9845

ды в магнитном поле дроссельных каналов включает в себя уравнения Мак-

	свелла:	∂H = rot[VH] +ν m H, divH = 0,	где ν m	=	c2	− коэффициент магнит-
					4πγ
		∂t

ной вязкости, который тем меньше, чем выше электропроводность среды; гидродинамические уравнения движения среды; обобщенное уравнение Навье-

¶V

+ (VÑ)V = -

1

gradp -

1

[HrotH]+

η

DV +

1

ξ +

η

Стокса:

graddivV ;

¶t

ρ

4πρ

ρ

ρ

3

уравнение

неразрывности:

∂ρ + div(ρV) = 0;

уравнение состояния среды:

∂t

p = p(ρ, T) ;

уравнение

закона

сохранения

энергии:

∂ ρV 2

H 2

+ ρu +

= −divW ,

где

ρ − плотность среды, V − скорость движения

∂t

2

8π

среды в дроссельных каналах, u − внутренняя энергия, H − напряженность внешнего магнитного поля, W - плотность потока энергии (вектор УмоваПойнтинга). Диссипация плотности потока энергии W резко возрастает, если в потоке магнитореологической среды нарушается химическое равновесие. С учетом параметров реологического заполнителя и внешнего магнитного поля плотность потока энергии можно представить в виде [100]:

2

2

¶Vy

2

2

¶Vy

2

2

p

V

¶Vx

¶Vz

¶Vx

¶Vx

¶Vz

W= ρ ×V u +

+

-KÑT+η 2

+

+

+

+

+

+

+

ρ

2

¶x

¶y

¶z

¶y

¶x

¶z

¶x

¶V

2

2

2

1

ν

m

y

+

¶Vz

]-

2

(divV)

+ζ (divV)

}V+

[H[VH]]-

[HrotH.]

¶z

3

4π

4π

¶y

Здесь ν m = c2 / 4πγ − коэффициент магнитной вязкости, u - удельная внутренняя энергия среды, К - коэффициент теплопроводности, η и ζ - коэффициенты пер-

вой и второй вязкостей магнитореологической среды, T − абсолютная температура.

Вданной модели не учтено влияние внутреннего магнитного поля, возникающего при движении магнитореологической жидкости в каналах.

Вработе [90] рассматривается трехмерная многочастичная упорядочен-

100

ная модель электрореологических жидкостей. Показано, что в этом случае ее поведение может быть описано в рамках вязкоупругого приближения. Ранее в работах [89, 92] модель электрореологической жидкости представлялась в виде тетрагональной объемно - центрированной кристаллической решетки. Такая модель предназначена только для неньютоновских жидкостей и для описания динамических процессов с изменяющимися давлениями и магнитными полями в дроссельных каналах требует уточнения.

Рассмотрим наиболее простой случай аксиально-симметричного поля,

когда E r = - ∂U ¹ 0, E z	= - ∂U ¹ 0, Eϕ = 0, где U − скалярный потенциал элек-
¶r	¶z
трического поля, Er , Ez , Eϕ − координаты вектора напряженности E в цилинд-
рической системе координат. При условии V ≈ Vz , где Vz − скорость вдоль

оси z, потоки заряженных частиц через дроссельные каналы можно считать параксиальными.

Первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобре-

тают вид [101]:
ɺ	ɺ	ɺ	(7.14)
rotH = γE		=δ ,
ɺ		ɺ	(7.15)
rotE = − jωμa H ,

где Нɺ и Еɺ - комплексные напряженности магнитного и электрического полей соответственно, δɺ- комплексная плотность тока, направленная по вертикаль-

ной оси z	в дроссельном канале, ω − частота внешнего динамического воздей-
ствия, μа	− магнитная проницаемость среды.
Из выражений (7.14) и (7.15)		следует, что rotrotδɺ = − jωγμaδɺ	или
graddivδɺ- Ñ2δ × z0 = (- jωγμ a ) ×δɺ× z0 .		Принимая во внимание, что divδɺ = 0 ,	по-

лучим Ñ2δɺ = jωγμa δɺ.

