9698

Это свойство применяется для поиска решения уравнения

f (x) = 0 в

заданном промежутке. Обычно задают допустимую погрешность ε , с

которой этот корень нужно вычислить. Это значит, что нужно найти такой

промежуток

[a,b] , содержащий корень

ξ

( f (ξ) = 0 ),

что его длина

b − a < ε. Предполагается,

что

вычисление

значений функции

f ( x)

проблемы

не составляет.

Рассмотрим метод поиска корня на примере

уравнения

f ( x) = x3 − 3x2 + 3 = 0 .

Функция

f (x) всюду непрерывна.

То,

что это уравнение имеет, по

крайней мере, один корень, видно из следующего представления этой

функции

f (x) = x3 (1 − 3 + 3

) .

x

x2

f (x)

При больших по абсолютной величине значениях x

знак функции

определяется первым из множителей. Поэтому при

x → − ∞ ,

f (x) < 0 , а

при x → + ∞ ,

f (x) > 0 . Значит,

график непрерывной функции,

по крайней

мере, один раз пересечёт ось абсцисс. Сделаем попытку графического

решения уравнения, представив его следующим образом:

x3 = 3( x2 − 1) .

Видно, что в пределах чертежа обнаружились два корня, являющиеся

абсциссами точек пересечения графиков функций y = 3( x2 − 1)

и

y = x3

(см. рис.17.6). Так как

y = x3 при

x > 0 растет быстрее, чем y = 3( x2 − 1) ,

то графики этих функций пересекутся еще раз. Действительно, вычислив

значения

f (2) = −1 < 0

и

f (3) = 3 > 0 ,

убеждаемся,

что этот корень

находится в промежутке

2 < x < 3.

5

4

Y = 3 (X 2 - 1 )

3

2

1

-1<x<0.5

0

-1

1<x<1.5

-2

y=x3

-3

-4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.5

Рис. 17.6

Вычислим с точностью до 0,1 корень уравнения из промежутка

[1;1,5]. Воспользуемся так называемым методом деления пополам.

Подсчитаем

значения

функции в

«средней»

точке

этого промежутка

120

f (1,3) = 0,127 > 0 и на одном из его концов f (1,5) = −0,375 < 0 .

Следовательно, корень находится в промежутке 1,3 < x < 1,5 . Снова находя значение функции в средней точке f (1,4) = −0,136 < 0 , убеждаемся, что корень находится в промежутке 1,3 < x < 1, 4 . Таким образом, поставленная задача решена. В дальнейшем мы познакомимся с более совершенными методами вычисления корней, где для достижения цели не требуется столь частого вычисления значений функции.

y

M

	x1	x2
m	a	b
	Рис. 17.7

Непрерывная функция ограничена на замкнутом промежутке и принимает свои наименьшее и наибольшее значения в этом промежутке m = f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) = M .

Если функция определена на открытом промежутке, то она может быть неограниченной в этом промежутке. Например, функция f (x) =1/ x не ограничена в промежутке (0,1) . В открытом промежутке функция, будучи даже ограниченной, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений. Например, функция f (x) = x в промежутке (0,1)

(см. рис. 17.8 a ).

Если промежуток замкнут, но функция имеет разрыв в некоторой точке x0 , то функция может быть как неограниченной (в случае разрыва второго рода), так и может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений в заданном замкнутом промежутке (см. рис. 17.8 b).

y

1	f (x) = x
a)			b)
					f (x0 )
O	1	x	a	x0	b
			Рис. 17.8
			121

Если непрерывная функция положительна (отрицательна) в некоторой точке, то существует окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

На рис. 17.7 в точке x1 функция отрицательна и существует некоторая окрестность этой точки, в которой знак функции сохраняется. Для разрывной функции, как это видно из следующего рисунка, это не так.

x0 f (x0 )

Рис. 17.9

Значение функции в точке x0 положительно, но в любой малой окрестности этой точки функция принимает только отрицательные значения.

Лекция 18. Производная

18.1. Физический, геометрический и математический смысл производной. Одним из основных понятий математического анализа является понятие производной функции. Прежде чем привести его математическое определение, рассмотрим несколько задач, приводящих к этому понятию.

Первая задача связана с определением мгновенной скорости

движущейся	точки. Пусть	известен закон движения точки	x(t ) ,
движущейся	по прямой O x .	Если точка движется равномерно,	т.е. за

равные промежутки времени она проходит одинаковые расстояния, то ее скорость равна

= x(t) − x(0) =

v(t) const . t

Если точка движется неравномерно, то что мы будем понимать под скоростью точки?

