем, осно вой для анализа их всех являются, очевидно, зависимости y= f(x,z) и Д =ф(х, г), имеющие во всех случаях одинаковый смысл.
Поэтому в дальнейшем при рассмотрении общей теории автомати
ческого регулирования мы будем применять одну и ту же форму записи дифференциального уравнения, не оговаривая типа автома тической системы, так как он определяется лишь назначением ее
и формой зависимости внешнего |
возмущения от времени, а эту |
|
зависимость в уравнение |
можно |
ввести в общем виде как x(t) |
и z(t). |
разбить |
все существующие автоматиче |
Целесообразно также |
ские системы на два больших класса: линейные и нелинейные си стемы автоматического регулирования.
Линейными называются такие системы, поведение которых мо
жет быть полностью описано системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Нелинейными называются системы,
у которых один или несколько из составляющих систему элементов характеризуются непропорциональной, нелинейной зависимостью между входным и выходным сигналами и поведение которых вслед ствие этого не может быть описано единой системой линейных диф ференциальных уравнений.
Вопрос о том, к какому классу следует отнести данную систему, имеет чрезвычайно важное значение, так как он предопределяет тот математический аппарат, который должен быть использован при
ееисследовании и проектировании.
Вприроде, как известно, практически не существует элементов со строго пропорциональными линейными зависимостями. С этой точки зрения все реальные системы теоретически следует считать нелинейными. Однако практически с достаточной для технических
задач точностью в значительном числе случаев существующими в системе нелинейностями либо можно пренебречь по их малости, либо исходя из реальных условий работы заменить их линейными зависимостями или, как говорят, линеаризировать их. В этих слу чаях систему можно рассматривать как линейную.
Если нелинейность оказывает существенное влияние на работу системы, то такую систему следует рассматривать как нелинейную. Вместе с тем некоторые элементы обладают нелинейной характери стикой (например, электрическое реле), линеаризация которой не допустима, так как нелинейность в этом случае определяет сам характер работы системы.
Рассмотрению работы и анализу существенно нелинейных си стем посвящены специальные разделы теории автоматического регулирования.
6.2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
6.2.1. Составление дифференциального уравнения
Для линейных систем при составлении дифференциального урав нения характеристики всех элементов предполагаются линейными, а параметры — не зависящими от времени. Очень важно предвари тельно оценить влияние на работу системы постоянных времени отдельных ее элементов. Учет каждой дополнительной постоянной времени повышает на единицу порядок дифференциального урав нения, поэтому в технических задачах всегда целесообразно пре небречь постоянными времени, мало сказывающимися на характере переходного процесса.
Методика составления дифференциального уравнения одинакова для всех систем автоматического регулирования. Начиная с регу лируемой величины (выхода системы) записывают по порядку (в направлении, противоположном направлению прохождения сиг нала) уравнения всех отдельных элементов системы плюс уравне ние рассогласования (хо—уо=Ао). Затем решают эту систему отно сительно регулируемой величины у или ее погрешности А, последо
вательно исключая все промежуточные переменные.
В качестве примера составим дифференциальные уравнения для схемы на рис. 6. 1, пренебрегая вначале для упрощения постоян
ными времени всех элементов, кроме электромеханической постоян ной тм электродвигателя. Внешним возмущением будем считать
изменение положения движка потенциометра Момент сопро тивления Mc = z на валу электродвигателя, определяемый нагруз
кой на деталь со стороны резца и трением, является внешним воз действием.
Используя уравнения отдельных элементов, приведенные в пер вой части книги, запишем уравнения всех элементов, обозна чая со = у:
Для электродвигателя [на основании выражения (4. 19)]
т« ^ Л У = К и а- ^ = К и з- к гг, |
|
at |
с |
где |
|
к |
- и z = M c. |
|
с |
Для магнитного усилителя
Для фазочувствительного выпрямителя
^ у= М о -
Для датчика рассогласования
До=лг0 у(,.
Для задающего потенциометра
x0= k 3x.
Для элемента обратной связи (тахогенератора)
(I)
(И)
(Ш)
(IV)
(V)
Уо— hy - (VI)
Решая эту систему, получим дифференциальное уравнение измене ния у во времени
7 7 + 0 + £ ) « /= £ |
Y ~ x - k zz, |
(6.4) |
иt |
Й() |
|
где k = kBkykako — общий коэффициент передачи системы. Установившееся значение уу можно найти или из формулы (6.1)
или непосредственно из выражения |
(6.4), приравнивая |
— = 0: |
||
|
k |
k3 |
kz |
(6.5) |
Уу |
------------- - х |
---------— z. |
||
1 + |
k /IQ |
1 + k |
|
|
Дифференциальное |
уравнение |
для погрешности |
Д—у3 —у ^ |
|
= -k2-х —у можно найти либо |
непосредственно из системы уравне |
|||
но |
|
|
|
|
ний (I) —(VI), либо из уравнения (6.4), подставляя в него у —
т«£(£*-4)+(,+*>(t'-*)-* ixk -k‘z■
откуда
тм— + (1+Л)Д=ти -^. — +^-л:+А:гг. |
(6.6) |
||||
“ d t 1 v |
1 ’ |
и k0 d t ' k0 |
~ |
г |
к ’ |
В уравнениях (6.4) |
и (6. 6) в левой части стоит функция от инте |
||||
ресующей нас переменной величины у или А, а |
в |
правой |
части — |
функции от управляющей величины х и внешнего воздействия г.