Раскрывая оператор Лапласа в цилиндрической системе

координат и учитывая,

что δɺ от α

и

z

не зависит, приходим к уравнению

ɺ

2

ɺ

d 2δɺ

1

dδɺ

1

dδ

d

δ

ωγμ

δɺ

или

+

×

= jωγμ

δɺ; вводя обозначение

+ r

2

= j

,

2

a

a

dr

r

dr

r dr

dr

101

q2 = − jωγμa , получаем уравнение

d2δɺ

1

dδɺ

+ q2δɺ = 0 , или

+

×

dr2

r

dr

d 2δɺ

+

1

×

dδɺ

+ δɺ = 0

(7.16)

d(qr)2

qr

d(qr)

Уравнение (7.16) является частным случаем уравнения Бесселя, решение

которого можно представить следующим образом:

ɺ

ɺ

ɺ

(7.17)

δ =

A × J0 (qr) + B × N0 (qr) ,

где Aɺ и Bɺ- комплексные постоянные интегрирования;

J 0 (qr) − функция Бессе-

ля нулевого порядка первого рода; N0 (qr) − функция Бесселя нулевого порядка второго рода. Второе слагаемое в решении (7.17) лишено физического смысла, так как при qr = 0 функция N 0 (qr ) → ∞ и плотность тока неограниченно воз-

растает, что на практике не наблюдается. Исходя из уравнения (7.16) и соотно-

шения (7.17)

ɺ

1

d

ɺ

ɺ

d[J0 (qr)]

d(qr)

ɺ

ɺ

A

A

A

H = -

×

[A × J0 (qr)]= -

×

×

= -

× q[- J1 (qr)] =

× J1

(qr),

q2

dr

q2

d(qr)

dr

q2

q

или

ɺ

ɺ

=

A

× J1 (qr),

H

q

(7.18)

где

J1 (qr ) − функция Бесселя первого рода первого порядка. Для определения

Aɺ найдем значение Hɺ у стенок дроссельного канала применяя закон полного

I

ɺ

тока, получим

=

A

× J1 (qa) ; отсюда:

2πa

q

ɺ

qI

A =

.

(7.19)

2πa × J1 (qa)

Подставив найденное значение Aɺ в формулы (7.16) и (7.17), получим следую-

щие выражения:

δɺ =

qIJ0 (qr)

;

(7.20)

2πaJ1 (qa)

102

ɺ	IJ1 (qr)
H =		.	(7.21)
	2πaJ1 (qa)

Используя формулы (7.20) и (7.21)? можно определить плотность потока заряженных частиц через дроссельный канал и напряженность магнитного поля в канале, где

J0 (qr) = b0 e jβ0 ;		(7.22)
J1 (qr) = b1e jβ1	-	(7.23)
функции Бесселя нулевого и первого порядка первого рода.
Рассмотрим конкретный пример. По дроссельному каналу диаметром 4
мм перемещаются заряды с силой тока	0,1 А, проводимость	среды

γ =107 Ом−1 × м−1, μ =103 , частота внешнего вибросигнала f = 10 Гц. Для опре-

деления распределения плотности тока по сечению канала и напряженности магнитного поля используются формулы (7.20) и (7.21).

q = ωγμ a = 2π ×10 ×1,256 ×10 −6 ×10 3 ×10 7 × - j = 888,35 × - j = 888,35 × e − j45 0 ;

r = a

ωγμa

= 0,002 × 888,35 » 2 .

μa = μ0 μ = 4π ×10−4 Гн/ м.

