9934
.pdf
|
y sin x |
|
|
|
|
|
|
x y 2 |
|
|
x y 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
y 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
y x . |
|
|
|
y x . |
|
|
|||||||||||
9.118. |
|
|
|
|
9.119. |
|
|
9.120. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
y |
2 |
x |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.121. |
|
x 1 |
. |
|
|
|
9.122. |
|
y |
1 |
. |
9.123. |
|
y 1 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
x |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
от точки B 1;1 до точки |
A 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.124. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.125. |
y x2 2 между точками пересечения кривой с осью x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.126. |
y e x между точками с абсциссами x 0 |
и x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.127. |
y |
|
e e |
(цепная линия) между точками с абсциссами |
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3t sint |
t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.128. Циклоиды |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 31 cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
0 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.129. Астроиды x 4cos3t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y 4sint |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Rcost tsint |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.130. Эвольвенты окружности |
|
|
|
|
|
|
|
от t1 0 |
до |
t2 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y Rsint tcost |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.131. Кардиоиды |
|
|
31 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
и |
. |
|||||||||||||||||||||
9.132. Окружности 2 3cosмежду точками, для которых |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
80
§5. Дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
10.67. Найти частные дифференциалы первого порядка и полный дифференциал для функций:
|
z |
x |
|
|
|
yx |
|
|
z x sinxy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
y |
; |
2) |
z e |
|
; |
3) |
; |
2 2 |
|
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
yz |
; |
6) |
ux |
xyz |
||||
4) z lnx y ; |
u x |
|
x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
10.68. Для функции |
2 |
|
|
||
z 3 x y вычислить частный дифференциал d y z |
|||||
при |
x2,y5, y0,01 |
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.69. Для функции |
z lnx y вычислить частный дифференциал |
d x z |
|||
при |
x1,y2, x0,016 |
|
|||
|
. |
|
|
|
|
10.70. Для функции |
z e yx найти значение полного дифференциала |
dz при |
x1,y1,x0,15,y0,1.
10.71. С помощью дифференциала найти приближенное значение приращения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M x ;y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции в точке 0 |
0 |
|
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
M 11;1 |
|
x 0,11 |
y 0,02 |
|
|
|
|
|||||||||
|
z x 11y 20xy |
0 , |
если |
|
|
, |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
M 9;3 |
|
M9,0;2,96 |
|||||||||||
2) z 2x 3y 5xyпри переходе от точки |
|
0 |
|
|
|
к точке 1 |
. |
||||||||||||||||||
10.72. |
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового |
||||||||||||||||||||||||
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)√cos20.05 + 8 0.015; |
|||||||||||
1) 1,08 |
; |
|
|
|
2) 3,981,03 ; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
|
|
|
1,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
1,04 |
3,02; |
5) 2 22,9492,941,07; 6) 3,02 3,98; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2,03 |
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
|
|
4,971,061; |
8) ln0,111,03; |
|
9) |
|
|
|
3 |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,031,057 |
||||||
|
|
|
|
5,01 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
arcctg |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10) |
|
|
|
|
; |
11) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2,952,031 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.73. Высота конуса H = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как изменится объём конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса на 2 мм?
10.74. Одна сторона прямоугольника a = 6 дм, другая b = 8 дм. Как изменится диагональ прямоугольника, если a уменьшить на 4 см, а b укоротить на 1 см?
83
|
x |
M 1;2 |
|
x2 y2 |
|
M 2;1 |
|
5) |
z arcsin |
6) |
, |
||||
, |
0 |
; |
z e |
0 . |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
10.83. Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности:
2 2 |
|
6;4;ln100 |
y |
в точке |
2;2;4 |
|
1) z lnx 4y в точке |
|
; 2) z x |
|
. |
||
10.84. Каково |
направление |
наибольшего |
|
изменения функции |
uxsinz ycoszв начале координат?
