книги / Строительная механика.-1
.pdf2. Выбор основной системы
Известно, что основная система определяется из заданной путем отбрасывания лишних связей и приложением соответствующих уси лий, возникающих в отброшенных связях в заданной системе. При этом основная система должна быть статически определимой и гео метрически неизменяемой.
Сравнивая три варианта основных систем (рис. 2.9, б — 2.9, г), приходим к выводу, что наиболее целесообразно в качестве основ ной системы выбрать I вариант (рис. 2.9, б), так как в этом случае:
-не требуется предварительное вычисление опорных реакций;
-эп ю ры изгибающих моментов, построенные в этой схеме от
воздействия на нее каждого из усилий Х\ = 1, Хг = 1, Р и q, будут распространены на меньшем количестве участков системы и пред ставлены простейшими геометрическими фигурами. Это значи тельно облегчает процесс определения коэффициентов канониче ских уравнений.
3. Составление системы канонических уравнений
Канонические уравнения, необходимые для решения статически неопределимых задач, представляют собой уравнения совместности деформаций. Число их всегда равно степени статической неопреде лимости. Физический смысл каждого из канонических уравнений, как было указано выше, состоит в том, что суммарное перемещение по направлению усилий Я/ от всех действующих в основной системе силовых факторов, включая и неизвестные, равно 0, так как в дей ствительности в этих направлениях стоят связи, препятствующие возникновению перемещений по направлению этих неизвестных.
Для рассматриваемого случая канонические уравнения имеют вид:
$11*1 + 812*2 + А1Р + А1д = 0 ’» |
у ^ |
621*1 + &22*2 + А2Р + A2tf ~
А. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
Так как все коэффициенты канонических уравнений представ ляют собой перемещения, то для их вычисления вначале строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе. Затем по формуле Мора с применением готовых формул (см. табл. 2.1) или правила Верещагина с использованием табл. 2.2 определим их значения.
91
Эпюры изгибающих моментов, построенные в основной системе от воздействия на нее каждого в отдельности усилия Х\ * 1; Xi = 1; Р и q, показаны на рис. 2.9, д - 2.9, з.
Исходя из единичных и грузовых эпюр определяем коэффици
енты канонических уравнений: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
J L |
.2 • 6 6 |
. - L |
1 |
6 |
6 - 1 б = |
108 |
|
|||
|
|
|
|
|
а ? |
2 |
|
3 |
|
& с ' |
|
|
|
|
621 = ~ |
1 |
- 2 - 2 •6- |
|
1 |
6 + 3 • 3-2 = - |
25.5 |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
~EJp |
2 |
|
EJC |
||
|
|
2 ~ ± 2 .2 .2 . 2+ - 1 — 2-3-2 |
11.333 |
|
||||||||
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
Ы Р |
|
|
||
Ду» = - ~ - 1 8 -2 * 6 - |
1 |
||2 ( 6 1 8 + 3 - 6 ) + 3 1 8 1 - |
||||||||||
|
|
1 |
. |
3 |
|
, , |
3 |
я |
_ |
307.125. |
|
|
|
|
1 Гр • 2 Т Р З ' 6 - 2 ' 41- ~ - Й Г ’ |
|
|||||||||
а |
- |
1 |
|
« 2 0 |
1 |
|
И |
„ |
|
131.625. |
||
4 < , - д - « - 2 - 9 - _ . _ . ( 3 . 6 + 3) = - — |
. |
|||||||||||
а |
- |
1 |
„ |
, |
2 |
1 |
|
18+6 |
ч ч |
72 . |
|
|
1Г |
|
Е/е |
1 |
2 '2 |
Elf |
|
2 |
Ъ' г ~ EJC' |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
27 |
(2.10) |
||
|
|
|
|
|
2 ' |
Е1р |
Ъ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Проверка правильности подсчета коэффициентов
Правильность расчета коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем универсальных проверок, при этом должны выполняться следующие условия:
£ 8 = 5*;
(2.11)
= АsPqy
где L5 — сумма всех найденных главных и побочных коэффици ентов
26 * 8ц + 6i2 + 621 + 622;
— величина, полученная в результате умножения единичной
суммарной эпюры на себя
92
к hM z My
8 „ * I J— = ^ r- dx\ У=1о & j
£Л — величина, определяемая сложением значений, полученных в результате умножения эпюры М£ на эпюру Мр и эпюры М£ на эпю ру Мд; к — количество участков эпюры.