Это правило справедливо для любого дифференциального уравне ния как отдельных элементов, так и целых систем автоматического регулирования. Левая часть определяется самой системой и тем, какие элементы в нее входят, и не зависит от внешних возмущений. Правая часть определяется внешними возмущениями, в зависимо сти от формы которых решения дифференциальных уравнений бу
дут иметь тот или иной вид. |
|
|
|
|
Если теперь учесть постоянную времени |
ту магнитного |
усили |
||
теля, то, как было показано в разд. 2.2, |
уравнение (II) |
следует |
||
записать в виде |
|
|
|
|
ту |
+ |
= |
|
(Н') |
Аналогично предыдущему решаем систему уравнений (I), (II'), (III) — (VI) относительно у. Для этого из (I) находим U„ и под ставляем в (II'). Туда же подставляем Uy, найденное из уравнений (III) — (VI).После преобразований получим, обозначая kBkykak0= k:
v . ^ |
+ |
< |
* |
, + |
^ + 0 + * > * = * |
|
|
£ + * ) • |
(6Л ) |
|||
Подставляя |
|
сюда |
у = — х — Д, найдем |
уравнение |
для погрешно- |
|||||||
сти Д: |
|
|
|
|
|
k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
- ^ - + ( ту+ т« )^ 7 + (1+ ^ ) л = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
" |
j |
r |
h |
T “ |
S |
+ (T' + t |
J |
л " + д |
; ] d-+h +Ч z )т-' |
( 6 - 8 ) |
|
Если |
учесть |
теперь |
и |
постоянную |
времени |
тэ |
цепи обмотки |
управления электродвигателя, то в соответствии с (4.17) уравне ние (I) следует записать так:
d2y d y I „ __ и тт и ~ /Т/\
Решая систему уравнений (Iх) , (II'), (III) — (VI) аналогично предыдущему, получим для этого случая
т>т,т“ |
+ V » ) 5 + |
(т»+ т“> л + (1 + |
? = |
|
= 4 ^ д г - й , ( т , ^ + г ) ; |
(6. 9) |
|
V aT« |
+ (ТуТ« + тэ^м)— + (^у + ^м)— + (1+й)Д = |
||
= *7 [ТУТ8Т“ ^ + ( V . + ТЭТ“) |
+ (ТУ+ т«) |
х ] + |
|
|
+МТУ^ + 2)- |
(6,10) |
Как видно, с учетом каждой дополнительной постоянной вре мени порядок дифференциальных уравнений действительно каждый раз повышается на единицу. Легко заметить также, что в рассмат риваемой системе, если x = f(t), то и установившаяся погрешность меняется во времени. Для случая х = const И 2 = const все производ
ные от них равны нулю и установившаяся погрешность системы независимо от порядка уравнения системы имеет одну и ту же величину
4'- г Ь ( * '+ « 4 |
<6Л,) |
так как она определяется после окончания всех переходных процес сов в системе.
Примем общую форму записи левой части дифференциального уравнения, при которой все коэффициенты обозначаются а<, где индекс I возрастает от нуля по мере понижения порядка производ ной. Тогда для случая x=const и 2 =const уравнения (6.4), (6. 8) и (6. 10) после деления их на (1 +&) примут вид
|
|
|
|
k3 |
. |
|
|
|
|
|
|
Тм - |
|
|
— х |
+ kz Z |
|
|
|
|
|
- |
|
_22________ |
|
( |
6 |
. |
) |
|||
\ |
+ k |
d t |
|
i + ь |
|
|
|
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
ДД |
I |
* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
|||||||
|
|
а0 - |
+ |
Д = Ду; |
|
|||||
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
Ь Хм 2Д |
|
ТУ+ хи |
db. |
|
X + kzZ |
|
|
|
|
|
| |
| Д— k° |
— Д |
(6.14) |
|||||||
1 + k d& 1 |
1 + k dt ' д |
i+ ft |
y |
|
|
|
|
|||
или |
|
Д2Д |
|
ДД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д = Д у; |
|
(6.15) |
|||||
|
|
aQ-------p a* |
— + |
|
||||||
|
|
0 dt2 ^ |
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|