7591
.pdf20
6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.
∑ mC = X A ×1.6 - YA × 2 - P sin α × 2 - Q × 0.8 - M - F ×1 + RB sin α × 2.6 + RB cosα × 2 =
25.565 ×1.6 - 0.567 × 2 - 20 × |
1 |
× 2 -16 × 0.8 - 30 - 24 ×1 +15.511× |
1 |
× 2.6 +15.511× |
3 |
× 2 = 0.0007. |
||
|
|
2 |
||||||
2 |
|
2 |
|
|
||||
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Ответ: Реакции равны RA = |
X A2 + YA2 = 25.571кН, RB = 14.444кН. |
|
|
Задача 1.12. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: М=6кН·м, F=8кН, Р=10кН, q=3кН/м, α=300.
Определить реакции опор в жесткой заделке.
|
|
α |
|
М |
P |
1 м |
А |
q |
|
|
F |
3 м |
|
|
|
4 м |
2 м |
|
Рис. 1.24 |
|
Решение:
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими
(рис.1.25).
2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у
(рис.1.25).
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q= q × 4м = 3 кН × 4м = 12кН
м.
4.Составляем уравнения равновесия.
|
|
|
|
|
21 |
|
∑ X i |
= 0 |
X |
A |
- P ×sinα - Q = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∑Yi = 0 |
|
- F - P × cosα = 0 |
|
|||
|
R |
YA |
|
|
||
∑M A (Fi ) = 0 |
M |
A |
- M - F × 4 - Q ×1 - P × cosα × 6 + P ×sinα ×1 = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M A |
|
|
|
М |
|
|
X A |
А |
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
F |
x |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
YA |
|
|||
|
RA |
|
q |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
Рис. 1.25 |
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции:
∙ 12 10 12 12 17кН,
∙ √23 8 10 ∙ 0,866 16,66кН,
∙ 4 ∙ 1 ∙ √23 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 16 8 ∙ 4 12 ∙ 1 10 ∙ 0,866 ∙ 6 10 ∙ 0,5 ∙ 1 96,96кНм
6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.
|
M |
|
R |
|
- M - X |
×3 -Y × 6 + F × 2 |
+ P ×sinα × 4 + Q × 2 = |
∑ |
Ñ |
(F ) = M |
|||||
|
i |
A |
A |
A |
|
||
|
|
|
|
= 96.96 - 6 -17 × 3 -16.66 × 6 + 8 |
× 2 +10 × 0.5 × 4 +12 × 2 = 0.0 |
||
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью. |
|||||||
Ответ: Реакции равны: |
17кН, |
16,66кН, 96,96кНм, |
17 16,66 23,8кН
.
Задача 1.13. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: F=8кН, Р=5кН, q=4кН/м.
22
Определить реакции связей.
|
|
|
|
|
|
D |
|
F = 8кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
P = 5кН |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = 4 кН
м
Рис. 1.26
Решение
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.
2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q = |
1 |
q ×6 м = |
1 |
× 4 |
кН |
×6м = 12кН |
|
|
|
м |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
. |
||
4. Составляем уравнения равновесия. |
|||||||
∑mA = 0 |
|
|
-Q × 2 - F ×5 + P cosα ×7 - P sin α × 4 + M A = 0, |
||||
|
∑ X = 0 |
|
|
|
+ X A + P sin α = 0, |
||
|
|
|
Q |
||||
|
∑Y = 0; |
|
|
Y - F + P cosα = 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции,
учитывая, что sinα = 0.6, cosα = 0.8. .
M A = +Q × 2 + F ×5 - P cosα ×7 + P sin α × 4 =
= +12 × 2 + 8 ×5 - 5 ×0.8 ×7 + 5 ×0.6 × 4 = 24 + 40 - 28 +12 = 48кНм,
X A = -Q - P sin α = -12 - 5 ×0.6 = -15кН (направление противоположное),
YA = +F - P cosα = 8 - 5 ×0.8 = 4кН.
|
|
23 |
|
|
|
|
|
F = 8кН |
P cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
α |
P = 5кН |
|
|
|
|
|
|
6м |
Q |
B |
C |
P sin α |
|
|
4м
|
A |
2м |
|
|
|
X A |
|
M A |
RA |
YA |
|
Рис. 1.27 6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно
произвольной точки D.