Эпюра М£ (рис. 2.9, и) строится в основной системе от одновре менного воздействия на нее всех неизвестных единичных усилий (Х\ = 1; Х2 = 1), т.е. путем сложения единичных эпюр М\ и Mi
М£ = (Mi + М2).
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v * |
я |
, я |
^ я |
|
108 |
25.5 |
2S5 |
1L333 |
68.333 |
|||
2 8 = 8,1 +«В |
|
+ *22 =-£Гс - Ы ; - Ж +Ж |
" |
|
|
|||||||
5« = ^ " l l 2 ( 6 ‘6 + 4 ' 4 )+ 6 ' 4 + 4 6 |+ ^ " l l 2 ' (4 ‘4 + 1' 1) + |
||||||||||||
+ 4 . ; + b 4]+^ . 1 |
. 2 |
. 2 |
. l 2 + ^ - . I . 3 |
. 3 |
. | = ^ |
; |
||||||
т.е. |
2 8 = 8Я; |
£7С |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
ы с |
|
|
|
|
|
307.125 |
131625 |
72 |
|
27 |
||||
2 А |
= Д 1У> + A ty + |
Д 2 Р + A 2q = |
‘ |
|
||||||||
EJe |
EJC + EJC+ EJC~ |
|||||||||||
|
339.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е!с |
6 + 4L M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л^ |
= " £ / Г |
. - J - |
[2-(4 *18+ 1*6)+ 4*6+1-18] |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
Ь 5 6 .(2 3 + |) - |
1 .« + 1 .2 - 9 - |
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
£УС |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
3 9 |
. п .д +\\ - |
|
339.75 |
|
|
|
|
|
||
|
И , ' 12 |
ЛJ ч + 1) - |
|
£7С ’ |
|
|
|
|
|
|||
т.е. |
2 Д = Aj/ty- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, оба условия удовлетворяются. Следовательно, коэффициенты канонических уравнений рассчитаны верно.
6.Решение системы канонических уравнений
ипроверка ее правильности
Подставив в систему уравнений значения коэффициентов кано нических уравнений, получим
93
f lo w , |
- |
25.5ЛГ2 |
- |
307.125-131.625 |
= |
0; |
[-25.5*! |
+ |
11.333*2 |
+ |
72 + 27 |
= |
0. |
Решив эту систему уравнений, найдем значения неизвестных
*1 = 4.267 кН; * 2 = 0.865 кН.
Правильность вычисления неизвестных проверим путем под становки найденных значений Х\ и *2 в исходные уравнения:
108-4.267 - 25.5-0.865 - 438.750 = 460.836 - 460.808 * 0;
-25.5-4.267 + 11.333-0.865 + 99 = -108.808 + 108.803 » 0.
7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок
Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Мок в характерных сечениях заданной системы целесообразно подсчитать в табличной форме (табл. 2.3), предварительно пронумеровав все характерные сечения и задавшись правилом знаков изгибающих моментов (рис. 2.10, б).
Окончательную эпюру изгибающих моментов Мок для заданной системы строим в соответствии с принципом независимости дейст вия сил путем сложения «исправленных» эпюр М\ Х\ и М2Х2 с гру зовыми эпюрами Мр и Mq, которые построены в основной системе
Мок-МхХi + М2Хг + Мр+Мя.
«Исправленные» эпюры изгибающих моментов М\Х\ и М2Х2 строим путем умножения всех ординат единичных эпюр М\ и М2, соответственно на значения Х\ и * 2 с учетом их знака. Построенные таким образом эпюры М\Х\ и М2Х2 приведены на рис. 2.9, к и рис. 2.10, а.
