4800
.pdfКонтрольные задания
|
|
|
|
|
|
|
Контрольное задание 1 |
|
|
|
|
|
||
Решить |
|
дифференциальное |
уравнение |
с |
разделяющимися |
|||||||||
переменными |
|
|
2 y + 1 |
|
||||||||||
1.01. x × y |
′ |
= 2 y + 1 |
1.07. y¢ = |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
1.02. y × y¢ = |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||
|
2x + 1 |
1.08. y¢ = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.03. (2x + 1)× y′ = y |
2 y + 1 |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
1.04. y′ = (2x + 1)× (2 y + 1) |
1.09. |
y¢ |
|
|
= y |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
2x + 1 |
||||||||||||||
|
y′ |
|
|
|
|
|
||||||||
1.05. |
|
|
= x |
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
1.10. y¢ = |
|
|
||||||||||
2 y +1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 y + 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.06. y 2 × y¢ = 2x + 1
Контрольное задание 2
Решить задачу Коши
2.01 |
x dy - (1 + y 2 )dx = 0 , |
y(1) = π . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2.02 |
y dx + sin 2 x dy = 0 , |
|
y |
2 =1. |
|
|||||||||||||||||
2.03 |
e y dy + (2x + 1)dx = 0 , |
|
y(0) = 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2.04 |
cos2 x dy - y 2 dx = 0 , |
y |
4 = -1. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
||
2.05 |
1 - x |
2 |
dy + y dx |
= 0 , |
|
|
= e . |
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
||
2.06 |
x dy + |
|
|
1 - y |
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
= 0 , y 1 |
|
|
|||||||||||||||
2.07 |
e x dy + 2 y dx = 0 |
, |
|
( |
|
) |
= 0 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
||||||||
2.08 |
(2 y +1)dx - x dy = 0 , |
|
y(1) = 0 . |
|
||||||||||||||||||
2.09 |
cos2 x dy - cos2 |
y dx = 0 , |
y(0) = π . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
2.10 |
1 - x |
2 |
dy - 1 |
- y |
2 |
|
dx = |
|
|
|
0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
0 , y 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Контрольное задание 3
Найти общее решение уравнений
|
|
|
|
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||
3.01. y¢ + xy = xe |
|
2 |
|
3.06. y¢ - xy = cos x × e |
2 |
||||||||||||||||||
3.02. y¢ + tg x × y = x2 × cos x |
3.07. y¢ + |
y |
|
= |
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x + 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
||||||||||
3.03. y¢ - |
y |
|
= xe3x |
|
|
|
3.08. y¢ + |
y |
= |
|
|
e x |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
tg x |
sin x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.04. y¢ + |
y |
|
= |
ex |
|
|
|
|
|
3.09. y¢ - |
|
|
y |
= ctg x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. y¢ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xe |
||||||||||||
3.05. y¢ - xy = xe |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольное задание 4
Решить задачу Коши
4.01. |
y¢ - 5 y = xe5 x , |
|
y(0) = 2 |
4.02. |
y¢ - 4 y = cos x × e4 x , |
y(0) = 3 |
|
4.03. |
y¢ - 3y = sin x × e3x , |
y(0) = 4 |
|
4.04. |
y¢ - 2 y = x2 × e2 x , |
y(0) = 5 |
|
4.05. |
y¢ - y = x3 × e x , |
y(0) = 6 |
|
4.06. |
y¢ + y = e− x , |
y(0) = −1 |
|
4.07. |
y¢ + 2 y = e−2 x , |
y(0) = −2 |
|
4.08. |
y¢ + 3y = e−3x , |
y(0) = −3 |
|
4.09. |
y¢ + 4 y = e−4 x , |
y(0) = −4 |
|
4.10. |
y¢ + 5 y = e−5 x , |
y(0) = −5 |
20
Контрольное задание 5
Решить задачу Коши
5.01. y |
′′ |
− 5 y |
′ |
+ 6 y = 0 , |
y(0) = 2, |
′ |
|
|
|
y (0) = −1 |
|||||
5.02. y |
′′ |
+ 4 y |
′ |
+ 4 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
y (0) = 2 |
