9002
.pdfx 3 x 7 |
|
|
|
|||
|
x 1 4 |
|
|
|
|
|
Используя |
необходимое |
условие экстремума, находим |
y 0 |
|
||
x 3 x 7 0 , |
откуда x1 3 |
или x2 7; y не существует |
x 1 4 |
0, |
откуда x3 1.
Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения D и определяем знак y в каждом из четырех интервалов.
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 3 0 7 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
21 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 1 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
x1 |
3 D и при переходе через эту точку y меняет знак минус на |
|||||||||||||||||||||
плюс, то x 3 – точка минимума функции y , |
y 3 |
3 3 2 |
|
|
0 |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||
3 1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
x2 |
7 D и при переходе через эту точку y |
меняет знак плюс на |
||||||||||||||||||||
минус, то x |
|
7 |
– точка максимума функции y , y 7 |
7 3 2 |
|
|
16 |
|
|
2 |
. |
||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
216 |
27 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , то в интервалах ;1 , 1;3 , |
||||||||||||
Так как при x 1, 1 x 3, x 7 y x |
|||||||||||||||||||||||
7; функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как при 3 x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y x 0, то в интервале 3; 7 функция y монотонно |
возрастает.
5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.
|
|
|
x 3 x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y y |
|
x 1 4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
x 3 x 7 x |
1 |
x 3 x 7 x 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
x 1 4 |
2 |
|
|
x 7 x 3 x 1 4 x 3 x 7 4 x 1 3
x 1 8
70
|
2x 10 x 1 |
4 x2 10x 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x2 |
12x 10 4x |
2 40x 84 |
|
|
2x2 |
28x 74 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, y |
|
2 x2 14x 37 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя |
|
необходимое |
|
|
|
условие перегиба, |
находим y 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 14x 37 0 , или x |
|
|
14 |
196 148 |
|
|
|
|
|
|
|
y не |
|||||||||||||
|
|
, |
откуда |
x |
|
7 2 3 ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует x 1 5 0 , откуда x3 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем достаточные условия перегиба.
0 1
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 1 74 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как точки |
|
x1, 2 7 2 |
3 D и при переходе через эти точки y меняет |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
знак, то x1, 2 7 2 |
|
3 – точки перегиба графика функции y . |
||||||||||||||||||||||||||
Так как при x 1, 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 x |
7 2 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
x 0 , то в интервалах ;1 |
||||||||||||||||||||||||||
, 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3;7 2 3 |
функция y выпукла вниз. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как при |
1 x 7 2 |
|
3 , |
|
x 7 2 |
3 |
||||||||||||||||||||||
|
y x 0 , то в интервалах |
|||||||||||||||||||||||||||
1;7 2 |
|
|
, 7 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
3; функция y выпукла вверх. |
||||||||||||||||||||||||||
6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными осями: |
||||||||||||||||||||||||||||
Ox : y 0 x 3 2 |
0, откуда x 3; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Oy : x 0 y |
0 3 2 |
|
9 |
|
9 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).
71
0 |
1 |
3 |
7 |
-9
Рис. 65
72
Контрольные задания
Задание 1
Найти матрицу C AT B , если:
2
1.01. A
4
0
1.02. A
3
3
1.03. A 0
3
1.04. A
2
4
1.05. A 0
2
1.06. A 0
0
1.07. A 1
3
1.08. A
5
2
1.09. A
3
4
1.10. A
0
3 |
|
|
1 |
0 |
|
||||
|
|
, B |
|
|
|
. |
|
||
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
, B |
4 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
||||
2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
||
|
|
, |
B |
|
|
. |
|
||
4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
B |
|
|
. |
|
||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, B |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
5 |
|
|
6 |
|
|
||||
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
, |
B |
|
|
. |
|
||
4 |
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
, |
B |
|
|
|
. |
||
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
. |
||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
0 |
|
|
4 |
0 |
|
|
|
||
|
|
, |
B |
|
|
. |
|
||
1 |
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
2 |
1 |
||||
|
|
|
, B |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
0 |
|
73
Задание 2
Решить систему по правилу Крамера.