Так как на участке 2—3. эпюра Мок (рис. 2.10, в) криволиней на, то для уточнения ее очертания необходимо найти экстре мальное значение изгибающего момента. Для этого рассмотрим элемент 2—3, вырезанный из статически неопределимой систе мы. На этот ригель действует равномерно распределенная на грузка q = 2 кН /м и два опорных момента М2 = -3.128 кН-м и М3 * 5.071 кН-м (табл. 2.3).
94
а) |
1,73 |
|
|
|
|
|
? |
е |
з ,с,б |
7,,в <=>9,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П К . |
|
М2Хг (кН м) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
у |
|
|
в) |
гйг/ “ 2,8665м |
«„„,=5,089 |
|
|
|
|||||
|
3,128т |
„ |
|
|
9=2кН/м |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3,128 |
Ш |
Ш Н |
й у - 0' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьт (кН-м) •*>»»■ |
||
|
|
5 lo 7 l |^ o i |
6>4 |
|
|
|
У _ Зм _ ^Дз |
|||
|
|
|
|
@ |
(кН-м) |
|
|
|
|
|
д) |
Узел В |
Узел С |
|
|
е) |
7^ = 2,8665м |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3,128кНм |
5.071кНм |
б,801кНм |
5.733 Р |
|
>-267 |
|||||
|
|
( р |
р |
) |
|
|
|
|
|
|
ч ! > |
1,73кН-м |
|
|
|
|
|
|
|||
3,128кНм |
|
|
|
|
|
|
||||
Ж) |
Узел В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*'У |
|
|
|
|
|
0,267кН |
|
х>
7V2_3=0,865KH----
0,865кН
15,733кН 0,865кН «
и)
Рис. 2.10
|
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
Номер |
м * . |
м2х2, |
МР, |
Mq, |
Мок, |
сечения |
Н м |
к Н м |
кН-м |
к Н м |
к Н м |
0 |
25.602 |
0 |
-9.0 |
-18.0 |
-1.398 |
1 |
25.602 |
-1.73 |
-9.0 |
-18.0 |
-3.128 |
2 |
25.602 |
-1.73 |
-9.0 |
-18.0 |
-3.128 |
3 |
12.801 |
-1.73 |
0 |
-6.0 |
5.071 |
4 |
0 |
-1.73 |
0 |
0 |
-1.730 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
12.801 |
0 |
0 |
-6.0 |
6.801 |
7 |
6.400 |
0 |
0 |
0 |
6.400 |
8 |
6.400 |
0 |
0 |
0 |
6.400 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Расчетная схема этого элемента показана на рис. 2.10, г. Вначале
вычислим опорные реакции, составив |
уравнения равновесия |
|||
I М2= -Ry3 - |
5.071 - |
3.128 + |
З2 |
|
2 у |
=0; |
|||
EAf3 = R? 3 - |
5.071 - |
3.128 + |
З2 |
=0, |
2 у |
откуда Л2 ■ 5.733 кН и Л3 = 0.267 кН.
Проверим правильность вычисления опорных реакций, составив
уравнения равновесия |
|
|
|
2 у = Л 2 + Л3 -$ -3 = 5.733 + 0.267 |
- 6 * 6 |
- 6 = 0. |
|
Определим координату |
сечения, в |
котором |
Q - 0, а М - |
= M d, использовав следующую дифференциальную зависимость
^ J ^ = 0(Z) = * 2 - ? Z = 0 ,
откуда |
|
г = г _ . = |
= 28665 и. |
Я2
Тогда для этого сечения получим
Ма = Ягга - H SL . 3.128 = 5.733 • 28665 - l |
Wf 65l - 3.128 |
2 |
2 |
= 5.099 кН-м.
96
По найденным значениям ординат строим окончательную эпюру изгибающих моментов Мокдля заданной рамы (рис. 2.10, в).
