9698
.pdfЛекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка
При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.
И. Ньютон
3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n
линейных уравнений c n неизвестными
a x + a x +L+ a x = b |
|
11 1 12 2 |
1n n 1 |
a21x1 + a22 x2 +L+ a2n xn = b2 |
|
|
|
LLLLLLLLLLLL |
an1x1 + an2 x2 +L+ ann xn = bn
после введения матриц
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
b1 |
|
|
x1 |
|
|||
a |
|
a |
|
a |
|
|
, |
b |
|
, |
x |
|
A = |
21 |
|
22 |
|
2n |
B = 2 |
|
X = 2 |
|
|||
L L L |
|
M |
|
|
M |
|
||||||
|
|
an 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
bn |
|
|
xn |
|
можно записать кратко
A × X = B . |
(3.1) |
Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .
Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени
a × x = b .
Решение x = b получается умножением обеих частей уравнения на число, a
обратное числу a , то есть на число 1 = a−1 a
a−1 × a × x = a−1 ×b 1× x = b . a
Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальнейшем будем её обозначать A−1 ), которая при умножении на данную
20
матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:
A−1 × A × X = A−1 × B E × X = A−1 × B X = A−1 × B .
Поэтому естественным будет следующее определение.
Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется матрица A−1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу A , даёт единичную матрицу
A−1 × A = A × A−1 = E .
С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид
X = A−1 × B . |
(3.2) |
Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .
3.2. Определители матриц порядка |
n и их свойства. Теперь мы в |
||||
состоянии ввести понятие определителя матрицы n -го порядка |
|||||
|
a11 |
a12 K a1 j |
K a1n |
|
|
|
|
||||
|
a21 |
a22 K a2 j |
K a2n |
|
|
|
K K K K K K |
|
. |
||
|
ai1 |
ai 2 K aij |
K ain |
|
|
|
|
|
|||
|
K K K K K K |
|
|
||
|
an1 |
an 2 K anj |
K ann |
|
|
Если |
aij – выбранный элемент, |
то минор M ij |
– это определитель |
|||
матрицы |
порядка |
(n −1) , получаемой |
после |
вычеркивания в исходной |
||
матрице |
строки i |
и столбца j , а |
A = (-1)i+ j M |
ij |
– соответствующее |
|
|
|
|
ij |
|
|
|
алгебраическое дополнение. |
|
|
|
|
||
Определителем n -го порядка (n >1) |
называется число, равное |
сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain , |
i = 1, ... , n |
= a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj , |
. |
j = 1, ... , n |
|
21 |
|
Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n = 2 легко проверяется
a11 |
a12 |
= a a |
22 |
− a a |
21 |
= a A + a A = |
|||
a21 |
a22 |
11 |
12 |
11 |
11 |
12 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(разложение по элементам первой строки), или
= a11a22 − a21a12 = a11 A11 + a21 A21
(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.
Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.
Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется
( AT ) = ( A) .
Это свойство следует из определения.
Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).
Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.
Убедимся в справедливости этого свойства для n = 2
a1 |
b1 |
= − |
a2 |
b2 |
. |
a2 |
b2 |
|
a1 |
b1 |
|
Действительно, «раскрывая» определители, имеем:
a1b2 − a2b1 = −(a2b1 − a1b2 ) .
Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число λ ее определитель умножается на λ.
|
λa1 |
λb1 |
|
= λ |
|
a1 |
b1 |
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
22
Это свойство в данном случае ( n = 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где λ будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строки матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Отметим, что умножение матрицы на число происходит по-другому
a |
a |
|
|
λa |
λa |
|
λ 11 |
12 |
|
= |
11 |
12 |
. |
a21 |
a22 |
|
λa21 |
λa22 |
Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.
Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По
свойству |
2 определитель должен сменить знак, то есть |
= − , а с другой |
стороны, |
в нём ничего не изменилось, то есть = . |
Есть единственное |
число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, = 0 .
Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.
Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой
матрицы верно равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
′ |
′′ |
b1 |
|
|
|
′ |
b1 |
|
|
|
′′ |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a1 |
+ a1 |
= |
|
a1 |
+ |
|
a1 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
′ |
′′ |
b2 |
|
′ |
b2 |
|
|
′′ |
b2 |
|
|
|
||||
|
|
a2 |
+ a2 |
|
|
|
a2 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
||||
Проверяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
′′ |
′ |
′′ |
= |
|||
(a1 |
+ a1 )b2 |
− (a2 |
+ a2 )b1 = a1b2 |
+ a1b2 |
− a2b1 |
− a2b1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= a1b2 |
− a2b1 + (a1b2 |
− a2b1 ). |
|
|
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится
a1 + λb1 |
b1 |
|
= |
|
a1 |
b1 |
|
+ λ |
|
b1 |
b1 |
|
= |
|
a1 |
b1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a2 + λb2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
b2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этим свойством удобно пользоваться для «получения нулей» в определителе (чем больше нулей в строке или столбце, тем легче вычисляется определитель). Например, определитель четвёртого порядка матрицы так называемого треугольного вида вычисляется следующим образом:
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
|
a22 |
a23 |
a24 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
a22 |
a23 |
a24 |
= a × |
= a × a |
a33 |
a34 |
= a a a a |
|||||
0 |
a a |
||||||||||||
0 |
0 |
a |
a |
11 |
|
|
33 |
34 |
11 22 |
0 |
a |
11 22 33 44 |
|
|
|
33 |
34 |
|
0 |
|
0 |
a44 |
|
|
44 |
|
|
0 |
0 |
0 |
a44 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(разложили по элементам первых столбцов).
Свойство 9. Если элементы какой-либо строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов остальных строк, т.е. представимы в виде суммы их произведений на некоторые числа, то определитель равен нулю.
Например, определитель матрицы
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A = |
a |
a |
a |
|
|
21 |
22 |
23 |
|
aa11 + ba21 |
aa12 + ba22 |
aa13 + ba23 |
равен нулю. Это следует из того, |
что |
согласно свойству 7 этот |
|||||||||||
определитель равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D( A) = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
+ |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
||
|
|
aa11 |
aa12 |
aa13 |
|
|
|
|
ba21 |
ba22 |
ba23 |
|
|
Заметим, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то любая строка является линейной комбинацией остальных строк (доказательство этого утверждения отложим до изучения векторов).
Свойство |
10. Сумма |
произведений элементов i -й |
строки на |
алгебраические |
дополнения |
соответствующих элементов |
j -й (i ¹ j) |
строки равна нулю. Например, для матрицы
a11 |
a12 |
A = a |
a |
21 |
22 |
a31 |
a32 |
a13 a23 a33
выполняется
a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0 . |
(3.3) |
24
Для доказательства этого факта одинаковыми строками
a11 |
a12 |
a |
a |
11 |
12 |
a31 |
a32 |
рассмотрим матрицу с двумя
a13 a13 . a33
С одной стороны, ее определитель равен нулю, а с другой стороны, раскладывая ее определитель по элементам второй строки, получим равенство (3.3).