За промежуток времени [t,t + t] точка проходит расстояние x = x(t + t) − x(t) . Если величина t достаточно мала, то можно считать, что в этом промежутке точка движется равномерно и тогда приближенно ее скорость равна

v(t) ≈	x .
	t
122

Величина v(t) тем ближе к скорости в момент времени t , чем меньше

t . Скоростью точки в момент времени	t	назовем предел этого
отношения, когда длина интервала времени	t стремится к нулю, т.е.

v(t) = lim	x(t +	t) − x(t)	.
t→0		t

Вторая задача связана с понятием плотности массы тонкого неоднородного стержня. Пусть поперечное сечение стержня мало по сравнению с его длиной. Тогда плотность массы ρ( x) этого стержня в

точке с координатой x определим как	предел отношения массы
m = m( x + x) − m( x) части стержня [ x, x +	x] к ее длине x , т.е.

ρ( x) = lim	m( x +	x) − m( x)	.
x→0		x

Третья задача связана с проведением касательной прямой к заданной кривой.

	y= f (x)
		M (x, y)
			y
	M 0
		x
α0	α( x)
		Рис. 18.1
Под касательной к графику функции			y = f ( x)	в точке M 0		будем
понимать предельное положение		секущей	M 0 M ,	когда	точка	M
движется вдоль кривой к точке	M 0	или, другими словами,			x → 0 (если

это предельное положение существует). Нормалью назовем прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно касательной. Пусть касательная образует с положительным направлением оси O x угол α0 , а секущая – α( x) . Тогда по определению

lim tgα(	x) = lim	y = tgα	0	,
x→0	x→0	x
	123

т.е. тангенс угла наклона касательной равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента.

Отвлечемся теперь от конкретных задач и для произвольной функции

y = f ( x) дадим	аргументу x приращение x . Тогда функция получит
приращение	y = f ( x +	x) − f ( x) . Рассмотрим предел отношения
приращения функции y		к приращению аргумента x , когда приращение

аргумента стремится к нулю, т.е.

lim	y .
x→0	x

Если этот предел существует, то он называется производной функции

f ( x) в точке x			′
	и обозначается f (x) . Поскольку производная в точке x
является функцией		x ,	то, чтобы	подчеркнуть	этот факт,	пользуются
термином производная функция (				′
				f (x) – производная функция функции
f ( x) , кратко: f	′	производная		f ( x) ).
	(x) –
Согласно	этому		определению скорость		движения	точки есть
				′		стержня –
производная пути по времени v(t) = x (t) , плотность массы
				′
производная массы по координате ρ(x) = m (x) , а тангенс угла α0 между
положительным направлением оси				O x и касательной к графику функции

в данной точке равен значению производной функции в этой точке

f′(x0 ) = tgα0 .

18.2.Вычисление производных. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой

точке. Пример недифференцируемой в точке x = 0 функции y =| x | приведен на рис. 18.2

y

y = − x	y = x

x

Рис. 18.2

Действительно, для этой функции имеем

124

lim	y =1 ,	lim	y = -1 ,
x→+0	D x	x→−0	D x
а, значит, предел этого отношения		не	существует когда	x → 0

произвольным образом.

Если производная в данной точке существует и конечна, т. е. отношения y к x стремится к конечной величине, когда x → 0 , то отсюда следует, что y → 0 . Таким образом, дифференцируемая в данной точке функция будет непрерывной в этой точке. Обратное утверждение не верно, как показывает приведенный выше пример (см. рис. 18.2). В точке x = 0 функция y =| x | непрерывна, но недифференцируема.

Итак, непрерывность функции в данной точке – необходимое условие её дифференцируемости. Другими словами, если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в этой точке. Ввиду важности этого утверждения приведём его формальное доказательство.

lim Dy = lim		y Dx = lim		y lim Dx = f ¢(x) ×0 = 0.
x→0	x→0	Dx	x→0	Dx x→0
Как мы видим, из существования производной					′	следует равенство
					f (x)

lim y = 0 , означающее непрерывность функции в данной точке.

x→0

Согласно определению теперь мы можем находить производные различных функций. Например,

2 ′

(x + x)2 − x2

2x x + ( x)2

(x

) = lim

= lim

= 2x ,

x

x

x→0

x→0

sin ( x + Dx) - sin x

2sin

x cos(x +

x )

(sin x)¢ = lim

= lim

2

2

= cos x .

D x

x→0

D x

x→0

2 ×

2

Здесь мы использовали первый замечательный предел и свойство непрерывности функции y = cos x , перейдя к пределу под знаком функции.

Итак,
′	= cos x . Следующую формулу	′	= −sin x получите
(sin x)		(cos x)

самостоятельно.

