9845

(q21q11 − q13q23 )cos(θ10 )cos(θ20 ) + (q22 q11 + q12 q23 )cos(θ10 )cos(θ10						+ θ20 ) +
+ (q21q12			+ q13q22 )cos(θ10 + θ20 )cos(θ20 ) − 2k1 (p2 + p1 )( 1 + 2 )cos(θ10 + θ20 ) − ,
− 2 p2 k3			2 cos(θ20 ) − 2 p1k2	1 cos(θ10 ) > 0
(k2 1 ( p1q22 − p2 q12 ) + k1 ( 1				+	2 )(p1q23 + p2 q11 ))cos(θ10 )cos(θ10	+ θ20 ) +
+ (k3	2	(p2 q12 − p1q22 ) + k1 (		1 +	2 )( p2 q13 + p1q21 ))cos(θ20 )cos(θ10 + θ20 ) + ,
+ (k2	1	(p2 q13 + p1q21 ) + k3		2 (p1q23 + p2 q11 ))cos(θ10 )cos(θ20 ) > 0

q11 (q21q11 − q13 q23 )cos2 (θ10 )cos(θ20 ) + q21 (q21q11 − q13 q23 )cos(θ10 )cos2 (θ20 ) +

+q11 (q22 q11 + q12 q23 )cos2 (q10 )cos(q10 + q20 ) +

+q21 (q21q12 + q13 q22 )cos(q10 + q20 )cos2 (q20 ) +

+(2q21q11 (q22 + q12 ) + q12 q23 (q21 - q13 ) + q13 q22 (q11 - q23 ))cos(q10 )cos(q20 )×

× cos(q10						+ q20 ) + (q22 + q12 )(q22 q11 + q12 q23 )cos(q10 )cos2 (q10																											+ q20 ) +			.
+ (q22 + q12 )(q21q12												+ q13 q22 )cos(q20 )cos2 (q10 + q20 ) +
+ 2(k1 p1					(D1					+ D2 )(q23					- q11 ) - k2 D1q12 ( p1								+ p2 ))cos(q10 )cos(q10 + q20 ) +
+ 2(k1 p2						(D1				+ D2 )(q13					- q21 ) - k3 D2 q22 (p1								+ p2 ))cos(q20 )cos(q10 + q20 ) +
+ 2(k	2		D	1		p		2	q		+ k	D	2	p q		23	)cos(q			10	)cos(q		20	) - 2 p k					D q			cos2 (q		) -
										13	3				1											1		2	1	11			10			) < 0
- 2 p		k		D			2	q		21	cos2 (q		20		) - 2k ( p			2	+ p )(D			1	+ D		2	)(q	22		+ q		)cos2 (q			+ q	20
2			3														1				1									12			10

Левая часть первого неравенства имеет вид следующей поверхности (рис. 6.6). При построении поверхности считалось, что расстройки по частоте между всеми тремя двигателями равны нулю ( 1 = 2 = 0 ). Вид поверхности в плоско-

сти медленных фаз представлен на рисунке (рис. 6.7), области устойчивости отмечены белым цветом. При увеличении одной из расстроек область устойчивости приобретает вид: рис. 6.8 - 6.11. При одновременном изменении расстроек область устойчивости изображена на рис. 6.12, 6.13.

В сечениях θ20 = 0 , θ20	= π поверхности при фиксированном значении
расстройки 2 = 0 и изменении расстройки		1 имеем графики (рис. 6.14, 6.15),
из которых видно, что при увеличении 1		область устойчивости расширяется
вдоль оси θ10 . При задании	2 = 10 поверхность в сечении θ20 = 0 ведет себя

аналогично изображенной на рис. 6.14; амплитуда кривой падает, область устойчивости увеличивается вдоль θ10 .