∑ M D = M A -YA ×3 + X A ×6 + Q × 4 - F × 2 + P cosα × 4 + P sin α × 2 =
=48 - 4 ×3 + (-15)×6 +12 × 4 - 8 × 2 + 5 ×0.8 × 4 + 5 ×0.6 × 2 =
=48 -12 - 90 + 48 -16 +16 + 6 = 0.
Проверка выполняется. Ответ: Реакции равны:
M A = 48кНм, X A = -15кН (направление противоположное), YA = 4кН.
1.3 Равновесие плоской системы тел
Задача 1.14. Равновесие системы тел на плоскости Дано: F, q, M.
Определить реакции опор А, D, E и G.
|
F |
|
|
|
|
|
q |
M |
A |
B |
C |
|
D |
E |
|
F |
G |
2a |
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
24
Рис. 1.28
Решение:
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями (рис.1.29).
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей: 4.
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
|||
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.29
3. Составляем первое дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска FG относительно диска AF (рис.1.30):
n |
|
|
|
|
|
|
|
∑МFправ = 0, |
-М + RG a = 0, |
|
|
||||
i=1 |
|
|
|
|
|
||
R = |
M |
= |
qa2 |
= qa. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
G |
a a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
M A |
|
|
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.30
4. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска СG относительно диска AС (рис.1.31):
n |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
∑МCправ |
|
-M + RG |
×5a + RE |
×3a + RD ×a -Q ×2a = 0, |
|||
i=1 |
|
|
|
||||
3R + R |
|
= −5R + 2Q + |
M |
, |
|
|
|
D |
|
|
|
||||
E |
|
G |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
3R + R = -5qa + 2 ×4qa + |
qa2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
E D |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3RE + RD = 4qa. |
|
|
|
|
|
M A |
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.31
5. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска ВG относительно диска AB (рис.1.32):
n |
|
|
|
|
∑МBправ = 0, |
|
-M + RG ×7a + RE ×5a + RD ×3a -Q ×4a - F ×a = 0, |
||
i=1 |
|
|
||
5R + 3R = −7R + 4Q + |
M |
+ F , |
||
|
||||
E |
D |
G |
a |
|
|
|
|
5R + 3R = -7qa + 4 ×4qa + |
qa2 |
|
+ qa, |
|
||
|
|
|
||||
E |
D |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5RE + 3RD =11qa. |
|
|
|
|
|
|
M A |
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.32
6. Решаем систему уравнений, полученных в пунктах 4 и 5:
RD = 4qa -3RE .
5RE + 3(4qa − 3RE ) = 11qa.
-4RE +12qa =11qa.
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RE = 0.25qa. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
RD = 4qa − 0.75qa = 2.25qa. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M A |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Q = 4qa |
|
|
|
M |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
B |
|
C |
|
D |
E |
|
|
F |
|
G |
|
|
|||
|
|
|
2a |
a |
a |
|
a |
|
|
2a |
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
R |
A |
|
|
|
|
|
R |
D |
|
|
R |
|
RG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.33 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Пользуясь аксиомой отвердения, |
|
составляем уравнения равновесия |
|||||||||||||||
всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом (рис. 1.33). |
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑МA = 0, |
M A |
- M + RG |
×9a + RE ×7a + RD ×5a |
-Q ×6a - F ×3a = 0, |
|
|
|
|
|||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
M A = +M - RG ×9a - RE ×7a - RD ×5a + Q ×6a + F ×3a, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M A = +qa2 - qa ×9a - 0.25qa ×7a - 2.25qa ×5a + 4qa ×6a + qa ×3a = 6qa2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Yi = 0, |
|
RA + RD + RE |
+ RG - F - Q = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
RA = -2.25qa -0.25qa - qa + qa + 4qa =1.5qa. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
Реакции равны: |
M |
A |
= 6qa2 , R |
A |
= 1.5qa, R |
D |
= 2.25qa, R |
= 0.25qa, R |
|
= qa. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
G |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1.15. Равновесие системы тел на плоскости |
|
|
|
|
|||||||||||||
Дано: |
F = 24 кН , q = 10кН / м, |
M = 30кНм . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определить реакции опор |
А и В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
F |
М |
|
|
|
|||
|
|
|
1.5 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1м |
A |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м |
|
|
3м |
|
1.5м |
1.5м |
|
|
|
|
27
Рис. 1.34
Решение.
М
C
Рис. 1.35
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей
Q= q ×1.6м = 10 кН ×1.6м = 16кН
м.
3.Составляем уравнение, выражающее отсутствие поворота второго диска относительно первого диска.
