книги / Строительная механика.-1
.pdfПериоды собственных колебаний без учета податливости осно ваний принимают следующие значения:
Т\= — =0.21с; |
72 = — = 0.075 с; |
Я = — = 0.05 с. |
о>1 |
а>2 |
<&з |
Значения коэффициентов динамичности для каждой формы ко лебаний определяются из обобщенного графика, изображенного на рис. 5.15:
а) с учетом податливости основания:
кД{\) = 1*7* *Ж2) = 1-8; кд {з) = 25;
б) без учета податливости основания:
кД(1)~ЗЯ> кд(2)= 3 .q; km - 25.
6.Определить спектральные значения сейсмических сил с учетом всех форм колебаний и построить
эпюры моментов и поперечных сил
Спектральные (максимальные) значения сейсмических сил с учетом всех форм колебаний вычисляются следующим образом:
|
а) с учетом податливости основания сооружения: |
|
||||
|
з |
|
|
з |
|
з |
|
I \ = X |
кд(у) Уо*8* Л1у= Уо** X Щ кд(у) Л1у = Щ |
X *д(у)Л1у= |
|||
|
V=1 |
|
|
V=1 |
|
V=1 |
=300 0.4 9.81 (1.7 1.23 - |
1.8 0.29 + 1.810.06) = 1177.2 (2.091 - |
|||||
-0.522 + 0.19) = 1975 кН; |
|
|
|
|||
|
/2 = Щ у Г 1Х*жу) Л2у = |
300 0.4 9.81 (1.7-0.97 - |
1.8-0.17 + |
|||
|
|
У=1 |
|
|
|
|
+ |
1.81-0.14) = |
1177.2(0.85 + 0.506 - 0.253) = 2003 кН; |
||||
|
П = т У<Г |
Чз» - |
300 0.4 9.81 (1.7 0.5 + 1.8-0.37 + |
|||
|
|
У=1 |
|
|
|
|
+ |
1.81-0.12) = |
1177.2 (0.85 + 0.666 + 0.217) = 2040 кН. |
||||
|
б) без учета податливости основания сооружения: |
|||||
|
/, = щ уГ " £**(»> 41» = |
1177.2 (3.8-0.97 - |
3.0-0.29 + 2.5 0.06) = |
|||
|
|
У=1 |
|
|
|
|
= |
1177.2 (3.686 - 0.87 + 0.15) = 3492 кН; |
|
|
|||
|
/г = щ y f * £*}<», 42» = |
И77.2 (3.8-0.97 - |
3.0-0.17 + 2.50.14) = |
|||
= |
1177.2 (3.686 + 0.51 - |
0.35) = 4528 кН; |
|
|
231
/ 3 = щ у£“* £ % ,) лзу = 1177.2 (3.8 0.5 + 3.0 0.37 + 2.5 0.12) «
V=1
= 1177.2 (1.9 + 1.11 + 0.3) = 3897 кН;
Эпюры моментов (а) и поперечных сил (б) изображены на рис. 5.18. Пунктир на рис. 5.18 относится к случаю, когда податли вость основания учитывалась, сплошные линии относятся к эпю рам без учета податливости основания.
5.9.Поперечные колебания балки с распределенными па
раметрами
Рассмотрим свободные колеба ния балки с постоянным попе речным сечением площадью F, плотностью р материала конструк ции, без учета диссипативных свойств системы (рис. 5.19, а).
Дифференциальное уравнение колебания системы с учетом следующго дифференциального соот ношения теории изгиба имеет вид:
= (5.81)
Здесь q(z,t) — распределенная
Рис. 5.19
инерционная нагрузка, которая
возникает при движении балки:
q(z,t) = -mz y(z,t) = -pFy{z,t) , |
(5.82) |
232
где mz = р F— распределенная масса балки.
Совместно рассматривая соотношения (S.81) и (S.82), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний балки без
учета диссипативных свойств системы: |
|
ЕГх а*К*>'КрР№ ,1) = 0. |
(5.83) |
dz |
|
Если учесть затухания колебания по Фойхту в вынужденном ре жиме при действии внешней нагрузки P(Z,f) на балку, дифферен циальное уравнение (5.83) преобразуется в виде
Elx |
+ a.EJx |
+ Р Fy(z, t) = P(z,t), |
(5.84) |
d z |
oZ |
dt |
|
т.е. для исследования вынужденного движения балки необходимо рассмотреть решение уравнения (5.84), при заданных граничных условиях закрепления балки и начальных условиях задачи.
