4800
.pdfСнова |
разделяем переменные |
du = |
q ( x) dx |
и, интегрируя, находим |
|||
v0 (x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
u = ∫ |
q ( x)dx |
|
|
|
|||
|
|
+ C , где C – произвольная постоянная. |
|||||
|
v (x) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные u(x) |
и v = v0 ( x) |
в функцию (1.14), получаем |
|
∫ |
q( x)dx |
|
|
решение уравнения (1.13) в виде y = |
|
+ |
||
v0 (x) |
||||
|
|
C×v0 (x).
Найдем для примера общее решение уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ - 2 y = x e2 x |
|
|
|
(1.18) |
||
В нем по условию p ( x) = −2 , |
q(x) = xe2 x . Подставив в уравнение y = u × v и |
|||||||||||||
y |
′ |
′ |
|
′ |
u |
′ |
× v + u × v |
′ |
- 2u v = xe |
2 x |
, |
|
||
|
= u |
× v + u × v , получим |
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
u′ × v + u × (v′ - 2 v) = xe2 x . |
(1.19) |
||||||||||
В |
|
качестве |
функции |
v |
|
|
возьмем одно |
решение |
v = v0 ( x) уравнения |
v′ - 2v = 0 при значении C = 0 . Перепишем его в виде dv = 2v , разделим dx
переменные |
dv |
= 2dx |
и, интегрируя |
∫ |
dv |
= 2∫ dx , находим |
ln |
|
v |
|
= 2x +C . |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При C = 0 получим |
v = v = e2 x . |
|
|
|
|
|
|
(1.20) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 x |
= xe |
2 x |
|
du |
= x . |
||||||
Подставим функцию (1.20) в (1.19), получим u e |
|
|
или |
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Снова разделяя переменные du = x dx и интегрируя |
∫ du = ∫ x dx , |
|||||||||||||||||||||
находим |
u = |
x2 |
+ C , |
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где C – произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя найденные функции (1.20) и (1.21) |
в |
равенство y = u × v , |
||||||||||||||||||||
получим общее решение данного уравнения (1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = |
|
|
|
+ C × e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
§ 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Начнём с задачи из механики. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы m по оси Ox . Отклонение точки от положения равновесия будем определять функцией x = x(t) . Пусть движение происходит под действием трёх сил: силы, притягивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось Ox , равную -ax,a > 0 , силы сопротивления среды, которую считаем пропорциональной первой степени скорости -bx&,b ³ 0 и возмущающей силы, направленной по оси Ox и
равной F (t) в момент времени t .
Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим
mx&& = -bx& - ax + F (t) .
Разделим обе части |
уравнения |
|
на m и |
после введения новых |
|
обозначений b / m = 2h ³ 0 , |
a / m = k 2 и F (t) / m = f (t) приведем его к виду |
||||
|
&& |
& |
2 |
x = f (t) . |
(2.1) |
|
|
||||
|
x |
+ 2hx + k |
|
Полученное уравнение относится к классу так называемых
линейных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих
вид
y′′ + a1 ( x) y′ + a0 ( x) y = f ( x) . |
(2.2) |
′ |
′′ |
В них неизвестная функция y(x) и ее производные y (x), |
y (x) |
входят линейно. В качестве коэффициентов уравнения a0 ( x), a1 ( x) |
и f ( x) |
могут рассматриваться любые функции, непрерывные в интервале |
(a, b) . |
При этих условиях существует единственное решение уравнения (2.2),
удовлетворяющее заданным начальным условиям
′ |
, x0 (a, b) . |
|
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 |
|
|
Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю: |
|
|
|
y′′ + a1 ( x) y′ + a0 ( x) y = 0 , |
(2.3) |
11
то оно называется однородным, в противном случае (если f ( x) ¹ 0 ) –
неоднородным.
Уравнение вида (2.2) служит математической моделью
разнообразных колебательных физических процессов, то есть процессов,
которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.
Колебательные процессы широко распространены в природе и технике,
например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д.
При колебательном движении маятника или груза на пружине изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако они описываются сходными характеристиками и уравнениями одинакового типа. Математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.
