книги / Строительная механика.-1
.pdfТаким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины
Щ - Щ - Щ - |
(5.22) |
Канонические уравнения метода сил в данном случае записы
ваются в виде |
|
У1“ £ 8^ Дг(/), (/-= 1 ,2 ,3 ,..., и). |
(5.23) |
Г=1 |
|
Подставляя (5.22) в (5.23) и после ряда преобразований, получим
Л » |
+ is* т к |
=.Д, sin 0 / , (/ = |
1, 2, 3.....я). (5.24) |
|
Здесь |
А/ = |
П |
|
|
£ 8 /* ^ -а м п л и т у д н о е значение перемещения /-й |
||||
|
|
к=1 |
|
|
массы, вызванное действием системы внешних сил Р/ (/)• |
||||
Частное |
решение |
системы уравнений |
(5.24) записывается |
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
У/(О = yf sin © /, |
(5.25) |
где y f — амплитуда перемещения i-й массы; © — частота вынуж
денных колебаний системы.
Выражение для определения инерционных сил принимает вид:
Zi (0 = - т , |
= т , в 2 y f sin 0 / = Z f sin 0 / , |
(5.26) |
где Z f = /и, © 2 y f - амплитудные Принимая обозначение
(О |
$ (О II |
величины инерционных сил.
0 2
(5.27)
~ тк
и с учетом (5.26) систему уравнений можно преобразовать к еледующему виду:
s i ,г ,° |
+S12 Z j + |
..• |
+ 8 i„ * l |
- 4 i ; |
821* 1° |
+852*2°+ |
••• |
+«2B * ° |
(5.28) |
|
|
|
|
|
8 „,z ,° |
8„2*2° |
••• |
«лл*л |
- А . . |
201
решение которого записывается в вш е
|
|
* |
' - |
М |
- |
|
|
|
(5.29) |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь D n Di — соответственно, определитель системы |
(5.28) и |
||||||||
определитель, полученный из D заменой элементов 6,* {к = |
1, 2...... |
||||||||
л) соответствующими свободными членами А/( / = |
1, 2,..., л), т.е. |
||||||||
8 и |
8 l2 |
•* |
5|Я |
|
|
|
|
|
|
D = 521 |
5*22 |
- |
52д |
; |
|
|
|
|
|
5/й |
8«2 |
- |
5in |
|
|
|
|
|
|
5li |
5l2 |
•• |
8 М_]i |
Д1 |
8 i,/+i |
•" |
8 i„ |
|
|
52I |
5*22 |
|
H i- 1 |
д 2 |
82,1+1 |
' " |
5 ^ |
|
|
А = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8„I |
8л2 |
- |
8 я,/_1 |
ди |
8 л^+1 |
' •• |
®яя |
|
Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (5.19), и поэтому при ©-► со„ т.е. при стремлении зна чения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных ко лебаний заданной системы, получим D -► 0, следовательно, Z f -> «
и согласно (5.26) yf ® , т.е. будет иметь место резонанс.
График зависимости yf от частоты © имеет вид, приведенный на рис. 5.5.
Рис. 5.5
Однако увеличение амплитуды yf колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды y f , в
202
частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности при 0 -> ©/ происходит значительное увеличение y f , при этом оставаясь конечной величи ной.
После определения z f из (5.29) с учетом (5.22) следует опре делить амплитудное значение внешних сил:
R ? |
= Р {° - Z /° , (/= 1, 2,..., л), |
(5.31) |
и по значениям |
(/ = 1, 2,..., п) определить амплитудное значе |
ние внутренних усилий.
Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил Rj(f) для статически неопределимых систем можно записать в виде
М? =.Мц R\ + Mi2 R$+...+Mik Rk ,
где Mik (к, i = 1, 2,..., n) — значение момента в i-u сечении при действии единичной силы Rk = 1 в точке к.