Рассмотрим решение задачи в свободном режиме колебания. Для решения задачи применим метод разделения переменных,
y{Z,t) = Z(z)B(i) = Z(z)sinoj/. |
(5.85) |
|||
Подставляя решение (5.85) в уравнение (5.83) и, принимая обо- |
||||
значения |
|
|
|
|
»4 |
Р ^ Ц 2 |
(5.86) |
||
Р " |
EJ |
’ * |
||
|
||||
получим: |
|
|
|
|
Z (IV) - p4Z |
= 0. |
(5.87) |
||
Решение последнего уравнения запишем в общем виде |
|
|||
Z = Q sin pz + С2 cos рz + Cj shpz + С4 chpz. |
(5.88) |
Произвольные постоянные С,- (/ = 1, 2, 3, 4) должны быть опре делены из граничных условий закрепления балки.
Предположим, что рассматриваемая балка закреплена в обоих концах шарнирно. Тогда на каждой опоре прогиб у и изгибающий
момент EJy $у_ обращаются в нуль, следовательно, учитывая ре с dz1
шение (5.88), имеем
233
dlZ{0) = 0; |
Z(/) = </2Z(/) 0. |
Z(0) = dz2 |
rfz2 |
Из первых двух условий вытекает, что С%—С+= 0. Из двух дру гих получим
f Cisinpf+Cashp/ = 0; {-Ci sin р/ + Сз shp/ = 0.
Приравниваем нулю определитель этой системы:
sin р/ |
sh р/ |
—sinр/ |
= 0 , |
shp/ |
откуда имеем sin р/ shp/ = 0.
Но так как гиперболический синус обращается в нуль только при р /= 0, то остается sinp/=0 или р1= in ( /= 1, 2,...), или со гласно (5.86), выражение частоты собственных колебаний прини мает вид
(5.89)
В зависимости от значения /= 1, 2,... по формуле (5.89) опреде ляется спектр частот собственных колебаний соответствующий соб ственным формам, показанным на рис. 5.19, 6 — г. Упругая линия балки, учитывая, что = Cj = Q = 0, при i-й форме колебаний имеет вцц
„ |
_ . |
niz |
|
Zj = Q sin —j—. |
|
||
Окончательная формула по определению прогиба балки, со |
|||
гласно (5.85), записывается в виде |
|
|
|
• |
°° |
n i z |
sin©//, |
^ , 0 = lT /(V ) = I Q |
sin |
||
/=1 |
/=1 |
/ |
|
здесь С\—определяется из начальных условий задачи, в зависи мости от способа возбуждения колебаний балки.
5.10. Определена основной частоты собственных колебаний консольной балки (задача № 16)
Требуется определить основную частоту собственных колебаний консольной балки с постоянным поперечным сечением (рис. 5.20).
234
КУ |
|
|
Для определения функции |
|
|
z |
Z B данном случае имеем |
< ’ |
'\ |
следующие граничные усло- |
|
/ |
вия: |
||
N------------ |
----- н |
||
|
|
Рис. 5.20 |
УФ>0 = УФ, 0 = 0; |
|
|
|
Mx(l,t) = Qy(l,t) = 0. |
откуда получим
Z(0) = Z'(0) = 0;
rf2Z (0 d3Z(l) (5.90) Л 2
Подставляя выражение (5.88) в граничные условия (5.90), будем иметь
С2 + С4 = 0; С] + С3 = 0
-Cj sin р / - С2cos р / + C3sh р / + C4ch р / = 0; -Cj cos р / + С2 sin р / + C3ch р / + C4sh р / = 0 .
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
—sin р/ |
-co sp / |
|
sh р/ |
= 0, |
|
chp/ |
|||
-co sp / |
sinр/ |
|
chp/ |
shp/ |
отсюда имеем sh р/ cos р/ = -1 .
Наименьший корень этого трансцендентного уравнения прини мает значение р /= 1.875.
Учитывая соотношение (5.86), находим частоту основного (наи меньшего) тона колебаний
_ 1 1Ш
/2 VP Г
5.11. Колебания твердого тела на поверхности упругого инерционного основания
К динамическим контактным задачам приводят проблемы расчета сооружения на сейсмостойкость, расчета фундаментов под машины, фундаментов зданий и сооружений, воспринима ющих динамическую нагрузку в эксплуатационном режиме.
235
Амплитуду колебаний сооружения и динамические напряже ния в основании можно определить в результате решения динами ческой контактной задачи. При этом массивный фундамент под машину или жесткое сооружение можно рассматривать как аб солютно твердое недеформируемое тело.
