книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства
..pdfи т. д., вырезанных из следующей таблицы, составленной из коэф фициентов характеристического уравнения:
в которой все коэффициенты с индексом, большим п, заменены ну лями и для определенности знаков коэффициентов характеристи ческого уравнения принято ао>0.
Так, например, для системы первого порядка (п=1)
|
|
|
|
|
До/?-(-Дх=0 |
|
|
|
|
||
условие устойчивости |
по |
Гурвицу (при о<С>0): a i> 0 (в уравнении |
|||||||||
(6.13) |
а, = 1]; |
|
порядка |
(«= 2) |
|
|
|
|
|||
для системы |
второго |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а ^р ^ -\-а ^р a<i=-§ |
|
|
|
||||
условия |
устойчивости |
по |
Гурвицу |
(при |
Оо>0): |
|
|||||
|
ах> 0 |
и |
a-flo = а 1а2> 0 , |
т. е. и |
а2> О |
|
|||||
|
|
|
|
О а2 |
|
|
|
|
|
|
|
[в уравнении |
(6.19) |
а2=1]; |
|
|
|
|
|
|
|||
для системы |
третьего |
порядка |
(п=3) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
OQP3-|-и^р2-f а2р -|- а3= О |
|
|
||||||
условия |
устойчивости по |
Гурвицу |
(при |
ао>0): |
|
||||||
|
|
ai > |
0; |
ага0 |
—CL1&2 |
^0^3 0 |
|
|
|||
|
|
CL3^2 |
|
|
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CL]CLQ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ага0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cb^X<^JL\ |
— аз |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
—Я3 (а\а2 |
|
|
|
||||||
|
|
0 0 а3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из третьего неравенства при учете второго |
следует, что а3> 0 . |
||||||||||
Но если #о>0; fli> 0 |
и аз^>0, то из второго неравенства следует, что |
||||||||||
02>О. Следовательно, |
полученные |
неравенства |
можно |
переписать |
|||||||
и так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#о > 0 ; |
|
#2^ 0; |
я3 |
0; |
|
^1^2 —^о^з ^ |
0 |
[в уравнении (6. 23) а3=1]. Как видно, только положительности ко эффициентов уже недостаточно для устойчивости систем выше второго порядка.
Попробуем с помощью критерия Гурвица выяснить влияние на устойчивость коэффициента передачи k системы. Для этого рас шифруем последнее из полученных неравенств применительно к уравнению (6. 16):
тут„ + тэтм ту + тм |
ТуТэтм |
> 0. |
|
а \а2 —&оаз — T + k |
\ + k |
l +k1 |
Если умножить всё выражение на (1+Л ), то его можно запи сать так:
(тутм + т9тм) (ту + тм) > тут8тм (1 + k).
Очевидно, что при увеличении k при определенном k = kmaic не равенство превращается в равенство и устойчивость теряется. Сле довательно, в системе третьего порядка максимально допустимый коэффициент передачи ограничивается величиной, определяемой из выражения
Для более сложных систем, имеющих порядок выше третьего, исследование влияния параметров на устойчивость становится с по вышением порядка все более сложным и требует все более гро моздких вычислений. Практически изменение любого параметра системы приводит к новому характеристическому уравнению, т. е. к необходимости заново применить критерий Гурвица. При этом оказывается трудным выявить влияние отдельных параметров на устойчивость системы в целом. В связи с этим критерий Гурвица применяется сравнительно редко и главным образом только для исследования простейших систем не выше третьего порядка.
7.2. 2. Характеристики разомкнутой и замкнутой системы
Если разорвать цепь прохождения сигнала со стороны обратном связи около датчика рассогласования, то передаточной функцией W (р) разомкнутой системы будем называть произведение переда точных функций всех звеньев системы в цепи прохождения сигнала от входа в датчик рассогласования до места ее размыкания:
«'(P)=r- ^ = S , ( P ) S 1(P). -S. (/»=■££.
где выражение Q (p )= 0 является характеристическим уравнением разомкнутой системы.
Передаточной функцией замкнутой системы К(р) будем назы вать отношение изображения Y(р) выходного сигнала (регулируе
мой величины) к изображению Х (р) входного сигнала (управляю щей величины) при нулевых начальных условиях:
К (Р )=
Используя формулу (7. 12), легко установить связь между пере даточными функциями замкнутой и разомкнутой системы, являю щуюся одной из важнейших в теории автоматического регулиро вания:
к , ) _ Y (P) _ |
W ( P )ISQ(P ) _ |
1 |
W(p) |
_ R(p) |
(7.25) |
|
Х(р) |
\ + W{ p ) |
SQ(p)' |
1 -М П /0 |
N(p) |
||
|
где выражение N ( p )= 0 является характеристическим уравнением замкнутой системы.
Если в W (p) подставить / о вместо р, то, как уже отмечалось, получим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой си стемы
Г(у»)=^,
X{JU>)
широко используемую при исследовании устойчивости, а из выра жения (7 .2 5 )— амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы
W(jo)
50(уи) 1+ Г(у<0)
или для большинства практических случаев, когда 5 0(/(о) = 1,
где М(ш) — модуль, а ор (со) — фазовый угол.
