9934
.pdf11.75. Тело массы mпадает вертикально вниз с некоторой высоты. Сила вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости
Fтр V , где 0 - коэффициент трения. Определить зависимость скорости от времени, если тело начинает движение с нулевой скоростью.
11.76.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка
находилась на расстоянии 5м от начала отсчёта пути и имела скорость V0 20 м / c . Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с. после
начала движения.
§3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
В задачах 11.77 11.94 найти общее решение (общий интеграл) данных дифференциальных уравнений.
11.77. |
y |
|
|
y 2 |
4 |
y |
2 .11.78. |
y |
|
x y |
.11.79. |
|
|
x 2 y dx xdy 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.80. ydx x y dy 0 .11.81. y 2 |
x |
2 y xyy .11.82. |
y |
|
x y |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
||
11.83. y |
xy y 2 |
|
.11.84. xy |
2 yx 2 3y |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x 2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y .11.86. y |
x 2 |
2xy 5 y 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11.85. xy 2 |
|
|
x 2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 6xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.87. xy y |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
xy y |
|
|
x |
|
|
|
|
.11.89. y |
|
y |
sin |
2 |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
.11.88. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||
11.90. |
y |
|
cos |
|
.11.91. xy y xe |
x .11.92. xy y x 2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.93. y |
|
|
y |
|
|
|
1 |
y |
|
.11.94. |
|
dy |
|
xy |
y 2 e |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 11.95 11.102 найти частное решение дифференциальных уравнений (задача Коши).
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11.95. y 1 e |
x |
, y 1 0 . |
11.96. xy |
y x |
tg x , |
y 1 6 . |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
11.97. y |
y |
cos |
y |
|
, |
y 1 0 . |
11.98. y |
y |
|
sin |
y |
, y 1 |
π |
. |
||||||||
x |
x |
x |
x |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.99. x2 y 2 dx 2xydy 0 , |
y 4 0 . 11.100. |
|
|
|
x dy ydx , y 0 1. |
||
|
xy |
||||||
11.101. y 2 3x2 dy 2xydx 0 , |
y 0 1. 11.102. |
|
2xy 2 y 2 x 2 xy y , |
||||
y 1 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
11.103. Найти кривую, проходящуючерез точку |
|
A 3; 0 , если известно, что |
|||||
угловой коэффициент касательной равен |
x y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
11.104. Кривая проходит через точку 1;1 . Расстояние любой касательной к
этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Написать уравнение указанной кривой.
11.105. Найти кривую, проходящую через точку A 1;2 , для которой отрезок на
оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.
§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
В |
задачах |
11.106 11.117 |
найти общее |
решение |
данных дифферен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
циальных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
||||
11.106. |
y xy x e 2 .11.107. y xy x e 2 |
|
.11.108. y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
xe3x .11.111. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11.109. |
y |
x e x .11.110. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.112. |
y y tg x x 2 |
cos x .11.113. |
|
y xy cos x e 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
ex |
. 11.115. y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.114. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x .11.116. |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
tg x |
sin x |
tg x |
|
x y 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.117. |
y |
|
|
|
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 y ln y y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.118. |
Сила |
тока |
|
Iв электрической |
|
цепи |
с |
сопротивлением |
R, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентом индуктивности Lиэлектродвижущей силой |
|
|
|
E удовлетворяет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциальному уравнению |
L |
dI |
|
RI E . |
Найти зависимость силы тока |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I t |
от времени, если E Asin ωt |
(L , R , |
A |
- постоянные). |
|
|
|
|
|
91
11.178. sin 3x , cos 3x . 11.179. sin x , cos x, ex .11.180. e x , xe2 x , e2 x . 11.181. e x , e3x , 1. 11.182.sin 2x, cos 2x,1.11.183.1, x , x 2 .11.184. e x , e x ,
sin 2x, cos 2x .11.185. e x , xe x , sin x , cos x . 11.186. sin 3x, cos 3x, 1, x .
В задачах 11.187– 11.206 решить однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
11.187. y 5 y 6 y 0 . 11.188. y 6 y 5 y 0 . 11.189. y 6 y 9 y 0 . 11.190. y 6 y 0.11.191. y 9 y 0 .11.192. y 9 y 0 .
11.193. y 6 y 10 y 0 . 11.194. y y y 0 .11.195. 4 y y 0 . 11.196. y 2 y 3y 0 .11.197. y 2 y y 0 .11.198. y 4 y
13y 0 . 11.199. y y 0 . 11.200. y y 0 .11.201. y y 0 . 11.202. y y 2 y 0 .11.203. y y 0 .11.204. y y 0 . 11.205. y y 0 . 11.206. y y 0 .