В данном разделе сначала излагается общая теория расчета жестких массивных сооружений, лежащих на поверхности упруго го инерционного основания, при действии динамических нагрузок, а далее рассматриваются конкретные примеры расчетов.
Для определения параметров колебаний жесткого сооружения с шестью степенями свободы обычно применяется расчетная ди намическая модель основания в виде линейно-деформируемого однородного изотропного полупространства (рис. 5.21). Механи ческая модель основания в общем случае для каждого из шести видов перемещений тела в декартовой системе координат (три поступательных перемещения по пространственным координатам и три вращательных относительно координатных осей) представ ляется в виде модели Фойгта (рис. 5.22), т. е. в виде параллельно включенных пружин и демпфера. При этом пружина характеризу ет хвазистатическую жесткость основания, а демпфер — акусти ческую жесткость основания и описывает излучение плоских волн в основании, возникающих в результате взаимодействия жесткого тела с упругой средой. Точного решения динамической контакт ной задачи о взаимодействии твердого тела с конечными раз мерами в плане с упругой средой до настоящего времени не получено, а имеются лишь асимптотические решения.
Приближенность имеющихся асимптотических решений не по зволяет учитывать кривизну волнового фронта, излучаемого твер дым телом конечных размеров в плане.
Данное обстоятельство приводит к тому, что доля энергии, излучаемой в основании при взаимодействии абсолютно твердого тела с упругой средой, получается несколько завышенной. При этом следует учесть, что рассеяние энергии в рассматриваемой системе происходит не только за счет безвозвратного излучения волн в основании, но и за счет внутреннего трения материалов основания. Как показывают результаты экспериментальных ис-
236
Рис. 5.22
следований, при решении практических задач, если воспользовать ся результатами асимптотических решений динамических задач, нет необходимости в дополнительном учете рассеяния энергии за счет внутреннего трения материалов упругого однородного изо тропного основания, так как в данном случае существует пример ный баланс между излучаемой энергией в основании без учета кривизны волнового фронта и суммарной потерей энергии за счет внутреннего трения материалов среды и излучаемой энергии с уче том кривизны волнового фронта.
Реакции упругого полупространства на контактной поверх ности с твердым телом (см. рис. 5.22) с шестью степенями свобо ды с учетом принятых предпосылок записываются в следующем
RAt)=cxux(t)+rjxux(t);
д,(0=^«,(0+»/А(0;
Rz(t)=cMt)+riMt); |
(5.91) |
R<px(t)= с9х(рх( 0 + Tj9x<px(0 ;
R?y( 0 = с9у(ру( 0 + *19уфу(t);
R<pz (0 — C q a V z (0 "Ь Ц р г Ф х (0i
где приняты следующие обозначения: Rx, Ry, Rz — соответственно результирующие реакции основания, направленные по координат ным осям х, у, z; Rpx, R^y, R9Z— соответственно результирующие моменты относительно координатных осей х, у, z; их, иу, иг, q>x, <ру, фх— линейные и угловые перемещения твердого тела относитель но координатных осей; сх, су, сг и c9Xi с9у, с91 — квазистатические жесткости основания при равномерном и неравномерном сдвигах,
237
сжатии или растяжении основания по координатным осям на контактной поверхности; rjx, jjy, цг и rjvx, rjvyt ti9Z— акустические
жесткости основания при равномерном и неравномерном сдвигах, сжатии или растяжении основания по пространственным осям на контактной поверхности.