При рассмотрении поверхности в сечениях θ10 = 0 , θ10 = π получаем гра-

80

фики (рис. 6.16, 6.17), из которых видно, что при фиксированном значении 2 = 0 и увеличении 1 область устойчивости сужается вдоль оси θ20 , превра-

щаясь в точку. При фиксированном значении 2 = 10 и изменении 1 область устойчивости имеет вид в сечении θ10 = 0 (рис. 6.18). При фиксированном зна-

чении 2 = 20 и изменении 1 область устойчивости имеет вид в сечении

θ10 = 0 (рис. 6.19). Из графиков видно, что при увеличении 1 область устойчи-

вости расширяется вдоль оси θ20 .

	ω1	ω2
m1, I1	r	ϕ	2	m2 , I	2
	1	r2
p		ϕ1		m
k					y

Рис. 6.2. Физическая модель задачи о синхронизации роторов двух асинхронных двигателей, вращающихся в одном направлении

30

25

20

15

10

5

0

-5 10

8

6

4				pi/2	pi	3*pi/2 2*pi
2			-pi/2 0
0		-3*pi/2-pi
	-2*pi		θ

Рис. 6.3. Вид поверхности

81

25
20		= 10
15
		= 5
10
		= 0
5
0
-5	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ
Рис. 6.4. Сечение поверхности

2
1.5
		= 10
1
		= 5
0.5
0
-0.5
-1		= 0
-1.5
-2	pi	3*pi/2
pi/2
	θ
Рис. 6.5. Сечение поверхности

82

0.02

0.01

0

-0.01

-0.02

2*pi

3*pi/2

pi pi/2				pi/2 pi	3*pi/22*pi
0
-pi/2	-pi		-pi	-pi/2 0
	-3*pi/2
			-3*pi/2
θ20	-2*pi	-2*pi
				θ
				10

Рис. 6.6. Вид поверхности

Рис. 6.7. Вид поверхности

83

Рис. 6.8. Область устойчивости при

Рис. 6.9. Область устойчивости при

1

1

= 10 ,

= 20,

2

2

= 0

= 0

Рис. 6.10. Область устойчивости при 1 = 0 , 2 = 10

84

Рис. 6.11. Область устойчивости при 1 = 0 , 2 = 20

Рис. 6.12. Область устойчивости при 1 = 10 , 2 = 10

85

Рис. 6.13. Область устойчивости при							1	= 20,		2	= 20
x 10-3
8
6	1=0
4	1=10
2
	1=20
0
-2
-4	-3*pi/2 -pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2		2*pi
-2*pi
			θ10
Рис. 6.14. Сечение θ20			= 0 поверхности,						2 = 0

86

x 10-3
0
					1=20
-0.5
-1						1=10
-1.5
-2						1=0
-2.5	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ10
Рис. 6.15. Сечение θ20				= π поверхности,					2	= 0
x 10-3
8
6		1=0
4
		1=10
2		1=20
0
-2
-4	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ20
Рис. 6.16. Сечение поверхности θ10							= 0 ,		2	= 0

87

x 10-3
0
-0.5				1=20
-1
				1=10
-1.5
-2		1=0
-2.5	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ20
Рис. 6.17. Сечение поверхности θ10							= π ,	2	= 0
x 10-3
6
5
		1=0
4
3		1=10
2		1=20
1
0
-1	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ20
Рис. 6.18. Сечение поверхности θ10							= 0 ,	2	= 10

88

x 10-3
5
4
3			1=0
2		1=10
			1=20
1
0
-1
-2	-3*pi/2	-pi	-pi/2	0	pi/2	pi	3*pi/2	2*pi
-2*pi
				θ20
Рис. 6.19. Сечение поверхности θ10							= 0 ,	2	= 20

	Выводы
Режим	синхронизации, определяемый резонансным соотношением
Ω1 − Ω 2 = 0 ,	обнаруженный во втором приближении, является устойчивым

стационарным режимом, более того, является режимом фазовой синхронизации (синхронно - противофазный) двух двигателей, установленных на общем вязкоупругом основании, роторы которых вращаются в одном направлении. Для системы трех несбалансированных двигателей, работающих в режиме самосинхронизации (стационарный режим): Ω1 − Ω 2 = 0 , Ω 2 − Ω3 = 0 выявлены облас-

ти неустойчивости стационарных режимов колебаний.

89