Несколько сложнее найти производную логарифмической функции

125

		ln(x + x) − ln x				x	1
′							x
(ln x)	= lim		= lim ln 1		+			=
	x→0	x	x→0			x

Применим второй замечательный предел в следующей форме

x
	lim 1 8 α X Yx
	UV0

1

x

1

x

1

1

1

x

x

=

lim ln 1

+

=

ln( lim

1

+

) =

ln lim(1

+ α)α

=

x

x

x

x

x x→0

x

x→0

α→0

Здесь

α =

x → 0 ,

когда

x → 0 .

x

18.3. Уравнение касательной. Угол

между кривыми. Исходя из

геометрического смысла производной, можно получить уравнение касательной к кривой в данной точке. Задача сводится к выбору из

уравнения	пучка прямых	y − y0		= k (x − x0 )			конкретного	значения
углового	коэффициента	k =	′		Таким		образом,	уравнение
			f (x0 ) .
касательной к графику функции			y = f ( x)		в точке M 0 (x0 , y0 ) имеет вид
		y − y0 =		′			,
				f (x0 )(x − x0 )
а уравнение нормали
		y − y0 = −		1		(x − x0 ) .
				′
				f (x0 )

Под углом между кривыми в точке их пересечения естественно понимать наименьший из углов между касательными к кривым в этой точке. Тогда угол может быть вычислен как угол между двумя прямыми с заданными угловыми коэффициентами по формуле

tgϕ = k2 − k1 . 1 + k1k2

Вкачестве примера найдем, под каким углом пересекаются синусоида

икосинусоида. Задача сводится к нахождению значений производных

функций f1 (x) = cos x и f2 (x) = sin x при x = π / 4 (см. рис. 18.3).

126

y	= cos x	y2 = sin x
y1

1

ϕ ≈ 700

x

π	π
4	2

Рис. 18.3

Вычисляем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке их пересечения

k	= f ′(x) |	x=π / 4	= −sin( π) = −		2		,	k		= f ′(x) |	x=π / 4	= cos( π) =		2		.
									2
1	1		4	2						2		4	2

Отсюда

tgϕ =		2	2 +	2	2	= 2		ϕ ≈ 700 .
							2
			1 − 0.5

18.4. Правила дифференцирования. Непосредственное нахождение производных некоторых функций представляет собой трудоемкую задачу. Поэтому выведем правила дифференцирования, которые значительно упростят ее.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций

(u(x) + v(x))′ = u′(x) + v′(x) .

Действительно, приращение суммы равно

y = u( x + x) + v( x + x) − u( x) − v( x) = u( x + x) − u( x) + v( x + x) − v( x) ,

т.е.	y = u + v .	Следовательно,
	y′ = lim	y = lim		u +	v	= lim		u	+ lim		v = u′ + v′ ,
	x→0	x x→0		x	x	x→0		x	x→0		x

так как предел суммы равен сумме пределов и последние пределы существуют в силу предположения о дифференцируемости слагаемых.

127

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции

′	′	′	(18.1)
(u(x)v(x))	= u(x)v (x) + v(x)u (x) .
Действительно, дадим	приращение	аргументу	x . Тогда

сомножители получат приращения u и v соответственно и приращение

функции равно

D y = (u + Du )(v + Dv) - uv = u × Dv + v ×Du + Du × Dv .

Следовательно,

′		y	u	v	+ lim		u	lim v .
y	= lim		= v lim	+ u lim			x
		x→0 x	x→0 x	x→0 x		x→0		x→0
Так как функция		v( x) –	дифференцируемая,			то	она непрерывная,

поэтому последнее слагаемое в этой формуле равняется нулю и мы приходим к формуле (18.1).

В качестве следствия получим следующее правило: постоянный

множитель при дифференцировании выносится за знак производной

(cf (x))′ = cf ′(x) .

Применим это правило для нахождения, 0,производной, Z 1 логарифмической функции с произвольным основанием

	ln x ¢				1		1		1
(loga	x)¢ =			=		(ln x)¢ =		×		.
					ln a		ln a
	ln a								x

Производная частного вычисляется по следующей формуле:

u ¢			=	u¢v - v¢u
				v	2
v

при условии, что знаменатель в данной точке не обращается в ноль. Действительно, выразим приращение частного через приращения делимого и делителя

Dy =	u + u	-	u	=	v u − u v
						.
	v + Dv		v		v (v + Dv)

128

v lim

u − u lim

v

′

′

Тогда

lim

y =

x→0

x

x→0

x

=

u v − v u

.

lim v

(v + v)

x→0

x

v2

x→0

Найдём, например, производную функции

y = tg x

′

′

′

′

sin

2

x + cos

2

x

1

sin x

(sin x) cos x − (cos x) sin x

(tg x)

=

=

=

=

.

cos

2

(x)

cos

2

x

cos

2

cos x

x

Получите самостоятельно производную функции

y = ctg x .

Лекция 19. Производная (продолжение)

19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций. Часто приходится находить производную так называемой сложной функции, представляющей собой «функцию от функции». Например,

x2 + 1, sin(2x + 3), e− x2

или в общем виде

y = f (ϕ( x)) = F ( x) .

Эта функция представлена как суперпозиция (композиция) двух функций

	y = f (u),	u = u( x) ,
где «внешняя» функция	f (u) –	дифференцируемая функция
промежуточной переменной	u , а «внутренняя» функция u ( x) –
дифференцируемая функция	независимой переменной x . Оказывается,

что производная сложной функции по независимой переменной равна

произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной

y′ = f ′(u(x))u′(x) .

x u

Это так называемое цепное правило доказывается следующим образом. Используя определение производной, получим

129