Для принятия модели среды в виде однородного изотропного упругого инерционного основания выражение жесткостей было определено как результат асимптотических решений динамичес кой контактной задачи между твердым телом и упругим полупро странством. Ввиду громоздкости этих решений, приведем лишь выражения жесткостей основания, необходимых для выполнения прикладных расчетов:
Ж р $ |
г- |
4ра* |
|
|
сх=су=-=-------- y/F, сг= —=-------- |
|
|
||
У*(7-8д) |
у /п (1 -р ) |
|
|
|
8.52/М2 JFX |
8.52paf |
Jfy |
4ра% |
JFZ |
” |
у/п(\-р)у/ 7 *Z y /n (i - p )jF |
|||
18.24(1—/д)/»Д2 |
3 .4 ^ 1 - 2 / i pa, |
(5.92) |
||
Пх=Цу=- _ -п |
- F\ Пг= ~--------- r = |
F ; |
||
«(7-8/1) |
|
(1-д)Яч/2(1-Д) |
|
|
|
|
|
||
1.6-У1- 2ppa. |
|
\.6^J\-2fipax |
|
|
*(l-/i)V2(l-/i)/д» |
'п(1-11)у/2(1-ц) |
|
3.4-y/l—2/ipaj (1-/1)Л>/2(1-/1)
Здесь приняты следующие обозначения: р, ц — плотность и коэффициент Пуассона материалов основания; а, и а2 — скоро сти распространения продольных и поперечных волн в среде основания; F — площадь контактной поверхности между твер дым телом и основанием; JFx и JFy— моменты инерции фигуры контактной поверхности относительно главных центральных осей инерции х и у (см. рис. 5.21), / л = / л + / д, — полярный момент инерции той же фигуры. Например, если контактная поверхность имеет форму прямоугольника с размерами по координатным осям х и у соответственно Lx и Ly, то в данном случае имеем
LJA ЬХЦ
F=LJLy\ / , = — ; / У= — А
у12 У 12
Бели контактная поверхность имеет форму сплошного круга диаметром Д то в этом случае получим
238
; JFx—Jfy
4
Если же контактная поверхность имеет форму круглого кольца с наружным и внутренним диаметрами соответственно
D и d, то
F=-(D2-d*); JFx=JFy=^-(D*-d*).
4 |
64 |
Для расчета параметров колебания твердого тела при произ вольном характере нагружения сначала необходимо определить дифференциальные уравнения движения рассматриваемой систе мы. Далее, исходя из сути рассматриваемой проблемы нужно сформулировать начальные условия задачи. С учетом начальных условий задачи из решения уравнения движения системы опреде ляются параметры колебания твердого тела. Заметим, что при самом общем характере нагружения твердого тела с шестью степенями свободы нужно сформулировать шесть уравнений от носительно шести неизвестных параметров движения тела: их(/), иу(/), uz(t), q>x(t), <py(t), Для этого достаточно воспользовать ся методом сечений. Задавая сечение на контактной поверхности
исоставляя все шесть уравнений равновесия от всех внешних сил
имоментов относительно координатных осей:
2ЛГ=0; 2 Г = 0 ; 2 Z = 0; 2 т Л= 0; Zmy=0; 2mz= 0, (5.93)
получим шесть необходимых дифференциальных уравнений от носительно шести искомых факторов задачи, из решения которых при заданных начальных условиях и определяются искомые пара метры задачи.
После определения параметров колебания твердого тела в со ответствии с принятыми выше предположениями, на поверхности в произвольной точке с координатами \x\^Lx/2, |y|^L ,/2, z= 0 определяются контактные напряжения:
<Ггх(х, У, t)= J (йх(0 + у ф :(t))+Dz(х, y)cx[ux(t)+y<px(t)]j
°zyix, у , t)= V~(йу+- xq>z(t))+ Dz(x, y)cy[ux(t)+xq>z(t)];
(5.94)
y, t)=j (uz(0 + уфх(t)+хфг(0) +
+ A (*, У)[CtUx(t) + c9Xyq>x(it)+c9yx<py(01-
239
Если контактная поверхность имеет форму прямоугольника, то функция Dx(x, у) определяется по формуле
Ъ ( х , у ) |
(5.95) |
** Л Н т .
аесли контактная поверхность имеет форму сплошного круга диаметром D, то
А ( г) |
(5-96) |
где г=л Д ч ? .
Наконец, если жесткое тело имеет бесконечно большие раз меры по оси уу то в данном случае движение жесткого тела происходит в плоскости (х, z) и соответственно в вышеизложен ных выражениях результирующих реакций (5.91) и контактных напряжений (5.95) следует принимать
щ=и1=<рх=(рх=(рх=(р^0.
Выражение функции Dzимеет вид
Далее, в качестве примера рассмотрим вертикальное колеба ние твердого тела (рис. 5.23, а). Применяя метод сечения (рис. 5.23, б), составим уравнение равновесия E Z = 0 , тогда
Л (0 + Л (0 - Д г (0 = 0 . |
(5.98) |
Здесь Pz(t) — изменяющаяся во времени по произвольному закону внешняя сила, направленная по оси z; Iz(t)= —muz(t)— инерционная сила, направленная по оси z;m — масса тела.
Подставляя выражение инерционной силы и результирующей реакции основания в (5.98), получим дифференциальное уравнение движения тела на поверхности упругого основания в следующем виде:
»яШ + * а (0+<?а О )-Л (О - |
(5.99) |
240