|||||
5.03. y |
′′ |
+ y |
′ |
+ 5 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
y (0) = 1 |
|||||
5.04. y |
′′ |
− 3y |
′ |
= 0 , |
y(0) = 3, |
′ |
|
|
|
y (0) = −2 |
|||||
5.05. y |
′′ |
+ 25 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|||
|
y (0) = −1 |
||||||
5.06. y |
′′ |
− 9 y = 0 , |
y(0) = 3, |
′ |
|||
|
y (0) = −3 |
||||||
5.07. y |
′′ |
− 7 y |
′ |
+ 12 y = 0 , |
y(0) = 4, |
′ |
|
|
|
y (0) = −3 |
|||||
5.08. y |
′′ |
− 8 y |
′ |
+ 16 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
y (0) = −5 |
|||||
5.09. y |
′′ |
+ 2 y |
′ |
+ 4 y = 0 , |
y(0) = 1, |
′ |
|
|
|
y (0) = 0 |
|||||
5.10. y |
′′ |
+ 4 y |
′ |
= 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
y (0) = 7 |
Контрольное задание 6
Найти общее решение неоднородных дифференциальных уравнений
6.01. y′′ − 2 y′ = 2sin 3x 6.02. y′′ + 3 y′ = 2e3 x
6.03. y′′ − 4 y′ = 2 cos 3x
6.04. y′′ + 4 y = 2x + 1 6.05. y′′ + 4 y = x2 − 1 6.06. y′′ + 9 y = 2x 2 6.07. y′′ − 4 y = sin x 6.08. y′′ − 9 y = cos x
6.09.y′′ + 2 y′ = 3e5 x
6.10.y′′ − 9 y′ = 3sin 2x
18
Контрольное задание 7
Найти решение неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
7.01. y′′ − 3y′ + 2 y = 2x + 1 7.02. y′′ − 4 y′ + 3y = 1 − x 7.03. y′′ − 5 y′ + 6 y = x 2 + 2
7.04.y′′ − 6 y′ + 8 y = x + 2
7.05.y′′ + y′ = − sin 2x
7.06.y′′ + 6 y′ + 9 y = 10sin x
7.07.y′′ + 3 y′ = x + 3
7.08.y′′ − 2 y′ = x 2 − 1
7.09.y′′ − 3 y′ = 2x − 1
7.10.y′′ − 4 y′ = 2x + 3
y(0) = 0, y′(0) = 1 y / x=0 = 0, y′ / x=0 = 2
y(0) = 0,
y / x=0 = 0, y / x=π = 1, y / x=0 = y′ / y(0) = 0,
y(0) = 0, y(0) = 0, y(0) = 0,
′ |
|
|
y |
(0) = 4 |
|
y′ / x=0 |
= 3 |
|
y′ / x=π |
= 1 |
|
x=0 = 0 |
|
|
′ |
|
|
y |
(0) = −3 |
|
′ |
|
|
y |
(0) = −4 |
|
′ |
|
|
y |
(0) = 5 |
|
′ |
|
|
y |
(0) = −5 |
Контрольное задание 8
Вычислить сумму ряда
8.01 |
∞ (− 1)n−1 |
8.06 |
∞ |
(− 1)n+ 1 |
||||
|
∑ |
|
2n |
|
∑ |
|
2n |
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|||
8.02 |
∞ |
(− 1)n |
8.07 |
∞ |
|
(− 1)n |
||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
n=0 2n+1 |
|
n=0 3n |
|||||
8.03 |
∞ |
1 |
|
8.08 |
∞ |
(− 1)n+ 2 |
||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=0 3n+ 2 |
|
n=1 |
|
||||
8.04 |
∞ |
1 |
|
8.09 |
∞ |
|
(− 1)n |
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 2n+ 3 |
|
n=1 2n−1 |
|||||
8.05 |
∞ |
(− 1)n |
8.10 |
∞ |
(− 1)n+ 2 |
|||
|
∑ |
|
3n |
|
∑ |
|
2n |
|
|
n=1 |
|
|
n=0 |
|
19
Контрольное задание 9
Исследовать числовой знакопостоянный ряд на сходимость
9.01 |
∞ |
|
n × |
|
n |
|
9.06 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(n + 1)! |
|
|
|
n=1 n! |
||||||||||||||||||||||
9.02 |
∑ (n + 2)! |
|
9.07 |
∑ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
||||||||||||||||
9.03 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.08 |
∞ |
|
|
|
n |
||||||||||
|
|
n + 1 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n + 1 |
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||||||||||
9.04 |
∑ |
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
9.09 |
∑ n |
× (2n)! |
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
(2n + 1)! |
|
|
n=1 |
|
|
2n |
|||||||||||||||||||
9.05 |
∑ |
3 |
n+ 1 |
|
|
9.10 |
∑ (2n + 1)! |
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 n2 + 1 |
|
|
n=1 |
|
|
n |
Контрольное задание 10
Исследовать числовой знакочередующийся ряд на сходимость
10.01 |
∞ |
(- 1)n |
10.06 |
∞ |
(- 1)n |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n + 3 |
|||||
|
|
|
n |
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
||||||||||
10.02 |
∞ (- 1)n+ 1 |