3x1 x2 3x3 6 |
|||||
|
x1 x2 |
x3 0 . |
|||
2.01. |
|||||
|
|
3x2 4x3 2 |
|||
2x1 |
|||||
4x1 x2 x3 3 |
|||||
|
x1 |
x2 5x3 2 . |
|||
2.02. |
|||||
|
|
3x2 x3 1 |
|||
2x1 |
|||||
x1 x2 5x3 5 |
|||||
|
|
3x2 |
2x3 |
|
|
2.03. 2x1 |
3. |
||||
|
x |
2x |
2 |
3x |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
|
x1 3x2 x3 2 |
|||||
|
2x1 x2 2x3 |
0 . |
|||
2.04. |
|||||
|
|
x2 5x3 2 |
|||
3x1 |
|||||
|
x1 x2 4x3 2 |
||||
|
|
|
|
x3 3. |
|
2.05. x1 2x2 |
|||||
|
x |
3x |
2 |
x 4 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3x1 x2 x3 0 |
||||||||
|
x1 x2 |
3x3 |
4 . |
||||||
2.06. |
|||||||||
2x x |
2 |
3x 4 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x1 x2 x3 1 |
||||||||
|
|
x2 |
3x3 |
|
|||||
2.07. 2x1 |
2 . |
||||||||
|
2x x |
2 |
2x |
1 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x1 4x2 x3 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
||
2.08. 2x1 x2 |
|
0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 2x2 x3 4 |
|||||||||
4x1 x2 x3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
x3 1. |
||||
2.09. x1 2x2 |
|
||||||||
x x |
2 |
3x |
0 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x1 x2 x3 0 |
|||||||||
|
2x1 x2 |
x3 |
1 . |
||||||
2.10. |
3x1 3x2 2x3 5
74
Задание 3
Дана пирамида ABCD. Найти:
1)угол ABC грани ABC ;
2)площадь грани BCD;
3)объем пирамиды ABCD, если
3.01. A 1; 2;3 , B 0; 1;1 , C 1; 0; 2 , D 2;3; 0 . 3.02. A 4;3;1 , B 0; 2;3 , C 3; 0; 3 , D 1;1; 0 . 3.03. A 2;3; 4 , B 0; 1;1 , C 3; 0; 2 , D 2;3; 0 . 3.04. A 3; 4;1 , B 0; 1;3 , C 2; 0; 1 , D 1; 2; 0 . 3.05. A 4;5; 2 , B 0; 2;1 , C 1; 0; 3 , D 2; 2; 0 . 3.06. A 3; 2;1 , B 0;1; 2 , C 2; 0; 1 , D 3;3; 0 . 3.07. A 1;3;5 , B 0; 2; 1 , C 2; 0;3 , D 2; 1;0 . 3.08. A 1; 4; 6 , B 0;1; 1 , C 2; 0; 2 , D 1; 2; 0 .
3.09.A 2; 4;1 , B 0; 1; 2 , C 1; 0; 2 , D 2;1; 0 .
3.10.A 3;1; 2 , B 0; 1; 3 , C 1; 0;1 , D 1;3; 0 .
74
Задание 4
Дан ABC . Найти:
1)уравнения его сторон;
2)уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;
3)уравнение медианы AM ;
4)уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной
медиане AM , если |
|
4.01. A 0; 2 , |
B 1; 0 , C 2;1 . |
4.02. A 0; 1 , B 2; 0 , C 3; 4 . |
|
4.03. A 0;1 , |
B 1; 0 , C 4;3 . |
4.04. A 0;3 , |
B 1; 0 , C 2;1 . |
4.05. A 0; 2 , B 1; 0 , C 3; 4 . |
|
4.06. A 0; 4 , |
B 4; 0 , C 2; 3 . |
4.07. A 0;3 , |
B 3; 0 , C 2; 3 . |
4.08. A 0;1 , |
B 3; 0 , C 2; 3 . |
4.09.A 0; 1 , B 3; 0 , C 4; 2 .
4.10.A 0; 2 , B 2; 0 , C 1;1 .
75
Задание 5
Исследовать функцию и построить ее график:
5.1. y |
x 1 3 . |
5.6. y |
3x x2 |
. |
|
||||
|
x2 |
|
x 2 2 |
5.2. y |
|
x2 1 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
5.7. |
y x |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5.3. y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5.8. |
y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. y |
|
|
x5 |
|
. |
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5.9. y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.5. y |
|
2x 3 |
. |
|
|
|
|
|
x3 |
|
x2 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5.10. y |
|
. |
||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
76
Литература
1. Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.– 284 с.
2. Иванова С.В. Построение графиков функций и кривых. – М.:
МФТИ, 2007. – 78 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.– М.: ООО Изд-во «Мир и образование»,
2008 – 368 с.
77
|
Содержание |
|
|
§1. |
Линейная алгебра.............................................................................. |
|
3 |
|
Матрицы и действия над ними.....……...……………………........... |
3 |
|
|
Определители...................................................................... |
……......... |
7 |
|
Системы линейных уравнений... |
………………………………........ |
8 |
§2. |
Векторная алгебра............................................................................. |
|
10 |
|
Линейные операции над векторами ……………………………….. |
11 |
|
|
Действия над векторами в координатной форме.............................. |
13 |
|
|
Скалярное произведение векторов..................................................... |
15 |
|
|
Некоторые приложения скалярного произведения.......................... |
16 |
|
|
Векторное произведение векторов..................................................... |
17 |
|
|
Смешанное произведение векторов................................................... |
20 |
|
§3. |
Прямая на плоскости........................................................................ |
|
23 |
|
Общее уравнение прямой.................................................................... |
|
23 |
|
Взаимное расположение прямых на плоскости................................ |
32 |
|
§4. |
Функция одного переменного......................................................... |
|
35 |
|
Основные понятия............................................................................... |
|
35 |
|
Основные элементарные функции..................................................... |
38 |
|
|
Предел числовой последовательности.............................................. |
43 |
|
|
Предел функции................................................................................... |
|
47 |
|
Производная......................................................................................... |
|
51 |
|
Производная сложной функции......................................................... |
|
56 |
|
Производные высших порядков......................................................... |
|
57 |
|
Дифференциал функции...................................................................... |
|
58 |
|
Правило Лопиталя................................................................................ |
|
59 |
|
Исследование функций и построение их графиков.......................... |
60 |
|
|
Симметрия функции............................................................................ |
|
61 |
|
Асимптоты графика функции............................................................. |
|
62 |
|
Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и |
|
|
|
максимума............................................................................................ |
|
63 |
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба....... |
65 |
|
|
Основные требования к результатам исследования и построения |
|
|
|
графика.................................................................................................. |
|
67 |
|
Контрольные задания.………………………………………….......... |
72 |
|
|
Литература.……………………………………………………........... |
77 |
78