Методика решений рассматриваемых уравнений базируется на
следующем утверждении. |
Если |
y1 (x) и |
y2 ( x) – |
два |
каких-либо |
||
непропорциональных |
друг |
другу |
решения |
уравнения |
(2.3), т.е. |
||
y2 ( x) ¹ λ y1 ( x) , |
то |
общее |
решение |
yoo ( x) |
однородного |
дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
|
yoo ( x) = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) , |
|
|
где C1 ,С2 – произвольные постоянные. |
Следовательно, |
два любых |
|
непропорциональных |
решения |
однородного |
линейного |
дифференциального уравнения второго порядка формируют его общее решение. Однако нет общего метода отыскания функций y1 (x) и y2 ( x) . Их легко найти в случае, когда коэффициенты уравнения (2.3) являются
числами. Обозначим их a0 и a1 : |
|
|
||
|
|
y¢¢ + a1 y¢ + a0 y = 0 . |
(2.4) |
|
Такое |
уравнение |
называется |
линейным |
однородным |
дифференциальным уравнением второго |
порядка с |
постоянными |
12
коэффициентами. Его решения ищут в виде функций y = eλ x . Рассмотрим,
например, уравнение
|
|
y′′ − 3 y′ + 2 y = 0 . |
|
|
|
|
Подставив |
в |
него функцию |
y = eλ x , а также |
ее |
производные |
|
y′ = (eλx )′ = λ eλx |
и |
y′′ = (λ eλ x )′ = λ 2 eλ x , получим |
eλ x (λ 2 − 3λ + 2) = 0 . |
|||
Поскольку eλx ¹ 0, |
функция y = eλ x |
будет решением, |
если |
λ – корень |
||
квадратного уравнения |
|
|
|
|
||
|
|
λ 2 − 3λ + 2 = 0 , |
|
|
|
которое называют характеристическим уравнением соответствующего
дифференциального уравнения. Его корни |
|
λ1 = 1 |
и |
λ2 = 2 , поэтому |
|||||||
непропорциональные функции |
y |
|
= e x |
и |
y |
2 |
= e2 x |
формируют |
общее |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решение этого уравнения |
y |
oo |
= C |
e x + C |
e2 x . |
В |
общем |
виде |
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
характеристическое уравнение дифференциального уравнения (2.4) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
λ 2 + a λ + a |
0 |
= 0 . |
|
|
(2.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Если |
a 2 |
/ 4 − a |
0 |
> 0 , |
то |
уравнение (2.5) |
имеет два |
различных |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действительных корня |
|
λ1 и λ2 , которые определяются формулой |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
= − |
|
a |
± |
|
a |
2 |
− a . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
При |
этом |
непропорциональные |
|
решения |
уравнения |
y = eλ1 x |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
2 |
= eλ 2 x формируют общее решение уравнения (2.4) в виде |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
oo |
( x) = C |
eλ1 x + C |
2 |
eλ 2 x . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рассмотрим дифференциальное |
уравнение |
y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 . Его |
характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня λ1 = λ2 = 2 (в
таком случае говорят, что λ1 – корень кратности два). Одно из решений в этом случае нам известно: y1 = e2 x . Непосредственной подстановкой в
13
уравнение можно убедиться, что функция y2 = xe2 x также будет решением
этого уравнения. Поскольку полученные функции непропорциональны,
общее решение |
дифференциального |
уравнения |
получается |
в |
виде |
|||||||||||||||||||
y |
oo |
= C |
e |
2x + C |
2 |
xe2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В |
|
|
|
целом |
можно сказать, что если |
|
выполняется |
условие |
||||||||||||||
a |
2 |
/ 4 − a |
|
= 0 , |
|
|
то |
характеристическое |
уравнение |
(2.5) |
имеет |
кратный |
||||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
корень |
|
|
|
|
λ = −a1 / 2 , |
|
а |
|
общее |
|
решение |
|
yoo ( x) |
|
однородного |
|||||||||
дифференциального |
уравнения |
второго |
порядка |
|
имеет |
вид |
||||||||||||||||||
y |
oo |
= C |
e |
λ x + C |
2 |
xe |
λ x = (C |
1 |
+ C |
2 |
x)e−a1 x / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные |
||||||||||||||||||||||
корни λ |
1,2 |
= α ± β i , |
то можно убедиться, что функции y |
|
= eα x |
cos β x и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
y2 = eα x sin β x |
|
|
образуют пару непропорциональных решений уравнения |
|||||||||||||||||||||
(2.4), а его общее решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
yoo ( x) = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x) .
|
Такая ситуация возникает, если a 2 / 4 − a < 0 , при этом α |
= −a / 2 , |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
β = |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
− a 2 |
/ 4 . |
|
|
|
|
||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим, например, дифференциальное |
уравнение y′′ + 4 y = 0 . |
||||||
Его характеристическое уравнение |
λ 2 + 4 = 0 |
имеет комплексные корни |
||||||
λ1,2 = ±2i , |
а общее решение, |
тем самым, приобретает вид |
||||||
yoo ( x) = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x . Для |
уравнения |
|
y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 |
также |
составим характеристическое уравнение: λ 2 + 2λ + 5 = 0 . Его комплексные
корни λ1,2 = −1 ± 2i позволяют записать общее решение
дифференциального уравнения в виде yoo ( x) = e− x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) .