8. Проверка правильности построения эпюр Мм и Q(z)
Для проведения статической проверки вырезаем жесткие узлы рамы кроме опорных, прикладываем все действующие в них мо
менты и проверяем условия равновесия ЪМуз = 0.
В нашем примере вырежем узлы В и С (рис. 2.10, д) и проверим их равновесие.
Узел В : Ш уз = 3.128 - 3.128 = 0.
Узел С : I Муз = 5.071 + 1.73 - 6.801 = 0.
Условия равновесия узлов В и С выполняются. Выполнение ус ловия равновесия узлов является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности определения Мок является выполнение деформационной проверки заданной системы с приме нением эпюры Мок, суть которого заключается в доказательстве от сутствия перемещения в точках и по направлению каждой отбро шенной связи, т.е.:
_ * \ M0KMS
Л* = /= io EJj dx = 0.
Эта проверка хотя и не имеет физического смысла, так как скла дываются различные по направлению перемещения, но она дает возможность доказать правильность построения во всех сече ниях заданной системы.
Для удобства вычислений целесообразно расчленить криволи нейную эпюру Мок на участке рамы 2-3 (рис. 2.10, в) на трапецеи
дальную |
и |
параболическую (подобно приведенному выше на |
||
рис. 2.7). Тогда |
|
|
||
A, =-^L.l.[2.(L4.6+ 3.128-4)+ 3.128-6+ L44]+ |
||||
|
*(4 + 0 |
+ T F ?” Р *(“ 3-128 • 4 + 5.071 ♦1) - 3.128 • 1 + 5.071 • 4J + |
||
3 E J р |
|
Ь Ы р |
|
|
+ ^ |
i - |
2 *L7 |
3 T -2 + - r ^ - - f 2 (6-8 -3 + 6-4 L 5 ) +6L8L5 + ^ 4 -3l + |
|
■tiJQ |
2 |
|
3 |
Ь £Jр |
+i H |
Ml5T L5' a |
|||
Ординаты |
эпюры |
Q(2)определяем, используя зависимость |
Q(z) = dM(z)/dz или записывая в конечных разностях
7-3196 |
97 |
|
M, |
G(z) = <2°(z)+ |
(2.14) |
где Q° (z) — поперечная сила в сечениях с координатой z по длине участка, имеющего расчетную схему в виде простой двухопорной балки, засуженной заданной внешней нагрузкой (рис. 2.10, г).
Участок 0—1. На этом участке внешняя нагрузка отсутствует, поэтому С° (z) = 0, и О н определяем по формуле (2.14)
flb-1 = - }12g- < - u 9 8 > = -0.865 кН.
У часто к 2—3. В этом случае при наличии нагрузки q - 2 кН /м имеем
Qi-i =
откуда при z = О, при z = / = 3 м,
Участо к 4—5.
Участо к 6—7.
5071~3(~3198)- = 3 - 2 г +1733 = 5.733 - 2 г .
ft = 5.733 кН;
f t = 5.733 - 6= -0.267 кН.
<2*-5 = ^ у ^ = 0865кН.
Qb_1 = ~^-4~ ^ -801) - 0267 кН.
У часто к 8—9.
f t - , = i r = 4 2 6 7 кН -
По найденным значениям ординат строим эпюру Q (рис. 2.10, е).
9. Построение эпюры N
Ординаты эпюры продольных сил определяем из условий рав новесия I z = 0 и Еу = 0 узлов рамы, вырезанных из эпюры Q. При этом отрицательную поперечную силу направляем так, чтобы она вращала вырезанный узел против хода часовой стрелки, а поло жительную - по ходу часовой стрелки. Нормальные силы направ ляем от узла, т.е. предполагаем, что стойка и ригель растянуты.
