9002
.pdfРис. 10
Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a 2i k и
b j k .
Решение. a 2;0 1 и b 0;1; 1 . Тогда
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 1 i 2 0 j 2 0 k i 2 j 2k ;
a b 12 22 22 3 , следовательно
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
S |
|
|
a b |
|
3 1,5 |
(кв. ед.). |
|||||
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
1,5 кв. ед. |
|
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведение трех векторов a , b и c , составленное следующим образом: a b c, то есть первые два вектора a и b умножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется
векторно-скалярным или смешанным и обозначается a b c , то есть
a b c abc .
Смешанное произведение трех векторов a , b и c представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11),
взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком
«минус», если они образуют левую тройку векторов.
20
Рис. 11
Свойства смешанного произведения:
1)a b c b c a c a b ;
2)a b c a b c ;
3)a b c a c b ; a b c b a c , a b c c b a ;
4)Если a b c 0 , то векторы a , b и c компланарны.
Смешанное произведение трех векторов a , b и c заданных своими
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
координатами, |
то есть |
a |
a1 ; a2 ; a3 , |
b |
b1;b2 ;b3 , |
c |
c1; c2 ; c3 вычисляется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
b1 |
|
b2 |
b3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
c2 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a 2i j , b j k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c i j k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2; 1;0 |
|
|
|
1;1;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
b |
0;1; 1 |
c |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a b c |
0 |
1 1 |
2 0 1 0 2 0 5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: a b c 5.
21
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (см. рис. 11)
вычисляется по формуле:
Vnap. a b c .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (см.
рис. 12) вычисляется по формуле:
Vnup. 16 a b c .
Рис. 12
Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a 1; 2;3 , b 0;1; 1 и c 0; 1;0 .
Решение.
|
1 |
2 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
0 |
1 |
1 |
0 0 0 0 1 0 1. |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
Тогда V |
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
(куб. ед.). |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
V |
|
|
1 |
|
(куб. ед.). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
nup. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
§ 3. Прямая на плоскости
Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.
Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли
точка M 0 x0 ; y0 на прямой F x, y 0, достаточно проверить (не |
прибегая к |
геометрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M 0 |
уравнению |
F x, y 0 этой прямой, то есть выполняется ли равенство F x, y 0 . |
|
Пример. Лежит ли точка M 0 1; 2 на прямой l : 3x y 1 0.
Решение. Подставив в уравнение прямой 3x y 1 0 координаты точки M 0
, то есть x0 1 и y0 2 вместо x и y , получаем:
3 1 2 1 3 1 2 0.
Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .
Общее уравнение прямой.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy
задана точка M 0 x0 ; y0 и вектор N A; B . Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (см. рис. 13)
0 |
Рис. 13 |
|
|
Выберем произвольную точку |
M x; y на прямой |
l . Тогда вектор |
|
|
перпендикулярна |
||
M0 M |
x x0 ; y y0 лежит на прямой l . Так как прямая l |
||
|
|
23 |
|
вектору N по условию, то и вектор M 0 M перпендикулярен вектору N , а значит
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M 0 M N 0 , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x x0 B y y0 0. |
(3.1) |
||||||||
|
|
|
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через |
|||||||||||||||||||
точку x0 ; y0 и перпендикулярной вектору |
|
A; B . |
|
|||||||||||||||||||
N |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
прямой. Вектор |
N |
A; B является вектором нормали прямой l . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и |
|||||||||||||||||||
перпендикулярной вектору |
|
, если P 0;1 и Q 1; 2 . |
|
|||||||||||||||||||
PQ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющимся вектором нормали |
|||||||||||||||||||
прямой l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 0; 2 1 1;1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
PQ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в уравнение (3.1) |
координаты точки M 0 1; 2 , то есть |
x0 1, |
|||||||||||||||||
|
y |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
1;1 |
|
|||||||||||
|
|
и координаты вектора |
|
|
|
, то есть A 1, B 1, находим искомое |
||||||||||||||||
уравнение прямой l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
l : |
|
1 x 1 1 y 2 0 |
или |
|
|||||||||||||||
|
|
|
l : |
|
x 1 y 2 0 или |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
l : |
|
x y 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x y 1 0 . |
|
|
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом: |
|
|
Ax Ax0 By By0 0 |
или Ax By Ax0 |
By0 0 . |
Обозначив C Ax0 By0 , получаем общее уравнение прямой на плоскости |
||
вида: |
|
|
|
Ax By C 0. |
(3.2) |
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид:
24
Ax By C .