В задачах 11.207 – 11.215 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
11.207. |
y |
|
5 y |
|
|
6 y 0 , |
|
y 0 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y |
|
4 y 0 |
, |
||||||||
|
|
|
y 0 1.11.208. y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
.11.209. y |
|
2 y |
|
5 y 0 , |
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y 0 2 |
|
|
y 0 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11.210. |
y |
|
3y |
|
|
0 , |
|
y 0 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
9 y |
0 , |
|
y 0 3 , |
|
||||||
|
|
|
y 0 2 .11.211. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
25 y 0 , |
y 0 0 , |
y |
|
|
|
|
|
|
|
y 7 y |
|
||||||||||
y 0 3.11.212. |
|
|
0 1.11.213. |
|
||||||||||||||||||||||||||
12 y 0 , y 0 4 , |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
8 y |
|
16 y |
0 , |
y 0 0 , |
|
|||||||||||
|
|
0 3 .11.214. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
.11.215. |
y |
|
2 y |
|
4 y |
0 , |
y 0 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y 0 5 |
|
|
|
|
y |
0 0. |
|
|
|
|
|
В задачах 11.216 11.235 найти общее решение неоднородного линейного уравнения,находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.
11.216. y 3y 2 y 10e x .11.217. y 2 y 2 y 2x .11.218. ′′ + 4 ′ −
−5 = −5. 11.219. y 4 y 4 y xe2x .11.220. |
y 2 y y cos x . |
||
11.221. y 3y 2e 3x .11.222. |
y 2 y 2 sin 3x .11.223. |
y 4 y |
|
|
94 |
|
|
2 cos 3x . |
11.224. |
y 3y 18x 9. 11.225. |
y 4 y x 2 1. |
||||
11.226. |
y y cos x .11.227. |
y y sin 2x .11.228. |
y 2 y 3y |
||||
e x cos x . |
11.229. |
y 5y 8y 4 y e2x .11.230. |
y y 2x . |
||||
11.231. |
y y 8e x .11.232. |
y y e x .11.233. |
|
y y 6x . |
|||
11.234. |
y y 2xe x .11.235. |
y y cos x . |
|
|
|
В задачах 11.236–11.248 найти частное решение неоднородного линейного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
11.236. |
y |
|
3y |
|
2 y 2x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 y 3y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y 0 0 , y 0 1.11.237. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x , y 0 0 , |
|
y 0 2 .11.238. y 5y 6 y x 2 2 , |
y 0 0 , y 0 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.239. |
|
|
y y 6 y x 2 , |
|
y 0 0 , |
|
y 0 3.11.240. y 3y x 3 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 y |
|
x |
2 |
|
|
1, |
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y 0 3 .11.241. |
|
|
|
|
|
|
|
y 0 4 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11.242. |
y |
|
y |
4xe |
x |
, |
|
|
|
y 0 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 sin x , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
0 0 .11.243. y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 0 1, |
y 0 2 .11.244. |
y y sin 2x , |
y 1, |
|
y 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.245. |
y |
|
9 y 6 cos 3x , |
|
y 0 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 y 3y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y 0 3.11.246. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 48x 2 e x , |
y 0 1, y 0 |
|
3 |
.11.247. |
y y 2x , |
|
|
y 0 0 , |
y 0 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y 0 2 .11.248. y y 8e x , |
y 0 1, |
y 0 0, |
y 0 1, |
y 0 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В задачах 11.249–11.260найти общее решение методом вариации |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольных постоянных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.249. y 4 y |
|
1 |
|
|
|
|
.11.250. y |
y tg x .11.251. |
|
y y ctg 2 x 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|||||
11.252. y 9 y |
|
|
|
|
.11.253. |
y 4 y |
|
|
|
.11.254. y 2 y y |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos 3x |
|
sin 2 |
|
x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11.255. y y |
1 |
|
|
|
|
.11.256. y |
2 y y |
e x |
.11.257. y 2 y y |
|
e x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 e x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. 11.258. |
y y e x |
|
1 |
.11.259. |
y |
6 y |
9 y e3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.260. y y e2x |
1 e2x . |
В задачах 11.261–11.270 решить дифференциальные уравнения, применяя принцип суперпозиции решений.