Вырезав узел В (рис. 2.10, ж), составим уравнения равновесия:
Zz = 0, |
iV2-3 + 0.865 = 0, |
N2-з = |
-0.865 |
кН; |
Еу = 0, |
ЛГн)- 5.733 = 0, |
NX.Q = |
-5.733 |
кН. |
Знак «минус» говорит о том, что направления продольных уси лий ригеля и стойки были приняты неверно. Поэтому в действи тельности ригель и стойка не работают на растяжение, а на сжатие.
Из рассмотрения равновесия узла С (рис. 2.10, з) следует:
98
Zz = |
0, |
Nb.9 - 0.865 + 0.865 = О, |
Afo = 0; |
Ъу = |
0, |
-Nt-s - 0.267 + 0.267 = О, |
Л/4-5 = 0. |
По вычисленным значениям ординат для каждого участка стро им эпюру ЛГ(рис. 2.10, и).
10. Статическая проверка рамы в целом
Статическая проверка рамы в целом производится для под тверждения правильности построения эпюр Q, N и Мок. Она за ключается в проверке равновесия рамы в целом или любой отсе ченной ее части, т.е. проверке удовлетворения условий равновесия Zz = 0; Zy = 0; I,MA= 0 под воздействием внешних нагрузок и внутренних усилий, возникающих в местах проведенных сечений.
Для выполнения этой проверки отсечем заданную раму от всех опор и заменим их действие возникающими в этих сечениях внут ренними усилиями Qy N и Ы (рис. 2.10, к), значения которых опре деляются по эпюрам Qy N и Мок. Направление всех внутренних усилий при этом должно соответствовать их знаку. Следовательно,
Zz = 0, |
0.865-0.865 = 0, |
0 |
= 0; |
Ъу = 0, |
5.733 + 4.267 - 6 - 4 = 0, |
0 |
= 0; |
ЪМА = 0, 13 • 8 |
+ 4 • 4.5 - 4.267 • 6 = -27 + 27 = 0 , 0 = 0. |
Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, рама рассчитана верно.
2.5. Метод перемещеиий. Степень кинематической неопределимости рам
Для раскрытия сути метода перемещений дадим определение по нятия степени кинематической неопределимости. Степенью ки нематической неопределимости называется число возмож ных перемещений узлов заданной системы.
Как это было показано выше, при расчете статически неопре делимых систем по методу сил искомыми величинами принимались усилия в лишних связях (силы и моменты). После определения не известных усилий в лишних связях далее по методу сечений опре деляются внутренние усилия в произвольном сечении и через них устанавливаются величины перемещений в любой точке конст рукции. При расчете статически неопределимых систем по методу перемещений за искомые величины принимаются те перемещения, через которые можно будет определить величины внутренних уси-
99
лий в любом произвольном сечении. При расчете стержневых сис тем по классическому методу перемещений, принимая за искомые величины перемещения узлов заданной системы, пренебрегают де формациями от поперечных и продольных сил ввиду их малости и учитывают лишь деформации от изгиба в элементах заданной сис темы. Кроме того, пренебрегают различием длин элементов задан ной системы до и после нагружения системы.
Известно, что для определения изгибающего момента в произ вольном сечении заданного стержня необходимо знать величины поворотов в концевых сечениях и относительные линейные смеще ния концов стержня друг относительно друга.
При расчете статически неопределимой системы методом пере мещений первоначально необходимо установить общее число неиз вестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.
Следовательно, при расчете рам за неизвестные следует прини мать углы поворотов и линейные смещения узлов заданной систе мы. Общее число неизвестных п будет равно сумме числа неизвест ных углов поворота узлов пу и их возможных линейных переме щений пл , т.е.
п = пу +пл . |
(2.15) |
Число неизвестных углов поворота пу равно числу жестких узлов заданной системы. Жестким считается узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис. 2.11, а\ узлы 1, 2 на рис. 2.12, а).
Для определения числа линейных неизвестных перемеще ний заданную систему следует заменить ее ш арнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепле ния (рис. 2.11, б и рис. 2.12, б). Число неизвестных линейных сме щений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линей ных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости юо