1
10.85. Найти точку, в которой градиент функции z lnx равен
y
|
|
|
16 |
|
|
. |
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u |
1 |
|
10.86. Найти производную функции |
|
|
|||||||
2 2 2 в направлении её |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z |
|
градиента. |
|
|
|
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
10.87.Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением Fx,y,z 0(или z f x;y ) в точке M x,y,z :
0
|
2 |
2 |
|
M 1;2;3 |
2) |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
M 2;2;3 |
||
1) |
x y z 80 |
x y z 1 |
||||||||||||
|
|
, |
0 |
; |
|
|
|
|
, |
|
0 |
; |
||
3) |
|
2 |
2 |
M 1;0;0 |
4) |
|
|
2 |
|
|
M 1;y ;3 |
|||
z lnx y , |
0 |
; |
z 3x y 1, |
|
|
0 0 |
; |
|||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
M 1;2;4 |
|
5) |
z x 2xyxy M 1;0;2 |
6) |
x y 5 0 |
|
||||||||||
|
|
|
, |
0 |
; |
|
|
|
, |
|
0 |
; |
2 2 2 M 1;2;2
7) xyz4x6y8z10, 0 .
10.88. Cоставить уравнение нормальной прямой к поверхности, заданной
уравнением Fx,y,z 0 (или z f x;y ) в точке M x,y,z :
0
|
2 |
|
|
|
M 2;1;2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
M 1;1;4 |
|||
|
y z 3 0 |
|
|
|
z 1 x 2y |
|
||||||||||
1) |
|
0 |
; |
2) |
, |
0 |
; |
|||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
M 2;1; 1 |
|||
3) |
x 5y z 10M 1; 1;2 |
|
4) |
z x |
y |
6 |
||||||||||
|
|
|
, |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
, |
0 |
; |
||
|
|
|
|
|
M 1; 1;1 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
M 1;2;9 |
|||
|
|
|
|
|
|
z 3x xyy |
||||||||||
5) |
|
|
|
, |
0 |
; |
6) |
0 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
2 2 2 |
|
|
|
|
M 1;2;3 |
|
|
|
|
|
|||||
7) |
x2y3zyxyz2xz160 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
0 . |
|
|
|
|
|
§8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
В задачах 10.89 - 10.102 найти экстремумы функции:
85
Глава 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Основные понятия и определения
В задачах 11.1 11.11проверить, являются ли решением данных дифференциальных уравнений указанные функции (С – произвольная постоянная).
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1. y 5x |
|
|
для |
xy |
2 y . 11.2. |
y x 2 для xy |
|
dx dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11.3. y ln cos x для |
y tg x . |
11.4. y Ce 4 x |
|
для |
y 4 y 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
11.5. y C x 3 для 3 y x y .11.6. |
y x C e x для |
y y e x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
11.7. y Ce |
|
|
|
для |
|
y 3 y 0 . |
11.8. y x |
|
для |
y |
x |
|
y . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11.9. y |
С 2 |
|
x 2 |
для x y dx xdy 0 .11.10. |
x 2 |
xy y 2 |
C |
|
|
|
для |
|||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2 y y 2x y 0 .11.11. y arctg x y C |
для |
|
|
x y |
2 |
dy |
|
1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.12. Функция |
y φ x задана параметрически: |
x tet , |
|
y e t . Докажите, |
||||||||||||||||||||||||||
что эта функция является решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 xy |
dy |
y 2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В задачах |
11.13 11.18 составить дифференциальные уравнения заданных |
|||||||||||||||||||||||||||||
семейств кривых( С, С1 , С2 – произвольные постоянные). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.13. y Cx3 .11.14. x 2 y 2 С 2 .11.15. |
x 2 y 2 |
Cx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.16. y sin x C cos x . 11.17. |
y C e x C |
2 |
e x .11.18. |
|
y (C |
|
C |
2 |
x)e x . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11.19.Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с осью ординат.
11.20. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2a .
87
11.21. Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
В задачах 11.22 11.24 в семействе кривых найти ту, которая удовлетворяет заданным начальным условиям.