Если характеристика W(ju>) построена графически, то |
величи- |
ну K (j со) можно определить из того же графика, проводя |
в точки |
на характеристике W (j со) отрезки-векторы из точки — 1, /= 0 . Оче |
видно, что эти векторы определяются |
выражением |
l + W(jto) |
(рис. 7.7). Следовательно, для каждой частоты М(со) |
равен отно |
|
шению длин этих отрезков, а ф(со) — углу между ними. |
, |
|
В 1932 г. Найквист показал, что об |
устойчивости |
усилителей |
с обратной связью можно судить по амплитудно-фазовой характе ристике разомкнутого усилителя. В 1938 г. А. В. Михайлов распро-
странил это правило, называемое амплитудно-фазовым критерием устойчивости, на системы автоматического регулирования.
7. 2. 3. Критерий устойчивости Найквиста
Достоинство этого критерия заключается в том, что при его ис пользовании можно довольно просто оценить устойчивость системы любого порядка. Кроме того, уравнение разомкнутой системы, как правило, проще получить, чем уравнение замкнутой системы,
аамплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы может быть легко получена и экспериментальным путем.
При оценке устойчивости системы нас интересует только харак тер переходного процесса после некоторого внешнего возмущения,
ане абсолютные установившиеся значения регулируемой величины. Все постоянные внешние воздействия, как было показано, входят в правую часть дифференциального уравнения системы и опреде ляют величину установившегося значения регулируемой величины, поэтому при оценке устойчивости мы их можем не учитывать.
Если переходный процесс в системе, вызванный изменением управляющей величины, будет затухающим, то он будет затухаю
щим и при любом другом внешнем возмущении. Следовательно, введенное нами понятие амплитудно-фазовой характеристики мо жет быть использовано для общей оценки устойчивости системы
независимо от природы возмущений, возможных в реальных усло виях работы.
Разомкнутые системы автоматического регулирования в боль шинстве случаев устойчивы. При устойчивой разомкнутой системе
амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найквиста формулиру ется так: замкнутая система автоматического регулирования устой чива, если ее амплитудно-фазовая характеристика W(j и) в разомк нутом состоянии при изменении частоты а>от —оо до +оо не охва тывает точку с координатами (—1; j= 0). В силу симметрии полу
чающейся кривой обычно строят только одну ее половину для зна чений ю от 0 до +оо.
Рис. 7.8. Примеры амплитудно-фазовых характеристик
На рис. 7.8 показаны примеры амплитудно-фазовых характе ристик устойчивых систем. Кривая 1 является амплитудно-фазовой
характеристикой системы автоматического регулирования первого порядка или любого инерционного звена. Характеристика не охва тывает точку (— 1; / = 0), т. е. система, эквивалентная одному инер ционному звену, всегда устойчива. Кривая 2 является амплитудно
фазовой характеристикой последовательного соединения двух инер ционных звеньев:
kx |
k2 |
W U *)= Si О ) 5 2 (уш), |
|
(1 + /Но) |
(1 + Л2ш) |
||
|
г. е. соответствует системе второго порядка. Как видно, характери стика такой системы также не может охватывать точку (— 1; / = 0), т. е. система второго порядка при положительных коэффициентах
Для пояснения формулировки критерия Михайлова напомним, что характеристическое уравнение замкнутой системы
|
N (р )= а 0рп-f ахрп~1+ а 2Рп~2-\- |
+ an-iP 4~ап= 0 |
||
может быть |
записано и в такой форме: |
|
||
|
N(p) = a0( p ~ p 1)(p — p2)(p — P3) • |
• (P~Pn)=Q- |
||
•Тогда |
|
|
|
|
|
N (у'ш)=а0 (у® - р х) (У® — /?2) . |
. (уш- />„), |
||
где |
каждая |
из скобок является |
разностью векторов / © и pi |
|
(рис. |
7.9, а), |
также представляет |
собой |
вектор, начинающийся |
в точке с координатами корня pi |
и |
кончающийся |
в точке / о |
|||
(рис. 7. 9, а) на оси ординат. При изменении © от 0 |
до |
+оо каждый |
||||
из векторов / ©—pi корней, расположенных |
слева |
от |
оси ординат |
|||
повернется на |
а каждый из векторов корней, |
расположенных |
||||
справа от оси |
ординат, повернется |
на |
— |
Если |
всего корней п |
и все они расположены слева (т. е. система устойчива), то общий угол поворота вектора Ы(}ш), равный сумме углов поворота от
дельных векторов / ©—pit будет равен +п -у,т. е. кривая, описывае
мая концом вектора N(j ©), действительно должна последовательно пересечь п квадрантов комплексной плоскости. Если хотя бы один
из корней оказался справа от оси ординат, то суммарный угол по
ворота уменьшится |
и станет равным |
|
a r g N ( M = ( n - \ \ ) f — |
2) f , |
|
т. е. уже не будет |
равным я - и кривая, |
описываемая вектором |
N(ju>), будет пересекать меньше чем п квадрантов.