10.07 |
∞ |
(- 1)n |
|||||||||||
|
∑ |
n + 1 |
|
∑ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n + 3 |
||||||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|||||||||||
10.03 |
∞ |
(- 1)n |
10.08 |
∞ (- 1)n+ 2 |
|||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n + 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n + 1 |
|
||||||||||||
|
n=0 |
|
|
n=1 |
|||||||||||
10.04 |
∞ |
(- 1)n |
10.09 |
∞ |
(- 1)n |
||||||||||
|
∑ |
n + 2 |
|
∑ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n + 4 |
||||||||||||
|
n=0 |
|
n=1 |
|
|||||||||||
10.05 |
∞ |
(- 1)n |
10.10 |
∞ |
(- 1)n |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n + 5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n + 2 |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
n=0 |
20
|
|
|
Контрольное задание 11 |
|
|
||
|
Найти область сходимости степенного ряда |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11.01 |
|
∞ |
(x − 2)n |
11.06 |
|
∞ |
(x + 3)n |
|
|
∑ |
n + 1 |
|
|
∑ |
n + 3 |
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
11.02 |
|
∞ |
(x + 1)n |
11.07 |
|
∞ |
(x + 4)n |
|
|
∑ |
n + 2 |
|
|
∑ |
n + 1 |
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
11.03 |
|
∞ |
(x − 3)n |
11.08 |
|
∞ |
(x − 4)n |
|
|
∑ |
n + 3 |
|
|
∑ |
n + 2 |
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
11.04 |
|
∞ |
(x + 2)n |
11.09 |
|
∞ |
(x − 5)n |
|
|
∑ |
n + 1 |
|
|
∑ |
n + 1 |
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
11.05 |
|
∞ |
(x − 1)n |
11.10 |
|
∞ |
(x + 5)n |
|
|
∑ |
n + 2 |
|
|
∑ |
n + 2 |
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Контрольное задание 12 |
|
|
||
|
|
Разложить функцию f (x) в ряд Маклорена (по степеням x ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
12.01 |
|
f (x) = e 2 x |
12.06 |
|
f (x) = e 3 x |
||
12.02 |
|
f (x) = sin 2 x |
12.07 |
|
f (x) = sin 3 x |
||
12.03 |
|
f (x) = cos 2 x |
12.08 |
|
f (x) = cos 3 x |
||
12.04 |
|
f (x) = ln(1 + 2 x) |
12.09 |
|
f (x) = ln(1 + 3 x) |
||
12.05 |
|
f (x) = arctg 2 x |
12.10 |
|
f (x) = arctg 3 x |
ЛИТЕРАТУРА
1.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. В 2 т. / Н. С. Пискунов. – Москва : Наука, 1978. – Т. 1-2.
2.Щипачев, В. С. Курс высшей математики / В. С.Щипачев. – Москва
:Изд. МГУ, 1981. – Т. 2.
3.Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минор - ский. – Москва : Наука, 1971. – 352 с.
4.Сборник задач по математике для втузов / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – Москва : Наука, 1981. – 367 с.
5.64 лекции по математике. В 2 кн. / В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький, Л. А. Протасова ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун- т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2012. – Кн. 1-2.
21
СОДЕРЖАНИЕ
§1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………...3
§2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка…………………………………………………...11 §3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами……………..18
§4. Числовые ряды………………………………………………...23
§5. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций
встепенные ряды………………………………………………….38
Контрольные задания…………… |
………………………………...50 |
Литература………………………………………………………… |
.55 |
22
Протасова Людмила Анатольевна Столбов Павел Валерьевич
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика (дополнительные разделы)» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, профиль Промышленное и гражданское строительство (прикладной бакалавриат)
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
23