Вернёмся теперь к механическим колебаниям. Отсутствию
возмущающей силы соответствует уравнение (2.1), в котором |
f (t) = 0 : |
||
&& |
& |
2 |
(2.6) |
|
|||
x |
+ 2hx + k x = 0 . |
14
Такое уравнение называется уравнением свободных колебаний.
Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ 2 + 2hλ + k 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
||||||||||
Свободные |
колебания |
в |
среде без |
сопротивления |
описываются |
|||||||||||||||||||||||||||
уравнением |
|
&& |
|
2 |
|
|
|
|
В этом случае характеристическое уравнение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x + k x = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
λ 2 + k 2 = 0 |
имеет |
мнимые |
|
корни |
|
λ = ±ik , |
|
ему |
соответствует общее |
|||||||||||||||||||||||
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xoo |
= C1 cos kt + C2 sin kt. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Удобно привести записанное решение к другой форме, введя новые |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
обозначения. Умножив и разделив на |
|
|
С2 + С2 |
, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
xoo = |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
coskt + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ C2 |
|
|
C2 |
+ C2 |
|
|
C2 |
+ C2 |
|
sin kt |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Если положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
= sinϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
= cosϕ , |
||||||
|
C |
2 |
+ C 2 |
= A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
C 2 + C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
+ C 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
то общее решение приобретает вид
xoo = A(sinϕ cos kt + cosϕ sin kt) = Asin(kt + ϕ) .
Оно описывает движение, которое называют гармоническим колебанием. Его график имеет вид:
положенияравновесия |
время |
отклонение от |
15
Величину A называют амплитудой колебания, аргумент kt + ϕ —
фазой колебания, величину ϕ - начальной фазой колебания. Величина k
представляет собой частоту колебания. Напомним, что k = a / m . Период колебания T = 2π / k = 2π m / a и частота k зависят только от массы
системы и силы, притягивающей точку к началу координат. В задаче о движении тела, подвешенного на пружине, это означает зависимость от
жесткости пружины. |
|
|
|
||||
|
Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются |
||||||
уравнением |
(2.6). |
Если |
h2 − k 2 > 0 (h > k ) , |
то |
характеристическое |
||
уравнение |
(2.7) |
|
имеет |
два различных |
действительных корня |
||
λ |
= −h ± |
|
|
|
|
|
|
h2 − k 2 |
. В модели движения груза |
на |
пружинке указанное |
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
условие означает, |
что сила сопротивления среды |
больше силы упругости |
пружины. Общее решение дифференциального уравнения в этом случае
xoo (t) = C1e(− h+ h2 −k 2 ) t + C2e( − h− h2 −k 2 )t описывает апериодическое движение.
Поскольку корни характеристического уравнения отрицательны, то с
ростом t координата x = x(t) стремится к нулю.
Характеристическое уравнение (2.7) имеет кратный корень λ = −h ,
если h2 = k 2 , то есть h = k . Для задачи о движении груза на пружине это
означает, что сила сопротивления и сила упругости пружины
«уравновешены» в смысле указанного равенства. Общее решение
приобретает вид x |
oo |
(t ) = (C |
1 |
+ C |
2 |
t )e− ht |
. При малых значениях |
t |
основную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«роль» играет первый множитель, линейный относительно |
t , |
а затем с |
||||||||
увеличением |
t |
|
материальная точка будет стремиться к положению |
|||||||
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же |
h2 − k 2 < 0 |
|
(то есть |
h < k - упругая сила |
пружины |
превосходит силу сопротивления среды в задаче о грузе на пружине), то характеристическое уравнение (2.7) имеет комплексные корни
λ |
= −h ± k 2 − h2 i . |
1,2 |
|
16
Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
||
xoo (t) = e− ht (C1 cos k 2 − h2 t + C2 sin k 2 − h2 t) = Ae−ht sin( |
k 2 − h2 t + ϕ ) |
||||||||
описывает |
затухающие |
гармонические |
колебания |
с |
периодом |
||||
T = 2π / k 2 − h2 , |
частотой |
k 2 − h2 и амплитудой |
Ae− ht , |
убывающей с |
|||||
увеличением |
t . Вид графика решения: |
|
|
|
|
|
|||
отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проанализировав полученные результаты, можно сказать, что |
|||||||||
наличие сопротивления (h > 0) |
видоизменяет характер колебаний: пока |