Используя амплитудно-фазовую характеристику, можно опре делить запасы устойчивости устойчивой системы по амплитуде AW'0 и фазе Дф. Действительно, запишем амплитудно-фазовую харак
теристику в виде
где №о(со)— ее модуль. Граница устойчивости соответствует про хождению характеристики через точку (— 1, / = 0), т. е. одновремен ному выполнению условий
Г 0(ш)=1,
<р(ш)=— Я.
Если выполнить только второе условие (точка а на рис. 7 8),
то очевидно, что запас устойчивости по амплитуде равен ДЦ70. Если выполнить только первое условие (т. е. найти на характеристике точку Ь, для которой Л70((0б) = 1), то запас устойчивости по фазе
очевидно равен Дф.
На рис. 7. 9, б показаны кривые 1, 2 и 3 Михайлова, соответст
вующие устойчивым системам первого-третьего порядков, анало гичным рассмотренным на рис. 7.8 (одно инерционное звено — кри вая 1, два последовательно соединенных инерционных звена — кривая 2, три последовательно соединенных инерционных звена — кривая 3). Кривая 4 соответствует устойчивой системе четвертого порядка, а кривая 5 — устойчивой системе пятого порядка.
При ш = 0 модуль вектора N(j со) равен \ +k, а фазовый угол —
нулю. |
При (о— оо, модуль стремится к бесконечности, |
а фазовый |
угол |
для устойчивой системы — к д ^ -П р и увеличении |
k кривые |
смещаются вправо параллельно самим себе, что при определенной величине k = femax (пунктирная кривая) может привести к потере
устойчивости для систем начиная с третьего порядка, так как при общий угол поворота вектора N(ju>) станет меньше, чем
п —. Очевидно, что отрезки О—А характеризуют запасы устойчиво
сти по амплитуде для устойчивых систем.
7.2. 5. Применение критериев к исследованию устойчивости
Оценку устойчивости в общем случае выполняют путем построе ния амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы или кривой Михайлова. Для этого задаются частотами в интервале О—оо, для каждой частоты находят точку характеристики и затем соединяют их плавной кривой. Обычно весь диапазон частот 0—сю Не требуется, так как наиболее важный участок характеристики (около точки — 1; / = 0) строится для значительно более узкого диапазона частот, а остальная часть характеристики в этом случае нас уже не интересует. В ряде случаев можно совсем не строить характеристику, если можно представить ее форму путем логи ческого анализа и при этом выясняется, что она не подходит близ ко к точке (— 1; /= 0 ) .
Задачу определения максимального значения коэффициента передачи, при котором система еще остается устойчивой, также иногда можно решить аналитически без построения характеристик, тем более, что их придется строить в этом случае несколько до тех пор, пока одна из них не пройдет через точку (— 1; / = 0). При аналитическом определении kmax используется условие прохожде
ния характеристики через точку (— 1; / = 0), т. е. границы устой чивости, которое определяется, очевидно, равенствами:
действительная |
часть W (/ сот ) = — 1, |
мнимая часть |
W(jtom)= 0. |
Из этих двух равенств можно определить частоту сот и kmax, со
ответствующие прохождению |
характеристики через |
точку (— 1; |
/ = 0). |
Михайлова граница |
устойчивости |
При использовании кривой |
||
будет (пунктир на рис. 7. 9, б) |
при прохождении этой кривой через |
начало координат, когда нарушается последовательное чередование квадрантов. Следовательно, для определения (от и 1+4пах необ ходимо приравнять нулю в отдельности вещественную и мнимую части выражения N (j со).
Если аналитическое определение более сложно, чем графиче ское построение, то для того чтобы не строить несколько раз ампли тудно-фазовые характеристики при разных значениях &, можно вос пользоваться «удельной» или «нормированной» амплитудно-фазо вой характеристикой
к
В этом случае (рис. 7. 10, а) удельная характеристика строится один раз для всех значений k, так как от k она теперь не зависит.
Об устойчивости теперь судят по тому, охватывает ли удельная
характеристика точку
стика не изменяется, а точка |
перемещается относи- |
тельно нее. Таким образом легко находится значение Атах, nph ко
тором точка ^ — / = O.j попадет на удельную характеристику.
Использование амплитудно-фазовой характеристики очень на глядно показывает влияние на устойчивость последовательно вклю ченных интегрирующих звеньев. Действительно, возьмем, напри мер, амплитудно-фазовую характеристику (кривая 1 на рис. 7. 10, б)
всегда устойчивой системы второго порядка:
где Wo(о>)— модуль Го(усо).
Рис. 7.10. К исследованию устойчивости
При последовательном включении дополнительного идеального интегрирующего звена [см. выражение (7.24)]
(О результирующая амплитудно-фазовая характеристика
W lV-w)= W0 (jib) S H(уш) = r 0 Н |
—J^(“)+ \ |
А - |
|
|
О) |
повернется (кривая 2) во всех точках |
на дополнительный угол |
——, причем при о — 0 произведение |
Г 0(со) — будет стремиться |
2 |
<*> |
к оо. Как видно, устойчивость системы ухудшилась, так как при некоторых значениях k полученная характеристика может охватить
точку (— 1; /= 0 ) и система потеряет устойчивость. Если подклю-