5.6.Пример динамического расчета рамы (задача № 14)
На раме с размерами, указанными на рис. 5.6, в точках 1 и 2 ус тановлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Д = 1 .2кН , размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0.015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой п = 600 об/мин.
Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е.
Jх = 3.29-104 м4; |
|
Wx =0.157-102 м3. |
|
|
|
I Gi=G |
|
Рама изготовлена |
из стали с |
харак |
|
|
<?,=<? |
||
теристиками £ = |
2.1-105 МПа, |
R - |
|
|
|
|
|
= 190 МПа. |
собственным |
весом |
4 |
1 |
2 |
|
|
Пренебрегая |
|
|
|
S |
|||
рамы и внутренним трением |
мате |
|
|
|
|||
|
|
|
j |
||||
риала, требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
1. Составить |
канонические |
урав |
|
|
|
|
|
нения по методу сил, определяющие |
| 3 |
* | |
- |
|
|||
свободные колебания рамы, и полу |
|с |
,= 6 “ |
>1к |
|
|||
чить значения частот и периодов соб |
|
||||||
ственных колебаний рамы. |
|
|
|
Рис. 5.6 |
|
||
2. Вычислить отношения амплитуд |
|
|
|
|
203
и графически изобразить возможные формы собственных ко лебаний рамы.
3.Проверить ортогональность собственных форм колебаний си стемы.
4.Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо бразить примерный вид графика коэффициента динамичности.
5.Составить канонические уравнения по методу сил, определя ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд ные значения инерционных сил.
6.Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы.
7.Построить эпюру моментов при одновременном действии ста тических и динамических сил и определить положение опасного
сечения конструкции.
8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно го сечения рамы.
Р е ш е н и е
Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис. 5.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер шает колебательное движение. Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы ваются в виде:
[я (0 = «И Zi(t) + 6j2 Z 2(t) + А1Р(/);
(5.32)
[y2(t) = 52i Zi(t) + 622 Z 2(t) + A2,p(f).
где 5# — перемещение /-го сечения от статической единичной си лы, приложенной в к-м сечении (/ = 1, 2; к —1, 2) по направлению соответствующей инерционной силы; , А — перемещения
сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом
(5.33)
где
(5.34)
204
С учетом выражений (5.33) и (5.34) и т \- т 2 = т уравнение (5.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде
(5ц —А.)2Т|®+ 5 J2 ^ 2 |
= О» |
|
(5.35) |
8 21 Z \ + (8 22 |
+ ^ 2 ,Р = 0» |
Решая систему уравнений (5.35), определяют амплитудные зна чения инерционных нагрузок (способом Крамера.):
|
Z f= D f/D , (/= 1 ,2 ), |
(5.36) |
где приняты следующие обозначения: |
|
|
D = §1! 622 - б?2; |
А = 812 А2,Р - 822 Al,P> |
|
D i = 621 A ifj> - S n |
t$ ip \ |
|
8H = 8i i - k ; 622= 622- ^ .
Учитывая, что в данном случае А = Р2, амплитуды динами ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном 1-м (/ = 1, 2,...) сечении могут быть определены по формулам
M f = м п (zt + Р°) + мп + р °У
Уравнения движения (5.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при А = Р2 ~ 0* принимают вид
М О = 8и Z i(/)+ 8i2 Z2(t);
(5.38)
1 л ( 0 = S21 Zl(О + 822 Zl(0‘
Относительно амплитуды перемещения последняя система урав нений преобразуется в виде
811 + 812У2 |
(5.39) |
|
82I A° + 822 У2 = ®» |
||
|
205
Здесь со — частота собственных колебаний рамы.
Система алгебраических уравнений (5.39) относительно ампли туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше
ния. Очевидное решение y f = у§ = 0 свидетельствует об отсутст
вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной за дачи.
Система (5.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие
8и - \ |
512 |
(5.40) |
|
621 |
522 - |
||
|
Раскрыв определитель (5.40), получим квадратное уравнение от носительно X. После определения X с учетом (5.39) вычисляются
собственные частоты а>| < ©2.