11.261. |
y 2 y y sin x e x . |
11.262. y y 2e x x 2 . |
|
|
|
||||
11.263. |
y 4 y 4 y sh x sin x . |
11.264. |
y 4 y 4 y sin x cos 2x . |
|
|||||
11.265. y y 6x e x .11.266. |
y y xe x cos x . |
|
|
|
|||||
|
y 25 y 3e x |
4 |
|
|
|
e |
2x |
|
|
11.267. |
. |
11.268. |
y 4 y 13y x 2 |
|
. |
||||
|
|
||||||||
cos 5x |
cos 3x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
11.269. |
y y cos2 x x 2 .11.270. y 4 y x sin 2 x . |
|
|
|
В задачах 11.271 – 11.279найти общие (частные) решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
y 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11.271. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.273. |
dt |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
11.272. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
x. |
|
|
|
dy |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
x |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
x 3y, |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x 5 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
11.274. |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
11.275. |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3y. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
4x y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
3x |
5 y, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11.276. |
|
dt |
|
|
11.277. |
|
dt |
|
x 0 2, y 0 5. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
18x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
2x 8 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2x |
y sin t, |
|
||||||||||||||
11.278. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.279. |
|
dt |
условии |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2 y cos t |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
x π 1, y π 2 .
Глава 12
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
96
§1. Расстановка пределов интегрирования
В задачах 12.1 12.17найти пределы двойных интегралов f x , y dxdy
D
при данных (конечных) областях интегрирования D , представив интегралы в виде одного из повторныхинтегралов.
12.1. D прямоугольник со сторонами |
x 1, x 4 , y 0 , y 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
12.2. D прямоугольник: 0 x 2, |
1 y 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12.3. D треугольник со сторонами |
x 0 , y 0 , x y 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
12.4. D треугольник: x 3y 0 , y 2x 0 , x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12.5. D ограничена линиями |
x y 2, 4x 4 y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
1 |
x |
2, |
|
x 0, |
|
|
|
|
|
||||||
12.6. D : |
0 y 1, 12.7. D : y x, |
12.8. D : y 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
2 |
4. |
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
1. |
|
|
|
||||||
|
x |
|
xy 1. |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.9. |
D : y x 3, 12.10. D ограничена линиями |
|
y x 3, y 2x 2 , x 0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.11. |
D ограничена |
параболами |
|
y x 2 , |
|
x y 2 .12.12. D: |
x 2 |
|
y 2 |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
||
.12.13. D: x 2 2 |
|
y 3 2 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 0, |
|
|
|
|
x 0,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.14. D : |
4 y 3x, |
12.15. D : |
y x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
xy 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.16. D треугольник со сторонами |
y x , y 2x , x y 6 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
12.17. D параллелограмм: y x , y x 3, y 2x 1, y 2x 5 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
В задачах |
12.18–12.25 представить двойные интегралы |
f x , y dxdy , где |
D |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
заданные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.
12.18. |
12.19. |
y |
y |
. |
. |
|
97 |
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
. |
x |
. |
x |
. |
12.20. |
|
|
|
12.21. |
yy |
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
x.x . |
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
12.22. |
|
|
|
12.23. |
|
|
y |
y |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
xx . |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
12.24. |
|
|
|
12.25. |
. yy |
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
x .x . |
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
. |
|
|
|
. |
В задачах 12.26 – 12.35 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D-
D
заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков прямых и дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.
12.26. |
y |
12.27. |
у |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. x .x . |
|
|
|
. |
|
. |
|
|
98 |
|
12.28. |
|
|
|
|
y |
12.29. у |
|
|
. |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
||||
x.x . |
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|||
12.30. |
|
|
|
y |
12.31.y |
||
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
. |
|
. |
|
|||
x.x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|||
|
. |
|
. |
|
|||
12.32. |
|
|
|
y |
12.33. |
у |
|
|
. |
|
. |
|
|||
|
. |
|
. |
|
|||
x .x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
12.34. |
|
|
|
|
|
12.35. |
|
|
Y у |
|
|
|
|||
|
. |
|
. |
|
|||
|
. |
|
. |
|
|||
x .x . |
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
В задачах |
12.36 – 12.43представить двойной интеграл f x , y dxdy в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
виде суммы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если граница области D составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.
12.36. |
12.37. |
|
y |
y |
|
. |
. |
|
. |
. |
|
. |
. |
|
x . x . |
|
|
. |
. |
|
12.38. |
12.39. |
|
|
99 |
|