∑mC(2) = 0; - F ×1.5 - M + X B × 2 = 0;
X B |
= |
F ×1.5 |
+ M |
= |
24 ×1.5 + 30 |
= 33кН. |
|
|
|
||||
откуда |
2 |
2 |
|
4. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом.
∑ X = 0 |
X A + X B - Q = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Y = 0 |
YA - F = 0 |
|
|
|
|
|
- F × 6.5 |
- M + X B |
×1 = 0. |
∑ mA = 0; |
M A + Q ×1.25 |
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
X A = -X B + Q = -33 + 25 = -8кН;
YA = F = 24кН;
M A = -Q ×1.25 + F × 6.5 + M - X B ×1 = -25 ×1.25 + 24 × 6.5 + 30 - 33×1 = 121.75кН × м.
6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов всех сил приложенных к раме относительно произвольной точки D.
∑ mD = M A + X A × 2.5 - YA × 5 - Q ×1.25 - F ×1.5 - M + X B × 2 =
28
121.75 - 8 × 2.5 - 24 ×5 - 25×1.25 - 24 ×1.5 - 30 + 33×3.5 = 0
Проверка выполняется.
Ответ: Реакции равны: X A = -8кН (сила направленав другуюсторону),
YA = 24кН, M A = 121.75кН × м, X B = 33кН.
1.4 Равновесие пространственной системы произвольно расположенных сил
Условием равновесия произвольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для этого необходимо, чтобы суммы проекций сил на каждую из координатных осей и суммы моментов сил относительно каждой из координатных осей были равны нулю:
n |
n |
n |
n |
R |
n |
R |
n |
R |
∑Fix = 0, |
∑Fiy = 0, |
∑Fiz = 0, |
∑Mx (Fi ) = 0, |
∑M y (Fi ) = 0, |
∑Mz (Fi ) = 0. |
|||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
Таким образом, в статике для произвольной пространственной системы сил в общем случае можно составить шесть уравнений равновесия.
Задача 1.16
Дано: F = 8кН; Р = 12кН; q = 2кН / м.
Определить реакции связей.
F |
q |
|
|
1м |
|
2м |
|
P
2м 2м
Рис.1.36
Решение:
29
z |
|
|
|
|
|
|
|
w X C |
|||
Q |
F
v
|
u |
Y A |
y |
X A Z A P X B Z B x
Рис. 1.37
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенную нагрузки заменяем равнодействующей: Q=q·2=2·2=4кН
2.Выбираем систему координат xyz проводя оси через шаровой шарнир.
3.Составляем уравнения равновесия:
∑ M X |
= 0 |
|
||
|
∑ M Y |
= 0 |
|
|
|
∑ M Z |
= 0 |
|
|
|
; |
|||
|
∑ X = 0 |
|||
|
||||
|
∑Y = 0 |
|
||
|
∑ Z = 0 |
|
||
|
|
Z B × 4 - F × 2 - Q ×1 = 0X C × 2 - Q ×1 = 0
- X B × 4 - X C × 4 - F ×1 - P × 2 = 0 .+ X A + X B + P + X C = 0
F + YA = 0
|
+ Z B |
- Q = 0. |
Z A |
4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
Z BX CX B
X A
YA
Z A
=(F × 2 + Q ×1)4 = (8 × 2 + 4 ×1)4 = 5кН
=Q2 = 4 / 2 = 2кН
=(- X C × 4 - F ×1 - P × 2)4 = (- 2 × 4 - 8 ×1 -12 × 2)4 = -10кН (в другую сторону)
=-X B - P - X C = -(-10) -12 - 2 = -4кН (в другую сторону)
=-F = -8кН (в другую сторону)
= -Z B + Q = -5 + 4 = -1кН (в другую сторону).
5. Выполняем проверку, для чего проводим оси uvw через произвольную точку С и относительно них вычисляем суммы моментов.
∑ M U = Q × 3 + YA × 2 - Z A × 4 = 4 × 3 - 8 × 2 - (-1) × 4 = 0 |
|
|
|
× 2 |
- (-1) ×1 -12 × 2 + -(-10) × 2 - 5 ×1 = 0 |
∑ M V = -X A × 2 - Z A ×1 - P × 2 - X B × 2 - Z B ×1 = -(-4) |
||
∑ M W = + X A × 4 + YA ×1 + P × 2 = -4 × 4 - 8 ×1 +12 × 2 = 0. |
|
Проверка выполняется.