9698
.pdfРаздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление
Лекция 29. Неопределенный интеграл
Наряду с задачей дифференцирования функции, в которой для заданной функции f ( x) требуется найти ее производную f ′(x) , часто приходится решать обратную задачу, называемую интегрированием
функции: |
для |
заданной функции |
f ( x) найти такую |
функцию |
F ( x) , |
||||||
производная |
которой |
совпадает |
с |
функцией f ( x) , т.е. |
′ |
= f (x) . |
|||||
F (x) |
|||||||||||
Например, предполагая, что известно уравнение движения |
S = S (t) , т.е. |
||||||||||
закон изменения |
пути |
с |
течением |
времени, можно |
найти скорость |
||||||
′ |
|
|
напротив, |
задана скорость как функция времени v = v(t) , |
|||||||
v(t) = S (t) . Если, |
|||||||||||
то возникает задача об определении пройденного пути S в зависимости от |
|||||||||||
времени, |
т.е. по |
функции |
v = v(t) |
«восстановить» |
функцию S (t ) , для |
||||||
которой |
v = v(t) |
является |
|
|
′ |
В |
данной |
лекции |
|||
производнойS (t) = v(t) . |
рассмотрим решение этой обратной задачи. Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он
произвёл термин от латинского |
|
integro – приводить в прежнее состояние, |
|||
восстанавливать. |
|
|
|
|
|
29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. |
|||||
Функция F ( x) |
называется первообразной функции f ( x) |
на промежутке |
|||
(a, b) , если для любого x (a,b) |
выполняется равенство |
|
|||
|
|
|
dF(x) |
= f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
К сожалению, это определение не даёт способа нахождения |
|||||
первообразной |
F ( x) данной |
|
функции f ( x) . Однако |
для основных |
элементарных функций эта задача разрешима, поскольку известны их
производные. |
Например, |
легко |
видеть, |
что |
первообразной |
функции |
||
f ( x) = cos x |
будет функция F ( x) = sin x , так как |
(sin x)'= cosx . Но для |
||||||
функции |
f ( x) = cos x |
есть |
и |
другие |
первообразные. |
Например, |
||
F ( x) = sin x + 1, |
F ( x) = sin x + 2 |
и, |
вообще, |
F ( x) = sin x + C , где |
C – любое |
число.
Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных. Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем,
что множество |
функций |
F ( x) + C , где |
F ( x) – некоторая первообразная |
функции f ( x) , |
а C – |
произвольная |
постоянная, исчерпывает все |
первообразные функции f ( x) . |
|
||
|
|
200 |
|
Теорема. |
Если F1 (x) и F2 (x) – две первообразные функции f ( x) ,то |
||||
F1(x) = F2 (x) + C , |
где C – некоторая постоянная. |
|
|||
Доказательство. Рассмотрим функцию |
ϕ(x) = F1 ( x) − F2 (x) . |
Так как |
|||
для любого x имеем |
|
|
|||
′ |
′ |
′ |
|
|
|
ϕ (x) = F1 |
(x) |
− F2 (x) = f (x) − f (x) = 0 , |
|
|
|
то |
по |
формуле Лагранжа конечных |
приращений получаем, что |
||
ϕ(x) ≡ C , и, следовательно, F1 ( x) − F2 (x) = C . |
|
|
|||
Таким образом, достаточно найти одну первообразную F ( x) |
данной |
||||
функции |
f ( x) , чтобы знать всё множество её первообразных { F (x) + C} . |
Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F ( x) из равенства
dF ( x) = f ( x)dx ,
был введён символ ∫ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f ( x)
(подобно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f ( x) называется её неопределенным интегралом и обозначается так
∫ f (x) dx = F(x) + C ,
где C – некоторая постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. При этом
функция f ( x) называется |
подынтегральной функцией, f ( x) dx – |
|
подынтегральным выражением, а знак ∫ |
– знаком интеграла. |
|
Поставим вопрос: для |
всякой |
ли функции f ( x) существует |
первообразная, а, следовательно, и неопределенный интеграл? Сформулируем без доказательства достаточное условие интегрируемости: если функция f ( x) непрерывна на интервале (a, b) ,
то на этом множестве у функции f ( x) существует первообразная, а,
значит, и неопределённый интеграл. Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)
( ∫ f (x)dx)′ = f ( x) , |
d (∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx , |
|
201 |
∫ f ¢(x)dx = f (x) + C , |
∫df (x) = f (x)+ C . |
Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись
( na )n = a, nan = a, a > 0 .
Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
∫k × f (x) dx = k × ∫ f (x)dx (k = const ) ,
инеопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.
∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:
|
∫ xαdx = |
xα+1 |
|
+ C ( a ¹ -1) , |
|
∫ |
dx |
|
= ln |
|
x |
|
+ C |
|||||
|
|
|||||||||||||||||
a +1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ax |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫axdx = |
|
+ C (a > 0, a ¹ 1) , |
∫exdx = ex + C |
|||||||||||||||
ln a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫sin x dx = -cos x + C |
∫ cos x dx = sin x + C |
|||||||||||||||||
|
dx |
= tgx + C |
|
|
dx |
|
|
= −ctgx + C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ cos2 x |
|
∫ sin2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
202 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.
Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:
sin x |
, |
cos x |
, |
1 |
, e− x2 . |
x |
x |
ln x |
29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной. Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.
Пусть
∫f (x) dx = F(x) + C
иформально подставим в эту формулу функцию x = ϕ(t) ,
производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки
′ |
(29.1) |
∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = ∫ f (ϕ(t))dϕ(t) = F(ϕ(t)) + C . |
Покажем, что формула (29.1), действительно, верна. Для этого найдём производную по переменной t правой части этого выражения
Fx′(ϕ(t))ϕ′(t) = f (ϕ(t))ϕ′(t) .
Таким образом, правая часть в (29.1) является первообразной подынтегрального выражения слева.
Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем
∫cos(3x + 2)dx .
Зная, что
∫cosudu = sinu + C
и делая в этой формуле подстановку u = 3x + 2, получим
∫cos(3x + 2)d(3x + 2) = sin(3x + 2) + C ,
откуда найдем
204
∫cos(3x + 2)dx = 1 sin(3x + 2) + C . 3
Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.
Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл ∫ f (x)dx . Заменяем
переменную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x = ϕ(t) , имеющей обратную функцию t = ψ( x) . Предположим также, что
ϕ′(t) непрерывна. Тогда справедлива формула замены переменной в
неопределенном интеграле
′ |
t = ψ( x) . |
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt , |
|
(29.2) |
|
Действительно, пусть F ( x) первообразная f ( x) . |
Тогда по формуле |
подстановки правая часть этого выражения равна |
|
∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = F(ϕ(t)) + C = F(x) + C
при x = ϕ(t ) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).
Прием замены переменной состоит в том, чтобы после её проведения сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2) легко может быть найдена первообразная.
Например, для нахождения интеграла∫ a2 − x2 dx сделаем замену переменной x = asint так, что
a2 − x2 = a2 − a2 sin2 t = acost , dx = a cos t dt .
Следовательно,
∫ |
|
dx = a2 ∫cos2 tdt = a2 ∫ |
1 + cos 2t |
dt = |
||||||||
a2 − x2 |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
a2 |
|
1 |
|
|
a2 |
( t + sin t cos t ) + C . |
|||||
= |
|
|
t + |
|
|
sin 2t |
+ C = |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
205
Перейдём от переменной t к переменной x . В промежутке
−a ≤ x ≤ a существует обратная функция t = arcsin x , поэтому a
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
x2 |
|
|
|
|
a2 - x2 |
. |
|||||
cost = 1 - sin2 t = |
= |
|
|||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||
Окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
dx = |
a2 |
arcsin |
x |
+ |
x |
|
|
+ C . |
|||||||||
a2 − x2 |
a2 − x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называемую операцию «внесения под дифференциал». Заменяя выражение ϕ′(x)dx дифференциалом d ϕ( x) , получают
∫ f (ϕ(x))dϕ(x) = ∫ f (ϕ)dϕ.
Например, |
|
|
× (3x - 7)11 + C . |
||
∫(3x - 7)10dx = |
1 |
|
∫(3x - 7)10 d (3x - 7) = |
1 |
|
|
|
||||
3 |
3 |
11 |
Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)
30.1.Интегрирование простейших иррациональностей.
Рассмотрим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функций. Если интеграл содержит иррациональность
вида n |
ax + b |
|
(a ¹ 0) , то применяют подстановку |
ax + b = tn . |
||||||||||||||||||||||||||
|
Пример. |
|
Найти интеграл ∫ |
|
|
|
1 |
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Сделаем замену или x = t 2 . |
x − 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда dx = 2tdt |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
1 |
dx = ∫ |
2t dt |
= 2∫ |
t −1 + 1 |
dt = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
t −1 |
|
t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
t + |
1 |
|
dt = 2(t + ln |
|
t −1 |
|
) + C = 2( |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
+ ln |
|
|
-1) + C . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∫ |
|
t -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если подынтегральное выражение содержит иррациональности вида |
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
m |
|
, где |
m ¹ n , то применяют подстановку ax + b = t p с p , |
|||||||||||||||||||||
ax + b |
|
|
и |
ax + b |
||||||||||||||||||||||||||
равным наименьшему общему кратному чисел m и |
|
n . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
и ∫ |
(Mx + N )dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ax2 |
+ Bx + C |
|
|
Ax2 |
|
||||
|
|
|
|
|
+ Bx + C |
Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена d ( Ax2 + Bx + C) = (2 Ax + B)dx .