||||||||
сопротивление |
сравнительно |
невелико |
|
(h < k ) , |
движения |
остаются |
|||
периодическими, затухая с увеличением |
t , при большом сопротивлении |
||||||||
среды (h ³ k ) движения становятся апериодическими. |
|
|
|
17
§3. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Методика решения неоднородных линейных дифференциальных
уравнений базируется на теореме о том, что общее решение yoн ( x)
неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения yoo ( x)
соответствующего ему однородного уравнения и какого-либо частного
решения неоднородного уравнения, то есть
yoн ( x) = yoo ( x) + yчн ( x) . Поскольку алгоритм нахождения общего решения однородных уравнений был изложен, остается рассмотреть способ
получения второго слагаемого - частного решения yчн ( x) . |
|
||||||||
Будем |
|
рассматривать |
правую |
часть |
f ( x) уравнения |
(2.2) в |
|||
специальном виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( x) = Q ( x)eα x cos β x |
или |
f ( x) = Q ( x)eα x sin β x , |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
где Q ( x) = q |
n |
xn + q |
n−1 |
xn−1 + K + q x + q |
– заданный многочлен степени n . |
||||
n |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
||
Назовем параметром таких функций комплексное число γ = α + iβ . |
|
||||||||
Прежде чем решать неоднородное уравнение со специальной правой |
|||||||||
частью, нужно сравнить параметр |
γ = α + iβ |
функции из правой части с |
корнями характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению. Для описания этого совпадения введем число k . Если
параметр γ |
не совпадает ни с одним из корней характеристического |
уравнения, |
то считаем k = 0 . При совпадении γ с корнем |
характеристического уравнения считаем k равным кратности совпавшего корня в характеристическом уравнении (для уравнений второго порядка кратность может принимать значения 1 или 2 ).
Далее в зависимости от степени n многочлена и конкретного значения параметра γ функции в правой части неоднородного уравнения,
можно записать вид, который имеет частное решение yчн ( x) .
18
|
|
|
Начнем с рассмотрения |
функции f ( x) = Q ( x)eα x |
(параметр γ |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
имеет |
действительное |
значение, поскольку |
β = 0). |
В |
этом случае |
|||
y |
чн |
( x) = xk P ( x)eα x , то |
есть |
частное решение |
ищут |
в |
виде функции |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
специального вида с тем же параметром и той же степени, что и в правой
части, умножая |
ее на |
xk . При этом, |
как отмечалось, возможны |
три |
|||
варианта: k = 0 , |
k = 1 |
или |
k = 2. Конкретные |
числовые значения |
|||
коэффициентов |
многочлена |
P ( x) = p xn + p |
xn−1 + K + p x + p |
||||
|
|
|
n |
n |
n−1 |
1 |
0 |
необходимо определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в
виде которой записано частное решение.
Рассмотрим, например, неоднородное уравнение
y′′ − 3 y′ + 2 y = 4 xe3 x .
Функция в его правой части |
f ( x) = 4 xe3 x |
имеет степень n =1 и параметр |
||||||||||||||||
γ = 3, не совпадающий с корнями |
λ1 = 1 и λ2 = 2 характеристического |
|||||||||||||||||
уравнения, |
то есть |
|
k = 0 . |
Поэтому частное решение такого уравнения |
||||||||||||||
имеет вид |
y |
чн |
( x) = x0 P ( x)e3 x |
= ( p x |
+ p )e3 x . Для определения числового |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения коэффициентов |
p0 |
и |
p1 найдем |
производные функции |
||||||||||||||
указанного |
|
|
вида |
|
(( p1 x + p0 )e |
3 x |
′ |
= p1e |
3 x |
+ (3 p1 x + 3 p0 )e |
3 x |
, |
||||||
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||
(( p1 x + p0 )e |
3 x ′′ |
|
3 x |
+ (9 p1 x + 9 p0 )e |
3 x |
и подставим в уравнение: |
|
|
||||||||||
|
) |
= 6 p1e |
|
|
|
|
||||||||||||
(6 p |
+ 9 p x + |
9 p |
− 3 p − 9 p x |
− 9 p |
+ 2 p x |
+ 2 p )e3 x = 4 xe3 x . |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
Полученное после сокращений равенство 3 p1 + 2 p1 x + 2 p0 = 4 x обратится
в тождество, если приравнять коэффициенты при соответствующих
степенях переменной x в его обеих частях: 2 p1 = 4 и 3 p1 + 2 p0 = 0 . Тем
самым, |
p0 = −3 |
|
и |
p1 = 2 дают нужные значения коэффициентов для |
||||||
частного решения: y |
чн |
( x) = (2 x − 3)e3 x . С учетом найденного ранее общего |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения |
|
|
|
однородного |
уравнения, |
получаем |
||||
y |
oн |
( x) = C |
e x + C |
2 |
e2 x |
+ (2 x − 3)e3 x . |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
19