Первая частота coi называется частотой основного тона собст венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (5.39) следует подставить зна
чение X, (/ = 1,2), причем |
|
X,- = \/т{ © /. |
(5.41) |
При этом одно из двух уравнений (5.39) становится лишним.
Пренебрегая первым уравнением (5.39), из второго получим |
|
|||
4 — |
a » 4 | L |
, |
2). |
(5.42) |
Уи |
Щ 8 и < - |
1 |
|
|
После чего, задавая значение уц (/ = |
1, 2), можно вычислить уп |
в долях У22, а Уг\ — в долях у и и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.
Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого
нальности собственных форм записывается в виде: ' |
|
||
I |
nl/5 ’fr5 '& = 0 . (г, * = 1. 2; |
г* к). |
(5.43) |
ы\ |
|
|
|
Определив |
собственные частоты щ и |
©2 и вычислив |
частоту |
вынужденных колебаний 0 , необходима сопоставить 0 с ближай шей из ©1 или ©2. Во избежание наступления резонансных колеба ний рекомендуется, чтобы 0 отличалась от любой из частот ©i, ©2
206
не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение ©/ или 0 . Этого можно достичь путем:
—изменения геометрических или физико-механических харак теристик материалов элементов рамы;
—уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора. При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях рамы
должны удовлетворять условиям прочности.
Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.
1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы
Предварительно определим изгибную жесткость элементов за данной системы
EJ = 2EJX = 2 • 2,1 • 108 • 3,29 • 10"4 = 13,489 • 104 кН м2.
Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис. 5.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х\ = 1 показана на рис. 5.7, б, а от единичных внешних сил — на рис. 5.8, д, б.
Сначала рассчитываем раму на действие силы = 1. Канони
ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде
|
5п ^1(1) + Д1Р| = 0- |
(5.44) |
|
w f p |
p ^ |
|
Х\ |
*1-1 |
|
Рис. 5.7 |
|
а\ » ^ |
F r l |
|
jH H fri____ |
|
|
|
Рис. 5.8 |
|
Коэффициенты 5 п и Дц», находим |
перемножением эпюр |
Мхи.М'рх по формуле Мора.
207
Здесь b\x определяется |
как |
|
результат |
перемножения эпю |
|||
р ы ^ (рис. 5.7, б) самой на себя, |
Д ^ к а к результат перемножения |
||||||
М\ (рис. 5.7, б) с |
Мр^ (рис. 5.8, а). |
|
|
|
|||
Sn |
- |
^ ' |
г |
^ |
' ~ 3EJ ; |
(5.45) |
|
|
|
|
Г. I) |
' |
* . |
||
а |
1 |
I |
s '3 |
||||
Ли |- E J ' 2 V V ' 2 ' 6'1 ~ 4SЕГ |
|||||||
С учетом (5.45) из решения (5.44) получим |
|
||||||
|
У |
|
5/3 -3£7 |
5 |
|
||
|
^ |
|
48JE 7 /3 |
1 6 ‘ |
|
||
Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия |
|||||||
сил Р\ =1 и Х\ - |
5/16 изображена на рис. 5.9, а. |
Рассчитываем раму на действие силы |
Р2= 1. |
Каноническое |
|||
уравнение метода сил в данном случае принимает вид |
|||||
|
5п *1(2) + Д1Л = 0 . |
|
(5.46) |
||
Здесь Ац»2 определяется как |
результат перемножения эпюры |
||||