11.22. x |
2 |
y |
2 |
С , |
y 0 3 . |
11.23. y (C1 |
C2 x)e |
2x |
, y 0 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
y 0 0 . |
||||||||||||||
11.24. |
y C1e |
x |
C2 e |
2x |
C3e |
x |
, y 0 0 |
, |
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
y 0 1 |
y 0 2 . |
|
В задачах 11.25 11.27 для данного дифференциального уравнения построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых.
11.25. y x 2 .11.26. y x y .11.27. y x 1.
В задачах 11.28 11.32 для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку M .
11.28. y y x 2 , |
M 1; 2 .11.29. |
y 2 y 2 , |
M 1; 2 .11.30. y xy , |
M 0 ; 1 .11.31. |
y x 2 y , M 3; 0 .11.32. |
y y x , M 4 ; 2 . |
§2. Уравнения с разделяющимися переменными
В задачах 11.33 11.55найти общее решение (общий интеграл) данных дифференциальных уравнений.
11.33. y |
x |
.11.34. |
y |
y |
.11.35. y |
|
x |
|
0 .11.36. |
y |
y |
|
0 . |
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
x |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
11.37. |
y xy 2 0 . |
11.38. |
yy |
1 |
.11.39. |
xy 2 y 1 . |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x 1 |
||||||||||||||||||||||
11.40. |
x 2 y x 1 0 . 11.41. |
xyy 1 x 2 .11.42. y 2 y 1 ctg x . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.43. 1 y dx 1 x dy 0 .11.44. |
|
|
y 2 1 dx xydy .11.45. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 y 2 dx |
|||||||||||||||||||
ydy x2 ydy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln y . |
|||||||||||||
11.46. ( |
xy |
|
|
x) y y 0 .11.47. |
y |
11.48. y ln y xy 0 .11.49. y 4 e x dy e x dx 0 .11.50. dy y 2 tg xdx 0. 11.51. 6xdx 6 ydy 2x 2 ydy 3xy 2 dx .11.52. y 1 y xy sin x .
88
|
|
|
|
e1 x2 |
|
e2x |
|
|
|
11.53. 2x 2xy 2 |
|
2 x 2 y 0 .11.54. |
tg ydx |
dy 0 . |
|||||
x 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11.55.y cos x y 1 sin x 0 .
Взадачах 11.56 11.70найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.
|
|
|
x |
2 |
dy y |
2 |
dx 0 , |
|
1 |
|
1 |
|
xdy 1 y |
2 |
dx |
0 , y 1 |
π |
|
||||||||
11.56. |
|
|
y |
|
|
|
|
|
. 11.57. |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
11.58. x xy 2 dx x 2 y y dy 0 , y 0 1.11.59. ydx sin 2 |
xdy 0 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
cos |
2 |
xdy cos |
2 |
ydx 0 , |
y 0 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
|
|
1.11.60. |
|
|
|
|
.11.61. |
y |
sin xdx dy , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
cos x sin ydy cos y sin xdx , y π π . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
1.11.62. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.63.1 x2 dy ydx 0 , y 0 e .
11.64.1 x 2 dy 1 y 2 dx 0 , y 0 0 .
11.65. |
e x dy 2 y dx 0 , y 0 0 .11.66. ln y x dy ydx , |
y 1 1 . |
|
||
11.67. |
e x dy 2x 1 dx 0 , y 0 0 .11.68. |
yy |
e y 0 |
, y 1 |
0 . |
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
11.69. |
y xe x y , y 2 2 .11.70. x y 6 1 dx y 2 x 4 1 dy 0 , |
y 0 1. |
11.71. Определить и построить кривую, проходящую через точку 2 ; 2 , если
отрезок любой касательной к кривой, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.
11.72. Определить и построить кривую, проходящую через точку 1; 1 , для
которой отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
11.73. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N 0 бактерий. Из эксперимента известно, что скоростьразмножения
бактерий пропорциональна их количеству (коэффициент пропорциональности k>0). Найти зависимость роста числа бактерий N t с течением времени.
11.74. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?
89