Пример. Найти интеграл I = ∫ |
|
( x − 2)dx |
|
. |
|
|
|
||
|
|
3 − 2x − x2 |
В числителе дроби получим дифференциал подкоренного выражения d (3 + 2x − x2 ) = (2 − 2x)dx и разобьём интеграл на два интеграла
I = − |
1 |
|
∫ |
|
(2 − 2x) + 2 |
dx = − |
1 |
∫ |
|
(2 − 2x)dx |
|
− ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
2 |
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
∫ |
d (3 + 2x − x2 |
) |
− ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
= − |
|
|
− arcsin |
x −1 |
+ C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|
4 − (x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx , |
|
∫ |
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
dx |
||||||||||||||||||||||
В |
|
интегралах |
вида |
|
|
a2 − x2 |
|
a2 + x2 |
|
|
|
|
x2 − a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
освобождаются от иррациональности |
|
применением тригонометрических |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановок. Для первого интеграла применяется замена x = asint |
(можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = a cos t ) и используется тождество |
|
|
sin 2 t + cos 2 t |
= 1 ; |
для второго – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
замена |
x = a tg t и применяется соотношение 1+ tg2 t = |
1 |
|
; для третьего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|||||||
|
|
x = |
|
|
a |
x = |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
– замена |
|
|
|
|
|
или |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
30.2. |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование |
|
|
по |
|
|
частям. |
|
|
Рассмотрим |
метод |
интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить отысканием другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u ( x) и v( x) – две функции, имеющие непрерывные производные на некотором интервале. Найдем дифференциал d (u × v) от произведения этих функций
|
|
|
|
d (u × v) = u × dv + v × du , |
где |
′ |
(x) × dx, |
′ |
. Перепишем это выражение в виде |
dv = v |
du = u (x) × dx |
u( x) dv( x) = d (u( x) × v( x)) - v( x)du( x)
207
и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что ∫ d (u × v) = u × v , получим
формулу интегрирования по частям
∫u(x) × dv(x) = u(x) × v(x) - ∫v(x) × du(x) .
Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла
∫ f (x)dx
в виде ∫u(x) dv(x) так, чтобы интеграл ∫v(x) du(x) в правой части
формулы интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v( x) можно произвольную постоянную C , возникающую при этом интегрировании, положить равной нулю.
Найдем интеграл ∫ x ×e− xdx . Введем обозначения: u( x) = x ,
dv(x) = e− x dx . |
Тогда du( x) = dx |
и |
v(x) = −∫e− xd(−x) = −e− x . |
Применяя формулу интегрирования по частям, получим |
|||
|
∫ x × e− x dx =x ×(-e− x ) - ∫ -e− x dx = - x × e− x - e− x + C . |
||
Формула |
интегрирования |
по |
частям предполагает разбиение |
подынтегрального выражения на два множителя u ( x) и dv( x) , причем при переходе к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и, во-вторых, чтобы интеграл ∫v(x) du(x) имел более простое подынтегральное выражение.
Так, в предыдущем примере было бы «неразумно» положить u = e− x , а dv = xdx . Действительно, в этом случае
∫ x × e− xdx = x2 × e− x - 1 ∫ x2 × e− xdx ,
2 2
мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный.
Заметим, что если мы имеем интегралы вида ∫Pn (x)sin kxdx ,
∫ Pn (x)cos kxdx , ∫ Pn (x)ekxdx , ( Pn ( x) – многочлен n -ой степени), то следует выбрать u(x) = Pn (x) . При этом интегрирование по частям проводится
208
столько раз, какова |
степень многочлена Pn ( x) . Если же имеем интегралы |
вида |
|
∫ Pn (x)arcsin kx dx , ∫Pn (x)arccos kxdx , ∫ Pn (x)arctg kx dx , |
|
|
∫ Pn (x)arcctg kx dx , ∫ Pn (x)loga kx dx , |
то выбираем |
в качестве функции u ( x) либо обратную |
тригонометрическую функцию, либо логарифм.
30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому выбору методов вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим некоторые из этих методов интегрирования.
Для нахождения интегралов вида ∫sin axcosbxdx , ∫sin axsinbx dx ,
∫cosα xcos β xdx , где α , β – действительные числа, следует преобразовать произведения тригонометрических функций в суммы по формулам
sin ax × cosbx = 12 (sin (a - b) x + sin (a + b) x) , sin ax × sin bx = 12 (cos(a - b) x - cos (a + b) x), cos ax × cosbx = 12 (cos (a - b) x + cos(a + b) x) .
Пример. Найти интеграл |
I = ∫sin3x ×cos7x dx . |
||||||
I = |
1 |
(−∫sin 4xdx + ∫sin10xdx) = |
1 |
cos 4x − |
1 |
cos10x + C . |
|
|
|
20 |
|||||
2 |
|
8 |
|
Рассмотрим несколько случаев нахождения интегралов вида
∫sinα xcosβ x dx
взависимости от различных значений чисел α и β . Если хотя бы одно из чисел α или β – положительное целое нечетное число, то поступают
следующим образом: отделяют от тригонометрической функции в нечетной степени функцию в первой степени и вносят ее под знак дифференциала. Оставшуюся четную степень тригонометрической
209