Разделив обе части последнего уравнения на C |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ax |
|
By |
C |
или |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
C |
C |
|
|
|
C |
|
|
C |
|
|||||||
|
|
C |
|
|
|
|
A |
|
B |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
обозначив a C A, |
b C B получаем уравнение прямой на плоскости в |
||||||||||||||||
«отрезках» вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
1, |
|
|
(3.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
где a и b величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (см. рис.
14).
0
Рис. 14
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и
отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).
2
0 1
Рис. 15
25
|
|
Решение. Пусть уравнение искомой прямой l имеет вид (3.3), то есть |
|||
l : |
x |
|
y |
1. Так как a b по условию, то уравнение (3.3) можно переписать в виде: |
|
a |
b |
||||
|
|
|
l : |
x |
|
y |
1 или l : x y a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Поскольку точка M 0 1; 2 лежит на прямой l , то подставляя ее координаты |
|||||||||||
x 1, |
y 2 в последнее уравнение, |
находим: l :1 2 a , откуда |
a 3. |
||||||||||
Следовательно, l : x y 3 – уравнение искомой прямой. |
|
||||||||||||
|
|
Ответ: x y 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x 3y 6 0. |
|
||||||||||
|
|
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3): |
|
||||||||||
|
|
|
|
2x 3y 6 0; |
2x 3y 6 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
3y |
1; |
x |
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
Отметим на оси Ox точку x 3, а на оси Oy точку y 2 и через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16).
0 3 -2
Рис. 16
Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
By Ax C или |
y |
A |
x |
C |
. |
|
|
||||
|
|
B B |
26
Обозначив |
k |
A |
, |
b |
C |
, |
получим |
уравнение |
прямой |
с угловым |
|
|
|||||||||
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
||
коэффициентом k : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
l : y kx b |
|
|
(3.4) |
|||
Угловой коэффициент |
k равен |
тангенсу |
угла |
наклона |
прямой l к |
|||||
положительному направлению оси Ox (см. рис. 17), то есть k tg . |
|
0
Рис. 17
Из рисунка 17 следует, что для любой точки M x; y l выполняется
равенство |
y b |
tg k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и |
||||||
образующей с положительным направлением оси Ox угол 45 . |
|
|||||
Решение. Пусть |
искомое |
уравнение |
прямой l запишется |
в виде (3.4) |
||
l : y kx b. По условию 45 , значит |
k tg tg45 1, |
следовательно |
||||
l : y x b . |
|
|
|
|
||
Поскольку точка |
M 0 1; 2 |
лежит на прямой l , то подставляя в последнее |
||||
уравнение x 1, y 2 |
находим: |
l : 2 1 b, откуда b 1. |
|
Таким образом, искомое уравнение прямой l имеет вид: y x 1.
Ответ: y x 1.
27
Пусть прямая l проходит через точку M 0 x0 ; y0 и ее направление
характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y kx b,
где b – пока неизвестная величина.
Так как точка M 0 x0 ; y0 лежит на прямой l , то ее координаты удовлетворяют
уравнению прямой l , то |
есть имеет |
место |
равенство: |
y0 k x0 |
b , откуда |
b y0 kx0 . Подставляя |
значение b |
в |
уравнение |
y kx b , |
получаем: |
y kx y0 kx0 или |
|
|
|
|
|
|
y y0 |
k x x0 |
|
(3.5) |
Уравнение (3.5) с различными значениями k называется также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 x0 ; y0 .
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy , так как
tg90 .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x y 2 0 и l2 : 2x y 5 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .
Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2 находим из
системы уравнений этих прямых:
x y 2 02x y 5 0
Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x 3 0, откуда x 1. Тогда y x 2 1 2 3.
Итак, координаты точки M 0 1;3 .
По условию 135 , значит k tg135 1. Подставляя в уравнение (3.5)
k 1 и x0 1, y0 3 находим искомое уравнение прямой
28
l : y 3 1 x 1 |
или |
l : y 3 x 1 0 или |
|
l : x y 4 0. |
|
Ответ: x y 4 0 . |
|
2. При A 0, B 0, |
C 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax By 0. |
Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат – точку O 0; 0 и
|
|
|
A |
|
точку M |
0 |
1; |
|
. (См. рис. 18) |
|
||||
|
|
|
B |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x 6y 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Уравнение |
прямой l |
является общим уравнением |
прямой |
|
на |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
плоскости A 2, B 6 , |
C 0, проходящей через точку O и точку |
M |
0 |
1; |
|
|
. |
||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(См. рис. 19)
0 1
Рис. 19
29