По

таблицам

бесселевых

функций

[150]:

J0 (qr) = J0 (2

= 1,22; β0

= 520

- j) = 1,22 × e j520 ; b0

J1 (qr) = J1 (2

=1,04; β1

= -16,70

- j) =1,04 × e− j16,70 ;b1

По формуле (7.20) найдем плотность тока на осевой линии дроссельного

канала δɺ0 =

qI

=

888,35e− j450 × 0,1

= 6,8 ×103

× e− j28,30 [А/ м2

]

2πa × J1 (qr)

2π × 0,002 ×1,04e− j16,7

Используя полученный результат, найдем плотность тока у стенки дроссельно-

го канала δɺ1 = δɺ0 × J0 (qr) = 6,8 ×103 e− j28,30 ×1,22e j520 = 8,296 ×103 e j23,7 . [А/ м2 ]

На низких частотах входного вибросигнала распределение заряженных частиц по сечению канала незначительное – порядка 15%. Рассмотрим поведение магнитореологического заполнителя на частоте 100 Гц, когда при заполнении камер гидроопоры обычной рабочей жидкостью дроссельные каналы за-

пираются:

103

q = ωγμ a = 2π100 ×1,256 ×10−6 ×103 ×107 × - j = 2,8 ×103 × - j.

r = a	ωγμ	= 0,002 × 2,8 ×103			= 5,6.
	a
J0 (qr) = J0 (5,6				) » 8,5 × e j1950		, J1 (qr) = J1 (5,6
			- J				− j) ≈ 7e j1050		. Используя полу-

ченные результаты, определим плотность тока в центре дроссельного канала и на его периферии:

	δɺ0	=			2800 ×0,1					= 3,184 ×103[А/ м2 ].
					2π ×0,002 ×			7
	δɺ1	=		δɺ0 × J0 (qr)			= 3,184 ×103 × 8,5 = 27,07 ×103 [А / м2 ]. Здесь плотность распределе-

ния зарядов более неравномерная, на периферии она выше в 8,5 раз. Поэтому на частотах свыше 50 Гц начинается радиальное движение частиц магнитореологического заполнителя в дроссельных каналах. Причем, в отличие от обычных реологических заполнителей, эпюры скоростей в каналах не будут соответствовать параболическому закону. На частотах свыше 100 Гц скорость частиц магнитореологического заполнителя в пристеночной области будет даже выше, чем на осевой линии. Это свидетельствует о том, что на высоких частотах динамическая жесткость гидроопоры имеет тенденцию к понижению и, следовательно, к возрастанию диссипации энергии внешнего вибросигнала. При расчетах вязкостного сопротивления движению рабочей жидкости на частотах свыше 100 Гц необходимо произвести оценку влияния внутреннего индуктивного сопротивления.

Для определения активного R и индуктивного X сопротивлений можно применить теорему Умова-Пойнтинга в комплексной форме записи [90].

R =				ωγμ a		b0		cos(β0 - β1 - 450 );		(7.24)
		2π ×aγb1
							b0		sin(β0 - β1 - 450 ).
X =					ωγμ a					(7.25)
			2π ×aγb1

Следует учитывать, что формулы (7.24) и (7.25) применимы для расчета сопротивлений единицы длины канала. Используя эти формулы, рассчитаем актив-

104

ное и реактивное сопротивления движению магнитореологического заполнителя в каналах:

R =		ωγμ a	b	0	cos(195	0	-105	0	- 45	0	) =	2800 ×8,5			cos 45	0	= 0,02	Ом;
	2πaγb1											2π ×0,002 ×10	7	×7

X = ωγμ a b0 sin(1950 -1050 - 450 ) = 0,02 Ом. 2π ×aγb1

Частота входного вибросигнала 100 Гц является критической для магнитореологического заполнителя с приведенными выше параметрами. На частотах ниже 100 Гц влиянием комплексного сопротивления можно пренебречь, а на более высоких частотах начинает превалировать индуктивное сопротивление.

Сложность и нелинейность поведения электро - и магнитореологических жидкостей (ЭРЖ и МРЖ), а также относительно высокие напряженности полей, необходимых для управления вязкостью этих составов, сыграли свою роль в том, что на протяжении почти полувека магнитореологический эффект не получил распространения на практике. И только в последнее время, используя новые технологии, начинают находить применение ЭРЖ и МРЖ в системах гашения вибраций и демпфирования ударов [51, 69, 102].