Заметим, что для вычисления определителя порядка n необходимо
вычислить n определителей порядка (n −1) , |
каждый из которых, |
в свою |
||||
очередь, вычисляется через (n −1) определитель порядка |
(n − 2) |
и т.д. |
||||
Следовательно, определитель порядка |
n |
есть алгебраическая сумма n! |
||||
слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей. |
|
|||||
3.3. Обратная матрица. Напомним, что обратной матрицей к данной |
||||||
квадратной матрице A называется матрица |
A−1 , которая при умножении, |
|||||
как справа, так и слева, на матрицу A даёт единичную матрицу |
|
|
||||
A−1 × A = A × A−1 = E . |
|
|
|
|||
Теорема. Если определитель матрицы |
(A) отличен |
от |
нуля, то |
|||
матрица имеет единственную обратную матрицу A−1 . |
|
|
|
|||
По ходу доказательства теоремы |
мы |
получим один |
из |
способов |
вычисления обратной матрицы. Действительно, по определению A−1
a11 |
a12 |
a21 |
a22 |
a31 |
a32 |
a13 |
d11 |
d12 |
d13 |
|
1 0 0 |
|
|
|||||||
a |
d |
21 |
d |
22 |
d |
23 |
|
= |
0 |
1 |
0 |
|
, |
(3.4) |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d32 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
a33 d31 |
d33 |
|
|
|
|
где элементы обратной матрицы dij нужно отыскать. Найдём сначала элементы первого столбца d11, d21 и d31 . По правилу умножения матриц имеем
a d + a d |
21 |
+ a d |
31 |
=1 |
|||||
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
||||
a21d11 |
+ a22d21 + a23d31 = 0 . |
||||||||
a d + a d |
21 |
+ a d |
31 |
= 0 |
|||||
|
31 |
11 |
32 |
|
33 |
|
|
По формулам Крамера получим
25
d = |
1 |
|
1 |
|
a12 |
a13 |
= |
+1 |
|
|
|
a22 |
a23 |
|
= |
|
|
A11 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
( A) |
|
|
( A) |
a32 |
a33 |
|
|
( A) |
|||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
a11 |
1 |
a13 |
|
= |
|
|
−1 |
|
|
a21 |
a23 |
|
|
= |
|
|
A12 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
d |
|
|
|
a 0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
( A) |
|
|
( A) |
a31 |
a33 |
|
|
( A) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
21 |
|
|
|
21 |
0 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
a11 |
a12 |
1 |
|
|
|
= |
|
|
+1 |
|
a21 |
a22 |
|
= |
|
|
A13 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
a |
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
( A) |
|
|
|
( A) |
a31 |
|
|
( A) |
||||||||||||||||||||||
|
31 |
|
|
21 |
22 |
0 |
|
|
|
|
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным образом получаем
di 2 = |
A2i |
|
|
, di3 = |
A3i |
|
, i = 1, 2,3 . |
|
||
( A) |
( A) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, обратная матрица имеет вид |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|||
A−1 = |
|
|
A |
A |
A |
. |
(3.5) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
( A) |
12 |
22 |
32 |
|
|
|||
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|
Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются
вырожденными.
Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение
матрицы): |
|
|
|
( A) . Если ( A) = 0 , то A−1 не |
|
||
∙ |
вычисляем определитель |
|
|||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
вычисляем матрицу алгебраических дополнений (обозначим |
% |
|||||
A ). |
|||||||
∙ |
|
|
|
% |
|
|
|
транспонируем матрицу A . |
|
||||||
∙ |
|
|
%T |
|
1 |
и получаем обратную матрицу. |
|
умножаем матрицу |
A |
на |
|
||||
|
|
|
|
|
( A) |
|
|
Приведем |
другое |
обоснование формулы (3.5), определяющей |
обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10 для определителей получим
26
|
|
1 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A11 |
A21 |
|
A31 |
|
|
||||||
AA−1 = |
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
A A |
|
A |
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
det A |
21 |
|
22 |
|
23 |
|
12 |
22 |
|
32 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
A13 |
A23 |
|
A33 |
|
|
|||||
|
1 |
|
det A |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
= |
|
|
0 |
|
det A |
|
|
0 |
|
= |
0 |
1 |
0 |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
det A |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
что и требовалось доказать.
|
1 |
2 |
0 |
|
Пример. Обратим матрицу A = |
1 |
1 |
1 |
. |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
Вычисляем определитель матрицы D( A) = 3 . Составляем матрицу |
|||||||
алгебраических дополнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
-2 |
|
% |
|
|
-2 |
|
|
|
|
A = |
|
1 |
4 |
. |
|||
|
|
|
|
2 |
-1 |
-1 |
|
Транспонируем её |
|
|
|
|
−2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
||||
%T |
= |
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
1 |
-1 |
|||
|
|
|
|
-2 |
4 |
-1 |
и получаем обратную матрицу
|
|
1 %T |
|
1 |
|
1 |
-2 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
A |
= |
|
A |
= |
|
|
1 |
1 |
-1 . |
D |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
4 |
-1 |
Таким образом, решение системы |
n |
уравнений с |
n неизвестными в |
случае невырожденной матрицы имеет вид
X = A−1 × B . |
(3.6) |
Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы A−1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B . Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.
Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы.
27
Для этого заметим, что из (3.3) и (3.4) с учетом формулы разложения определителя по столбцу и использованных выше обозначений следует
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
b1 |
|
|
b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 |
|
|
Dx |
|
X = |
1 |
A A |
A |
× b |
= |
1 |
b A + b A + b A |
= |
1 |
D |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
D( A) |
22 |
|
|
|
|
D( A) |
|
D( A) |
|
|||
|
|
12 |
32 |
2 |
|
|
1 12 2 22 3 32 |
|
|
|
y |
||
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
b3 |
|
b1 A13 + b2 A23 + b3 A33 |
|
Dz |
что совпадает с формулами Крамера.
Пример. Основываясь на формуле (3.6), решим систему уравнений
x + 2 y = b
1
x + y + z = b22x + z = b3
1 |
2 |
0 |
|
x |
|
b1 |
|
||
A = |
1 |
1 |
1 |
|
, |
X = y |
, |
B = b |
. |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
b3 |
|
1 |
|
1 |
-2 |
2 |
|
Обратная матрица была найдена ранее A−1 = |
|
1 |
-1 |
-1 . |
||
|
||||||
3 |
|
-2 |
4 |
|
||
|
|
|
-1 |
Не следует «торопиться» делить каждый элемент матрицы на определитель D( A) . Вычисляем матрицу-столбец неизвестных
|
1 |
|
1 |
-2 |
|
X = |
|
|
1 |
-1 |
|
3 |
|||||
|
-2 |
4 |
|||
|
|
|
2 |
b1 |
|
|
1 |
b1 - 2b2 + 2b3 |
|
||
-1 |
× b |
|
= |
|
b - b - b |
. |
||
|
||||||||
|
2 |
|
3 |
|
1 2 3 |
|
||
-1 |
b3 |
|
|
|
-2b1 + 4b2 - b3 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
Пусть, например, b = 1, |
b |
= 2 , b = 3 , тогда X = y |
= |
0 |
. |
|
1 |
2 |
z |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
||
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными |
||||||
4.1. Ранг матрицы. |
|
Мы рассматривали систему |
n |
уравнений с n |
неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( ( A) = 0) или m ¹ n , то есть число неизвестных не совпадает с числом уравнений?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится она следующим образом. Выберем некоторые k строк и k столбцов и образуем матрицу порядка k , которая состоит из элементов, стоящих на их пересечении. Определитель этой матрицы будем называть минором
28
k -го порядка.
Рангом матрицы A называется число r( A) , равное наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r = 0 .
Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству
0 ≤ r ≤ min(m,n) ,
где m и n – размеры матрицы. Например,
|
1 |
2 |
|
, r ( A) = 2 ; |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
r ( B) = 1, |
A = |
|
4 |
|
B = |
|
2 |
2 |
|
, |
||
3 |
|
|
2 |
|
|
|
так как все миноры второго порядка равны нулю.
Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.
Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.
4.2. Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений совпадало с числом неизвестных и когда матрица системы была невырожденной. В этом случае система имеет единственное решение. Сейчас мы рассмотрим общий случай системы m уравнений с n неизвестными
a x + a x +L+ a x = b |
|||
11 1 |
12 2 |
1n n |
1 |
a x + a x +L+ a x = b |
|||
21 1 |
22 2 |
2n n |
2 |
LLLLLLLLLLLL |
|||
a x + a x +L+ a x = b |
|||
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
m |
или в матричной форме |
|
|
|
A × X = B . |
|
(4.1) |
%
Образуем так называемую «расширенную» матрицу B , полученную присоединением к матрице A столбца из свободных членов уравнений системы
29