моментов, изображенных на рис. 5.7, 6 и |
5.8, б, в |
соответствии с |
|||
формулой Мора |
|
|
|
|
|
Д1Р2 |
EJ |
2 |
6 |
12 Д Г |
(5.47) |
|
|
||||
С учетом значения Ь1и |
из (5.45) и значения Д ^ |
из (5.47) и из |
|||
(5.46) получим |
|
|
|
|
|
208
у |
_ 7/ 3 • 3EJ 7 |
1(1) |
\2EJ-I3 ~ 4 |
Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р2 = 1 и Х\ ** |
|
= 7/4 в заданной системе изображена на рис. 5.9, б. |
Единичное перемещение 6ц определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры Мр{ самой на себя, применяя
формулы умножения двух эпюр моментов в веде двух трапеций на произвольном участке, приведенная в (2.8). Получим
Я = _L\ 1 |
2 2+ 2 15 |
15 |
9 15 15 |
9^3 ( |
15 15Y1 |
|
11 Л /[б Л |
8 |
8 16 |
16 “ 8 |
16 “ 16 8>/ V I |
16'16JJ = |
|
EJ •1.969 |
1 |
|
1.969 |
|
|
|
: 2EJ„ ■1.969 = |
13.818-104 |
= 14.25-10"6м/кН. |
Единичное перемещение 822 определяется по формуле Мора пе ремножением эпюры Мр2 самой на себя (рис. 5.9, б):
8« = i [ ! ( 2! |
r 2-3-3-!-3-3!)+|( 2-3 + |
||||||
= - ^ • 22.5 = — ! - -22.5 = - |
225 |
= 16283-10_бм/кН. |
|||||
|
|
||||||
EJ |
|
2EJr |
|
13.818 -104 |
|
||
Единичное |
перемещение 812 определяется по формуле Мора в |
||||||
результате перемножения эпюр |
Afy |
|
и Мр2, изображенных соот |
||||
ветственно на рис. 5.9, о, б: |
|
|
|
|
|
||
* -J j 2 ( 0 |
2 1_2121 |
Л |
2л |
1) А |
(9 i2 2 12 О1 |
||
12~ EJ\6 I 2 8 2 2 16 4 8 4 16 2J |
6 I 2 16 4 16 3J_|~ |
||||||
= -4 - .3 .3 7 5 |
= |
3.375 = -24.425-10-бм/кН. |
|||||
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
Решив уравнение (5.40), получим |
|
|
|
||||
|
(бц + 822) ± |
|
+ 822)^ - 4(8| j б22 - 5J2) |
||||
Я.1>2 |
= • |
|
|
2 |
|
|
’ |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
177.1 • 10“* ± 156.4 • 10“* |
|||||
|
МЛ -----------------2-------------- • |
||||||
Окончательно А,|=166.75-10"6 м/кН; |
=10.35-КГ6 м/кН. |
По формуле (5.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы
209
Щ ijmXt J G XI )/20 16675 10-6 54’24C ’
35 -10“6 ' 217,7 C
Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: 7] = 2я/а>1 = 0.116 с; Ti = 2п/со2 - 0.029 с.
2.Определение амплитуды собственных колебаний
играфическое изображение собственных форм
Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (5.42), предварительно определив т = 20/9.81 «
« 2.04 кН с2/м, имеем при y j\= 1 и при у%2 ~ 1, соответственно
w S 2i °>? |
2 0 4 • 24.425 • 10"* »5 4 .2 4 2 |
|
|
Л - т 6j2 о 2 - 1 |
2 0 4 - 1 6 2 8 3 |
10‘ 6 - 5 4 .2 4 2 - 1 |
|
0.1412 |
|
|
|
= - 6.201; |
|
|
|
0.02275 |
|
|
|
W822 Од —1 |
2 0 4 • 16283 |
• IQ"6 • 2 17 .72 - 1 |
14.74 |
/Лб2, (О2 |
2 0 4 .2 4 .4 2 5 • 10"6 • 217 .72 |
2 3 6 2 |
|
= 6.20 L |
|
|
|
Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изо бражены на рис. 5.10 (а — первая форма; б — вторая форма).
3.Проверка ортогональности собственных форм
колебаний
Из условия ортогональности (5.43) имеем:
'" ( j ’fi Уа + Уп Уп) = л>(1.0 • 6.201 - 1 .0 • 6.201) = 0 .
210