7.3. Вращающееся магнитное поле в управлении магнитореологическим трансформатором

Внастоящее время для активных систем виброзащиты, таких как гидроопоры с МРТ, до сих пор широко не применялись способы регулирования вязкости МРЖ посредством создания вращающегося магнитного поля [1 - 4]. Создание такого поля приводит не только к изменению вязкости МРЖ, но и к созданию магнитного вихря [5], который прекращает процессы седиментации

иосаждения МРЖ и противодействует гравитационным силам [6].

Вработах [1 - 4, 7] показано применение постоянного магнитного поля или меняющегося с частотой основной гармоники входного вибросигнала для управления демпфированием гидроопоры.

105

Регулирование вязкости МРЖ осуществляется в этих случаях за счет изменения напряжённости постоянного магнитного поля в дроссельных каналах и не влияет на седиментацию магнитных частиц.

При создании магнитного вихря в коаксиальном дроссельном канале МРТ гидроопоры происходит изменение параметров потока МРЖ за счет изменения её гидродинамического сопротивления.

Устранение седиментации в МРТ достигается посредством гиромагнитных свойств частиц магнетика и гироскопических свойств жидкой несущей среды. Создаваемый управляющим полем магнитный вихрь увлекает за собой частицы МРЖ. Наличие гироскопических свойств у МРЖ позволяет более эффективно управлять её вязкостью в коаксиальном канале МРТ [4].

Необходимо совершенствовать методы управления вязкостью и регулирования расхода МРЖ при её дросселировании в МРТ. Поэтому необходимо совершенствовать конструкцию самой гидроопоры с МРТ.

Для создания вращающегося поля в МРТ гидроопоры целесообразно применять однофазный индуктор, получающего питание от однофазного источника переменного напряжения [8, 9].

На рисунке 7.5 приведена структурная схема гидроопоры с МРТ с коаксиальным дроссельным каналом, управляемым вращающимся магнитным полем.

106

Рис.7.5. Структурная схема гидроопоры с МРТ: 1 – опорная плата; 2 – обечайка; 3 – корпус опоры; 4 – мембрана; 5 – корпус дроссельной перегородки; 6, 7 – рабочая и компенсационная камеры; 8 – внутренний неподвижный цилиндр; 9 – внешняя цилиндрическая втулка; 10 – коаксиальный цилиндрический зазор с МРЖ; 11 – входные и выходные отверстия дроссельной перегородки; 12 – спиральный винтовой дроссельный канал; 13 – внешний однофазный индуктор; 14 – кабель питания внешнего индуктора гидроопоры.

107

Коаксиальный цилиндрический дроссельный канал 8 образован внутренней поверхностью внешнего цилиндра 7 и внешней рабочей поверхностью внутреннего полого цилиндра 6.

Рис. 7.6. Структурная схема гидроопоры с МРТ с коаксиальным дроссельным каналом, управляемым вращающимся магнитным полем

108

Вращающееся магнитное поле в МРТ гидроопоры создаётся обмотками внешнего однофазного индуктора 10, поперечный разрез которого схематично представлен на рис. 7.6.

Рис. 7.7. Схематичное представление поперечного разреза внешнего однофазного индуктора МРТ гидроопоры

Обмотка однофазного индуктора МРТ (рис. 7.7) расположена в пазах, занимающих примерно 2/3 окружности индуктора, которая соответствует паре полюсов. В результате распределение индукции магнитного поля в коаксиальном цилиндрическом дроссельном канале 8 с МРЖ близко к синусоидальному.

Значение индукции в каждой точке коаксиального цилиндрического дроссельного канала с МРЖ будет изменяться во времени по гармоническому зако-

ну Ba = Bmax cos a , где α = x R − угловая координата точки на окружности радиуса R , выраженная в дуговых единицах (радианах); x − координата точки в линейных единицах.

Поскольку по обмотке однофазного индуктора 10 проходит переменный ток, то амплитуда индукции магнитного поля пульсирует во времени с частотой ω источника питания МРТ.

Пульсирующую волну магнитной индукции в произвольной точке коаксиального цилиндрического дроссельного канала 8 с МРЖ можно представить разностью двух вращающихся волн:

109